Bất phương trình bậc nhất hai ẩn – Lý thuyết và bài tập SGK có đáp án đầy đủ chi tiết nhất
Bất phương trình bậc nhất hai ẩn là một trong những kiến thức tuy cơ bản nhưng được áp dụng trong nhiều bài toán khác nhau, thường xuất hiện trong các bài kiểm tra cũng như các kì thi quan trọng như cuối học kì hay thỉnh thoảng cũng xuất hiện trong các kì thi THPT. Biết được điều đó, hôm nay HocThatGioi sẽ gửi đến các bạn bài viết Bất phương trình bậc nhất hai ẩn – Lý thuyết và bài tập SGK có đáp án đầy đủ chi tiết nhất để bạn đọc có thể nắm vững kiến thức này nhé! Khám phá ngay thôi!
I. Lý thuyết bất phương trình bậc nhất hai ẩn
1. Định nghĩa
Bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y có dạng tổng quát là ax + by ≤ c (1) (ax + by < c; ax + by ≥ c; ax + by > c)
Trong đó a, b, c là những số thực đã cho, a và b không đồng thời bằng 0, x và y là các ẩn số.
Cặp số (x_0;y_0) sao cho ax_0+by_0≤c là một bất đẳng thức đúng được gọi là một nghiệm của bất phương trình ax+by≤c.
2. Miền nghiệm
2.1 Định nghĩa
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp các điểm có tọa độ là nghiệm bất phương trình (1) được gọi là miền nghiệm của nó.
2.2 Định lí
Đường thẳng ax+by=c(d) chia mặt phẳng tọa độ thành hai nửa mặt phẳng bờ là (d). Một trong hai nửa mặt phẳng đó (kể cả bờ) là miền nghiệm của bất phương trình ax+by≤c. Nửa mặt phẳng còn lại là miền nghiệm của bất phương trình ax+by≥c
2.3 Biểu diễn miền nghiệm
Cũng như bất phương trình bậc nhất một ẩn, các bất phương trình bậc nhất hai ẩn thường có vô số nghiệm và để mô tả tập nghiệm của chúng, ta sử dụng phương pháp biểu diễn hình học.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp các điểm có tọa độ là nghiệm của bất phương trình (1) được gọi là miền nghiệm của nó.
Từ đó ta có quy tắc thực hành biểu diễn hình học tập nghiệm (hay biểu diễn miền nghiệm) của bất phương trình ax + by ≤ c như sau (tương tự cho bất phương trình ax + by ≥ c)
- Bước 1. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, vẽ đường thẳng \Delta : ax + by = c.
- Bước 2. Lấy một điểm M_0(x_0; y_0) không thuộc \Delta (ta thường lấy gốc tọa độ )
- Bước 3. Tính ax_0 + by_0 và so sánh ax_0 + by_0 với c.
- Bước 4. Kết luận
- Nếu ax_0 + by_0 < c thì nửa mặt phẳng bờ \Delta chứa M_0 là miền nghiệm của ax_0 + by_0 ≤ c
- Nếu ax_0 + by_0 > c thì nửa mặt phẳng bờ \Delta không chứa M_0 là miền nghiệm của ax_0 + by_0 ≤ c
Ví dụ:
Vẽ đường thẳng \Delta : 2x + y = 3
Lấy gốc tọa độ O(0;0) ta thấy O \notin \Delta và có 2.0 + 0 < 3 nên nửa mặt phẳng bờ \Delta chứa gốc tọa độ O là miền nghiệm của bất phương trình đã cho (miền không bị tô đậm trong hình).
3. Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn
Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn gồm một số bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y mà ta phải tìm các nghiệm chung của chúng. Mỗi nghiệm chung đó được gọi là một nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.
Cũng như bất phương trình bậc nhất hai ẩn, ta có thể biểu diễn hình học tập nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
Ví dụ:
\left\{\begin{matrix} & 3x+y\leq 6\\ & x+y\leq 4\\ & x\geqslant 0\\ & y\geqslant 0 \end{matrix}\right.
Vẽ các đường thẳng
d1: 3x + y = 6
d2: x + y = 4
d3: x = 0 (Oy)
d4: y = 0 (Ox)
Vì điểm M_0 (1;1) có tọa độ thỏa mãn tất cả các bất phương trình trong hệ trên nên ta tô đậm các nửa mặt phẳng bờ (d1), (d2), (d3), (d4) không chứa điểm M0. Miền không bị tô đậm (hình tứ giác OCIA kể cả bốn cạnh AI, IC, CO, OA trong hình vẽ là miền nghiệm của hệ đã cho.
=> Xem thêm Bất phương trình và hệ bất phương trình một ẩn – Lý thuyết và bài tập SGK có đáp án
II. Giải bài tập SGK bất phương trình bậc nhất hai ẩn
Trả lời câu hỏi trang 96
Vẽ đường thẳng (d): -3x + 2y = 0
Lấy điểm A(1; 1), ta thấy A \notin (d) và có: -3.1 + 2.1 < 0 nên nửa mặt phẳng bờ (d) không chưá A là miền nghiệm của bất phương trình. (miền hình không bị tô đậm)
Trả lời câu hỏi trang 97
\left\{\begin{matrix} & 2x-y\leqslant 3\\ & 2x+5y\leqslant 12x+8 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} & 2x-y\leqslant 3\\ & -2x+y\leqslant \frac{8}{5} \end{matrix}\right.
Vẽ các đường thẳng:
(d1): 2x – y = 3 hay y = 2x – 3
(d2): -10x + 5y = 8 hay 5y = 10x + 8
Lấy điểm O(0;0), ta thấy O không thuộc cả 2 đường thẳng trên và 2.0-0 ≤ 3 và – 10.0 + 5.0 ≤ 8 nên phần được giới hạn bởi 2 đường thẳng trên chứa điểm O( phần ko tô đậm) là nghiệm của hệ bất phương trình.
Bài 1 trang 99
a) -x + 2 + 2(y – 2) < 2(1 – x)
b) 3(x – 1) + 4(y – 2) < 5x – 3
Bài 2 trang 99
a) \left\{\begin{matrix} & x-2y-2\\ & y-x<3 \end{matrix}\right.
b) \left\{\begin{matrix} & \frac{x}{3}+\frac{y}{2}-1< 0\\ & x+\frac{1}{2}+\frac{3y}{2}\leqslant 2\\ & x\geqslant 0 \end{matrix}\right.
Trên đây là toàn bộ bài viết của HocThatGioi về Bất phương trình bậc nhất hai ẩn – Lý thuyết và bài tập SGK có đáp án đầy đủ chi tiết nhất. Nếu thấy bài viết bổ ích, hãy chia sẽ bài viết này cho bạn bè để cùng nhau học thật giỏi nhé! Chúc các bạn học tốt!
