Toán 11

Lý thuyết phép quay đầy đủ nhất

Xin chào các bán, bài học hôm nay sẽ đem đến cho các bạn toàn bộ lý thuyết phép quay và một số ví dụ bài tập giúp các bạn rèn luyện. Hãy theo dõi hết bài viết cùng HocThatGioi nhé.

1. Định nghĩa phép quay

Cho điểm O và góc lượng giác \alpha

Phép biến hình biến điểm O thành chính nó, biến mỗi điểm M khác O thành điểm M' sao cho OM' = OM và góc lượng giác (OM;OM') bằng \alpha được gọi là phép quay tâm O

Điểm O được gọi là tâm quay, \alpha được gọi là góc quay của phép quay đí.

Phép quay tâm O góc \alpha thường được ký hiệu Q_{O,\alpha}.

Chiều dương của phép quay là chiều dương của đường tròn lượng giác nghĩa là chiều ngược với chiều quay của kim đồng hồ.

Phép quay
Phép quay

Với k là số nguyên ta luôn có:

  • Phép quay Q_{O,2k\pi} là phép đồng nhât
  • Phép quay Q_{O,(2k + 1)\pi}

2. Tính chất phép quay

Tính chất 1
Tính chất 1

Tính chât 1: Cho Q_{(O,\alpha)}(M) = M'Q_{(Q,\alpha)}(N) = N' thì M'N' = MN

Tính chất 2:

  • Phép quay tâm O góc \alpha biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng cùng độ dài.
  • Phép quay tâm O góc \alpha biến đường thẳng thành đường thẳng.
  • Phép quay tâm O góc \alpha biến tam giác thành tam giác bằng nó.
  • Phép quay tâm O góc \alpha biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.

3. Biểu thức toạ độ của phép quay

Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm M(x;y) và điểm I(a;b). Gọi M' là ảnh của M qua phép quay tâm I góc \varphi. Khi đó

Biểu thức toạ độ
M'(x’;y’) = Q_{(I,\alpha )}(M) \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x’ = (x – a)cos\varphi – (y – b)sin\varphi + a\\ y’ = (x – a)sin\varphi + (y – b)cos\varphi + b\end{matrix}\right.
Lưu ý:
Xét Q_{(O;\alpha )}(M) = M’:
– Nếu \alpha > 0 thì ta quay theo chiều dương là chiều ngược kim đồng hồ.
– Nếu \alpha < 0 thì ta quay theo chiều âm là cùng chiều kim đồng hồ.
– Nếu \alpha = 2k\pi, k \in \mathbb{Z} thì M' \equiv M
– Nếu \alpha = \pi + 2k\pi, k \in \mathbb{Z} thì O là trung điểm MM'
Xét Q_{(O;\alpha )}(d) = d' và cho 0^{\circ} < \alpha < 180^{\circ} thì góc (d;d') = \left\{\begin{matrix}\alpha khi 0^{\circ} < \alpha \leq 90^{\circ}\\ \pi – \alpha khi 90^{\circ} \leq \alpha \leq 180^{\circ}\end{matrix}\right.
Ví dụ: Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng \Delta : x + 2y – 11 = 0. Viết phương trình đường thẳng \Delta ‘ là ảnh của đường thẳng \Delta qua phép quay tâm O góc 90^{\circ}
    Gọi M(x;y) là một điểm bất kì thuộc đường thẳng \Delta, M'(x’;y’) là ảnh của điểm M qua phép quay tâm O góc 90^{\circ}
    Khi đó M’ sẽ thuộc đường thẳng \Delta ‘
    Theo biểu thức toạ độ của phép quay tâm O, góc quay 90^{\circ} ta có:
    \left\{\begin{matrix}x’ =x.cos90^{\circ} – y.sin90^{\circ}\\y’ = x.sin90^{\circ} + y.cos90^{\circ}\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x’ = -y\\y’ = x\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x = y’\\y = -x’\end{matrix}\right.
    Thay vào phương trình \Delta ta có y’ + 2(-x’) – 11 = 0 \Leftrightarrow 2x’ – y’ + 11 = 0
    Vậy phương trình \Delta ‘: 2x – y +11 = 0

    Như vậy, bài viết về Lý thuyết phép quay đầy đủ nhất của HocThatGioi đến đây đã hết. Qua bài viết, hi vọng giúp các bạn tổng ôn được các kiến thức trọng tâm. Đừng quên Like và Share để HocThatGioi ngày càng phát triển nhé! Cảm ơn các bạn đã theo dõi hết bài viết và chúc các bạn học tốt!

    Bài viết khác liên quan đến Phép dời hình, đồng dạng trong mặt phẳng
    Back to top button
    Close