Các dạng bài tìm nguyên hàm nhanh bằng công thức nguyên hàm hay đầy đủ nhất

Ngọc Quốc Tháng Sáu 9, 2021

Tìm nguyên hàm nhanh bằng công thức nguyên hàm từ cơ bản mở rộng đến nâng cao. Các bài tập áp dụng.

Bài viết này, HocThatGioi sẽ cùng các bạn đi tìm hiểu về các dạng bài tìm nguyên hàm nhanh bằng công thức nguyên hàm hay đầy đủ nhất. Bài viết sẽ cung cấp cho các bạn tổng hợp các công thức để tìm nguyên hàm từ cơ bản, mở rộng đến nâng cao và có các bài tập ôn luyện để các bạn có thể nhớ lâu hơn các công thức đó nữa đấy. Vậy nên hãy cùng HocThatGioi bắt đầy bài học ngay nào!

1. Tìm nguyên hàm nhanh bằng công thức nguyên hàm cơ bản

1.1 Các công thức nguyên hàm cơ bản

Dưới đây là tổng hợp các công thức nguyên hàm cơ bản nhất không thể quên khi vào phòng thi.

$\int dx =x+C$ .
$\int kdx = kx+C$
$\int x^n dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C.(n \neq 0)$
$\int \frac{1}{x}dx=ln|x| +C.(x \neq 0)$
$\int \frac{1}{x^2}=-\frac{1}{x}+C.(x \neq 0)$
$\int \frac{1}{x^n}=-\frac{1}{(n-1) x^{n-1}}+C.(x \neq 0)$
$\int e^x dx = e^x+C$ .
$\int a^x dx=\frac{a^x}{lna}+C.(0 < a \neq 1)$ .
$\int cosx dx=sinx+C$
$\int sinx dx =-cosx +C$
$\int \frac{1}{cos^2x}dx=\int (1+tan^2x)dx= tanx +C$
$\int \frac{1}{sin^2x}dx=\int (1+cot^2x)dx= -cotx +C$
$\int \frac {1}{\sqrt x}= 2\sqrt x +C$

1.2 Các bài tập áp dụng

Các bạn hãy thử làm các bài tập nguyên hàm dưới đây bằng các công thức trên để nhớ lâu hơn các công thức đó nhé!

Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x)= 3x +sinx$ .

a. $F(x)=\frac{3x^2}{2}+cosx$
b. $F(x)=\frac{3x}{2}-cosx$
c. $F(x)=\frac{3x^2}{2}- cosx$
d. $F(x)=\frac{3x^2}{4}+cosx$

Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x)=2^x+e^x$

a. $2^x+e^x$
b. $\frac{2^x}{ln2}+\frac{e^x}{ln2}$
c. $\frac{x^3}{3}+e^x$
d. $\frac{2^x}{ln2}+e^x$

Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x)=x^2 \sqrt x +\frac{1}{ \sqrt[3]{x^2}}$ trên khoảng $(0;+\infty$

a. $\frac{2}{7} \sqrt{x^7}+3\sqrt[3]{x}$
b. $\frac{7}{2} \sqrt{x^7}+3\sqrt[3]{x}$
c. $\frac{2}{7} \sqrt{x^7}+3\sqrt[3]{x^3}$
d. $\frac{2}{7} \sqrt{x^7}+\frac{1}{3}\sqrt[3]{x}$

Tìm nguyên hàm của hảm số $f(x)=\frac{1}{cos^2x sin^2x}$

a. $tanx+cotx$
b. $cotx-tanx$
c. $tanx-cotx$
d. $-tanx-cotx$

Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x)=ax+\frac{b}{x^2}$ biết $F(-1)=1; F(1)=4;f(1)=0$

a. $\frac{x^2}{2} - \frac{1}{x}+\frac{5}{2}$
b. $\frac{x^2}{2}+\frac{1}{x}+\frac{7}{2}$
c. $\frac{x^2}{2}+\frac{1}{x}+\frac{5}{2}$
d. $\frac{x^2}{2}+\frac{1}{x^3}+\frac{5}{2}$

2. Tìm nguyên hàm nhanh bằng các công thức nguyên hàm mở rộng

2.1 Các công thức tìm nguyên hàm mở rộng

Các công thức tìm nguyê hàm mở rộng dưới đây rất hữu ích trong lúc làm bài thi đấy!

$\int (ax+b)^n dx = \frac{1}{a} \frac{(ax+b)^{n+1}}{n+1}+C.(a\neq 0, n \neq -1)$
$\int \frac{1}{ax+b}dx= \frac{1}{a} ln(ax+b)+C.(a \neq 0)$
$\int e^{ax+b}dx =\frac{1}{a}e^{ax+b}+C.(a \neq 0)$
$\int cos(ax+b)dx=\frac{1}{a}sin(ax+b)+C.(a \neq 0)$
$\int sin(ax+b)dx=-\frac{1}{a}cos(ax+b)+C.(a \neq 0)$
$\int \frac{1}{cos^2(ax+b)}dx=\frac{1}{a}tan(ax+b)+C.(a \neq 0)$
$\int \frac{1}{sin^2(ax+b)}dx=-\frac{1}{a}cot(ax+b)+C.(a \neq 0)$
$\int tanx dx=-ln |cosx| +C$
$\int cotx dx=ln |sinx| +C$
$\int tan(ax+b) dx=-\frac{1}{a}ln |cos(ax+b)| +C. (a \neq 0)$
$\int cot(ax+b) dx=\frac{1}{a}ln |sin(ax+b)| +C. (a \neq 0)$

2.2 Các bài tập áp dụng

Các bạn hãy thử làm các bài tập nguyên hàm dưới đây bằng các công thức trên để nhớ lâu hơn các công thức đó nhé!

Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x)=\frac{4}{1-3x}+\frac{1}{2 \sqrt x} -5$

a. $\frac{4}{3} ln|1-3x|+ \sqrt x -5x$
b. $\frac{-4}{3} ln|1-3x|+ \sqrt x -5x$
c. $\frac{-4}{3} ln|1-3x|+ \sqrt [3] {x^2} -5x$
d. $\frac{-4}{3} ln|1-3x| + \sqrt x -5$

Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) = e^{3x-1}+cos2x$

a. $\frac{1}{3} e^{3x-1} + \frac{1}{2} sin2x +C$
b. $3e^{3x-1} + \frac{1}{2} sin2x +C$
c. $\frac{1}{3} e^{3x-1} - \frac{1}{2} sin2x+C$
d. $3 e^{3x-1} - \frac{1}{2} sin2x+C$

Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x)=cot(2x+1)+\frac{3}{sin^2(1-2x)}$

a. $-\frac{1}{2}ln|sin(2x +1)|-\frac{1}{2}cot(1-2x)+C$
b. $\frac{1}{2}ln|sin(2x +1)|-\frac{1}{2}cot(1-2x) + C$
c. $\frac{1}{2}ln|sin(2x +1)|+\frac{1}{2}cot(1-2x)+ C$
d. $-\frac{1}{2}ln|sin(2x +1)|+\frac{1}{2}cot(1-2x)+ C$

3. Tìm nguyên hàm nhanh bằng các công thức nguyên hàm nâng cao

3.1 Các công thức nguyên hàm nâng cao

Nhớ hết các công thức nâng cao dưới đây sẽ giúp các bạn giải bài toán nguyên hàm nâng cao rất nhanh chóng luôn đấy!

$\int \frac{dx}{a^2+x^2}=\frac{1}{a}arctg\frac{x}{a}+C. (a \neq 0)$
$\int \frac{dx}{a^2-x^2}=\frac{1}{2a}ln |\frac{a+x}{a-x}|+C. (a \neq 0)$
$\int \frac{dx}{ \sqrt{x^2+a^2}}=ln (x+ \sqrt{x^2+a^2})+C$
$\int \frac{dx}{ \sqrt{a^2-x^2}}=arcsin \frac{x}{|a|}+C$
$\int \frac{dx}{ x \sqrt{x^2-a^2}}= \frac{1}{a} arccos |\frac{x}{a}| +C$
$\int \frac{dx}{ x \sqrt{x^2+a^2}}= \frac{1}{a}ln | \frac{a+ \sqrt{x^2+a^2}}{x}|+C$
$\int ln(ax+b)dx=(x+ \frac{b}{a})ln(ax+b)-x+C$
$\int \sqrt{a^2-x^2}dx =\frac{x \sqrt{a^2-x^2}}{2}+\frac{a^2}{2}arcsin \frac{x}{a}+C$
$\int \frac{dx}{sin(ax+b)}=\frac{1}{a} ln \frac{tan(ax+b)}{2}+C$
$\int e^{ax}cosbx dx= \frac{e^{ax}(acosbx+bsinbx)}{a^2+b^2}+C$
$\int e^{ax}sinbx dx= \frac{e^{ax}(asinbx-bcosbx)}{a^2+b^2}+C$

3.2 Các bài tập áp dụng

Các bạn hãy thử làm các bài tập nguyên hàm dưới đây bằng các công thức trên để nhớ lâu hơn các công thức đó nhé!

Tìm nguyên hàm của hàm số $\frac{1}{x^2+1}+\frac{1}{4-x^2}$ .

a. $-arctan x +\frac{1}{4}ln|\frac{2-x}{2+x}|+C$
b. $arctan x +\frac{1}{4}ln|\frac{2+x}{2-x}|+C$
c. $arctan x +\frac{1}{4}ln|\frac{2-x}{2+x}|+C$
d. $-arctan x -\frac{1}{4}ln|\frac{2+x}{2-x}|+C$

Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x)=\frac{2}{ \sqrt{x^2+9}}+\frac{3}{ \sqrt{1-x^2}}$

a. $2ln (x- \sqrt{x^2+9}) +3arccos+C$
b. $2ln (x+ \sqrt{x^2+9}) +3arccosx+C$
c. $2ln (x- \sqrt{x^2+9}) +3arcsinx+C$
d. $2ln (x+ \sqrt{x^2+9}) +3arcsinx+C$

Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x)=\frac{-3}{x \sqrt{x^2-4}}$

a. $\frac{-3}{2}arccos|\frac{x}{2}|+C$
b. $\frac{-3}{4}arccos|\frac{x}{2}|+C$
c. $\frac{-3}{4}arcsin|\frac{x}{2}|+C$
d. $\frac{-3}{2}arcsin|\frac{x}{2}|+C$

Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x)= \frac{2}{x \sqrt{x^2+4}}$

a. $\frac{1}{4}ln|\frac{2+ \sqrt{x^2+4}}{x}|+C$
b. $\frac{1}{2}ln|\frac{2+ \sqrt{x^2+4}}{x}|+C$
c. $\frac{1}{4}ln|\frac{2- \sqrt{x^2+4}}{x}|+C$
d. $\frac{1}{2}ln|\frac{2- \sqrt{x^2+4}}{x}|+C$

Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x)=ln(3x+4) +\sqrt {9-x^2}$

a. $(x+\frac{4}{3})ln(ax+b) -x +\frac{x \sqrt{9-x^2}}{2}+\frac{9}{2}arcsin \frac{x}{3}+C$
b. $(x+\frac{4}{3})ln(ax+b) +\frac{x \sqrt{9-x^2}}{2}-\frac{9}{2}arcsin \frac{x}{3}+C$
c. $(x+\frac{4}{3})ln(ax+b) +\frac{x \sqrt{9-x^2}}{2}+\frac{9}{2}arcsin \frac{x}{3}+C$
d. $(x+\frac{4}{3})ln(ax+b) -x +\frac{x \sqrt{9-x^2}}{2}-\frac{9}{2}arcsin \frac{x}{3}+C$

Cảm ơn các bạn đã theo dõi bài viết của HocThatGioi về Các dạng bài tìm nguyên hàm nhanh bằng công thức nguyên hàm hay đầy đủ nhất. Nếu các bạn thấy hay và bổ ích, hãy chia sẻ cho bạn bè của mình để cùng nhau học thật giỏi nhá. Đừng quên để lại 1 like, 1 cmt để tạo động lực cho HocThatGioi và giúp HocThatGioi ngày càng phát triển hơn nhé! Chúc các bạn học thật tốt!