Toán lớp 12

Tập hợp điểm biểu diễn số phức đầy đủ và chi tiết mọi dạng bài

Trong bài này HocThatGioi sẽ hướng dẫn cho các bạn bài biểu diễn hình học trong chương Số Phức Toán 12. Qua bài viết sẽ giúp các bạn hiểu rõ quỹ tích biểu diễn các điểm số phức và cũng như xây dựng một nền tảng giúp giải quyết các bài toán cực trị về sau. Hãy đồng hành cùng HocThatGioi để giải quyết các bài toán này nhé!

1. Tập hợp điểm biểu diễn số phức là đường thẳng

Cho số phức z = x + yi với M(x; y) là điểm biểu diễn số phức zz thỏa mãn một điều kiện K cho trước nào đó.

Nếu ta biến đổi điều kiện K và tìm được mối liên hệ giữa x,\:y có dạng:

Ax + By + C = 0

Thì ta kết luận được tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng d: Ax + By + C = 0.

Bài tập 1: Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn \left|z + 2 \right| = \left|z \: – \: i \right| là một đường thẳng. Hãy tìm đường thẳng đó?
    Theo đề ta có: \left|z + 2 \right| = \left|z \: – \: i \right|
    \Leftrightarrow(x + 2)^2 + y^2 = x^2 + (y-1)^2
    \Leftrightarrow 4x + 4 = -2y + 1
    \Leftrightarrow 4x + 2y + 3 =0

    2. Tập hợp điểm biểu diễn số phức là một đường tròn

    Cho số phức z = x + yi với M(x; y) là điểm biểu diễn số phức zz thỏa mãn một điều kiện K cho trước nào đó.

    Nếu ta biến đổi điều kiện K và tìm được mối liên hệ giữa x,\:y có dạng:

    (x \: - \: a)^2 + (x \: - \: b)^2 = R^2

    Thì ta kết luận được tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I(a; b) với bán kính R

    Bài tập 2: Xét các số phức z thỏa mãn (\bar{z} + 3i)(z \: – \: 3) là số thuần ảo. Trên mặt phẳng tọa độ, tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z là một đường tròn có bán kính bằng
      Gọi z = x + yi
      Theo giả thiết, ta có: (\bar{z} + 3i)(z \: – \: 3) = (\left|z \right|)^2 \: – \: 3\bar{z} + 3iz \: – \: 9i là số thuần ảo khi x^2 + y^2 \: – \: 3x \: – \: 3y =0.
      Đây là phương trình đường tròn tâm I\left ( \frac{3}{2}; \frac{3}{2} \right ) bán kính R = \frac{3\sqrt{2}}{2}
      Lưu ý: Dạng 1 và dạng 2 là hai dạng toán rất hay ra trong các kì thi cuối kì và trung học phổ thông quốc gia. Do đó các bạn cần nắm vững để dễ dàng giải quyết các bài toán liên quan đến tập hợp điểm biểu diễn số phức và cực trị số phức.

      3. Tập hợp điểm biểu diễn số phức là đường conic

      Trong toán học, một đường conic (hoặc gọi tắt là conic) là một đường cong bậc hai tạo nên bằng cách cắt một mặt nón tròn xoay bằng một mặt phẳng.

      Một số hình elip thường gặp trong số phức là elip, parabol,…

      Nếu ta biến đổi điều kiện ban đầu và tìm được mối quan hệ x, y về dạng:

      1. \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 thì điểm biểu diễn số phức z là hình elip với trục lớn là 2a và trục bé là 2b, với tiêu cự là c = \sqrt{a^2 - b^2}
      2. y = ax^2 + bx + c thì điểm biểu diễn số phức là một Parabol.

      Để có thể hiểu hơn về hình elip, các bạn bấm vào Elip để tìm hiểu rõ hơn.

      Bài tập 3: Tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn 2\left|z \:-\: i \right|=\left|z \:-\: \bar{z} + 2i\right| là một hình gì?
        Đặt z = x +yi
        Khi đó: 2\left|z \:-\: i \right|=\left|z \:-\: \bar{z} + 2i\right|
        \Leftrightarrow 2\left|x + (y \:-\: 1)i\right| = \left|(2y+2)i\right|
        \Leftrightarrow \left|x + (y \:-\: 1)i\right| = \left|(y+1)i\right|
        \Leftrightarrow x^2 + (y \:-\: 1)^2 = (y + 1)^2
        \Leftrightarrow y = \frac{x^2}{4}
        Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z là một Parabol
        Bài tập 4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các điểm biểu diễn các số phức thỏa mãn \left|z + 2 \:-\: i\right| + \left|z \:-4\: -i\right| = 10.
          Gọi M(x; y) là điểm biểu diễn của số phức z = x + yi
          Ta có: \left|z + 2 \:-\: i\right| + \left|z \:-4\: -i\right| = 10.
          \Leftrightarrow \left|x + 2 + (y \:-\: 1)i\right| + \left|x \:-\:4 + (y \:-\:1)i\right| = 10.
          \Leftrightarrow \sqrt{(x+2)^2 + (y \:-\:1)^2}+\sqrt{(x \:-\: 4)^2 + (y \:-\:1)^2}=10 (*)
          Đặt A(-2; 1), B(4; 1) \Leftrightarrow AB = 6
          Khi đó phương trình (*) trở thành: MA + MB = 10.
          Khi đó tập hợp những điểm Mthỏa mãn phương trình (*) là một elip với:
          + Độ dài trục lớn 2a = 10 \Rightarrow a = 5.
          + Tiêu cự 2c = AB = 6 \Rightarrow c = 3.
          + Độ dài trục bé với b^2 = a^2 \:- \: c^2 = 16 \Rightarrow b = 4
          Vậy diện tích hình phẳng giới hạn bởi elip trên là: S = \pi .a.b = 20\pi.

          4. Bài tập tự luyện tập hợp biểu diễn số phức

          Câu 1. Cho số phức z thỏa mãn: \left|z \:-\: 1\right| = \left|z \:-\:2 + 3i\right|. Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z
          Câu 2. Xét số phức z thỏa mãn \left|z\right| = \sqrt{2}. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp điểm biểu diễn các số phức w = \frac{4 + iz}{1 + z} là một đường tròn có bán kính bằng
          Câu 3. Tập hợp các điểm trong mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện
          2\left|z \:-\: i\right| = \left|z \:-\: \bar{z} + 2i\right| là hình gì?

          Trên đây là bài viết về Tập hợp điểm biểu diễn số phức z. Qua bài viết này, HocThatGioi đã giúp bạn nắm rõ các dạng bài cũng như phương pháp giải cách bài toán tìm tập hợp điểm biểu diễn Số Phức z. Các bạn cùng theo dõi các bài viết tiếp theo về chương Số Phức này để có một nền tảng thật vững chắc nhé. Cảm ơn các bạn đã theo dõi bài viết của HocThatGioi. Hãy đồng hành cùng HocThatGioi để tiếp thu thêm các kiến thức hay, bổ ích nhé. Chúc các bạn học tốt!

          Bài viết khác liên quan đến số phức
          Back to top button
          Close