Tổng hợp công thức số phức cực đầy đủ và chi tiết

Đại Toàn Tháng Mười Một 17, 2021

Trong bài này HocThatGioi sẽ hướng dẫn cho các bạn nắm được các công thức cũng như tính chất trong chương Số Phức Toán 12. Qua bài viết sẽ giúp các bạn hiểu rõ để giúp các bạn giải quyết thành thục các bài tập. Hãy đồng hành cùng HocThatGioi để giải quyết các bài toán này nhé!

1. Các phép toán trên số phức

Để nắm rõ các phép toán trên số phức, đầu tiên ta đến với phép toán cộng và trừ

1.1. Cộng và trừ số phức

Cho hai số phức $z_{1} = a + bi$ và $z_{1} = a' + b'i$

Công thức cộng hai số phức

z_{1} + z_{2}

(a + bi) + (a’ + b’i) = (a+a’) + (b+b’)i

Đề hiểu rõ hơn về công thức, ta tiến hành phân tích các ví dụ sau

Ví dụ 1: Cho hai số phức

z_{1} = 3 – 2i

và

z_{2} = 2 + i

. Số phức

z_{1} + z_{2}

Áp dụng công thức:

a + bi + (a’ + b’i) = (a+a’) + (b+b’)i

Ta tính được:

z_{1} + z_{2}

(3+2) + (-2+1)i

5 - i

Công thức trừ hai số phức

z_{1}\:-\:z_{2}

(a + bi)\:-\:(a’ + b’i) = (a-a’) + (b-b’)i

Ví dụ 2: Cho hai số phức

z_{1} = 1 + 2i

và

z_{2} = 3 + i

. Số phức

z_{1}\:-\:z_{2}

bằng

Áp dụng công thức 2 ta tính được:

z_{1}\:-\:z_{2} = (1+2i)\:-\:(4-i) = -3 + 3i

Chúng ta cùng tiếp tục sang phần tiếp theo về Nhân hai số phức nhé.

1.2. Nhân hai số phức

Cho hai số phức $z_{1} = a + bi$ và $z_{1} = a' + b'i$

Công thức nhân hai số phức

z_{1}.z_{2} = (a + bi).(a’ + b’i) = (aa’\:-\:bb’) + (ab’ + ba’)i

k.z_{1} = k.(a + bi) = ka + kbi, (k \: \epsilon \: \mathbb{R})

Ví dụ 3: Cho hai số phức

z_{1} = 3 \:-\: i

và

z_{2} = -1+i

. Tìm phần ảo của số phức

z_{1}.z_{2}

Ta có:

z_{1}.z_{2} = (3\:-\:i).(-1+i) = (-3 + 1) + (3 + 1)i = -2 + 4i

.
Vậy phần ảo cần tìm là 4.

Và công thức không kém phần quan trọng trong bài toán số phức, chúng ta sẽ đi tiến hành tìm hiểu ở phần sau.

1.3. Chia hai số phức

Cho hai số phức $z_{1} = a + bi$ và $z_{1} = a' + b'i$

Công thức chia hai số phức

\frac{z_{1}}{z_{2}} = \frac{aa’-bb’}{a’^2+b’^2}+\frac{ab’+a’b}{a’^2+b’^2}i

Ví dụ 4: Cho số phức

z_{1} = 2 + 3i, z_{2} = 2\:-\: i

. Tính mô đun của số phức

\frac{z_{1}+z_{2}}{z_{2}}

Ta có:

z_{1}+z_{2} = 3 + 4i

Ta tính được:

\frac{z_{1}+z_{2}}{z_{2}} = \frac{7+i}{2}

Suy ra:

\left|\frac{z_{1}+z_{2}}{z_{2}} \right| = \left|\frac{7+i}{2} \right| = \frac{5\sqrt{2}}{2}

2. Một vài công thức và tính chất quan trọng của số phức

Sau đây là một vài công thức thường gặp để giải các bài toán số phức:

$\bar{z}.\bar{z'} = \overline{z.z'}$
$z.\bar{z} = a^2 + b^2$
$\overline{z+z'} = \bar{z}+\bar{z'}$
$\left|z.z' \right| = \left|z\right|.\left|z'\right|$
$\left|\left|z\right|-\left|z'\right| \right|\leqslant \left| z+z'\right|\leqslant \left|z\right| + \left|z'\right|$

Để có thể giải quyết các bài toán cực trị số phức được đề cập ở các bài viết sau, thì sau đây HocThatGioi sẽ cung cấp cho các bạn một vài bất đẳng thức quan trọng để giải quyết các bài toán cực trị:

$\left|z_{1} + z_{2}\right|\leqslant \left|z_{1}\right| + \left|z_{2}\right|$ , dấu ‘=’ khi $z_{1} = kz_{2}$ với $k\geqslant 0$ .
$\left|z_{1} - z_{2}\right|\leqslant \left|z_{1}\right| + \left|z_{2}\right|$ , dấu ‘=’ khi $z_{1} = kz_{2}$ với $k\leqslant 0$ .
$\left|z_{1} + z_{2} \right|\geqslant \left| \left|z_{1}\right| - \left|z_{2}\right|\right|$ , dấu ‘=’ khi $z_{1} = kz_{2}$ với $k\leqslant 0$ .
$\left|z_{1} - z_{2} \right|\geqslant \left| \left|z_{1}\right| - \left|z_{2}\right|\right|$ , dấu ‘=’ khi $z_{1} = kz_{2}$ với $k\geqslant 0$ .

3. Bài tập tự luyện

Câu 1. Cho hai số phức

z_{1} = 1 + i

và

z_{2} = 2\:-\:3i

. Tính môđun của số phức

z_{1}+z_{2}

a. $5$
b. $\sqrt{5}$
c. $1$
d. $\sqrt{13}$

Câu 2. Cho hai số phức

z=1+2i

và

w=3+i

. Môđun của số phức

z.\bar{w}

a. $5.\sqrt{2}$
b. $\sqrt{26}$
c. $26$
d. $50$

Câu 3. Cho

z_{1} = 2 + 4i

và

z_{2} = 3\:-\:5i

. Xác định phần thực của

w=z_{1}.\overline{z_{2}}^2

a. -120
b. -32
c. 88
d. -152

Câu 4. Cho số phức

z = 1 – \frac{1}{3}i

. Tìm số phức

w = \overline{iz} + 3z

a. $w = \frac{8}{3}$
b. $w = \frac{8}{3} + i$
c. $w = \frac{10}{3}$
d. $w = \frac{10}{3} + i$

Trên đây là bài viết giúp các bạn nắm rõ các công thức hay và thường gặp trong bài toán số phức. Qua bài viết này, HocThatGioi đã giúp các bạn điểm qua các công thức cần nắm, nếu thấy hay các bạn có thể đồng hành và theo dõi cùng với mình trong các bài viết tiếp theo nhé. Cảm ơn các bạn đã theo dõi bài viết của HocThatGioi. Hãy đồng hành cùng HocThatGioi để tiếp thu thêm các kiến thức hay, bổ ích nhé. Chúc các bạn học tốt!