Toán lớp 12

Lý thuyết số phức và các tính chất quan trọng của số phức

Trong bài này HocThatGioi sẽ hướng dẫn cho các bạn bài đầu tiên trong chương Số Phức Toán 12. Qua bài viết sẽ giúp các bạn hiểu rõ những khái niệm và tính chất cơ bản về số phức. Hãy đồng hành cùng HocThatGioi để giải quyết các bài toán này nhé!

1. Khái niệm về số phức

Mỗi biểu thức dạng a+bi, trong đó a, b \: \epsilon \: \mathbb{R}, i^{2} = -1 được gọi là số phức.

Đối với số phức z = a + bi, ta nói aphần thực, bphần ảo của z.

Tập hợp của số phức kí hiệu z\mathbb{C}

Ví dụ: z = 1 + 2i, z = 3 - 5i ,…

Chú ý: Hai số phức bằng nhau có dạng: a + bi = c + di \Leftrightarrow a = cb = d
Bài tập 1: Tìm các số thực xy biết (x+1) + (2y+1)i = 2 + (y+1)i
    Từ định nghĩa hai số phức bằng nhau, ta có: x + 1 = 22y + 1 = y + 1
    Vậy x = 1y = 0

    * Tổng kết:

    1. Mỗi số thực a được coi là một số phức với phần ảo bằng 0
    2. Số phức có dạng z = 0 + bi được gọi là số thuần ảo
    3. Số phức có dạng z = a +0i được gọi là số thực
    4. Số i được gọi là đơn vị ảo

    2. Biểu diễn hình học của số phức

    Như ta đã biết, mỗi số phức z = a + bi hoàn toàn được xác định bởi cặp số thực (a ; b). Khi đó, điểm M(a ; b) được gọi là điểm biểu diễn số phức z = a + bi.

    Bài tập 2: Hãy tìm điểm biểu diễn số phức z = 1 + 2i trên hệ trục tọa độ Oxy
      Như định nghĩa ta có điểm biểu diễn số phức z = 1 + 2i là điểm có tọa độ M(1 ; 2).

      Minh họa hình vẽ:

      Lý thuyết số phức và các tính chất quan trọng của số phức 3
      Minh họa số phức điểm biểu diễn số phức z = 1 + 2i

      3. Môđun của số phức

      Cho số phức z = a + bi.

      Khi đó, môđun số phức z là: \left| z\right| = OM = \sqrt{a^2 + b^2}

      Chứng minh:

      Lý thuyết số phức và các tính chất quan trọng của số phức 4
      Minh họa số phức M

      Ta có: \left| z\right| = OM

      Mà theo định lý Pitago ta có: OM = \sqrt{a^2 + b^2}

      Do đó, ta có công thức: \left| z\right| = OM = \sqrt{a^2 + b^2}

      Bài tập 3: Tìm môđun của số phức sau:
      a) z = 1 + 2i
      b) z = 2 – 3i
      c) z = 3 + 4i
        Nhắc lại công thức tính môđun số phức: \left| z\right| = \sqrt{a^2 + b^2} với z = a + bi
        Áp dụng công thức vào bài toán:
        a) \left| z\right| = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}
        b) \left| z\right| = \sqrt{2^2 + (-3)^2} = \sqrt{13}
        c) \left| z\right| = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5

        4. Số phức liên hợp

        Cho số phức z = a + bi.

        Ta gọi: a - bi là số phức liên hợp của z

        Kí hiệu là \bar{z} = a - bi

        Bài tập 4: Cho số phức z = 3 + 4i. Hãy tính môđun số phức z\bar{z} và từ đó rút ra nhận xét.
          Ta có số phức liên hợp của z = 3 + 4i\bar{z} = 3 – 4i
          Áp dụng công thức ta tính được:
          + \left| z\right| = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5
          + \left| z\right| = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = 5
          Lưu ý: \left|z\right| = \left|\bar{z}\right|z = \bar{\bar{z}}

          5. Bài tập tự luyện về số phức

          Câu 1. Phần thực của số phức z = 3 – 4i bằng
          Câu 2. Số phức nào dưới đây là số thuần ảo.
          Câu 3. Số phức liên hợp của số phức z = -3 + 5i là:
          Câu 4. Môđun của số phức 1 + 3i bằng

          Câu 5. Điểm biểu diễn hình học của số phức z = 2 – 3i là điểm nào trong các điểm sau đây?

          Trên đây là bài viết lý thuyết cơ bản về số phức. Qua bài viết này, HocThatGioi đã giúp bạn nắm rõ lý thuyết và tính chất cơ bản về số phức. Cảm ơn các bạn đã theo dõi bài viết của HocThatGioi. Hãy đồng hành cùng HocThatGioi để tiếp thu thêm các kiến thức hay, bổ ích nhé. Chúc các bạn học tốt!

          Bài viết khác liên quan đến số phức
          Back to top button
          Close