Tổng hợp phép toán với vecto trong không gian Oxyz cực đầy đủ
Trong bài này, HocThatGioi sẽ chia sẻ với các bạn tổng hợp các phép toán với vecto trong không gian Oxyz từ tổng, hiệu, tích vô hướng, tích có hướng, tích của vecto với một số cho đến độ dài vecto, góc giữa 2 vecto và 2 vec to vuông góc với nhau. Cùng theo dõi ngay nhé!
1. Tổng của 2 vecto trong không gian Oxyz
Tổng của 2 vecto \vec a, \vec b trong không gian Oxyz là một vecto \vec c có các tọa độ như sau:
\vec c=\vec a+\vec b: \left\{\begin{matrix} x_c=x_a+x_b\\ y_c=y_a+y_b \\ z_c=z_a+z_b \end{matrix}\right.Ví dụ: Tổng của 2 vecto \vec a=(1,1,1), b(2,2,2) là vecto \vec c có tọa độ:
\vec c=\vec a+\vec b: \left\{\begin{matrix} x_c=x_a+x_b=3\\ y_c=y_a+y_b =3\\ z_c=z_a+z_b =3 \end{matrix}\right.Vậy \vec c=\vec a +\vec b=(3,3,3)
2. Hiệu của 2 vecto trong không gian Oxyz
Hiệu của 2 vecto \vec a, \vec b trong không gian Oxyz là một vecto \vec c có các tọa độ như sau:
\vec c =\vec a-\vec b : \left\{\begin{matrix} x_c=x_a-x_b\\ y_c=y_a-y_b \\ z_c=z_a- z_b \end{matrix}\right.Ví dụ: Hiệu của 2 vecto \vec a=(1,1,1), b(2,2,2) là vecto \c có tọa độ:
\vec c=\vec a-\vec b: \left\{\begin{matrix} x_c=x_a-x_b=-1\\ y_c=y_a-y_b =-1\\ z_c=z_a-z_b =-1 \end{matrix}\right.Vậy \vec c=\vec a +\vec b=(-1,-1,-1)
3. Tích của 1 số với vecto trong không gian
Tích của 1 số k khác 0 với vecto \vec a khác vecto \vec 0 là một vecto \vec b có tọa độ lần lượt là tích của k với tọa độ \vec a tương ứng.
\vec b=k. \vec a : \left\{\begin{matrix} x_b=k .x_a\\ y_b=k .y_a \\ z_b=k .z_a \end{matrix}\right.Lưu ý:
- \vec a song song với \vec b
- Tích của 0 với một vecto là 0 (0.\vec a=0).
- Tích của một số với một vecto 0 là vecto 0 (k.\vec 0=\vec 0).
Ví dụ: Cho k=2 và \vec a=(1,2,3). Khi đó \vec b=k. \vec a=(2.1,2.2,2.3)=(2,,4,6)
4. Tích vô hướng của 2 vecto
Tích vô hướng của 2 vecto là tổng của tích 2 tung độ, 2 hoành độ và 2 cao độ của 2 vecto đó.
\left\{\begin{matrix} \vec a =(x_a,y_a,z_a)\\ \vec b=(x _b, y_b,z_b) \\ \vec a.\vec b= x-a.x_b+y_a.y_b+z_a.z_b \end{matrix}\right.
Lưu ý: 2 vec to vuông góc với nhau khi và chỉ khi tích vô hướng của 2 vecto đó bằng 0.
Ví dụ:
Tích vô hướng của 2 vecto \vec a=(1,0,3) . \vec b=(2,1,-1) là:
\vec a .\vec b=1.2+0.1+3.(-1)=-1.
5. Tích có hướng của 2 vecto
Tích vô hướng của 2 vecto là 1 vecto vuông góc với cả 2 vecto đó, có tọa độ được xác định như sau:
[\vec a, \vec b]=\vec a \wedge \vec b=(\begin{vmatrix} y_a & z_a \\ y_b & z_b \\ \end{vmatrix}, -\begin{vmatrix} x_a & z_a \\ x_b & z_b \\ \end{vmatrix}, \begin{vmatrix} x_a & y_a \\ x_b & y_b \\ \end{vmatrix}) = (y_a.z_b-y_b.z_a, -(x_a.z_b-x_b.z_a), x_a.y_b-x_b.y_aVí dụ:
Tích có hướng của 2 vecto \vec a=(0,0,3) . \vec b=(0,1,-1) là:
[\vec a, \vec b]=(-3,0,0).6. Góc giữa 2 vecto
Góc \alpha giữa 2 vecto \vec a, \vec b trong không gian được tính theo công thức:
cos \alpha = \frac{\vec a .\vec b}{|\vec a|.|\vec b|}=\frac{x_a.x_b+y_a.y_b+z_a.z_b}{\sqrt{x_a^2+y_a^2+z_a^2}.\sqrt{x_b^2+y_b^2+z_b^2}}.
Ví dụ:
Góc giữa 2 vecto \vec a=(1,2,3) , \vec b(2,2,-2) là:
cos \alpha = \frac{\vec a .\vec b}{|\vec a|.|\vec b|}=\frac{x_a.x_b+y_a.y_b+z_a.z_b}{\sqrt{x_a^2+y_a^2+z_a^2}.\sqrt{x_b^2+y_b^2+z_b^2}}=\frac{1.2+2.2+3.(-2)}{ \sqrt{x_a^2+y_a^2+z_a^2}.\sqrt{x_b^2+y_b^2+c^2} }=0.
Vậy \alpha =90^o \Leftrightarrow \vec a \perp \vec b.
Cảm ơn các bạn đã theo dõi bài viết của HocThatGioi về Tổng hợp phép toán với vecto trong không gian Oxyz cực đầy đủ. Nếu các bạn thấy hay và bổ ích, hãy chia sẻ cho bạn bè của mình để cùng nhau học thật giỏi. Đừng quên để lại 1 like, 1 cmt dể tạo động lực cho HocThatGioi và giúp HocThatGioi ngày càng phát triển hơn nhé! Chúc các bạn học thật tốt!
