SGK Toán 10 - Chân Trời Sáng Tạo
Giải SGK bài 4 chương VI trang 120, 121, 122, 123, 124, 125 Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1
Trong bài này, HocThatGioi sẽ giúp các bạn giải đáp những câu hỏi cũng như bài tập trong bài Các số đặc trưng đo mức độ phân tán của mẫu số liệu. Đây là bài học thuộc bài 4 chương VI trang 120, 121, 122, 123, 124, 125 sách Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1. Hi vọng các bạn có thể hiểu được trọn vẹn bài học sau khi xem hết các phương pháp giải và lời giải cực chi tiết mà HocThatGioi trình bày bên dưới.
Trả lời câu hỏi trong SGK bài Các số đặc trưng đo mức độ phân tán của mẫu số liệu
Dưới đây là phương pháp và bài giải chi tiết cho câu hỏi hoạt động khởi động, khám phá, vận dụng cùng phần thực hành ở các trang 120, 121, 122, 123, 124 trong bài Các số đặc trưng đo mức độ phân tán của mẫu số liệu. Cùng HocThatGioi đi tìm đáp án ngay nhé!
Hoạt động khởi động trang 120
Lời giải chi tiết:
Nếu so sánh nhiệt độ trung bình thì 2 địa phương đều có thời tiết ôn hòa dễ chịu. Tuy nhiên so sánh sự chênh lệch nhiệt độ giữa các tháng thì Lâm Đồng có thời tiết ôn hòa hơn do tháng thấp nhất là khoảng $15$ độ (cao hơn Lai Châu) và sự chênh lệch nhiệt độ giữa các tháng không lớn (khoảng $4$ độ C).
Nếu so sánh nhiệt độ trung bình thì 2 địa phương đều có thời tiết ôn hòa dễ chịu. Tuy nhiên so sánh sự chênh lệch nhiệt độ giữa các tháng thì Lâm Đồng có thời tiết ôn hòa hơn do tháng thấp nhất là khoảng $15$ độ (cao hơn Lai Châu) và sự chênh lệch nhiệt độ giữa các tháng không lớn (khoảng $4$ độ C).
Hoạt động khám phá 1 trang 120
Thời gian hoàn thành bài chạy $5$ km (tính theo phút) của hai nhóm thanh niên được cho ở bảng sau:
a) Hãy tính độ chênh lệch giữa thời gian chạy của người nhanh nhất và người chậm nhất trong từng nhóm.
b) Nhóm nào có thành tích chạy đồng đều hơn?
a) Hãy tính độ chênh lệch giữa thời gian chạy của người nhanh nhất và người chậm nhất trong từng nhóm.
b) Nhóm nào có thành tích chạy đồng đều hơn?
Lời giải chi tiết:
a) Độ chênh lệch giữa thời gian chạy của người nhanh nhất và người chậm nhất trong nhóm 1 là:
$$47-17=30 \text { (phút) }$$
Độ chênh lệch giữa thời gian chạy của người nhanh nhất và người chậm nhất trong nhóm 2 là:
$$32-29=3 \text { (phút) }$$
b) Dễ thấy: nhóm 2 có thành tích chạy đồng đều hơn.
a) Độ chênh lệch giữa thời gian chạy của người nhanh nhất và người chậm nhất trong nhóm 1 là:
$$47-17=30 \text { (phút) }$$
Độ chênh lệch giữa thời gian chạy của người nhanh nhất và người chậm nhất trong nhóm 2 là:
$$32-29=3 \text { (phút) }$$
b) Dễ thấy: nhóm 2 có thành tích chạy đồng đều hơn.
Thực hành 1 trang 121
Hãy tìm khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị của các mẫu số liệu sau:
a) $10 ; 13 ; 15 ; 2 ; 10 ; 19 ; 2 ; 5 ; 7$
b) $15 ; 19 ; 10 ; 5 ; 9 ; 10 ; 1 ; 2 ; 5 ; 15$
a) $10 ; 13 ; 15 ; 2 ; 10 ; 19 ; 2 ; 5 ; 7$
b) $15 ; 19 ; 10 ; 5 ; 9 ; 10 ; 1 ; 2 ; 5 ; 15$
Phương pháp giải:
Cho mẫu số liệu: $x_1, x_2, \ldots, x_n$
Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm: $X_1, X_2, \ldots, X_n$
+) Khoảng biến thiên: $R=X_n-X_1$
+) Tứ phân vị: $Q_1, Q_2, Q_3$
Bước 1: Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm: $X_1, X_2, \ldots, X_n$
Bước 2: $Q_2=M_e= \begin{cases}X_{k+1} & (n=2 k+1) \\ \frac{1}{2}\left(X_k+X_{k+1}\right) & (n=2 k)\end{cases}$
$Q_1$ là trung vị của nửa số liệu đã sắp xếp bên trái $Q_2$ (không bao gồm $Q_2$ nếu n lẻ)
$Q_3$ là trung vị của nửa số liệu đã sắp xếp bên phải $Q_2$ (không bao gồm $Q_2$ nếu n lẻ)
Khoảng tứ phân vị: $\Delta_Q=Q_3-Q_1$
Cho mẫu số liệu: $x_1, x_2, \ldots, x_n$
Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm: $X_1, X_2, \ldots, X_n$
+) Khoảng biến thiên: $R=X_n-X_1$
+) Tứ phân vị: $Q_1, Q_2, Q_3$
Bước 1: Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm: $X_1, X_2, \ldots, X_n$
Bước 2: $Q_2=M_e= \begin{cases}X_{k+1} & (n=2 k+1) \\ \frac{1}{2}\left(X_k+X_{k+1}\right) & (n=2 k)\end{cases}$
$Q_1$ là trung vị của nửa số liệu đã sắp xếp bên trái $Q_2$ (không bao gồm $Q_2$ nếu n lẻ)
$Q_3$ là trung vị của nửa số liệu đã sắp xếp bên phải $Q_2$ (không bao gồm $Q_2$ nếu n lẻ)
Khoảng tứ phân vị: $\Delta_Q=Q_3-Q_1$
Lời giải chi tiết:
a) Xét mẫu số liệu đã sắp xếp là: $2 ; 2 ; 5 ; 7 ; 10 ; 10 ; 13 ; 15 ; 19$
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu là: $R=19-2=17$.
Cỡ mẫu là $n=9$ là số lẻ nên giá trị tứ phân vị thứ hai là: $Q_2=10$.
Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: $2 ; 2 ; 5 ; 7$. Do đó $Q_1=3,5$
Tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu: $10 ; 13 ; 15 ; 19$. Do đó $Q_3=14$
Khoảng tứ phân vị của mẫu là: $\Delta_Q=14-3,5=10,5$
b) Xét mẫu số liệu đã sắp xếp là: $1 ; 2 ; 5 ; 5 ; 9 ; 10 ; 10 ; 15 ; 15 ; 19$
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu là: $R=19-1=18$.
Cỡ mẫu là $n=10$ là số chẵn nên giá trị tứ phân vị thứ hai là: $Q_2=9,5$.
Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: $1 ; 2 ; 5 ; 5 ; 9$. Do đó $Q_1=5$.
Tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu: $10 ; 10 ; 15 ; 15 ; 19$. Do đó $Q_3=15$
Khoảng tứ phân vị của mẫu là: $\Delta_Q=15-5=10$
a) Xét mẫu số liệu đã sắp xếp là: $2 ; 2 ; 5 ; 7 ; 10 ; 10 ; 13 ; 15 ; 19$
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu là: $R=19-2=17$.
Cỡ mẫu là $n=9$ là số lẻ nên giá trị tứ phân vị thứ hai là: $Q_2=10$.
Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: $2 ; 2 ; 5 ; 7$. Do đó $Q_1=3,5$
Tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu: $10 ; 13 ; 15 ; 19$. Do đó $Q_3=14$
Khoảng tứ phân vị của mẫu là: $\Delta_Q=14-3,5=10,5$
b) Xét mẫu số liệu đã sắp xếp là: $1 ; 2 ; 5 ; 5 ; 9 ; 10 ; 10 ; 15 ; 15 ; 19$
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu là: $R=19-1=18$.
Cỡ mẫu là $n=10$ là số chẵn nên giá trị tứ phân vị thứ hai là: $Q_2=9,5$.
Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: $1 ; 2 ; 5 ; 5 ; 9$. Do đó $Q_1=5$.
Tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu: $10 ; 10 ; 15 ; 15 ; 19$. Do đó $Q_3=15$
Khoảng tứ phân vị của mẫu là: $\Delta_Q=15-5=10$
Vận dụng 1 trang 121
Dưới đây là bảng số liệu thống kê của Biểu đồ nhiệt trung bình các tháng trong 2019 của hai tình Lai Châu và Lâm Đồng (được đề cập đến ở hoạt động khởi động của bài học)
a) Hãy tìm khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị của nhiệt độ trung bình mỗi tháng của tỉnh Lai Châu và Lâm đồng.
b) Hãy cho biết trong một năm, nhiệt độ ở địa phương nào ít thay đổi hơn.
a) Hãy tìm khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị của nhiệt độ trung bình mỗi tháng của tỉnh Lai Châu và Lâm đồng.
b) Hãy cho biết trong một năm, nhiệt độ ở địa phương nào ít thay đổi hơn.
Phương pháp giải:
Cho mẫu số liệu: $x_1, x_2, \ldots, x_n$
Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm: $X_1, X_2, \ldots, X_n$
+) Khoảng biến thiên: $R=X_n-X_1$
+) Tứ phân vị: $Q_1, Q_2, Q_3$
Bước 1: Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm: $X_1, X_2, \ldots, X_n$
Bước 2: $Q_2=M_e= \begin{cases}X_{k+1} & (n=2 k+1) \\ \frac{1}{2}\left(X_k+X_{k+1}\right) & (n=2 k)\end{cases}$
$Q_1$ là trung vị của nửa số liệu đã sắp xếp bên trái $Q_2$ (không bao gồm $Q_2$ nếu n lẻ)
$Q_3$ là trung vị của nửa số liệu đã sắp xếp bên phải $Q_2$ (không bao gồm $Q_2$ nếu n lẻ)
Khoảng tứ phân vị: $\Delta_Q=Q_3-Q_1$
b) So sánh khoảng biến thiên
Cho mẫu số liệu: $x_1, x_2, \ldots, x_n$
Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm: $X_1, X_2, \ldots, X_n$
+) Khoảng biến thiên: $R=X_n-X_1$
+) Tứ phân vị: $Q_1, Q_2, Q_3$
Bước 1: Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm: $X_1, X_2, \ldots, X_n$
Bước 2: $Q_2=M_e= \begin{cases}X_{k+1} & (n=2 k+1) \\ \frac{1}{2}\left(X_k+X_{k+1}\right) & (n=2 k)\end{cases}$
$Q_1$ là trung vị của nửa số liệu đã sắp xếp bên trái $Q_2$ (không bao gồm $Q_2$ nếu n lẻ)
$Q_3$ là trung vị của nửa số liệu đã sắp xếp bên phải $Q_2$ (không bao gồm $Q_2$ nếu n lẻ)
Khoảng tứ phân vị: $\Delta_Q=Q_3-Q_1$
b) So sánh khoảng biến thiên
Lời giải chi tiết:
a)
+) Tỉnh Lai Châu: Xét mẫu số liệu đã sắp xếp là:
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu là: $R=24,7-14,2=10,5$.
Cỡ mẫu là $n=12$ là số chẵn nên giá trị tứ phân vị thứ hai là: $Q_2=21,85$.
Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu:
Do đó $Q_1=18,7$.
Tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu:
Do đó $Q_3=23,9$
Khoảng tứ phân vị của mẫu là: $\Delta_Q=23,9-18,7=5,2$
+) Tỉnh Lâm Đồng: Xét mẫu số liệu đã sắp xếp là:
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu là: $R=20,3-16,0=4,3$.
Cỡ mẫu là $n=12$ là số chẵn nên giá trị tứ phân vị thứ hai là: $Q_2=18,65$.
Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu:
Do đó $Q_1=17,45$.
Tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu:
Do đó $Q_3=19,65$
Khoảng tứ phân vị của mẫu là: $\Delta_Q=19,65-17,45=2,2$
a)
+) Tỉnh Lai Châu: Xét mẫu số liệu đã sắp xếp là:
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu là: $R=24,7-14,2=10,5$.
Cỡ mẫu là $n=12$ là số chẵn nên giá trị tứ phân vị thứ hai là: $Q_2=21,85$.
Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu:
Do đó $Q_1=18,7$.
Tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu:
Do đó $Q_3=23,9$
Khoảng tứ phân vị của mẫu là: $\Delta_Q=23,9-18,7=5,2$
+) Tỉnh Lâm Đồng: Xét mẫu số liệu đã sắp xếp là:
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu là: $R=20,3-16,0=4,3$.
Cỡ mẫu là $n=12$ là số chẵn nên giá trị tứ phân vị thứ hai là: $Q_2=18,65$.
Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu:
Do đó $Q_1=17,45$.
Tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu:
Do đó $Q_3=19,65$
Khoảng tứ phân vị của mẫu là: $\Delta_Q=19,65-17,45=2,2$
Thực hành 2 trang 122
Hãy tìm giá trị ngoại lệ của mẫu số liệu: $37; 12; 3; 9; 10; 9; 12; 3; 10.$
Phương pháp giải:
Bước 1: Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm: $X_1, X_2, \ldots, X_n$
Bước 2: $Q_2=M_e= \begin{cases}X_{k+1} & (n=2 k+1) \\ \frac{1}{2}\left(X_k+X_{k+1}\right) & (n=2 k)\end{cases}$
$Q_1$ là trung vị của nửa số liệu đã sắp xếp bên trái $Q_2$ (không bao gồm $Q_2$ nếu n lẻ)
$Q_3$ là trung vị của nửa số liệu đã sắp xếp bên phải $Q_2$ (không bao gồm $Q_2$ nếu n lẻ)
Khoảng tứ phân vị: $\Delta_Q=Q_3-Q_1$
Bước 3: Tìm x trong mẫu sao cho $x>Q_3+1,5 \Delta_Q$ hoặc $x \lt Q_1-1,5 \Delta_Q$
Bước 1: Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm: $X_1, X_2, \ldots, X_n$
Bước 2: $Q_2=M_e= \begin{cases}X_{k+1} & (n=2 k+1) \\ \frac{1}{2}\left(X_k+X_{k+1}\right) & (n=2 k)\end{cases}$
$Q_1$ là trung vị của nửa số liệu đã sắp xếp bên trái $Q_2$ (không bao gồm $Q_2$ nếu n lẻ)
$Q_3$ là trung vị của nửa số liệu đã sắp xếp bên phải $Q_2$ (không bao gồm $Q_2$ nếu n lẻ)
Khoảng tứ phân vị: $\Delta_Q=Q_3-Q_1$
Bước 3: Tìm x trong mẫu sao cho $x>Q_3+1,5 \Delta_Q$ hoặc $x \lt Q_1-1,5 \Delta_Q$
Lời giải chi tiết:
Xét mẫu số liệu đã sắp xếp là:
$3 ; 3 ; 9 ; 9 ; 10 ; 10 ; 12 ; 12 ; 37$.
Cỡ mẫu là $n=9$ là số lẻ nên giá trị tứ phân vị thứ hai là: $Q_2=10$.
Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: $3 ; 3 ; 9 ; 9$. Do đó $Q_1=6$.
Tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu: $10 ; 12 ; 12 ; 37$. Do đó $Q_3=12$
Khoảng tứ phân vị của mẫu là: $\Delta_Q=12-6=6$
Giá trị ngoại lệ $x$ thỏa mãn $x>12+1,5.6=21$ hoặc $x<6-1,5.6=-3$.
Vậy giá trị ngoại lệ của mẫu số liệu đó là $37$
Xét mẫu số liệu đã sắp xếp là:
$3 ; 3 ; 9 ; 9 ; 10 ; 10 ; 12 ; 12 ; 37$.
Cỡ mẫu là $n=9$ là số lẻ nên giá trị tứ phân vị thứ hai là: $Q_2=10$.
Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: $3 ; 3 ; 9 ; 9$. Do đó $Q_1=6$.
Tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu: $10 ; 12 ; 12 ; 37$. Do đó $Q_3=12$
Khoảng tứ phân vị của mẫu là: $\Delta_Q=12-6=6$
Giá trị ngoại lệ $x$ thỏa mãn $x>12+1,5.6=21$ hoặc $x<6-1,5.6=-3$.
Vậy giá trị ngoại lệ của mẫu số liệu đó là $37$
Hoạt động khám phá 2 trang 122
Hai cung thủ $A$ và $B$ đã ghi lại kết quả từng lần bắn của mình ở bảng sau:
a) Tính kết quả trung bình của mỗi cung thủ trên
b) Cung thủ nào có kết quả các lần bắn ổn định hơn?
a) Tính kết quả trung bình của mỗi cung thủ trên
b) Cung thủ nào có kết quả các lần bắn ổn định hơn?
Lời giải chi tiết:
a) Kết quả trung bình của Cung thủ A là:
$$\frac{8+9+10+7+6+10+6+7+9+8}{10}=8$$
Kết quả trung bình của Cung thủ A là:
$$\frac{10+6+8+7+9+9+8+7+8+8}{10}=8$$
b)
+) Khoảng biến thiên số điểm của cung thủ A là: $R=10-6=4$
Xét mẫu số liệu đã sắp xếp là:
Cỡ mẫu là $n=10$ là số chẳn nên giá trị tứ phân vị thứ hai là: $Q_2=8$.
Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: $6,6,7,7,8$. Do đó $Q_1=7$.
Tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu: $8,9,9,10,10$. Do đó $Q_3=9$
Khoảng tứ phân vị của mẫu là: $\Delta_Q=9-7=2$
+) Khoảng biến thiên số điểm của cung thủ $\mathrm{A}$ là: $R=10-6=4$
Xét mầu số liệu đã sắp xếp là:
Cỡ mẫu là $n=10$ là số chẳn nên giá trị tứ phân vị thứ hai là: $Q_2=8$.
Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: $6,6,7,7,8$. Do đó $Q_1=7$.
Tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu: $8,9,9,10,10$. Do đó $Q_3=9$
Khoảng tứ phân vị của mẫu là: $\Delta_Q=9-7=2$
=> Nếu so sánh khoảng chênh lệch và khoảng tứ phân vị thì không xác định được kết quả của cung thủ nào ổn định hơn.
a) Kết quả trung bình của Cung thủ A là:
$$\frac{8+9+10+7+6+10+6+7+9+8}{10}=8$$
Kết quả trung bình của Cung thủ A là:
$$\frac{10+6+8+7+9+9+8+7+8+8}{10}=8$$
b)
+) Khoảng biến thiên số điểm của cung thủ A là: $R=10-6=4$
Xét mẫu số liệu đã sắp xếp là:
Cỡ mẫu là $n=10$ là số chẳn nên giá trị tứ phân vị thứ hai là: $Q_2=8$.
Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: $6,6,7,7,8$. Do đó $Q_1=7$.
Tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu: $8,9,9,10,10$. Do đó $Q_3=9$
Khoảng tứ phân vị của mẫu là: $\Delta_Q=9-7=2$
+) Khoảng biến thiên số điểm của cung thủ $\mathrm{A}$ là: $R=10-6=4$
Xét mầu số liệu đã sắp xếp là:
Cỡ mẫu là $n=10$ là số chẳn nên giá trị tứ phân vị thứ hai là: $Q_2=8$.
Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: $6,6,7,7,8$. Do đó $Q_1=7$.
Tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu: $8,9,9,10,10$. Do đó $Q_3=9$
Khoảng tứ phân vị của mẫu là: $\Delta_Q=9-7=2$
=> Nếu so sánh khoảng chênh lệch và khoảng tứ phân vị thì không xác định được kết quả của cung thủ nào ổn định hơn.
Vận dụng 2 trang 124
Bảng dưới đây thống kê tổng số giờ nắng trong năm 2019 theo từng tháng được đo bởi hai trạm quan sát khí tượng đặt ở Tuyên Quang và Cà Mau.
a) Hãy tính phương sai và độ lệch chuẩn của dữ liệu từng tỉnh.
b) Nêu nhận xét về sự thay đổi tổng số giờ nắng theo từng tháng ở mỗi tỉnh.
a) Hãy tính phương sai và độ lệch chuẩn của dữ liệu từng tỉnh.
b) Nêu nhận xét về sự thay đổi tổng số giờ nắng theo từng tháng ở mỗi tỉnh.
Phương pháp giải:
Cho mẫu số liệu $x_1, x_2, \ldots, x_n$.
Bước 1. Tính số trung bình $\bar{x}=\frac{x_1+x_2+\ldots+x_n}{n}$
Bước 2:
+) Tính phương sai
hoặc $S^2=\frac{1}{n}\left(x_1^2+x_2^2+\ldots+x_n^2\right)-\bar{x}^2$
+) Độ lệch chuẩn $S=\sqrt{S^2}$
Cho mẫu số liệu $x_1, x_2, \ldots, x_n$.
Bước 1. Tính số trung bình $\bar{x}=\frac{x_1+x_2+\ldots+x_n}{n}$
Bước 2:
+) Tính phương sai
hoặc $S^2=\frac{1}{n}\left(x_1^2+x_2^2+\ldots+x_n^2\right)-\bar{x}^2$+) Độ lệch chuẩn $S=\sqrt{S^2}$
Lời giải chi tiết:
+) Tuyên Quang:
Số giờ nắng trung bình:
Phương sai: $S^2=\frac{1}{12}\left(25^2+89^2+\ldots+145^2\right)-131,67^2 \approx 2921,2$
Độ lệch chuẩn $S=\sqrt{2921,2} \approx 54$
+) Cà Mau:
Số giờ nắng trung bình:
Phương sai:
Độ lệch chuẩn $S=\sqrt{2183}=46,7$
=> Nhận xét: ở Tuyên Quang tổng số giờ nắng theo từng tháng thay đổi nhiều hơn so với ở Cà Mau.
+) Tuyên Quang:
Số giờ nắng trung bình:
Phương sai: $S^2=\frac{1}{12}\left(25^2+89^2+\ldots+145^2\right)-131,67^2 \approx 2921,2$
Độ lệch chuẩn $S=\sqrt{2921,2} \approx 54$
+) Cà Mau:
Số giờ nắng trung bình:
Phương sai:
Độ lệch chuẩn $S=\sqrt{2183}=46,7$
=> Nhận xét: ở Tuyên Quang tổng số giờ nắng theo từng tháng thay đổi nhiều hơn so với ở Cà Mau.
Giải bài tập SGK bài Các số đặc trưng đo mức độ phân tán của mẫu số liệu
Phần tiếp theo sẽ cung cấp cho các bạn phương pháp cùng lời giải trong phần bài tập trang 124, 125 cực kỳ dễ hiểu và chi tiết. Cùng HocThatGioi rèn luyện và nâng cao kỹ năng giải quyết các vấn đề thực tế thông qua các phương pháp, công thức toán học từ bài Các số đặc trưng đo mức độ phân tán của mẫu số liệu ở trên.
Bài tập 1 trang 124
Hãy chọn ngẫu nhiên trong lớp ra 5 bạn nam và 5 bạn nữ rồi do chiều cao các bạn đó. So sánh xem chiều cao của các bạn năm hay các bạn nữ đồng đều hơn.
Phương pháp giải:
Từ mẫu số liệu so sánh hai giá trị: Khoảng biến thiên hoặc khoảng tứ phân vị.
+ Nếu trong mẫu không có số liệu nào quá lớn hay quá nhỏ => so sánh khoảng biến thiên
+ Nếu trong mẫu có 1 số liệu quá lớn hoặc quá nhỏ => so sánh khoảng tứ phân vị.
Từ mẫu số liệu so sánh hai giá trị: Khoảng biến thiên hoặc khoảng tứ phân vị.
+ Nếu trong mẫu không có số liệu nào quá lớn hay quá nhỏ => so sánh khoảng biến thiên
+ Nếu trong mẫu có 1 số liệu quá lớn hoặc quá nhỏ => so sánh khoảng tứ phân vị.
Lời giải chi tiết:
+) Khoảng biến thiên chiều cao của các học sinh nam là: $176-164=12$
+) Tứ phân vị: $Q_1, Q_2, Q_3$
Bước 1: Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm: $164,168,170,172,176$
Bước 2: $n=5$, là số lẻ nên $Q_2=M_e=170$
$Q_1$ là trung vị của nửa số liệu 164,168 . Do đó $Q_1=\frac{1}{2}(164+168)=166$
$Q_3$ là trung vị của nửa số liệu 172,176 . Do đó $Q_3=\frac{1}{2}(172+176)=174$
Khoảng tứ phân vị $\Delta_Q=174-166=8$
+) Khoảng biến thiên chiều cao của các học sinh nữ là: $162-152=10$
+) Tứ phân vị: $Q_1, Q_2, Q_3$
Bước 1: Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm: $152, 155, 157, 160, 162$
Bước 2: $n=5$, là số lẻ nên $Q_2=M_e=157$
$Q_1$ là trung vị của nửa số liệu $152,155$ . Do đó $Q_1=\frac{1}{2}(152+155)=153,5$
$Q_3$ là trung vị của nửa số liệu $160,162$. Do đó $Q_3=\frac{1}{2}(160+162)=161$
Khoảng tứ phân vị $\Delta_Q=161-153,5=7,5$
Kết luận: So sánh khoảng biến thiên hay tứ phân vị thì theo mẫu số liệu trên, chiều cao của 5 bạn nữ là đồng đều hơn.
+) Khoảng biến thiên chiều cao của các học sinh nam là: $176-164=12$
+) Tứ phân vị: $Q_1, Q_2, Q_3$
Bước 1: Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm: $164,168,170,172,176$
Bước 2: $n=5$, là số lẻ nên $Q_2=M_e=170$
$Q_1$ là trung vị của nửa số liệu 164,168 . Do đó $Q_1=\frac{1}{2}(164+168)=166$
$Q_3$ là trung vị của nửa số liệu 172,176 . Do đó $Q_3=\frac{1}{2}(172+176)=174$
Khoảng tứ phân vị $\Delta_Q=174-166=8$
+) Khoảng biến thiên chiều cao của các học sinh nữ là: $162-152=10$
+) Tứ phân vị: $Q_1, Q_2, Q_3$
Bước 1: Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm: $152, 155, 157, 160, 162$
Bước 2: $n=5$, là số lẻ nên $Q_2=M_e=157$
$Q_1$ là trung vị của nửa số liệu $152,155$ . Do đó $Q_1=\frac{1}{2}(152+155)=153,5$
$Q_3$ là trung vị của nửa số liệu $160,162$. Do đó $Q_3=\frac{1}{2}(160+162)=161$
Khoảng tứ phân vị $\Delta_Q=161-153,5=7,5$
Kết luận: So sánh khoảng biến thiên hay tứ phân vị thì theo mẫu số liệu trên, chiều cao của 5 bạn nữ là đồng đều hơn.
Bài tập 2 trang 124
Hãy tìm độ lệch chuẩn, khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị và các giá trị ngoại lệ của các mẫu số liệu sau:
a) $6 ; 8 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 2 ; 4$.
b) $13 ; 37 ; 64 ; 12 ; 26 ; 43 ; 29 ; 23$.
a) $6 ; 8 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 2 ; 4$.
b) $13 ; 37 ; 64 ; 12 ; 26 ; 43 ; 29 ; 23$.
Phương pháp giải:
Cho mẫu số liệu $x_1, x_2, \ldots, x_n$.
+) Số trung bình $\bar{x}=\frac{x_1+x_2+\ldots+x_n}{n}$
+) Phương sai hoặc $S^2=\frac{1}{n}\left(x_1^2+x_2{ }^2+\ldots+x_n{ }^2\right)-\bar{x}^2$
=> Độ lệch chuẩn $S=\sqrt{S^2}$
Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm: $X_1, X_2, \ldots, X_n$
+) Khoảng biến thiên: $R=X_n-X_1$
Tứ phân vị: $Q_1, Q_2, Q_3$
Bước 1: Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm: $X_1, X_2, \ldots, X_n$
Bước 2: $Q_2=M_e=\left\{\begin{array}{lc}X_{k+1} & (n=2 k+1) \\ \frac{1}{2}\left(X_k+X_{k+1}\right) & (n=2 k)\end{array}\right.$
$Q_1$ là trung vị của nửa số liệu đã sắp xếp bên trái $Q_2$ (không bao gồm $Q_2$ nếu n lẻ)
$Q_3$ là trung vị của nửa số liệu đã sắp xếp bên phải $Q_2$ (không bao gồm $Q_2$ nếu n lẻ)
+) Khoảng tứ phân vị: $\Delta_Q=Q_3-Q_1$
+) x là giá trị ngoại lệ trong mẫu nếu $x>Q_3+1,5 \Delta_Q$ hoặc $x \lt Q_1-1,5 \Delta_Q$
Cho mẫu số liệu $x_1, x_2, \ldots, x_n$.
+) Số trung bình $\bar{x}=\frac{x_1+x_2+\ldots+x_n}{n}$
+) Phương sai
hoặc $S^2=\frac{1}{n}\left(x_1^2+x_2{ }^2+\ldots+x_n{ }^2\right)-\bar{x}^2$=> Độ lệch chuẩn $S=\sqrt{S^2}$
Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm: $X_1, X_2, \ldots, X_n$
+) Khoảng biến thiên: $R=X_n-X_1$
Tứ phân vị: $Q_1, Q_2, Q_3$
Bước 1: Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm: $X_1, X_2, \ldots, X_n$
Bước 2: $Q_2=M_e=\left\{\begin{array}{lc}X_{k+1} & (n=2 k+1) \\ \frac{1}{2}\left(X_k+X_{k+1}\right) & (n=2 k)\end{array}\right.$
$Q_1$ là trung vị của nửa số liệu đã sắp xếp bên trái $Q_2$ (không bao gồm $Q_2$ nếu n lẻ)
$Q_3$ là trung vị của nửa số liệu đã sắp xếp bên phải $Q_2$ (không bao gồm $Q_2$ nếu n lẻ)
+) Khoảng tứ phân vị: $\Delta_Q=Q_3-Q_1$
+) x là giá trị ngoại lệ trong mẫu nếu $x>Q_3+1,5 \Delta_Q$ hoặc $x \lt Q_1-1,5 \Delta_Q$
Lời giải chi tiết:
a)
+) Số trung bình $\bar{x}=\frac{6+8+3+4+5+6+7+2+4}{9}=5$
+) phương sai hoặc $S^2=\frac{1}{9}\left(6^2+8^2+\ldots+4^2\right)-5^2=\frac{10}{3}$
=> Độ lệch chuẩn $S=\sqrt{\frac{10}{3}} \approx 1,8$
Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm: $2 ; 3 ; 4 ; 4 ; 5 ; 6 ; 6 ; 7 ; 8$.
+) Khoảng biến thiên: $R=8-2=6$
Tứ phân vị: $Q_1, Q_2, Q_3$
$$Q_2=M_e=5$$
$Q_1$ là trung vị của nửa số liệu $2 ; 3 ; 4 ; 4$. Do đó $Q_1=3,5$
$Q_3$ là trung vị của nửa số liệu: $6 ; 6 ; 7 ; 8$. Do đó $Q_3=6,5$
+) Khoảng tứ phân vị: $\Delta_Q=6,5-3,5=3$
+) x là giá trị ngoại lệ trong mẫu nếu $x>6,5+1,5.3=11$ hoặc $x Độ lệch chuẩn $S \approx 16$
Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm: 12; 13; 23; 26; 29; 37; 43; 64 .
+) Khoảng biến thiên: $R=64-12=52$
Tứ phân vị: $Q_1, Q_2, Q_3$
$$Q_2=M_e=27,5$$
$Q_1$ là trung vị của nửa số liệu $12 ; 13 ; 23 ; 26$. Do đó $Q_1=18$
$Q_3$ là trung vị của nửa số liệu: $29 ; 37 ; 43 ; 64$. Do đó $Q_3=40$
+) Khoảng tứ phân vị: $\Delta_Q=40-18=22$
+) x là giá trị ngoại lệ trong mẫu nếu $x>40+1,5.22=73$ hoặc $x<18-1,5.22=-15$
Vậy không có giá trị ngoại lệ trong mẫu số liệu trên.
a)
+) Số trung bình $\bar{x}=\frac{6+8+3+4+5+6+7+2+4}{9}=5$
+) phương sai hoặc $S^2=\frac{1}{9}\left(6^2+8^2+\ldots+4^2\right)-5^2=\frac{10}{3}$
=> Độ lệch chuẩn $S=\sqrt{\frac{10}{3}} \approx 1,8$
Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm: $2 ; 3 ; 4 ; 4 ; 5 ; 6 ; 6 ; 7 ; 8$.
+) Khoảng biến thiên: $R=8-2=6$
Tứ phân vị: $Q_1, Q_2, Q_3$
$$Q_2=M_e=5$$
$Q_1$ là trung vị của nửa số liệu $2 ; 3 ; 4 ; 4$. Do đó $Q_1=3,5$
$Q_3$ là trung vị của nửa số liệu: $6 ; 6 ; 7 ; 8$. Do đó $Q_3=6,5$
+) Khoảng tứ phân vị: $\Delta_Q=6,5-3,5=3$
+) x là giá trị ngoại lệ trong mẫu nếu $x>6,5+1,5.3=11$ hoặc $x Độ lệch chuẩn $S \approx 16$
Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm: 12; 13; 23; 26; 29; 37; 43; 64 .
+) Khoảng biến thiên: $R=64-12=52$
Tứ phân vị: $Q_1, Q_2, Q_3$
$$Q_2=M_e=27,5$$
$Q_1$ là trung vị của nửa số liệu $12 ; 13 ; 23 ; 26$. Do đó $Q_1=18$
$Q_3$ là trung vị của nửa số liệu: $29 ; 37 ; 43 ; 64$. Do đó $Q_3=40$
+) Khoảng tứ phân vị: $\Delta_Q=40-18=22$
+) x là giá trị ngoại lệ trong mẫu nếu $x>40+1,5.22=73$ hoặc $x<18-1,5.22=-15$
Vậy không có giá trị ngoại lệ trong mẫu số liệu trên.
Bài tập 3 trang 125
Hãy tìm độ lệch chuẩn, khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị của các mẫu số liệu sau:
Phương pháp giải:
Cho bảng số liệu:
+) Số trung bình: $\bar{x}=\frac{x_1 \cdot f_1+x_2 \cdot f_2+\ldots+x_m \cdot f_m}{f_1+f_2+\ldots+f_m}$
+) Phương sai: S^2=\frac{1}{n}(f_1.x_1^2+f_2…x_2^2+…+f_n…x_n^2)-x^{-2}
> Độ lệch chuẩn $S=\sqrt{S^2}$
Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm: $X_1, X_2, \ldots, X_n$
+) Khoảng biến thiên: $R=X_n-X_1$
Tứ phân vị: $Q_1, Q_2, Q_3$
+) Khoảng tứ phân vị: $\Delta_Q=Q_3-Q_1$
Cho bảng số liệu:
+) Số trung bình: $\bar{x}=\frac{x_1 \cdot f_1+x_2 \cdot f_2+\ldots+x_m \cdot f_m}{f_1+f_2+\ldots+f_m}$
+) Phương sai: S^2=\frac{1}{n}(f_1.x_1^2+f_2…x_2^2+…+f_n…x_n^2)-x^{-2}
> Độ lệch chuẩn $S=\sqrt{S^2}$
Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm: $X_1, X_2, \ldots, X_n$
+) Khoảng biến thiên: $R=X_n-X_1$
Tứ phân vị: $Q_1, Q_2, Q_3$
+) Khoảng tứ phân vị: $\Delta_Q=Q_3-Q_1$
Lời giải chi tiết:
a)
+) Số trung bình $\bar{x}=\frac{-2 \cdot 10+(-1) \cdot 10+0.30+1 \cdot 20+2 \cdot 10}{10+20+30+20+10}=0$
+) Phương sai hoặc S^2=\frac{1}{90}\frac{\mathrm{(10.(-2)^2+10.(-1)^2+…+10.2^2)-0^2}}{\mathrm{3}}=4
=> Độ lệch chuẩn $S \approx 1,155$
+) Khoảng biến thiên: $R=2-(-2)=4$
Tứ phân vị: $Q_2=0 ; Q_1=-1 ; Q_3=1$
+) Khoảng tứ phân vị: $\Delta_Q=1-(-1)=2$
b) Giả sử cỡ mẫu $n=10$. Khi đó mẫu số liệu trở thành:
+) Số trung bình $\bar{x}=\frac{0.0,1+1.0,2+2.0,4+3.0,2+4.0,1}{0,1+0,2+0,4+0,2+0,1}=2$
+) Phương sai hoặc S^2=\frac{1}{1}.(0,1.0^2+0,2.1^2+…+0,1.4^2)-2^2=1,2
=> Độ lệch chuẩn $S \approx 1,1$
+) Khoảng biến thiên: $R=4-0=4$
Tứ phân vị: $Q_2=2 ; Q_1=1 ; Q_3=3$
+) Khoảng tứ phân vị: $\Delta_Q=3-1=2$
a)
+) Số trung bình $\bar{x}=\frac{-2 \cdot 10+(-1) \cdot 10+0.30+1 \cdot 20+2 \cdot 10}{10+20+30+20+10}=0$
+) Phương sai hoặc S^2=\frac{1}{90}\frac{\mathrm{(10.(-2)^2+10.(-1)^2+…+10.2^2)-0^2}}{\mathrm{3}}=4
=> Độ lệch chuẩn $S \approx 1,155$
+) Khoảng biến thiên: $R=2-(-2)=4$
Tứ phân vị: $Q_2=0 ; Q_1=-1 ; Q_3=1$
+) Khoảng tứ phân vị: $\Delta_Q=1-(-1)=2$
b) Giả sử cỡ mẫu $n=10$. Khi đó mẫu số liệu trở thành:
+) Số trung bình $\bar{x}=\frac{0.0,1+1.0,2+2.0,4+3.0,2+4.0,1}{0,1+0,2+0,4+0,2+0,1}=2$
+) Phương sai hoặc S^2=\frac{1}{1}.(0,1.0^2+0,2.1^2+…+0,1.4^2)-2^2=1,2
=> Độ lệch chuẩn $S \approx 1,1$
+) Khoảng biến thiên: $R=4-0=4$
Tứ phân vị: $Q_2=2 ; Q_1=1 ; Q_3=3$
+) Khoảng tứ phân vị: $\Delta_Q=3-1=2$
Bài tập 4 trang 125
Hãy so sánh số trung bình, phương sai và độ lệch chuẩn của ba mẫu số liệu sau:
Mẫu 1: $\begin{array}{lllll}0,1 & 0,3 & 0,5 & 0,5 & 0,3 & 0,7\end{array}$
Mẫu 2: $\begin{array}{lllll}1,1 & 1,3 & 1,5 & 1,5 & 1,3 & 1,7\end{array}$
Mẫu 3: $\begin{array}{lllll}1 & 3 & 5 & 5 & 3 & 7\end{array}$
Mẫu 1: $\begin{array}{lllll}0,1 & 0,3 & 0,5 & 0,5 & 0,3 & 0,7\end{array}$
Mẫu 2: $\begin{array}{lllll}1,1 & 1,3 & 1,5 & 1,5 & 1,3 & 1,7\end{array}$
Mẫu 3: $\begin{array}{lllll}1 & 3 & 5 & 5 & 3 & 7\end{array}$
Phương pháp giải:
+) Số trung bình $\bar{x}=\frac{x_1+x_2+\ldots+x_n}{n}$
+) Phương sai hoặc $S^2=\frac{1}{n}\left(x_1^2+x_2^2+\ldots+x_n^2\right)-\bar{x}^2$
+) Độ lệch chuẩn $S=\sqrt{S^2}$
+) Số trung bình $\bar{x}=\frac{x_1+x_2+\ldots+x_n}{n}$
+) Phương sai
hoặc $S^2=\frac{1}{n}\left(x_1^2+x_2^2+\ldots+x_n^2\right)-\bar{x}^2$+) Độ lệch chuẩn $S=\sqrt{S^2}$
Lời giải chi tiết:
Mẫu 1:
+) Số trung bình: $\bar{x}=\frac{0,1+0,3+0,5+0,5+0,3+0,7}{6}=0,4$
+) Phương sai: S^2=\frac{1}{6}(0,1^2+0,3^2+0,5^2+0,5^2+0,3^2+0,7^2)-0,4^2 \approx 0,0367
+) Độ lệch chuẩn $S=\sqrt{S^2} \approx 0,19$
Mẫu 2:
+) Số trung bình: $\bar{x}=\frac{1,1+1,3+1,5+1,5+1,3+1,7}{6}=1,4$
+) Phương sai $S^2=\frac{1}{6}(1,1^2+1,3^2+1,5^2+1,5^2+1,3^2+1,7^2)-1,4^2 \approx 0,0367$
+) Độ lệch chuẩn $S=\sqrt{S^2} \approx 0,19$
Mẫu 3:
+) Số trung bình: $\bar{x}=\frac{1+3+5+5+3+7}{6}=4$
+) Phương sai $S^2=\frac{1}{6}\left(1^2+3^2+5^2+5^2+3^2+7^2\right)-4^2 \approx 3,67$
+) Độ lệch chuẩn $S=\sqrt{S^2} \approx 1,9$
Kết luận:
– Số liệu ở mẫu 2 hơn số liệu ở mẫu 1 là 1 đơn vị, số trung bình của mẫu 2 hơn số trung bình mẫu 1 là 1 đơn vị, còn phương sai và độ lệch chuẩn là như nhau.
– Số liệu ở mẫu 3 gấp 10 lần số liệu mẫu 1 , số trung bình, phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu 3 lần lượt gấp 10 lần, 100 lần và 10 lần mầu 1.
Mẫu 1:
+) Số trung bình: $\bar{x}=\frac{0,1+0,3+0,5+0,5+0,3+0,7}{6}=0,4$
+) Phương sai: S^2=\frac{1}{6}(0,1^2+0,3^2+0,5^2+0,5^2+0,3^2+0,7^2)-0,4^2 \approx 0,0367
+) Độ lệch chuẩn $S=\sqrt{S^2} \approx 0,19$
Mẫu 2:
+) Số trung bình: $\bar{x}=\frac{1,1+1,3+1,5+1,5+1,3+1,7}{6}=1,4$
+) Phương sai $S^2=\frac{1}{6}(1,1^2+1,3^2+1,5^2+1,5^2+1,3^2+1,7^2)-1,4^2 \approx 0,0367$
+) Độ lệch chuẩn $S=\sqrt{S^2} \approx 0,19$
Mẫu 3:
+) Số trung bình: $\bar{x}=\frac{1+3+5+5+3+7}{6}=4$
+) Phương sai $S^2=\frac{1}{6}\left(1^2+3^2+5^2+5^2+3^2+7^2\right)-4^2 \approx 3,67$
+) Độ lệch chuẩn $S=\sqrt{S^2} \approx 1,9$
Kết luận:
– Số liệu ở mẫu 2 hơn số liệu ở mẫu 1 là 1 đơn vị, số trung bình của mẫu 2 hơn số trung bình mẫu 1 là 1 đơn vị, còn phương sai và độ lệch chuẩn là như nhau.
– Số liệu ở mẫu 3 gấp 10 lần số liệu mẫu 1 , số trung bình, phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu 3 lần lượt gấp 10 lần, 100 lần và 10 lần mầu 1.
Bài tập 5 trang 125
Sản lượng lúa các năm từ $2014$ đến $2018$ của hai tỉnh Thái Bình và Hậu Giang được cho ở bảng sau (đơn vị nghìn tấn):
a) Hãy tính độ lệch chuẩn và khoảng biến thiên của sản lượng lúa từng tỉnh.
b) Tỉnh nào có sản lượng lúa ổn định hơn? Tại sao?
a) Hãy tính độ lệch chuẩn và khoảng biến thiên của sản lượng lúa từng tỉnh.
b) Tỉnh nào có sản lượng lúa ổn định hơn? Tại sao?
Phương pháp giải:
a)
+) Tính độ lệch chuẩn:
Bước 1: Tìm số trung bình $\bar{x}=\frac{x_1+x_2+\ldots+x_n}{n}$
Bước 2: Tính phương sai hoặc $S^2=\frac{1}{n}\left(x_1^2+x_2{ }^2+\ldots+x_n{ }^2\right)-\bar{x}^2$
$\Rightarrow$ Độ lệch chuấn $S=\sqrt{S^2}$
+) Khoảng biến thiên = số liệu lớn nhất – số liệu nhỏ nhất
b)
So sánh khoảng biến thiên và độ lệch chuẩn, tỉnh nào có khoảng biến thiên và độ lệch chuấn nhỏ hơn thì có sản lượng lúa ổn định hơn.
a)
+) Tính độ lệch chuẩn:
Bước 1: Tìm số trung bình $\bar{x}=\frac{x_1+x_2+\ldots+x_n}{n}$
Bước 2: Tính phương sai
hoặc $S^2=\frac{1}{n}\left(x_1^2+x_2{ }^2+\ldots+x_n{ }^2\right)-\bar{x}^2$$\Rightarrow$ Độ lệch chuấn $S=\sqrt{S^2}$
+) Khoảng biến thiên = số liệu lớn nhất – số liệu nhỏ nhất
b)
So sánh khoảng biến thiên và độ lệch chuẩn, tỉnh nào có khoảng biến thiên và độ lệch chuấn nhỏ hơn thì có sản lượng lúa ổn định hơn.
Lời giải chi tiết:
a)
Tỉnh Thái Bình:
Số trung bình: $\bar{x}=\frac{1061,9+1061,9+1053,6+942,6+1030,4}{5}=1030,08$
Phương sai: $S^2=\frac{1}{5}(1061,9^2+1061,9^2+1053,6^2+942,6^2+1030,4^2)-1030,08^2=2046,2$
=> Độ lệch chuẩn: $S=\sqrt{S^2} \approx 45,2$
+) Khoảng biến thiên: $R=1061,9-942,6=119,3$
Tỉnh Hậu Giang:
Số trung bình: $\bar{x}=\frac{1204,6+1293,1+1231,0+1261,0+1246,1}{5}=1247,16$
Phương sai: $S^2=\frac{1}{6}(1204,6^2+1293,1^2+1231,0^2+1261,0^2+1246,1^2)-1247,16^2=875,13$
=> Độ lệch chuẩn: $S=\sqrt{S^2} \approx 29,6$
+) Khoảng biến thiên: $R=1293,1-1204,6=88,5$
b)
So sánh khoảng biến thiên và độ lệch chuẩn ta đều thấy tỉnh Hậu Giang có sản lượng lúa ổn định hơn.
a)
Tỉnh Thái Bình:
Số trung bình: $\bar{x}=\frac{1061,9+1061,9+1053,6+942,6+1030,4}{5}=1030,08$
Phương sai: $S^2=\frac{1}{5}(1061,9^2+1061,9^2+1053,6^2+942,6^2+1030,4^2)-1030,08^2=2046,2$
=> Độ lệch chuẩn: $S=\sqrt{S^2} \approx 45,2$
+) Khoảng biến thiên: $R=1061,9-942,6=119,3$
Tỉnh Hậu Giang:
Số trung bình: $\bar{x}=\frac{1204,6+1293,1+1231,0+1261,0+1246,1}{5}=1247,16$
Phương sai: $S^2=\frac{1}{6}(1204,6^2+1293,1^2+1231,0^2+1261,0^2+1246,1^2)-1247,16^2=875,13$
=> Độ lệch chuẩn: $S=\sqrt{S^2} \approx 29,6$
+) Khoảng biến thiên: $R=1293,1-1204,6=88,5$
b)
So sánh khoảng biến thiên và độ lệch chuẩn ta đều thấy tỉnh Hậu Giang có sản lượng lúa ổn định hơn.
Bài tập 6 trang 125
Kết quả điều tra mức lương hằng tháng của một số công nhân của hai nhà máy $A$ và $B$ được cho ở bảng sau (đơn vị: triệu đồng):
a) Hãy tìm số trung bình, mốt, tứ phân vị và độ lệch chuẩn của hai mẫu số liệu lấy từ nhà máy $A$ và nhà máy $B$.
b) Hãy tìm các giá trị ngoại lệ trong mỗi mẫu số liệu trên. Công nhân nhà máy nào có mức lương cao hơn? Tại sao?
a) Hãy tìm số trung bình, mốt, tứ phân vị và độ lệch chuẩn của hai mẫu số liệu lấy từ nhà máy $A$ và nhà máy $B$.
b) Hãy tìm các giá trị ngoại lệ trong mỗi mẫu số liệu trên. Công nhân nhà máy nào có mức lương cao hơn? Tại sao?
Phương pháp giải:
a)
+) Số trung bình: $\bar{x}=\frac{x_1+x_2+\ldots+x_n}{n}$
+) Mốt: là giá trị xuất hiện nhiều nhất trong mẫu số liệu.
+) Tứ phân vị: $Q_1, Q_2, Q_3$
Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm: $X_1, X_2, \ldots, X_n$
$$Q_2=M_e= \begin{cases}X_{k+1} & (n=2 k+1) \\ \frac{1}{2}\left(X_k+X_{k+1}\right) & (n=2 k)\end{cases}$$
$Q_1$ là trung vị của nửa số liệu đã sắp xếp bên trái $Q_2$ (không bao gồm $Q_2$ nếu n lẻ)
$Q_3$ là trung vị của nửa số liệu đã sắp xếp bên phải $Q_2$ (không bao gồm $Q_2$ nếu n lẻ)
+) Độ lệch chuẩn $S=\sqrt{S^2}$
Tính phương sai $S^2=\frac{1}{n}\left(x_1^2+x_2^2+\ldots+x_n^2\right)-\bar{x}^2$
b)
+) x là giá trị ngoại lệ nếu $x \gt Q_3+1,5 . \Delta_Q$ hoặc $x \lt Q_1-1,5 . \Delta_Q$
+) So sánh trung vị (do một mẫu có số liệu quá lớn so với các số liệu khác): nhà máy nào có trung vị lớn hơn thì có mức lương cao hơn.
a)
+) Số trung bình: $\bar{x}=\frac{x_1+x_2+\ldots+x_n}{n}$
+) Mốt: là giá trị xuất hiện nhiều nhất trong mẫu số liệu.
+) Tứ phân vị: $Q_1, Q_2, Q_3$
Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm: $X_1, X_2, \ldots, X_n$
$$Q_2=M_e= \begin{cases}X_{k+1} & (n=2 k+1) \\ \frac{1}{2}\left(X_k+X_{k+1}\right) & (n=2 k)\end{cases}$$
$Q_1$ là trung vị của nửa số liệu đã sắp xếp bên trái $Q_2$ (không bao gồm $Q_2$ nếu n lẻ)
$Q_3$ là trung vị của nửa số liệu đã sắp xếp bên phải $Q_2$ (không bao gồm $Q_2$ nếu n lẻ)
+) Độ lệch chuẩn $S=\sqrt{S^2}$
Tính phương sai $S^2=\frac{1}{n}\left(x_1^2+x_2^2+\ldots+x_n^2\right)-\bar{x}^2$
b)
+) x là giá trị ngoại lệ nếu $x \gt Q_3+1,5 . \Delta_Q$ hoặc $x \lt Q_1-1,5 . \Delta_Q$
+) So sánh trung vị (do một mẫu có số liệu quá lớn so với các số liệu khác): nhà máy nào có trung vị lớn hơn thì có mức lương cao hơn.
Lời giải chi tiết:
a) Nhà máy A:
+) Số trung bình: $\bar{x}=\frac{4+5+5+47+5+6+4+4}{8}=10$
+) Mốt: $M_o=4, M_o=5$
+) Tứ phân vị: $Q_1, Q_2, Q_3$
Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm: $4 ; 4 ; 4 ; 5 ; 5 ; 5 ; 6 ; 47$.
$$Q_2=M_e=5$$
$Q_1$ là trung vị của nửa số liệu: $4 ; 4 ; 4 ; 5$. Do đó $Q_1=4$
$Q_3$ là trung vị của nửa số liệu: $5 ; 5 ; 6 ; 47$. Do đó $Q_3=5,5$
+) Phương sai $S^2=\frac{1}{8}\left(4^2+5^2+\ldots+4^2\right)-10^2=196$
$=>$ Độ lệch chuẩn $S=\sqrt{S^2}=14$
Nhà máy B:
+) Số trung bình: $\bar{x}=\frac{2+9+9+8+10+9+9+11+9}{9}=8,4$
+) Mốt: $M_o=9$
+) Tứ phân vị: $Q_1, Q_2, Q_3$
Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm: $2; 8; 9; 9; 9; 9; 9; 10; 11$
$$Q_2=M_e=9$$
$Q_1$ là trung vị của nửa số liệu: $2 ; 8 ; 9 ; 9$. Do đó $Q_1=8,5$
$Q_3$ là trung vị của nửa số liệu: $9 ; 9 ; 10 ; 11$. Do đó $Q_3=9,5$
+) Phương sai $S^2=\frac{1}{9}\left(2^2+9^2+\ldots+9^2\right)-8,4^2=6,55$
$=>$ Độ lệch chuẩn $S=\sqrt{S^2}=2,56$
b)
Nhà máy $A$ có: $\Delta_Q=1,5$
Vậy giá trị ngoại lệ $x>5,5+1,5.1,5=7,75$ hoặc $x9,5+1,5.1=11$ hoặc $x5$, do dó công nhân nhà máy $B$ có mức lương cao hơn.
Chú ý
Ta không so sánh số trung bình vì có giá trị $47$ quá lớn so với các giá trị còn lại.
a) Nhà máy A:
+) Số trung bình: $\bar{x}=\frac{4+5+5+47+5+6+4+4}{8}=10$
+) Mốt: $M_o=4, M_o=5$
+) Tứ phân vị: $Q_1, Q_2, Q_3$
Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm: $4 ; 4 ; 4 ; 5 ; 5 ; 5 ; 6 ; 47$.
$$Q_2=M_e=5$$
$Q_1$ là trung vị của nửa số liệu: $4 ; 4 ; 4 ; 5$. Do đó $Q_1=4$
$Q_3$ là trung vị của nửa số liệu: $5 ; 5 ; 6 ; 47$. Do đó $Q_3=5,5$
+) Phương sai $S^2=\frac{1}{8}\left(4^2+5^2+\ldots+4^2\right)-10^2=196$
$=>$ Độ lệch chuẩn $S=\sqrt{S^2}=14$
Nhà máy B:
+) Số trung bình: $\bar{x}=\frac{2+9+9+8+10+9+9+11+9}{9}=8,4$
+) Mốt: $M_o=9$
+) Tứ phân vị: $Q_1, Q_2, Q_3$
Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm: $2; 8; 9; 9; 9; 9; 9; 10; 11$
$$Q_2=M_e=9$$
$Q_1$ là trung vị của nửa số liệu: $2 ; 8 ; 9 ; 9$. Do đó $Q_1=8,5$
$Q_3$ là trung vị của nửa số liệu: $9 ; 9 ; 10 ; 11$. Do đó $Q_3=9,5$
+) Phương sai $S^2=\frac{1}{9}\left(2^2+9^2+\ldots+9^2\right)-8,4^2=6,55$
$=>$ Độ lệch chuẩn $S=\sqrt{S^2}=2,56$
b)
Nhà máy $A$ có: $\Delta_Q=1,5$
Vậy giá trị ngoại lệ $x>5,5+1,5.1,5=7,75$ hoặc $x9,5+1,5.1=11$ hoặc $x5$, do dó công nhân nhà máy $B$ có mức lương cao hơn.
Chú ý
Ta không so sánh số trung bình vì có giá trị $47$ quá lớn so với các giá trị còn lại.
Cảm ơn các bạn đã theo dõi bài viết của HocThatGioi về Giải SGK bài Các số đặc trưng đo mức độ phân tán của mẫu số liệu Chương Thống kê Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 ở các trang 120, 121, 122, 123, 124, 125. Hi vọng các bạn sẽ có một buổi thú vị và học được nhiều điều bổ ích. Chúc các bạn học tốt!
