SGK Toán 10 - Cánh Diều
Giải SGK bài Ba đường Conic Toán 10 Cánh diều tập 2
Trong bài viết này, HocThatGioi sẽ giải đáp những câu hỏi và bài tập trong bài Ba đường Conic. Đây là bài học thuộc Bài 6 Chương VII trang 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100, 101, 102 sách Toán 10 Cánh diều tập 2. Hy vọng các bạn có thể hiểu được trọn vẹn bài học sau khi xem hết các phương pháp giải và lời giải cực chi tiết mà HocThatGioi trình bày ở dưới.
Trả lời câu hỏi SGK bài Ba đường Conic Toán 10 Cánh diều tập 2
Khởi động bài học với những câu hỏi hoạt động và luyện tập vận dụng sẽ giúp bạn dễ dàng tiếp thu kiến thức về bài học Ba đường Conic.
Câu hỏi khởi động trang 93
Từ xa xưa, người Hy Lạp đã biết rằng giao tuyến của mặt nón tròn xoay và một mặt phẳng không đi qua đỉnh của mặt nón là đường tròn hoặc đường cong mà ta gọi là đường conic (Hình 48). Từ “đường conic” xuất phát từ gốc tiếng Hy Lạp konos, nghĩa là mặt nón.
Đường conic gồm những loại đường nào và được xác định như thế nào?
Đường conic gồm những loại đường nào và được xác định như thế nào?
Lời giải chi tiết:
Đường conic gồm 3 loại đường đó là: elip, hypebol, parabol
Đường conic gồm 3 loại đường đó là: elip, hypebol, parabol
Luyện tập vận dụng 1 trang 95
Lập phương trình chính tắc của elip (E) đi qua hai điểm $\mathrm{M}(0 ; 3)$ và $N\left(3 ;-\frac{12}{5}\right)$
Lời giải chi tiết:
Elip có phương trình chính tắc là: $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$
Do Elip đi qua điểm $\mathrm{M}(0 ; 3)$ nên $b=3$
Điểm $N\left(3 ;-\frac{12}{5}\right)$ thuộc (E) nên ta có: $\frac{3^2}{a^2}+\frac{\left(-\frac{12}{5}\right)^2}{3^2}=1 \Leftrightarrow a=5$
Vậy Elip có phương trình chính tắc là: $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$
Elip có phương trình chính tắc là: $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$
Do Elip đi qua điểm $\mathrm{M}(0 ; 3)$ nên $b=3$
Điểm $N\left(3 ;-\frac{12}{5}\right)$ thuộc (E) nên ta có: $\frac{3^2}{a^2}+\frac{\left(-\frac{12}{5}\right)^2}{3^2}=1 \Leftrightarrow a=5$
Vậy Elip có phương trình chính tắc là: $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$
Hoạt động 4 trang 97
Để lập phương trình của đường hypebol trong mặt phẳng, trước tiên ta sẽ chọn hệ trục toạ độ $O x y$ thuận tiện nhất.
Tương tự elip, ta chọn trục $O x$ là đường thẳng $F_{1} F_{2}$, trục $O y$ là đường trung trực của đoạn thẳng $F_{1} F_{2}=2 c(c>0)$, gốc toạ độ $O$ là trung điểm của đoạn thẳng $F_{1} F_{2}$ (Hình 54).
a) Tìm tọa độ của hai tiêu điểm $F_{1}, F_{2}$.
b) Nêu dự đoán thích hợp cho ? trong bảng sau:
Tương tự elip, ta chọn trục $O x$ là đường thẳng $F_{1} F_{2}$, trục $O y$ là đường trung trực của đoạn thẳng $F_{1} F_{2}=2 c(c>0)$, gốc toạ độ $O$ là trung điểm của đoạn thẳng $F_{1} F_{2}$ (Hình 54).
a) Tìm tọa độ của hai tiêu điểm $F_{1}, F_{2}$.
b) Nêu dự đoán thích hợp cho ? trong bảng sau:
Lời giải chi tiết:
Luyện tập vận dụng 2 trang 98
Viết phương trình hypebol sau đây dưới dạng chính tắc: $4 x^2-9 y^2=1$.
Lời giải chi tiết:
Ta có: $4 x^2-9 y^2=1 \Leftrightarrow \frac{x^2}{\left(\frac{1}{4}\right)^2}-\frac{y^2}{\left(\frac{1}{9}\right)^2}=1$
Vậy phương trình chính tắc của hypebol là: $\frac{x^2}{\left(\frac{1}{4}\right)^2}-\frac{y^2}{\left(\frac{1}{9}\right)^2}=1$
Ta có: $4 x^2-9 y^2=1 \Leftrightarrow \frac{x^2}{\left(\frac{1}{4}\right)^2}-\frac{y^2}{\left(\frac{1}{9}\right)^2}=1$
Vậy phương trình chính tắc của hypebol là: $\frac{x^2}{\left(\frac{1}{4}\right)^2}-\frac{y^2}{\left(\frac{1}{9}\right)^2}=1$
Luyện tập vận dụng 3 trang 100
Viết phương trình các parabol sau đây dưới dạng chính tắc:
a) $x=\frac{y^2}{4}$
b) $x-y^2=0$
a) $x=\frac{y^2}{4}$
b) $x-y^2=0$
Lời giải chi tiết:
a) $x=\frac{y^2}{4} \Leftrightarrow y^2=4 x$
Vậy dạng chính tắc của parabol là: $y^2=4 x$
b) $x-y^2=0 \Leftrightarrow y^2=x$
Vậy dạng chính tắc của parabol là: $y^2=x$
a) $x=\frac{y^2}{4} \Leftrightarrow y^2=4 x$
Vậy dạng chính tắc của parabol là: $y^2=4 x$
b) $x-y^2=0 \Leftrightarrow y^2=x$
Vậy dạng chính tắc của parabol là: $y^2=x$
Giải bài tập SGK bài Ba đường Conic Toán 10 Cánh diều tập 2
Sau khi đã tìm hiểu phần nội dung của bài học, cùng ôn lại những kiến thức đã học qua phần giải đáp chi tiết các bài tập trong SGK Toán 10 Cánh diều tập 2 trang 102 dưới đây nhé.
Bài tập 1 trang 102
Phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc của elip?
$a)\frac{x^{2}}{64}+\frac{y^{2}}{64}=1$
$b)\frac{x^{2}}{64}-\frac{y^{2}}{64}=1$
$c)\frac{x^{2}}{64}+\frac{y^{2}}{25}=1$
$d)\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{64}=1$
$a)\frac{x^{2}}{64}+\frac{y^{2}}{64}=1$
$b)\frac{x^{2}}{64}-\frac{y^{2}}{64}=1$
$c)\frac{x^{2}}{64}+\frac{y^{2}}{25}=1$
$d)\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{64}=1$
Phương pháp giải:
Elip (E) có phương trình chính tắc là: $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$
Elip (E) có phương trình chính tắc là: $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$
Lời giải chi tiết:
Phương trình chính tắc của elip là: c) $\frac{x^2}{64}+\frac{y^2}{25}=1$.
a) Không là PTCT vì $a=b=8$
b) Không là PTCT
d) Không là PTCT vì $\mathrm{a}=5<\mathrm{b}=8$.
Phương trình chính tắc của elip là: c) $\frac{x^2}{64}+\frac{y^2}{25}=1$.
a) Không là PTCT vì $a=b=8$
b) Không là PTCT
d) Không là PTCT vì $\mathrm{a}=5<\mathrm{b}=8$.
Bài tập 2 trang 102
Cho elip $(E)$ có phương trình chính tắc $\frac{x^{2}}{49}+\frac{y^{2}}{25}=1$. Tìm toạ độ các giao điểm của (E) với trục $O x, O y$ và toạ độ các tiêu điểm của $(E)$.
Phương pháp giải:
Elip (E) giao với 2 trục tọa độ Ox, Oy tại bốn điểm $A_1(-a ; 0),$ $A_2(a ; 0),$ $B_1(0 ;-b),$ $B_2(0 ; b)$
Elip (E) có 2 tiêu điểm là $F_1(-c ; 0)$ và $F_2(c ; 0)$ trong đó $a^2=c^2+b^2$
Elip (E) giao với 2 trục tọa độ Ox, Oy tại bốn điểm $A_1(-a ; 0),$ $A_2(a ; 0),$ $B_1(0 ;-b),$ $B_2(0 ; b)$
Elip (E) có 2 tiêu điểm là $F_1(-c ; 0)$ và $F_2(c ; 0)$ trong đó $a^2=c^2+b^2$
Lời giải chi tiết:
Từ phương trình chính tắc của (E) ta có: $a=7, b=5
Ta có: $c^2=a^2-b^2=7^2-5^2=24$
Suy ra: c= \sqrt{24} =2 \sqrt{6}
Vậy ta có tọa độ các giao điểm của (E) với trục $O x$, Oy là: $A_1(-7 ; 0),$ $A_2(7 ; 0),$ $B_1(0 ;-5),$ $B_2(0 ; 5)$
Hai tiêu điểm của (E) có tọa độ là: $F_1(-2 \sqrt{6} ; 0), F_2(2 \sqrt{6} ; 0)$
Từ phương trình chính tắc của (E) ta có: $a=7, b=5
Ta có: $c^2=a^2-b^2=7^2-5^2=24$
Suy ra: c= \sqrt{24} =2 \sqrt{6}
Vậy ta có tọa độ các giao điểm của (E) với trục $O x$, Oy là: $A_1(-7 ; 0),$ $A_2(7 ; 0),$ $B_1(0 ;-5),$ $B_2(0 ; 5)$
Hai tiêu điểm của (E) có tọa độ là: $F_1(-2 \sqrt{6} ; 0), F_2(2 \sqrt{6} ; 0)$
Bài tập 3 trang 102
Viết phương trình chính tắc của elip $(E)$, biết toạ độ hai giao điểm của $(E)$ với $O x$ và $O y$ lần lượt là $A_{1}(-5 ; 0)$ và $B_{2}(0 ; \sqrt{10})$.
Phương pháp giải:
Elip (E) giao với 2 trục tọa độ Ox, Oy tại bốn điểm $A_1(-a ; 0),$ $A_2(a ; 0),$ $B_1(0 ;-b),$ $B_2(0 ; b)$
Elip (E) giao với 2 trục tọa độ Ox, Oy tại bốn điểm $A_1(-a ; 0),$ $A_2(a ; 0),$ $B_1(0 ;-b),$ $B_2(0 ; b)$
Lời giải chi tiết:
Do (E) giao với $\mathrm{Ox}$ tại $A_1(-5 ; 0)$ nên ta có: $a=5$
Do (E) giao với Oy tại $B_2(0 ; \sqrt{10})$ nên ta có: $b=\sqrt{10}$
Vậy phương trình chính tắc của (E) là: $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{10}=1$
Do (E) giao với $\mathrm{Ox}$ tại $A_1(-5 ; 0)$ nên ta có: $a=5$
Do (E) giao với Oy tại $B_2(0 ; \sqrt{10})$ nên ta có: $b=\sqrt{10}$
Vậy phương trình chính tắc của (E) là: $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{10}=1$
Bài tập 4 trang 102
Ta biết rằng Mặt Trăng chuyển động quanh Trái Đất theo quỹ đạo là một elip mà Trái Đất là một tiêu điểm. Elip đó có $A_{1} A_{2}=768800 \mathrm{~km}$ và $B_{1} B_{2}=767619 \mathrm{~km}$ (Nguồn: Ron Larson (2014), Precalculus Real Mathematics, Real People, Cengage) (Hình 62).
Viết phương trình chính tắc của elip đó.
Viết phương trình chính tắc của elip đó.
Phương pháp giải:
Elip (E) có phương trình chính tắc là: $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$, trong đó: $A_1 A_2=2 a, B_1 B_2=2 b$
Elip (E) có phương trình chính tắc là: $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$, trong đó: $A_1 A_2=2 a, B_1 B_2=2 b$
Lời giải chi tiết:
Ta có:
$$A_1 A_2=2 a \Rightarrow 2 a=768800 \Rightarrow a=384400 \text { và } B_1 B_2=2 b \Rightarrow 767619=2 b \Rightarrow b=383809,5$$
Vậy phương trình chính tắc của (E) là: $\frac{x^2}{384400^2}+\frac{y^2}{383809,5}=1$
Ta có:
$$A_1 A_2=2 a \Rightarrow 2 a=768800 \Rightarrow a=384400 \text { và } B_1 B_2=2 b \Rightarrow 767619=2 b \Rightarrow b=383809,5$$
Vậy phương trình chính tắc của (E) là: $\frac{x^2}{384400^2}+\frac{y^2}{383809,5}=1$
Bài tập 5 trang 102
Những phường trình nào sau đây là phương trình chính tắc của hypebol?
a) $\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{9}=1$
b) $\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{9}=1$
c) $\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{64}=1$
d) $\frac{x^{2}}{64}-\frac{y^{2}}{9}=1$.
a) $\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{9}=1$
b) $\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{9}=1$
c) $\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{64}=1$
d) $\frac{x^{2}}{64}-\frac{y^{2}}{9}=1$.
Phương pháp giải:
Hypebol (H) có phương trình chính tắc là: $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$, trong đó $a^2=c^2-b^2$
Hypebol (H) có phương trình chính tắc là: $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$, trong đó $a^2=c^2-b^2$
Lời giải chi tiết:
Những phương trình là phương trình chính tắc của $(\mathrm{H})$ là: b), c), d).
Những phương trình là phương trình chính tắc của $(\mathrm{H})$ là: b), c), d).
Bài tập 6 trang 102
Tìm toạ độ các tiêu điểm của đường hypebol trong mỗi trường hợp sau:
a) $\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{16}=1$
b) $\frac{x^{2}}{36}-\frac{y^{2}}{25}=1$.
a) $\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{16}=1$
b) $\frac{x^{2}}{36}-\frac{y^{2}}{25}=1$.
Phương pháp giải:
Hypebol $(\mathrm{H})$ có phương trình chính tắc là: $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$, trong đó $a^2=c^2-b^2$
Hypebol $(\mathrm{H})$ có phương trình chính tắc là: $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$, trong đó $a^2=c^2-b^2$
Lời giải chi tiết:
a) Ta có: $a=3, b=4 \Rightarrow c=\sqrt{3^2+4^2}=5$
Vậy tiêu điểm của (E) là: $F_1(-5 ; 0), F_2(5 ; 0)$
b) Ta có: $a=6 ; b=5 \Rightarrow c=\sqrt{6^2+5^2}=\sqrt{61}$
Vậy tiêu điểm của (E) là: $F_1(-\sqrt{61} ; 0), F_2(\sqrt{61} ; 0)$
a) Ta có: $a=3, b=4 \Rightarrow c=\sqrt{3^2+4^2}=5$
Vậy tiêu điểm của (E) là: $F_1(-5 ; 0), F_2(5 ; 0)$
b) Ta có: $a=6 ; b=5 \Rightarrow c=\sqrt{6^2+5^2}=\sqrt{61}$
Vậy tiêu điểm của (E) là: $F_1(-\sqrt{61} ; 0), F_2(\sqrt{61} ; 0)$
Bài tập 7 trang 102
Viết phương trình chính tắc của hypebol $(H)$, biết $N(\sqrt{10} ; 2)$ nằm trên $(H)$ và hoành độ một giao điểm của $(H)$ với trục $O x$ bằng 3 .
Phương pháp giải:
Hypebol (H) có phương trình chính tắc là: $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$, trong đó $a^2=c^2-b^2$ Hypebol (H) giao với trục Ox tại hai tiêu điểm.
Hypebol (H) có phương trình chính tắc là: $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$, trong đó $a^2=c^2-b^2$ Hypebol (H) giao với trục Ox tại hai tiêu điểm.
Lời giải chi tiết:
Do hypebol (H) giao với trục $\mathrm{Ox}$ tại điểm có hoành độ bằng 3 nên ta có: $F_1(3 ; 0) \Rightarrow c=3 \Rightarrow a^2+b^2=9(1)$
Do $N(\sqrt{10} ; 2) \in(H)$ nên ta có: $\frac{10}{a^2}-\frac{4}{b^2}=1(2)$
Từ $(1),(2)$ ta có: $a=\sqrt{5}, b=2$
Vậy phương trình chính tắc của $(\mathrm{H})$ là: $\frac{x^2}{5}-\frac{y^2}{4}=1$
Do hypebol (H) giao với trục $\mathrm{Ox}$ tại điểm có hoành độ bằng 3 nên ta có: $F_1(3 ; 0) \Rightarrow c=3 \Rightarrow a^2+b^2=9(1)$
Do $N(\sqrt{10} ; 2) \in(H)$ nên ta có: $\frac{10}{a^2}-\frac{4}{b^2}=1(2)$
Từ $(1),(2)$ ta có: $a=\sqrt{5}, b=2$
Vậy phương trình chính tắc của $(\mathrm{H})$ là: $\frac{x^2}{5}-\frac{y^2}{4}=1$
Bài tập 8 trang 102
Những phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc của parabol?
a) $y^{2}=-2 x$
b) $y^{2}=2 x$;
c) $x^{2}=-2 y$
d) $y^{2}=\sqrt{5} x$.
a) $y^{2}=-2 x$
b) $y^{2}=2 x$;
c) $x^{2}=-2 y$
d) $y^{2}=\sqrt{5} x$.
Phương pháp giải:
Phương trình chính tắc của parabol là: $y^2=2px(p \gt 0)$
Phương trình chính tắc của parabol là: $y^2=2px(p \gt 0)$
Lời giải chi tiết:
Những phương trình chính tắc của parabol là: b), d)
Những phương trình chính tắc của parabol là: b), d)
Bài tập 9 trang 102
Tìm toạ độ tiêu điểm và viết phương trình đường chuẩn của đường parabol trong mỗi trường hợp sau:
a) $y^{2}=\frac{5 x}{2}$
b) $y^{2}=2 \sqrt{2} x$
a) $y^{2}=\frac{5 x}{2}$
b) $y^{2}=2 \sqrt{2} x$
Phương pháp giải:
Phương trình chính tắc của parabol là: $y^2=2 p x(p>0)$, trong đó tiêu điểm là $F\left(\frac{p}{2} ; 0\right)$ và phương trình đường chuẩn là: $x+\frac{p}{2}=0$.
Phương trình chính tắc của parabol là: $y^2=2 p x(p>0)$, trong đó tiêu điểm là $F\left(\frac{p}{2} ; 0\right)$ và phương trình đường chuẩn là: $x+\frac{p}{2}=0$.
Lời giải chi tiết:
a) Tiêu điểm của parabol là: $F\left(\frac{5}{4} ; 0\right)$
Phương trình đường chuẩn là: $x+\frac{5}{4}=0$
b) Tiêu điểm của parabol là: $F(\sqrt{2} ; 0)$
Phương trình đường chuẩn là: $x+\sqrt{2}=0$
a) Tiêu điểm của parabol là: $F\left(\frac{5}{4} ; 0\right)$
Phương trình đường chuẩn là: $x+\frac{5}{4}=0$
b) Tiêu điểm của parabol là: $F(\sqrt{2} ; 0)$
Phương trình đường chuẩn là: $x+\sqrt{2}=0$
Bài tập 10 trang 102
Viết phương trình chính tắc của đường parabol, biết tiêu điểm là $F(6 ; 0)$.
Phương pháp giải:
Phương trình chính tắc của parabol là: $y^2=2 p x(p>0)$, trong đó tiêu điểm là $F\left(\frac{p}{2} ; 0\right)$ và phương trình đường chuẩn là: $x+\frac{p}{2}=0$.
Phương trình chính tắc của parabol là: $y^2=2 p x(p>0)$, trong đó tiêu điểm là $F\left(\frac{p}{2} ; 0\right)$ và phương trình đường chuẩn là: $x+\frac{p}{2}=0$.
Lời giải chi tiết:
Do parabol có tiêu điểm là $F(6 ; 0)$ nên ta có $\frac{p}{2}=6 \Leftrightarrow p=12$
Vậy phương trình chính tắc của parabol là: $y^2=24 x$
Do parabol có tiêu điểm là $F(6 ; 0)$ nên ta có $\frac{p}{2}=6 \Leftrightarrow p=12$
Vậy phương trình chính tắc của parabol là: $y^2=24 x$
Bài tập 11 trang 102
Một chiếc đèn có mặt cắt ngang là hình parabol (Hình 63). Hình parabol có chiều rộng giữa hai mép vành là $A B=40 \mathrm{~cm}$ và chiều sâu $h=30 \mathrm{~cm}$ ( $h$ bằng khoảng cách từ $O$ đến $A B$ ). Bóng đèn nằm ở tiêu điểm $S$. Viết phương trình chính tắc của parabol đó.
Phương pháp giải:
Phương trình chính tắc của parabol là: $y^2=2 p x(p>0)$, trong đó tiêu điểm là $F\left(\frac{p}{2} ; 0\right)$ và phương trình đường chuẩn là: $x+\frac{p}{2}=0$.
Phương trình chính tắc của parabol là: $y^2=2 p x(p>0)$, trong đó tiêu điểm là $F\left(\frac{p}{2} ; 0\right)$ và phương trình đường chuẩn là: $x+\frac{p}{2}=0$.
Lời giải chi tiết:
Gọi phương trình chính tắc của parabol là: $y^2=2 p x(p>0)$
Vì $A B=40 \mathrm{~cm}$ và $h=30 \mathrm{~cm}$ nên $A(30 ; 20)$
Do $A(30 ; 20)$ thuộc parabol nên ta có: $20^2=2 p .30 \Rightarrow p=\frac{20}{3}$
Vậy parabol có phương trình chính tắc là: $y^2=\frac{40}{3} x$
Gọi phương trình chính tắc của parabol là: $y^2=2 p x(p>0)$
Vì $A B=40 \mathrm{~cm}$ và $h=30 \mathrm{~cm}$ nên $A(30 ; 20)$
Do $A(30 ; 20)$ thuộc parabol nên ta có: $20^2=2 p .30 \Rightarrow p=\frac{20}{3}$
Vậy parabol có phương trình chính tắc là: $y^2=\frac{40}{3} x$
Cảm ơn bạn đọc đã theo dõi bài viết của HocThatGioi về Bài 6 Chương VII Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng trang 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100, 101, 102 sách Toán 10 Cánh diều tập 2. Hy vọng các bạn đã nắm được toàn bộ kiến thức của bài học này. Chúc các bạn học tốt!
