Toán 11

Phương pháp giải các dạng toán phép quay hay nhất

Xin chào các bạn, sau khi đã năm bắt được toàn bộ lý thuyết phép quay ở bài học trước. Hôm nay HocThatGioi sẽ đem đến cho các ban các dạng bài tập của phép quay và phương pháp để giải các dạng này. Hãy theo dõi hết bài viết cùng HocThatGioi nhé.

1. Tìm toạ độ ảnh của một điểm qua phép quay

Phương pháp 1: Sử dụng định nghĩa

Trong mặt phẳng Oxy. Gọi M'(x_{M};y_{M}) là ảnh của M(x_{M};y_{M}) qua phép quay tâm I(a;b), góc quay \alpha. Khi đó:

Phương pháp xác định ảnh của một điểm qua phép quay
M'(x_{M};_{M}) – Q_{(I,\alpha)}(M) \Rightarrow \left\{\begin{matrix}IM’ = IM (1)\\ \widehat{MIM’} = \alpha (2)\end{matrix}\right.
Các bước:
Bước 1: Từ (1), sử dụng công thức tính độ dài, sẽ tìm được phương trình thứ nhất chứa 2 ẩn
Bước 2: Từ (2), sủ dụng định láy hàm số \cos, sẽ tìm được phương trình thứ hai theo 2 ẩn
Bước 3: Giải hệ phương trình này tìm được x_{M};y_{M} từ đó suy ra toạ độ điểm M'(x_{M};y_{M})

Phương pháp 2: Sử dụng công thức toạ độ

Công thức toạ độ
M;(x_{M}’;y_{M’}) = Q_{(I;\alpha)}(M) \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x’_{M} = (x_{M} – a)cos\alpha – (y_{M} – b)sin\alpha + a\\ y’_{M} = (x_{M} – a)sin\alpha + (y_{M} – b)cos\alpha + b\end{matrix}\right.

Phương pháp 3: Trong các trường hợp đơn giản sử dụng hệ trục toạ độ, thực hiện phép quay tìm ngay được toạ độ điểm ảnh.

Ví dụ 1:
Trong mặt phẳng Oxy, tìm toạ độ A’, B’ lần lượt là ảnh của A, B qua phép quay tâm O, góc 90^{\circ}. BIết
a. A(1;0)
b. B(0;-2)
    a. Xét điểm A(1;0)
    Phương pháp 1:
    Gọi A’ có toạ độ x’; y’. Khi đó
    A'(x’;y’) = Q_{(O;90^{\circ})}(A) \Rightarrow \left\{\begin{matrix}OA = OA’ (1)\\ \widehat{AOA’} = 90^{\circ} (2)\end{matrix}\right.
    Từ (1), suy ta (x’)^{2} +(y’)^{2} = 1
    Từ (2), suy ra 1.x’ + 0.y’ = 0
    Vậy thu được (x’;y’) = (0;1) hoặc (x’;y’) = (0;-1). Vì góc quay dương nên thu được điểm A'(0;1)
    b. Xét điểm B(0;-2)
    Phương pháp 2:
    Gọi B’ có toạ độ là (x’;y’). Khi đó
    \left\{\begin{matrix}x’ = (x_{B} – x_{O})cos90^{\circ} – (y_{B} – y_{O}sin90^{\circ}) +x_{O}\\y’ = (x_{B} – x_{O})sin90^{\circ} + (y_{B} – y_{O}cos90^{\circ}) + y_{O}\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x’ = 2\\y’ = 0\end{matrix}\right. \Leftrightarrow B'(2;0)
    Phương pháp 3: Biểu điểm điểm A, B trên trục toạ độ, có thể suy ra toạ độ điểm A’ và B’

    2. Tìm phương trình ảnh của một đường tròn qua phép quay

    Phương pháp: Vì phép quay biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính nên để tìm phương trình ảnh của đường tròn qua phép quay, chúng ta thực hiện qua ba bước sau đây:

    • Xác định toạ độ tâm I và bán kính R của đường tròn tạo ảnh từ phương trình đường tròn đã cho.
    • Tìm toạ độ tâm I là ảnh của tâm I qua phép quay.
    • Viết phương trình đường tròn ảnh với tọa đë tâm I’ và bán kính R.
    Ví dụ 1: Trong mặt phẳng Oxy, hãy tìm ảnh của đường tròn (C’) qua phép quay tâm O, góc quay \alpha tròn các trường hợp sau đây
    a. (C): (x – 2)^{2} + (y – 1)^{2} = 1 \alpha = 90^{\circ}
    b. (C): x^{2} + y^{2} – 4x – 5 = 0 \alpha = 90^{\circ}
      a. (C): (x – 2)^{2} + (y – 1)^{2} = 1 \alpha = 90^{\circ}
      Ta có:
      Tâm: I(2;1), R = 1. Suy ra I'(-1;2), R’ = R = 1
      (C)’ = (x + 1)^{2} + (y – 2)^{2} = 1
      b. (C): x^{2} + y^{2} – 4x – 5 = 0 \alpha = 90^{\circ}
      Ta có:
      Tâm: I(0;2), R = 3. Suy ra I'(0;2), R’ = R = 3
      (C)’ = x^{2} + (y – 2)^{2} = 9

      3. Sử dụng phép quay để giải các bài toán dựng hình

      Phương pháp: Xem điểm cần dựng là giao của một đường có sẵn và ảnh của một đường khác qua phép quay Q_{I;\alpha} nào đó.

      Ví dụ: Cho điểm A và hai đường thẳng d_{1}, d_{2}. Dựng tam giác ABC vuông cân tại A sao cho B \in d_{1}, C \in d_{2}
        Phân tích:
        Giả sử đã dựng được tam giác ABC thoả mãn yêu cầu bài toán
        Ta có thể giả sử (AB,AC) = 90^{\circ}, khi đó Q_{A, -90^{\circ}}(C) = BC \in d_{2} nên B’ \in d_{2}’ với d_{2}’ = Q_{(A;-90^{\circ})}(d_{2})
        Ta lại có B \in d_{1} nên B = d_{1} \cap d_{2}’
        Cách dựng:
        + Dựng đường thẳng d_{2}’ là ảnh của d_{2} qua Q_{(A;-90^{\circ})}
        + Dựng giao điểm B = d_{1} \cap d_{2}’
        + Dựng đường thẳng qua A vuông góc với AB cắt d_{2} tại C
        Tam giác ABC là tam giác cần dựng
        Chứng minh: Từ cách dựng suy ra Q_{(a;90^{\circ})}(B) = C nên AB = AC\widehat{BAC} = 90^{\circ} do đó tam giác ABC vuông cân tại A.
        Nhận xét:
        + Nếu d_{1},d_{2} không vuông góc thì bài toán có một nghiệm hình
        + Nếu d_{1} vuông góc d_{2}A nằm trên đường phân giác của một trong các góc tạo bởi d_{1}, d_{2} thì bài toán có vô số nghiệm hình.
        + Nếu d_{1} vuông góc d_{2}A không nằm trên đường phân giác của một trong các góc tạo bởi d_{1}, d_{2} thì bài toán vô nghiệm hình.
        Phương pháp giải các dạng toán phép quay hay nhất 4

        4. Sử dụng phép quay để giải các bài toán tập hợp điểm

        Phương pháp: Xem điểm cần dựng là giao của một đường có sẵn và ảnh của một đường khác qua phép quay Q_{(I;\alpha)} nào đó. Để tìm tập hợp điểm M' ta tìm tập hợp điểm MQ_{(I;\alpha)} nào đó biến điểm M thành M', khi đó M \in (H) thì M' \in (H') = Q_{(I;\alpha)}((H))

        Ví dụ: Cho đường thẳng d và một điểm G không nằm trên d. Với mỗi điểm A nằm trên d ta dựng tam giác đều ABC có tâm G. Tìm quỹ tích các điểm B, C khi A di động trên d
          Do tam giác ABC đều và có tâm G nên phép quay tâm G góc quay 120^{\circ} biến A thành B hoặc C và phép quay tâm G góc quay 120^{\circ} biến A thành B hoặc C.
          A \in d nên B, C thuộc các đường thẳng là ảnh của d trong hai phép quay nói trên.
          Vậy quỹ tích các điểm B, C là các đường thẳng ảnh của d trong hai phép quay tâm G góc quay 120^{\circ}240^{\circ}
          Phương pháp giải các dạng toán phép quay hay nhất 5

          5. Sử dụng phép quay để giải các bài toán hình học phẳng

          Ví dụ: Cho tam giác ABC. Vẽ các tam giác ABB’ và ACC’ nằm phía ngoài tam giác ABC. Gọi I, J lần lượt là trung điểm CB’ và BC’. Chứng minh các điểm A, I, J hoặc trùng nhau hoặc tạo thành một tam giác đều.
            Giả sử góc lượng giác (AB,AC) > 0
            Xét phép quay Q_{A;60^{\circ}}
            Ta có Q_{(A; 60^{\circ})}: B’ -> B, C -> C’ do đó Q_{(A;60^{\circ})}: B’C -> BC’.
            Mà I, J lần lượt là trung điểm B’C và BC nên Q_{(A;60^{\circ})}(I) = J.
            Vậy nếu I, J không trùng A thì \Delta AIJ đều
            Khi \widehat{BAC} = 120^{\circ} thì I \equiv J \equiv A
            Phương pháp giải các dạng toán phép quay hay nhất 6

            Trên đây là bài viết Phương pháp giải các dạng toán phép quay hay nhất mà HocThatGioi đã đem đến cho các bạn. Qua bài viết này, Các bạn cùng theo dõi các bài viết tiếp theo về chương phép dời hình, đồng phẳng trong mặt phẳng để có một nền tảng thật vững chắc nhé. Cảm ơn các bạn đã theo dõi bài viết của HocThatGioi. Hãy đồng hành cùng HocThatGioi để tiếp thu thêm các kiến thức hay, bổ ích nhé. Chúc các bạn học tốt

            Bài viết khác liên quan đến Phép dời hình, đồng dạng trong mặt phẳng
            Back to top button
            Close