Phương trình bậc 2 số phức cực đầy đủ và chi tiết

Đại Toàn Tháng Một 5, 2022

Bài viết hôm nay, HocThatGioi xin được trình bày đến cho các bạn về cách giải phương trình bậc hai với hệ số phức. Hãy theo dõi hết bài viết dưới để học tập hiệu quả hơn nhé. Qua bài viết sẽ giúp các bạn hiểu rõ để giúp các bạn giải quyết thành thục các bài tập về phương trình bậc hai và những kĩ năng cần nắm. Hãy đồng hành cùng HocThatGioi để giải quyết các bài toán này nhé!

1. Căn bậc hai của số thực âm

Ta có: $i^2=-1$

Khi đó ta nói $i$ là một căn bậc hai của $-1$ và $-i$ cũng là căn bậc hai của $-1$

Bài tập 1: Tìm căn bậc hai của

-2

Ta có:

\sqrt{-2}= \sqrt{-1.2}

Mà

( \pm i)^2 = -1

nên ta suy ra

\sqrt{-2}= \pm i.\sqrt{2}

2. Cách tìm căn bậc hai của số phức

Cho số phức có dạng $z = a + bi$ , để tìm căn bậc hai của số phức ta làm như sau

Bước 1: Đặt $w = x + yi = \sqrt{z}$

Bước 2: Biến đổi $w^2 = (x+yi)^2 = a + bi$

Bước 3: Đồng nhất hệ số 2 vế: $\left\{\begin{matrix}x^2 - y^2 = a \\2xy = b \end{matrix}\right.$

Bước 4: Giải hệ và tìm được $x, y$ và từ đó suy ra $w = x + yi$

3. Phương trình bậc hai với hệ số phức

Cho phương trình bậc hai $ax^2+bx+c=0$ với $a, b, c \in \mathbb{R}, a \neq 0$

Xét $\Delta = b^2 - 4ac$ ta thấy:

Khi $\Delta = 0$ thì phương trình có 1 nghiệm thực $\frac{-b }{2a}$
Khi $\Delta > 0$ thì phương trình có 2 nghiệm thực phân biệt $x_{1, 2} = \frac{-b \pm \sqrt{ \Delta } }{2a}$
Khi $\Delta < 0$ thì phương trình có 2 nghiệm thực phân biệt $x_{1, 2} = \frac{-b \pm i \sqrt{ |\Delta| } }{2a}$

Hệ thức vi-et vẫn đúng trong trường số phức:

z_1 + z_2 = \frac{-b}{a}

và

z_1.z_2 = \frac{c}{a}

Bài tập 2: Gọi

z_1, z_2

là hai nghiệm của phương trình

z^2 + 2z + 10 = 0

. Tính giá trị của biểu thức

A = |z_1|^2 + |z_2|^2

Ta có:

z^2+2z+10 = 0

Xét

\Delta’ = b’^2 – ac = 1 \: – \: 10 = -9

Vì

\Delta’ < 0

nên phương trình có nghiệm phức phân biệt
Theo công thức đã nêu ở trên thì ta có

z_{1,2} = -1\pm 3i

Vậy

A = |z_1|^2 + |z_2|^2 = |-1-3i|^2 + |-1+3i|^2 = 20

3. Bài tập tự luyện phương trình bậc 2 số phức

Câu 1. Nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình

z^2-2z+5=0

là

a. $1+2i$
b. $-1+2i$
c. $-1-2i$
d. $1-2i$

Câu 2. Gọi

z_0

là nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình

z^2 + 6z + 13 = 0

. Trên mặt phẳng tọa độ, điểm biểu diễn số phức

1 \: – \: z_0

là

a. $N(-2;2)$
b. $M(4;2)$
c. $P(4;-2)$
d. $Q(2;-2)$

Câu 3. Phương trình nào dưới đây nhận hai số phức

1 + \sqrt{2}i

và

1 \:-\: \sqrt{2}i

là nghiệm

a. $z^2 + 2z + 3 = 0$
b. $z^2 \:-\: 2z + 3 = 0$
c. $z^2 + 2z \:-\: 3 = 0$
d. $z^2 \:-\: 2z \:-\:3 = 0$

Trên đây là bài viết về Phương trình bậc 2 với hệ số phức. Qua bài viết này, HocThatGioi đã giúp bạn nắm rõ các dạng bài cũng như phương pháp giải dạng toán trên. Các bạn cùng theo dõi các bài viết tiếp theo về chương Số Phức này để có một nền tảng thật vững chắc nhé. Cảm ơn các bạn đã theo dõi bài viết của HocThatGioi. Hãy đồng hành cùng HocThatGioi để tiếp thu thêm các kiến thức hay, bổ ích nhé. Chúc các bạn học tốt!