Cấp số cộng và cấp số nhân – định nghĩa, tính chất, công thức cực chi tiết
Trong bài này, HocThatGioi sẽ chia sẻ với các bạn về Cấp số cộng và cấp số nhân – định nghĩa, tính chất, công thức cực chi tiết, bài viết sẽ giúp các bạn nắm vững lại những kiến thức về cấp số cộng, cấp số nhân nhanh chóng và khoa học.
Trước khi học bài này, hãy đảm bảo bạn đã hiểu rõ các kiến thức về dãy số, nếu chưa thì có thể tham khảo bài viết Lý thuyết về dãy số cực chi tiết của HocThatGioi ngay nhé! Cùng bắt đầu ngay nhé!
1. Cấp số cộng
Dưới đây là định nghĩa và các tính chất cực quan trọng của cấp số cộng mà bạn không thể không nắm.
1.1 Định nghĩa cấp số cộng
Cấp số cộng là một dãy số được xác định như sau:
\left\{\begin{matrix} u_1=a\\ u_n=u_{n-1}+d \end{matrix}\right.
Trong đó:
- n \in N^{\ast}
- d gọi là công sai
Để xác định một cấp số cộng, ta cần xác định số hạng đầu và công sai. Do đó, ta thường biểu diễn giả thiết của bài toán qua u_1 và d
Ví dụ: Cấp số cộng với \left\{\begin{matrix} u_1=2\\ u_n=u_{n-1}+2 \end{matrix}\right.
1.2 Tính chất cấp số cộng
Với cấp số cộng như trên thì ta sẽ có các tính chất nổi bật sau:
- Công thức tính số hạng thứ n của cấp số cộng: u_n=u_1+(n-1).d
- Với mọi 3 số hạng liên tiếp của cấp số cộng thì u_k=\frac{u_{k-1}+u_{k+1}}{2}. (Đây cũng là tiêu chí để chứng minh một dãy số là cấp số cộng
- Công thức tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng: S_n=u_1+u_2+...+u_n=\frac{n.(u_1+u_n)}{2}=n.\frac{2u_1+(n-1).d}{2}
2. Cấp số nhân
Dưới đây là định nghĩa và các tính chất quan trọng của cấp số nhân cần phải lưu ý.
2.1 Định nghĩa cấp số nhân
Cấp số nhân là một dãy số được xác định như sau:
\left\{\begin{matrix} u_1=a\\ u_n=u_{n-1}.q \end{matrix}\right.Trong đó:
- n \in N^{\ast}
- q gọi là công sai
Để xác định một cấp số nhân, ta cần xác định số hạng đầu và công bội. Do đó, ta thường biểu diễn giả thiết của bài toán qua u_1 và q
Ví dụ: Cấp số nhân \left\{\begin{matrix} u_1=2\\ u_n=2.u_{n-1}\end{matrix}\right.
2.2 Tính chất cấp số nhân
Với một cấp số nhân, ta sẽ có các tính chất cần lưu ý sau:
- Công thức để tính số hạng thứ n của cấp số nhân u_n=u_1.q^{n-1}.
- Với mọi 3 số hạng liên tiếp của cấp số nhân thì: u_n^2=u_{n-1}.u_{n+1}. (Đây cũng là tiêu chí để chứng minh một dãy số là cấp số nhân
- Công thức tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân: S_n=u_1+u_2+...+u_n=u_1. \frac{q^n-1}{q-1}
2.3 Cấp số nhân lùi vô hạn
Cấp số nhân lùi vô hạn là một cấp số nhân trong đó công bội q thỏa mãn |q| <1.
Khi đó, Công thức tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn:
S_n=u_1+u_2+...u_n=\frac{u1}{1-q}Cảm ơn các bạn đã theo dõi bài viết của HocThatGioi về Cấp số cộng và cấp số nhân – định nghĩa, tính chất, công thức cực chi tiết. Nếu các bạn thấy hay và bổ ích, hãy chia sẻ cho bạn bè của mình để cùng nhau học thật giỏi. Đừng quên để lại 1 like, 1 cmt dể tạo động lực cho HocThatGioi và giúp HocThatGioi ngày càng phát triển hơn nhé! Chúc các bạn học thật tốt!
