Toán 11

Lý thuyết phép đối xứng trục đầy đủ nhất

Xin chào các bán, bài học hôm nay sẽ đem đến cho các bạn toàn bộ lý thuyết phép đối xứng trục và một số ví dụ bài tập giúp các bạn rèn luyện. Hãy theo dõi hết bài viết cùng HocThatGioi nhé.

1. Định nghĩa

Phép đối xứng trục
Phép đối xứng trục

Cho đường thẳng . Phép biến hình

  • Biến mỗi điểm M \in d thành chính nó
  • Biến mỗi điểm M \in d thành M'

Sao cho d là đường trung trực của MM' được gọi là phép đối xứng qua

đường thẳng d hay phép đối xứng trục d.

Đường thẳng d được gọi là trục của phép đối xứng hoặc đơn giản gọi là trục đối xứng.

Phép đối xứng trục d thường được kí hiệu là: Đ_{d}

Nếu hình H' là ảnh của hình H qua phép đối xứng trục d thì ta còn nói H đối xứng với H' qua d , hay HH' đối xứng với nhau qua d

Nhận xét:
– Cho đường thẳng d. Với mỗi điểm M gọi M_{0} là hình chiếu vuông góc của M trên đường thẳng d. Khi đó M’ = Đ_{d}(M) \Leftrightarrow \overrightarrow{M_{0}M’} = -\overrightarrow{M_{0}M}
M’ = Đ_{d}(M) \Leftrightarrow M = Đ_{d}(M’)
– Đường thẳng d được gọi là trục đối xứng của hình H nếu phép đối xứng qua d biến hình H thành chính nó. Khi đó ta nói hình H có trục đối xứng

2. Tính chất

Tính chất 1: Phép đối xứng trục bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì

Lý thuyết phép đối xứng trục đầy đủ nhất 3
Tính chất 2

Tính chất 2: Phép đối xứng trục biến đường thẳng thành đường thẳng, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.

Ví dụ: Cho tứ giác ABCD. Hai đường thẳng ACBD cắt nhau tại E. Xác định ảnh cả tam giác ABE qua phép đối xứng qua đường thẳng CD
    Chỉ cần xác định ảnh của các đỉnh của tam giác A, B, E qua phép đối xứng trục đó. Ảnh phải tìm là tam giác A’B’E’
    Lý thuyết phép đối xứng trục đầy đủ nhất 4

    3. Biểu thức toạ độ

    Trong mặt phẳng Oxy, với mỗi điểm M(x;y), gọi M'(x';y') = Đ_{đ}(M).

    Nếu chọn d là trục Ox thì \left\{\begin{matrix}x' = x\\y' = -y\end{matrix}\right.

    Nếu chọ d là trục Oy, thì \left\{\begin{matrix}x' = - x\\y' = y\end{matrix}\right.

    Ví dụ:
    Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm M(1;5), đường thẳng d có phương trình x – 2y + 4 = 0 đường tròn (C): x^{2} + y^{2} -2x + 4y – 4 = 0.
    a. Tìm ảnh của M; d; (C) qua phép đối xứng trục Ox
    b. Tìm ảnh của M qua phép đối xứng qua đường thẳng d
      a. Tìm ảnh của M; d; (C) qua phép đối xứng trục Ox
      Gọi M’; d’; (C’) theo thứ tự là ảnh của của M; d; (C) qua phép đối xứng trục Ox. Khi đó M'(1;-5).
      Để tìm ảnh của d ta sử dụng biểu thức toạ dộ phép đối xứng trục Ox.
      Gọi N'(x’;y’) là ảnh của điểm N(x;y) qua phép đối xứng trục Ox
      Khi đó \left\{\begin{matrix}x’ = x\\y’ = -y\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x = x’\\y = -y’\end{matrix}\right.
      Ta có N \in d \Leftrightarrow x’ – 2(-y’) + 4 = 0 \Leftrightarrow x’ + 2y’ + 4 = 0 \Rightarrow d’: x + 2y + 4 = 0
      Để tìm (C’), ta thấy rằng (C) có tâm I(1;-2), bán kính bằng 3
      Khi đó J'(1;2). Do đó (C)’ là đườn tròn tâm J(1;2) bán kính bằng 3.
      Từ đó, suy ra (C’): (x – 1)^{2} + (y – 2)^{2} = 9
      b. Tìm ảnh của M qua phép đối xứng qua đường thẳng d
      Đường thẳng d_{1} đi qua M vuông goác với đường thẳng d có phương trình
      \frac{x – 1}{1} = \frac{y – 5}{-2} \Leftrightarrow 2x + y – 7 = 0.
      Giao của dd_{1}M_{0} có toạ độ thoả mãn \left\{\begin{matrix}x – 2y + 4 = 0\\2x + y – 7 = 0\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x = 2\\y = 3\end{matrix}\right.
      Vậy M_{0}(2;3). Từ đó suy ra ảnh của M qua phép đối xứng qua đường thẳng dM” sao cho M_{0} là tủng điểm của MM” do đó M”(3;1)

      Cảm ơn các bạn đã theo dõi bài viết của HocThatGioi về Lý thuyết phép đối xứng trục đầy đủ nhất. Nếu thấy bài viết hay, ý nghĩa hãy chia sẻ ngay đến bạn bè của mình để cùng nhau học thật giỏi nhé! Chúc các bạn học tốt!

      Bài viết khác liên quan đến Phép dời hình, đồng dạng trong mặt phẳng
      Back to top button
      Close