Toán 10

Hệ thức lượng trong tam giác và giải tam giác – Lý thuyết và bài tập có đáp án

Các hệ thức lượng trong tam giác hay giải tam giác là một những kiến thức cơ bản nhưng quan trọng bậc nhất trong chương trình Toán THPT nói chung và Toán 10 nói riêng. Biết được điều đó, hôm nay HocThatGioi sẽ gửi đến các bạn bài viết Hệ thức lượng trong tam giác và giải tam giác – Lý thuyết và bài tập có đáp án để bạn đọc có thể nắm vững nội dung này nhé! Khám phá ngay thôi!

Lý thuyết các hệ thức lượng trong tam giác và giải tam giác đầy đủ chi tiết nhất
Hệ thức lượng trong tam giác và giải tam giác – Lý thuyết và bài tập có đáp án

I. Lý thuyết hệ thức lượng trong tam giác và giải tam giác

1. Nhắc lại hệ thức lượng trong tam giác vuông

Cho tam giác ABC vuông góc tại đỉnh A (góc A bằng 90 độ), ta có:

  • b^2=ab′;c^2=a.c′
  • Định lý Pitago : a^2=b^2+c^2
  • a.h=b.c
  • h^2=b′.c′
  • \frac{1}{h^2}=\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}
Hệ thức lượng trong tam giác và giải tam giác - Lý thuyết và bài tập có đáp án 12

2. Định lý cosin

Định lí: Trong một tam giác bất kì, bình phương một cạnh bằng tổng các bình phương của hai cạnh còn lại trừ đi hai lần tích của hai cạnh đó nhân với cosin của góc xen giữa chúng

Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b và AB = c, ta có các hệ thức sau: 

  • a^2=b^2+c^2−2bc.cosA(1)
  • b^2=a^2+c^2−2ac.cosB(2)
  • c^2=a^2+b^2−2ab.cosC(3)

Hệ quả:

  • cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}
  • cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}
  • cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}
Hệ thức lượng trong tam giác và giải tam giác - Lý thuyết và bài tập có đáp án 13

Áp dụng: Tính độ dài đường trung tuyến của tam giác

Cho tam giác ABC có các cạnh BC=a, CA=b và AB=c. Gọi m_a,m_b và m_c là độ dài các đường trung tuyến lần lượt vẽ từ các đỉnh A,B,C của tam giác. Ta có

  • m_a^2=\frac{2(b^2+c^2)-a^2}{4}
  • m_b^2=\frac{2(a^2+c^2)-b^2}{4}
  • m_c^2=\frac{2(a^2+b^2)-c^2}{4}

3. Định lí sin

Định lí: Trong tam giác ABC bất kỳ, tỉ số giữa một cạnh và sin của góc đối diện với cạnh đó bằng đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác, nghĩa là \frac{a}{sin a}=\frac{b}{sin b}=\frac{c}{sin c}=2R với R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác 

4. Công thức tính diện tích tam giác

Cho tam giác ABC có

  • h_a, h_b, h_c là độ dài đường cao lần lượt tương ứng với các cạnh BC, CA, AB;
  • R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác;
  • r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác;
  • p=\frac{a+b+c}{2} là nửa chu vi của tam giác
  • S là diện tích tam giác.

Khi đó ta có:

  • S=\frac{1}{2}absinC=\frac{1}{2}bcsinA =\frac{1}{2}casinB (1)  
  • S=\frac{abc}{4R} (2)          
  • S=pr (3)          
  • S=\sqrt{p(p−a)(p−b)(p−c)} (công thức  Hê – rông) (4)
Hệ thức lượng trong tam giác và giải tam giác - Lý thuyết và bài tập có đáp án 14

5. Giải tam giác và ứng dụng vào việc đo đạc

Giải tam giác : Giải tam giác là tìm một số yếu tố của tam giác khi đã biết các yếu tố khác của tam giác đó.

Muốn giải tam giác ta cần tìm mối liên hệ giữa các yếu tố đã cho với các yếu tố chưa biết của tam giác thông qua các hệ thức đã được nêu trong định lí cosin, định lí sin và các công thức tính diện tích tam giác.

Lưu ý:
1. Cần lưu ý là một tam giác giải được khi ta biết 3 yếu tố của nó, trong đó phải có ít nhất một yếu tố độ dài (tức là yếu tố góc không được quá 2)
2. Việc giải tam giác được sử dụng vào các bài toán thực tế, nhất là các bài toán đo đạc.

II. Bài tập hệ thức lượng trong tam giác và giải tam giác

Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết AB:AC = 3:4 và AB + AC = 24
a) Tính các cạnh của tam giác ABC
b) Tính độ dài các đoạn AH, BH, CH
    Hướng dẫn giải:

    Hệ thức lượng trong tam giác và giải tam giác - Lý thuyết và bài tập có đáp án 15
    Bài 2: Cho tam giác ABC với các đỉnh A, B, C và các cạnh đối diện với các đỉnh tương ứng là a, b, c
    a) Tính diện tích tam giác ABC theo a
    b) Chứng minh a^2+b^2+c^2>=4 \sqrt{3}S
      Hướng dẫn giải:

      Hệ thức lượng trong tam giác và giải tam giác - Lý thuyết và bài tập có đáp án 16
      Bài 3: Cho tam giác nhọn ABC đường cao CK; H là trực tâm của tam giác. Gọi M là một điểm trên CK sao cho AMB = 90 (độ). S,S_1,S_2 theo thứ tự là diện tích các tam giác AMB, ABC và ABH. Chứng minh rằng S=\sqrt{S_1.S_2}
        Hướng dẫn giải:

        Hệ thức lượng trong tam giác và giải tam giác - Lý thuyết và bài tập có đáp án 17
        Bài 4: Cho tam giác cân ABC có đáy BC = 2a, cạnh bên bằng b, b>a
        a) Tính diện tích tam giác ABC
        b) Dựng BK \bot AC. Tính tỉ số AK/AC
          Hướng dẫn giải:

          Hệ thức lượng trong tam giác và giải tam giác - Lý thuyết và bài tập có đáp án 18
          Bài 5: Cho hình thang ABCD có A = D = 90 (độ), B = 60 (độ), CD = 30 cm, CA \bot CB. Tính diện tích của hình thang
            Hướng dẫn giải:

            Hệ thức lượng trong tam giác và giải tam giác - Lý thuyết và bài tập có đáp án 19
            Bài 6: Cho tam giác nhọn ABC hai đường cao AD và BE cắt nhau tại H. Biết HD : HA = 1 : 2. Chứng mình rằng tgB.tgC = 3
              Hướng dẫn giải:
              Hệ thức lượng trong tam giác và giải tam giác - Lý thuyết và bài tập có đáp án 20
              Bài 7: Cho tam giác ABC có AB = 16, AC = 14, B = 60 (độ)
              a) Tính độ dài cạnh BC
              b) Tính diện tích tam giác ABC
                Hướng dẫn giải:

                Hệ thức lượng trong tam giác và giải tam giác - Lý thuyết và bài tập có đáp án 21
                Bài 8: Tính diện tích tam giác ABC biết ABC = 45 (độ), ACB = 60 (độ), bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là R
                  Hướng dẫn giải:

                  Hệ thức lượng trong tam giác và giải tam giác - Lý thuyết và bài tập có đáp án 22

                  Trên đây là toàn bộ bài viết Hệ thức lượng trong tam giác và giải tam giác – Lý thuyết và bài tập có đáp án. Cảm ơn các bạn đã theo dõi bài viết của HocThatGioi. Hi vọng rằng bài viết sẽ mang lại thêm các kiến thức bổ ích cho các bạn. Hãy đồng hành cùng HocThatGioi để tiếp thu thêm các kiến thức hay, bổ ích nhé. Chúc các bạn học tốt!

                  Bài viết khác liên quan đến Vecto
                  Back to top button
                  Close