Giải SGK Bài tập cuối chương 8 trang 84 Toán 7 Chân trời sáng tạo tập 2

Cho tam giác $A B C$ cân tại $\mathrm{A}\left(\widehat{A}<90^{\circ}\right)$. Hai đường cao $\mathrm{BE}$ và $\mathrm{CF}$ cắt nhau tại $\mathrm{H}$.
a) Chứng minh rẳng $\triangle B F C=\triangle C E B$
b) Chứng minh rằng $\triangle A E H=\triangle A F H$
c) Gọi $I$ là trung điểm $\mathrm{BC}$. Chứng minh rằng ba điểm $\mathrm{A}, \mathrm{H}, \mathrm{I}$ thẳng hàng.

Lời giải chi tiết:

a) Xét $\triangle B F C$ và $\triangle C E B$ có:
$\mathrm{BC}$ là cạnh chung
$\widehat{B}=\widehat{C}(\triangle A B C \text { cân tại A) }$
$\widehat{B E C}=\widehat{C F B}=90^{\circ} $
$\Rightarrow \Delta B F C=\Delta C E B \text { (cạnh huyền – góc nhọn ) }$
b) Vì $\triangle B F C=\triangle C E B \Rightarrow \mathrm{BF}=\mathrm{EC}$ (2 cạnh tương ứng)
Mà $\mathrm{AB}=\mathrm{AC}(\triangle A B C$ cân tại $\mathrm{A})$
$\Rightarrow A F=A E(A B-B F=A C-E C)$
Xét $\triangle A E H$ và $\triangle A F H$ ta có :
$\mathrm{AF}=\mathrm{AE}$ (chứng minh trên)
$AH$ cạnh chung
$\widehat{H F A}=\widehat{H E A}=90^{\circ}$
$\Rightarrow \triangle A E H=\triangle A F H$ (cạnh huyền – cạnh góc vuông)
c) Vì $\mathrm{CF}$, $\mathrm{BE}$ là những đường cao của tam giác $\mathrm{ABC}$ và $\mathrm{H}$ là giao điểm của chúng
$\Rightarrow$ $H$ là trực tâm của tam giác $A B C$
$\Rightarrow A H$ vuông góc với $B C(1)$
Xét $\triangle A I C$ và $\triangle A I B$ có :
$\mathrm{IB}=$ $IC$ ($I$ là trung điểm $BC$)
$AI$ là cạnh chung
$A B=A C$ ( tam giác $ABC$ cân tại $A$)
$\Rightarrow \Delta A I C=\Delta A I B(c-c-c)$
$\Rightarrow \widehat{A I C}=\widehat{A I B}$ (2 góc tương ứng)
Mà chúng ở vị trí kề bù $\Rightarrow \widehat{A I C}=\widehat{A I B}=90^{\circ} \Rightarrow A I \perp B C$ (2)
Từ (1) và (2) $\Rightarrow \mathrm{A}, \mathrm{H}, \mathrm{I}$ thẳng hàng.

Cho tam giác $\mathrm{ABC}$ vuông tại $\mathrm{A}$, vẽ đường cao $\mathrm{AH}$. Trên tia đối của tia $\mathrm{HA}$ lấy điểm $\mathrm{M}$ sao cho $\mathrm{H}$ là trung điểm của $\mathrm{AM}$.
a) Chứng minh rằng tam giác $A B M$ cân.
b) Chứng minh rằng $\triangle A B C=\triangle M B C$

Lời giải chi tiết:

a) Xét $\Rightarrow \triangle B H A$ và $\triangle B H M$ ta có:
$\widehat{B H A}=\widehat{B H M}=90^{\circ}$
$BH$ cạnh chung
$\mathrm{AH}=\mathrm{HM}$ (do $\mathrm{M}$ đối xứng với $\mathrm{A}$ qua $\mathrm{H}$ )
$\Rightarrow \triangle B H A=\triangle B H M(c-g-c)$
$\Rightarrow A B=B M$ (cạnh tương ứng) và $\widehat{A B H}=\widehat{M B H}$
$\Rightarrow \triangle A B M$ cân tại $\mathrm{B}$ (2 cạnh bên bằng nhau)
b) Xét $\triangle A B C$ và $\triangle M B C$ ta có :
$A B=B M$ (câu a)
$\widehat{A B H}=\widehat{M B H}$ (câu a)
$\mathrm{BC}$ cạnh chung
$$\Rightarrow \triangle A B C=\triangle M B C(c-g-c)$$

Cho tam giác $A B C$ vuông tại $A$ $(A B \lt A C)$, vẽ đường cao $A H$. Trên tia đối của $\mathrm{HC}$ lấy điểm $D$ sao cho $H D=H C$.
a) Chứng minh rằng $A D=A C$.
b) Chứng minh rằng $\widehat{A D H}=\widehat{B A H}$

Lời giải chi tiết:

a) Xét $\triangle A H D$ và $\triangle A H C$ có :
$AH$ chung
$\mathrm{DH}=\mathrm{HC}$ ( $\mathrm{C}$ đối xứng $\mathrm{D}$ qua $\mathrm{H}$ )
$\widehat{A H D}=\widehat{A H C}=90^{\circ} $
$ \Rightarrow \triangle A H D=\Delta A H C(c-g-c) $
$ \Rightarrow A D=A C$ (cạnh tương ứng)
$ \Rightarrow \triangle A D C \text { cân tại } \mathrm{A} \Rightarrow \widehat{C}=\widehat{D}$ (góc tương ứng) (1)
b) Ta có $\widehat{B A H}+\widehat{H A C}=90^{\circ}$ và $\widehat{H C A}+\widehat{H A C}=90^{\circ}$ $\Rightarrow \widehat{B A H}=\widehat{H C A}$ (2)
Từ (1) và (2) $\Rightarrow \widehat{A D H}=\widehat{B A H}$

Cho tam giác $\mathrm{ABC}$ vuông tại $\mathrm{A}(\mathrm{AB}<\mathrm{AC})$. Trên cạnh $\mathrm{BC}$ lấy điểm $\mathrm{N}$ sao cho $\mathrm{BA}=\mathrm{BN}$. Kẻ $B E \perp A N(\mathrm{E} \in \mathrm{AN})$.
a) Chứng minh rằng $B E$ là tia phân giác của giác $A B N$.
b) Kẻ đường cao $\mathrm{AH}$ của tam giác $\mathrm{ABC}$. Gọi $\mathrm{K}$ là giao điểm của $\mathrm{BH}$ với $\mathrm{CE}$. Chứng minh rằng $\mathrm{NK} / / \mathrm{CA}$.
c) Đường thẳng $\mathrm{BK}$ cắt $\mathrm{AC}$ tại $\mathrm{F}$. Gọi $\mathrm{G}$ là giao điểm của đường thẳng $\mathrm{AB}$ với $N F$. Chứng minh rằng tam giác $\mathrm{GBC}$ cân.

Lời giải chi tiết:

a) Xét $\triangle B A E$ và $\triangle B N E$ có :
$BA$ = $BN$ (giả thiết)
$BF$ cạnh chung
$\widehat{B E A}=\widehat{B E N}$
$\Rightarrow \triangle B A E=\triangle B N E$ (cạnh huyền-cạnh góc vuông)
$\Rightarrow \widehat{A B F}=\widehat{N B F}$ (góc tương ứng)
$\Rightarrow \mathrm{BE}$ là phân giác của góc $A B N$
b) Vì $K$ là giao của 2 đường cao $\Rightarrow \mathrm{K}$ là trực tâm tam giác $\mathrm{ABN}$
$\Rightarrow \mathrm{KN}$ vuông góc với $A B(1)$
Vì $CA$ vuông góc với $A B$ ( tam giác $A B C$ vuông tại $A$ )(2)
Từ (1) và (2) $\Rightarrow$ $KN$ song song với $CA$ (quan hệ cùng vuông góc với 1 đường)
c) Ta có $\triangle B A F=\triangle B N F(c-g-c)$ do có :
$\widehat{B E A}=\widehat{B E N}$
$BF$ cạnh chung
$\mathrm{BN}=\mathrm{BA}$
$\Rightarrow \widehat{B N F}=\widehat{B A F}$ ( 2 góc tương ứng)
Mà $\widehat{B A F}=90^{\circ}$
$\Rightarrow \widehat{B N F}=\widehat{B A F}=90^{\circ}$
$\Rightarrow G N \perp B C$
Ta có $\mathrm{CA}$ và $\mathrm{GN}$ là 2 đường cao của tam giác $\mathrm{GBC}$
$\Rightarrow \mathrm{F}$ là trực tâm của tam giác $\mathrm{GBC}$
$\Rightarrow \mathrm{BF}$ vuông góc với $\mathrm{GC}$ tại $\mathrm{P}$
Xét $\triangle B G P$ và $\triangle B C P$ ta có :
$BP$ cạnh chung
$ \widehat{B P C}=\widehat{B P G}=90^{\circ} $
$ \widehat{P B C}=\widehat{P B G} $
$ \Rightarrow \triangle B G P=\triangle B C P(c-g-c) $
$ \Rightarrow B C=B G $ (2 cạnh tương ứng)
$ \Rightarrow \text { Tam giác GBC cân tại B }$

Cho tam giác nhọn $\mathrm{ABC}(\mathrm{AB}<\mathrm{AC})$, vẽ đường cao $\mathrm{AH}$. Đường trung trực của $\mathrm{BC}$ cắt $\mathrm{AC}$ tại $\mathrm{M}$, cắt $\mathrm{BC}$ tại $\mathrm{N}$.
a) Chứng minh rằng $\widehat{B M N}=\widehat{H A C}$
b) Kẻ $M I \perp A H(\mathrm{I} \in \mathrm{AH})$, gọi $\mathrm{K}$ là giao điểm của $\mathrm{AH}$ và $\mathrm{BM}$. Chứng minh rằng $I$ là trung điểm của $\mathrm{AK}$.

Lời giải chi tiết:

a) Do $\mathrm{M}$ nằm trên đường trung trực của $\mathrm{BC}$ nên $\mathrm{MB}=\mathrm{MC}$
Xét $\triangle B M N$ vuông tại $\mathrm{N}$ và $\triangle C M N$ vuông tại $\mathrm{N}$ có:
$M B=M C$ (chứng minh trên)
$MN$ chung.
Do đó $\triangle B M N=\triangle C M N$ (cạnh huyền – cạnh góc vuông)
Suy ra $\widehat{B M N}=\widehat{C M N}$ (2 góc tương ứng) (1)
Do $\mathrm{MN} \perp \mathrm{BC}$, $AH$ $\perp \mathrm{BC}$ nên $\mathrm{MN} / / \mathrm{AH}$.
Do đó $\widehat{C M N}=\widehat{H A C}$ (2 góc đồng vị) (2).
Từ (1) và (2) suy ra $\widehat{B M N}=\widehat{H A C}$.
b) Do $\triangle B M N=\triangle C M N$ (cạnh huyền – cạnh góc vuông) nên $\widehat{M B N}=\widehat{M C N}$ (2 góc tương ứng).
Do $\mathrm{MI} \perp \mathrm{AH}, \mathrm{BC} \perp \mathrm{AH}$ nên $\mathrm{MI} / / \mathrm{BC}$.
Do đó $\widehat{A M I}=\widehat{M C N}$ (2 góc đồng vị) và $\widehat{K M I}=\widehat{M B N}$ ( 2 góc so le trong).
Do đó $\widehat{A M I}=\widehat{K M I}$.
Xét $\triangle A M I$ vuông tại $I$ và $\Delta K M I$ vuông tại $I$ có:
$\widehat{A M I}=\widehat{K M I}$ (chứng minh trên).
$MI$ chung.
Do đó $\triangle A M I=\triangle K M I$ (góc nhọn – cạnh góc vuông).
Suy ra $\mathrm{AI}=\mathrm{KI}$ (2 cạnh tương ứng).
Mà $I$ nằm giữa $\mathrm{A}$ và $\mathrm{K}$ nên $I$ là trung điểm của $\mathrm{AK}$.

Cho tam giác nhọn $MNP$. Các trung tuyến $ME$ và $NF$ cắt nhau tại $G$. Trên tia đối của tia $FN$ lấy điểm $D$ sao cho $FN = FD$.
a) Chứng minh rằng $\triangle \mathrm{MFN}=\triangle \mathrm{PFD}$
b) Trên đoạn thẳng $FD$ lấy điểm $\mathrm{H}$ sao cho $F$ là trung điểm của $\mathrm{GH}$. Gọi $K$ là trung điểm của $GK$. Chứng minh rằng ba điểm $\mathrm{M}, \mathrm{H}, \mathrm{K}$ thẳng hàng.

Lời giải chi tiết:

a) Tam giác $MNP$ có đường trung tuyến $NF$ nên $F$ là trung điểm của $MP$.
Do đó $F M=F P$.
Xét $\triangle M F N$ và $\triangle P F \mathrm{D}$ có:
$\mathrm{MF}=\mathrm{PF}$ (chứng minh trên)
$\widehat{M F N}=\widehat{P F \mathrm{D}}$ (2 góc đối đỉnh)
$FN = FD$ (theo giả thiết)
Do đó $\triangle M F N=\triangle P F \mathrm{D}$ (c.g.c)
b) Tam giác $MNP$ có $G$ là giao điểm hai đường trung tuyến $ME$ và $NF$ nên $G$ là trọng tâm của tam giác $MNP$.
Do đó $\mathrm{NG}=\frac{2}{3} \mathrm{NF}$
Suy ra $GF$ $=\frac{1}{3}$ $NF$
Do $\mathrm{F}$ là trung điểm của $\mathrm{GH}$ nên $\mathrm{GF}=\mathrm{HF}$
Suy ra $HF$ $=\frac{1}{3}$ $NF$
Mà $NF$ = $DF$ nên $\mathrm{HF}=\frac{1}{3} \mathrm{DF}$
Suy ra $DH$ $=\frac{2}{3} \mathrm{DF}$
Tam giác $MDP$ có đường trung tuyến $D F$ và $\mathrm{DH}=\frac{2}{3} D F$ nên $\mathrm{H}$ là trọng tâm của tam giác $MDP$.
Lại có $\mathrm{MK}$ là đường trung tuyến của tam giác $MDP$ nên $\mathrm{M}, \mathrm{H}, \mathrm{K}$ thẳng hàng.

Cho tam giác $\mathrm{ABC}$ vuông tại $\mathrm{A}$ có $\mathrm{AB}=\frac{1}{2} \mathrm{AC}$, $\mathrm{AD}$ là tia phân giác $\widehat{B A C}(\mathrm{D} \in \mathrm{BC})$. Gọi $\mathrm{E}$ là trung điểm của $\mathrm{AC}$.
a) Chứng minh rằng $\mathrm{DE}=\mathrm{DB}$
b) $A B$ cắt $D E$ tại $K$. Chứng minh rằng tam giác $D C K$ cân và $B$ là trung điểm của đoạn thẳng $A K$.
c) $\mathrm{AD}$ cắt $\mathrm{CK}$ tại $\mathrm{H}$. Chứng minh rằng $\mathrm{AH} \perp \mathrm{KC}$.

Lời giải chi tiết:

a) Xét $\triangle \mathrm{BAD}$ và $\triangle \mathrm{EAD}$ có :
$A D$ là cạnh chung
$\mathrm{AB}=\mathrm{AE}=\frac{1}{2} \mathrm{AC}$
$ \widehat{B A D}=\widehat{E A D} \text { (do } \mathrm{AD} \text { là phân giác góc } \mathrm{A} \text { ) } $
$ \Rightarrow \triangle B A D=\triangle E A D \text { (c-g-c) } $
$ \Rightarrow \mathrm{DE}=\mathrm{DB} \text { (cạnh tương ứng) và } \widehat{A B D}=\widehat{A E D} \text { (góc tương ứng) }$
b) Xét $\triangle \mathrm{KAE}$ và $\triangle \mathrm{CAB}$ có :
$A E=A B$
$\widehat{A B D}=\widehat{A E D}$ (chứng minh a)
Góc $A$ chung
$\Rightarrow \triangle K A E=\triangle C A B(\mathrm{~g}-\mathrm{c}-\mathrm{g})$
$ \Rightarrow \mathrm{KE}=\mathrm{CB} \text { (cạnh tương ứng) }$
Mà $K E=E D+D K$ và $C B=B D+D C$
$\Rightarrow \mathrm{KE}-\mathrm{ED}=\mathrm{CB}-\mathrm{BD} \Rightarrow \mathrm{DK}=\mathrm{DC}$
$\Rightarrow \triangle D C K$ cân tại $\mathrm{D}$
+) Xét $\triangle \mathrm{KDB}$ và $\triangle \mathrm{CDE}$ có :
$\mathrm{DB}=\mathrm{DE}$
$\mathrm{DK}=\mathrm{DC}$
$\widehat{K D B}=\widehat{C D E}$ (2 góc đối đỉnh)
$\Rightarrow \triangle K D B=\triangle C D E(\mathrm{c}-\mathrm{g}-\mathrm{c})$
$\Rightarrow \mathrm{KB}=\mathrm{EC} \Rightarrow \mathrm{KB}=\mathrm{AB}$ (do cùng $=\mathrm{EC}$ )
$\Rightarrow \mathrm{B}$ là trung điểm $\mathrm{AK}$
c) Vì $\triangle K A E=\triangle C A B$ (chứng minh trên)
$\Rightarrow A K=A C$ (cạnh tương ứng)
$\Rightarrow \triangle AKC$ vuông cân tại $A$
Mà $A D$ là phân giác góc $\mathrm{A}$ nên $A D$ sẽ vừa là phân giác vừa là đường cao của $\triangle \mathrm{AKC}$
$\Rightarrow \mathrm{AD} \perp \mathrm{KC}$
$\Rightarrow \mathrm{AH} \perp \mathrm{KC}$ (do $\mathrm{H} \in \mathrm{AD})$

Ở Hình 1, cho biết $\mathrm{AE}=\mathrm{AF}$ và $\widehat{A B C}=\widehat{A C B}$. Chứng minh $\mathrm{AH}$ là đường trung trực của $\mathrm{BC}$.

Lời giải chi tiết:

Tam giác $\mathrm{ABC}$ có $\widehat{A B C}=\widehat{A C B}$ nên tam giác $\mathrm{ABC}$ cân tại $\mathrm{A}$
Do đó $A B=A C$
Suy ra $\mathrm{A}$ nằm trên đường trung trực của $\mathrm{BC}$ (1)
Mà $A E=A F$ nên $A B-A E=A C-A F$ hay $B E=C F$
Xét $\triangle E B C$ và $\triangle F C B$ có:
$\mathrm{BE}=\mathrm{CF}$ (chứng minh trên)
$\widehat{E B C}=\widehat{F C B}$ (theo giả thiết)
$\mathrm{BC}$ chung
Do đó $\triangle E B C=\triangle F C B$ (c.g.c)
Suy ra $\widehat{E C B}=\widehat{F B C}$ (2 góc tương ứng) hay $\widehat{H C B}=\widehat{H B C}$
Tam giác $\mathrm{HBC}$ có $\widehat{H C B}=\widehat{H B C}$ nên tam giác $HBC$ cân tại $\mathrm{H}$
Do đó $\mathrm{HB}=\mathrm{HC}$
Suy ra $\mathrm{H}$ nằm trên đường trung trực của $\mathrm{BC}$ (2)
Từ (1) và (2) suy ra $\mathrm{AH}$ là đường trung trực của $\mathrm{BC}$

Cho tam giác $A B C$ vuông tại $A$. Tia phân giác của góc $\mathrm{C}$ cắt $\mathrm{AB}$ ở $\mathrm{M}$. Từ $B$ kẻ $BH$ vuông góc với đường thẳng $\mathrm{CM}(\mathrm{H} \in \mathrm{CM})$. Trên tia đối của tia $\mathrm{HC}$ lấy điểm $E$ sao cho $\mathrm{HE}=\mathrm{HM}$.
a) Chứng minh rằng tam giác $MBE$ cân.
b) Chứng minh rằng $\widehat{E B H}=\widehat{A C M}$
c) Chứng minh rằng $E B \perp B C$

Lời giải chi tiết:

a)Xét $\triangle \mathrm{BHE}$ và $\Delta \mathrm{BHM}$ có :
$\mathrm{BH}$ là cạnh chung
$\mathrm{EH}=\mathrm{HM}$ (do $M$ đối xứng $E$ qua $\mathrm{H}$ )
$\widehat{B H E}=\widehat{B H M}=90^{\circ}$
$\Rightarrow \triangle \mathrm{BHE}=\triangle \mathrm{BHM}(\mathrm{c}-\mathrm{g}-\mathrm{c})$
$\Rightarrow B M=B E$ (cạnh tương ứng)
và $\widehat{E B H}=\widehat{M B H}$ (góc tương ứng) (1)
$\Rightarrow \triangle BEM$ cân tại $B$ ( 2 cạnh bên bằng nhau)
b)Xét $\triangle \mathrm{BHM}$ vuông tại $\mathrm{H} \Rightarrow \widehat{B M H}+\widehat{M B H}=90^{\circ}$
Xét $\triangle \mathrm{AMC}$ vuông tại $\mathrm{A} \Rightarrow \widehat{A M C}+\widehat{M C A}=90^{\circ}$
Mà $\widehat{H M B}=\widehat{A M C}$ (2 góc đối đỉnh)
$\Rightarrow \widehat{M C A}=\widehat{M B H}=90^{\circ}-\widehat{A M C}=90^{\circ}-\widehat{H M B}(2)$
Từ (1) và $(2) \Rightarrow \widehat{E B H}=\widehat{A C M}$
c)Vì $\widehat{B C M}=\widehat{A C M}$ (do $C M$ là phân giác góc $\mathrm{C}$ )
$\Rightarrow \widehat{E B H}=\widehat{B C M}$ (cùng bằng $\widehat{A M C}$ ) (3)
Xét $\triangle \mathrm{EHB}$ vuông tại $\mathrm{H}$ có $\widehat{E B H}+\widehat{B E H}=90^{\circ}(4)$
Từ’ (3) và $(4) \Rightarrow \widehat{B M C}+\widehat{B E H}=90^{\circ}$
$\Rightarrow \widehat{E B C}=90^{\circ} \Rightarrow E B \perp B C$

Trên đường thẳng $a$ lấy ba điểm phân biệt $\mathrm{I}, \mathrm{J}, \mathrm{K}(\mathrm{J}$ ở giữa $I$ và $\mathrm{K}$ ). Kẻ đường thẳng $b$ vuông góc với $a$ tại $J$, trên $b$ lấy điểm $\mathrm{M}$ khác điểm $J$. Đường thẳng qua $I$ vuông góc với $\mathrm{MK}$ cắt $b$ tại $\mathrm{N}$. Chứng minh rằng $\mathrm{KN}$ vuông góc với $\mathrm{MI}$.

Lời giải chi tiết:

Xét tam giác $\mathrm{MIK}$ có $\mathrm{MJ} \perp \mathrm{IK}, \mathrm{IN} \perp \mathrm{MK}$.
Mà $MJ$ cắt $IN$ tại $N$ nên $N$ là trực tâm của tam giác $MIK$.
Do đó $NK$ vuông góc với $MI$.