Cách tính góc giữa 2 mặt phẳng trong không gian Oxyz – bài tập áp dụng

Ngọc Quốc Tháng Mười 29, 2021

Trong bài này, HocThatGioi sẽ hướng dẫn chi tiết cho các bạn cách để tính góc giữa 2 mặt phẳng trong không gian Oxyz. Sau đó sẽ có bài tập để giúp các bạn ôn tập và ghi nhớ lâu hơn các phương pháp đó nữa đấy!

Cách tính góc giữa 2 mặt phẳng trong không gian Oxyz - bài tập áp dụng 2

1. Cách xác định góc giữa 2 mặt phẳng trong không gian Oxyz

Có nhiều cách khác nhau để xác định góc giữa 2 mặt phẳng trong không gian $Oxyz$ .

Đối với 2 mặt phẳng song song hay trùng nhau thì góc giữa chúng sẽ là 0.

Đối với 2 mặt phẳng cắt nhau thì góc giữa chúng chính là góc giữa 2 đường thẳng vuông góc với 2 mặt phẳng đó, hay nói cách khác chính là góc giữa 2 vecto chỉ phương của 2 mặt phẳng đó.

Đối với 2 mặt phẳng cắt nhau có giao tuyến là đường thẳng $\Delta$ thì ta có thể tính góc giữa 2 mặt phẳng đó bằng cách kẻ 2 đường thẳng $a, b$ lần lượt nằm trong 2 mặt phẳng đó và đồng thời cả 2 đều vuông góc với đường thẳng $\Delta$ . Khi đó, góc giữa $a,b$ cũng chính là góc của 2 mặt phẳng đó.

Góc giữa 2 mặt phẳng cắt nhau theo giao tuyến $\Delta$

Lưu ý:

Góc giữa 2 mặt phẳng luôn là góc không tù $0 \leq \varphi \leq 90^o$ .
2 mặt phẳng vuông góc với nhau khi và chỉ khi góc giữa chúng là $90^o$ .

2. Cách tính góc giữa 2 mặt phẳng trong không gian

Để tính góc giữa 2 mặt phẳng trong không gian, ta chỉ cần tính góc không tù giữa 2 vecto pháp tuyến của 2 mặt phẳng đó.

Giả sử cho 2 mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ có phương trình lần lượt như sau:

\left\{\begin{matrix} (P): a_1x+b_1y+c_1z+d_1=0\\ (Q): a_2x+b_2y+c_2z+d_2=0 \end{matrix}\right.

Khi đó, ta sẽ tính cosin góc giữa 2 mặt phẳng $(P),(Q)$ bằng công thức sau:

Công thức tính góc giữa 2 mặt phẳng trong không gian

cos \varphi = \frac{|\vec n_P .\vec n_Q|}{|\vec n_P|.|\vec n_Q|} = \frac {|a_1a_2+b_1b_2+c_1c_2|}{\sqrt{a_1^2+b_1^2+c_1^2} \sqrt {a_2^2+b_2^2+c_2^2}}

Trong đó:

\vec n_P=(a_1,b_1,c_1)

: VTPT của

(P)

\vec n_Q=(a_2,b_2,c_2)

: VTPT của

(Q)

Khi đã xác định được $cos \varphi$ thì việc tính góc $\varphi$ dễ như trở bàn tay.

Xem ví dụ sau đây:

Trong không gian Oxyz, cho 2 mặt phẳng

(P): x+2y+2z-5=0

và mặt phẳng

(Q): 3x-4y=1

. Tính góc giữa 2 mặt phẳng trên?

Gọi

\varphi

là góc giữa 2 mặt phẳng

(P),(Q)

. Khi đó:

cos \varphi = \frac{|\vec n_P .\vec n_Q|}{|\vec n_P|.|\vec n_Q|} = \frac {|a_1a_2+b_1b_2+c_1c_2|}{\sqrt{a_1^2+b_1^2+c_1^2} \sqrt {a_2^2+b_2^2+c_2^2}} =\frac {|1.3 +2.(-4)+2.0}{\sqrt {1^2+2^2+2^2} \sqrt{3^2+(-4)^2 +0^2}}=\frac{1}{3}

Vậy

\varphi =arccos\frac{1}{3}

3. Bài tập tính góc giữa 2 mặt phẳng trong không gian Oxyz

Thử sức ngay với những bài tập tính góc giữa 2 mặt phẳng trong không gian $Oxyz$ dưới đây để ghi nhớ kĩ hơn các kiến thức mà HocThatGioi vừa giới thiệu ở trên nhé!

Bài 1. Trong không gian Oxyz, cho 2 mặt phẳng $(P): 2x-y+z-2=0$ và mặt phẳng $(Q): 3x-4y=1$ . Tính góc giữa 2 mặt phẳng trên?

Bài 2. Trong không gian Oxyz, cho 2 mặt phẳng $(P): x-3y+z-1=0$ và mặt phẳng $(Q): 4x+y=0$ . Tính góc giữa 2 mặt phẳng trên?

Bài 3. Trong không gian Oxyz, cho 2 mặt phẳng $(P): 2x-5y=-2$ và mặt phẳng $(Q): 3z-4y=4$ . Tính góc giữa 2 mặt phẳng trên?

Bài 4. Trong không gian Oxyz, cho 2 mặt phẳng $(P): x=y$ và mặt phẳng $(Q): y=z$ . Tính góc giữa 2 mặt phẳng trên?

Bài 5. Trong không gian Oxyz, cho 2 mặt phẳng $(P): 3x+z+5=0$ và mặt phẳng $(Q): 3x=2z$ . Tính góc giữa 2 mặt phẳng trên?

Cảm ơn các bạn đã theo dõi bài viết của HocThatGioi về Cách tính góc giữa 2 mặt phẳng trong không gian Oxyz – bài tập áp dụng. Nếu các bạn thấy hay và bổ ích, hãy chia sẻ cho bạn bè của mình để cùng nhau học thật giỏi. Đừng quên để lại 1 like, 1 cmt dể tạo động lực cho HocThatGioi và giúp HocThatGioi ngày càng phát triển hơn nhé! Chúc các bạn học thật tốt!