SGK Toán 10 - Kết Nối Tri Thức
Giải SGK bài 20 chương VII trang 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42 Toán 10 Kết nối tri thức tập 2
Trong bài này, HocThatGioi sẽ giúp các bạn giải đáp những câu hỏi cũng như bài tập trong bài Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng, góc và khoảng cách. Đây là bài học thuộc bài 20 chương VII trang 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42 sách Toán 10 Kết nối tri thức tập 2. Hi vọng các bạn có thể hiểu được trọn vẹn bài học sau khi xem hết các phương pháp giải và lời giải cực chi tiết mà HocThatGioi trình bày bên dưới.
Trả lời câu hỏi trong SGK của bài 20
Dưới đây là phương pháp và bài giải chi tiết cho câu hỏi hoạt động cùng phần luyện tập ở các trang 36, 37, 38, 39, 40, 41 trong bài Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng, góc và khoảng cách. Cùng HocThatGioi đi tìm đáp án ngay nhé!
Hoạt động 1 trang 36
Trong mặt phẳng tọa độ, cho hai đường thẳng:
\Delta_1: x-2 y+3=0 \\\Delta_2: 3 x-y-1=0\ .
a) Điểm $M(1 ; 2)$ có thuộc cả hai đường thẳng nói trên hay không?
b) Giải hệ $\left\{\begin{array}{l}x-2 y+3=0 \\ 3 x-y-1=0\end{array}\right.$.
c) Chỉ ra mối quan hệ giữa tọa độ giao điểm của $\Delta_1, \Delta_2$ với nghiệm của hệ phương trình trên.
\Delta_1: x-2 y+3=0 \\\Delta_2: 3 x-y-1=0\ .
a) Điểm $M(1 ; 2)$ có thuộc cả hai đường thẳng nói trên hay không?
b) Giải hệ $\left\{\begin{array}{l}x-2 y+3=0 \\ 3 x-y-1=0\end{array}\right.$.
c) Chỉ ra mối quan hệ giữa tọa độ giao điểm của $\Delta_1, \Delta_2$ với nghiệm của hệ phương trình trên.
Lời giải chi tiết:
a) Điểm $M(1 ; 2)$ thuộc cả hai đường thẳng nói trên.
b) Ta có: \begin{cases} x-2x+3=0 \\ 3x-y-1=0 \\ \end{cases} \\\\ \Longleftrightarrow \begin{cases} x-2y=-3 \\ 3x-y=1 \\ \end{cases}
Sứ dụng máy tính cầm tay, ta được $\left\{\begin{array}{l}x=1 \\ y=2\end{array}\right.$
c) Tọa độ giao điếm của $\Delta_1, \Delta_2$ chính là nghiệm của hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}x-2 y+3=0 \\ 3 x-y-1=0\end{array}\right.$.
a) Điểm $M(1 ; 2)$ thuộc cả hai đường thẳng nói trên.
b) Ta có: \begin{cases} x-2x+3=0 \\ 3x-y-1=0 \\ \end{cases} \\\\ \Longleftrightarrow \begin{cases} x-2y=-3 \\ 3x-y=1 \\ \end{cases}
Sứ dụng máy tính cầm tay, ta được $\left\{\begin{array}{l}x=1 \\ y=2\end{array}\right.$
c) Tọa độ giao điếm của $\Delta_1, \Delta_2$ chính là nghiệm của hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}x-2 y+3=0 \\ 3 x-y-1=0\end{array}\right.$.
Luyện tập 1 trang 37
Xét vị trí tương đối giữa các cặp đường thẳng sau:
a) $\Delta_1: x+4 y-3=0, \Delta_2: x-4 y-3=0$
a) $\Delta_1: x+2 y-\sqrt{5}=0, \Delta_2: 2 x+4 y-3 \sqrt{5}=0$
a) $\Delta_1: x+4 y-3=0, \Delta_2: x-4 y-3=0$
a) $\Delta_1: x+2 y-\sqrt{5}=0, \Delta_2: 2 x+4 y-3 \sqrt{5}=0$
Lời giải chi tiết:
a) Ta có: $\frac{1}{1} \neq \frac{4}{-4}$, do đó hai vectơ pháp tuyến không cùng phương.
Vậy hai đường thẳng cắt nhau.
b) Ta có: $\frac{1}{2}=\frac{2}{4}$, do đó hai vectơ pháp tuyến này cùng phương.
Suy ra hai đường thẳng $\Delta_1, \Delta_2$ trùng nhau hoặc cắt nhau.
Mặt khác, điểm $M(\sqrt{5} ; 0)$ thuộc $\Delta_1$ nhưng không thuộc $\Delta_2$ nên hai đường thẳng $\Delta_1, \Delta_2$ song song.
a) Ta có: $\frac{1}{1} \neq \frac{4}{-4}$, do đó hai vectơ pháp tuyến không cùng phương.
Vậy hai đường thẳng cắt nhau.
b) Ta có: $\frac{1}{2}=\frac{2}{4}$, do đó hai vectơ pháp tuyến này cùng phương.
Suy ra hai đường thẳng $\Delta_1, \Delta_2$ trùng nhau hoặc cắt nhau.
Mặt khác, điểm $M(\sqrt{5} ; 0)$ thuộc $\Delta_1$ nhưng không thuộc $\Delta_2$ nên hai đường thẳng $\Delta_1, \Delta_2$ song song.
Hoạt động 2 trang 37
Hai đường thẳng $\Delta_1, \Delta_2$ cắt nhau tạo thành bốn góc. Các số đo của bốn góc đó có mối quan hệ gì với nhau?
Lời giải chi tiết:
Hai đường thẳng cắt nhau tạo thành bốn góc trong đó có hai góc nhọn bằng nhau và hai góc tù bằng nhau. Góc nhọn và góc tù trong trường hợp này là hai góc bù nhau.
Hai đường thẳng cắt nhau tạo thành bốn góc trong đó có hai góc nhọn bằng nhau và hai góc tù bằng nhau. Góc nhọn và góc tù trong trường hợp này là hai góc bù nhau.
Hoạt động 3 trang 38
Hai đường thẳng cắt nhau $\Delta_1, \Delta_2$ tương ứng có các vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_1}, \overrightarrow{n_2}$. Gọi $\varphi$ là góc giữa hai đường thẳng đó. Nêu mối quan hệ giữa:
a) $\varphi$ và góc $\left(\overrightarrow{n_1}, \overrightarrow{n_2}\right)$.
b) $\cos \varphi$ và $\cos \left(\overrightarrow{n_1}, \overrightarrow{n_2}\right)$.
a) $\varphi$ và góc $\left(\overrightarrow{n_1}, \overrightarrow{n_2}\right)$.
b) $\cos \varphi$ và $\cos \left(\overrightarrow{n_1}, \overrightarrow{n_2}\right)$.
Lời giải chi tiết:
a) Góc $\varphi$ và góc $\left(\overrightarrow{n_1}, \overrightarrow{n_2}\right)$ có thể bằng nhau hoặc bù nhau.
b) Do góc $\varphi$ và góc $\left(\overrightarrow{n_1}, \overrightarrow{n_2}\right)$ có thế bằng nhau hoặc bù nhau nên $\cos \varphi=\left|\cos \left(\overrightarrow{n_1}, \overrightarrow{n_2}\right)\right|$
a) Góc $\varphi$ và góc $\left(\overrightarrow{n_1}, \overrightarrow{n_2}\right)$ có thể bằng nhau hoặc bù nhau.
b) Do góc $\varphi$ và góc $\left(\overrightarrow{n_1}, \overrightarrow{n_2}\right)$ có thế bằng nhau hoặc bù nhau nên $\cos \varphi=\left|\cos \left(\overrightarrow{n_1}, \overrightarrow{n_2}\right)\right|$
Luyện tập 2 trang 39
Tính góc giữa hai đường thẳng : $\Delta_1: x+3 y+2=0, \Delta_2: y=3 x+1$
Phương pháp giải:
Cho hai đường thẳng $\Delta_1: a_1 x+b_1 y+c_1=0, \Delta_2: a_1 x+b_1 y+c_1=0$
Bước 1: Xác định VTPT $\overrightarrow{n_1}\left(a_1, b_1\right)$ và $\overrightarrow{n_2}\left(a_2, b_2\right)$ tương ứng.
Bước 2: Tính $\cos \varphi=\frac{\left|\vec{n}_1 \cdot \overrightarrow{n_2}\right|}{\left|\overrightarrow{n_1}\right| \cdot\left|\cdot \overrightarrow{n_2}\right|}=\frac{\left|a_1 a_2+b_1 b_2\right|}{\sqrt{a_1^2+b_1{ }^2} \cdot \sqrt{a_{a^2}^2+b_2^2}}$
Từ đó suy ra $\varphi$, là góc giữa hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng $\Delta_1: a_1 x+b_1 y+c_1=0, \Delta_2: a_1 x+b_1 y+c_1=0$
Bước 1: Xác định VTPT $\overrightarrow{n_1}\left(a_1, b_1\right)$ và $\overrightarrow{n_2}\left(a_2, b_2\right)$ tương ứng.
Bước 2: Tính $\cos \varphi=\frac{\left|\vec{n}_1 \cdot \overrightarrow{n_2}\right|}{\left|\overrightarrow{n_1}\right| \cdot\left|\cdot \overrightarrow{n_2}\right|}=\frac{\left|a_1 a_2+b_1 b_2\right|}{\sqrt{a_1^2+b_1{ }^2} \cdot \sqrt{a_{a^2}^2+b_2^2}}$
Từ đó suy ra $\varphi$, là góc giữa hai đường thẳng
Lời giải chi tiết:
Cách 1:
Ta có $\Delta_1$ có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_1}=(1 ; 3)$.
Phương trình tổng quát của $\Delta_2$ là $3 x-y+1=0$, suy ra $\overrightarrow{n_2}=(3 ;-1)$
Do $\overrightarrow{n_1} \cdot \overrightarrow{n_2}=1 \cdot 3+3 \cdot(-1)=0$.
Vậy hai đường thẳng vuông góc với nhau.
Cách 2:
Gọi $\varphi$ là góc giữa hai đường thẳng, ta có:
$$\cos \varphi=\frac{\left|\overrightarrow{n_1} \cdot \overrightarrow{n_2}\right|}{\left|\overrightarrow{n_1}\right|\cdot\left|\vec{n}_2\right|}=\frac{|1 \cdot 3+3 \cdot(-1)|}{\sqrt{1^2+3^2} \cdot \sqrt{3^2+(-1)^2}}=0$$
Do đó góc giữa $\Delta_1$ và $\Delta_2$ là $\varphi=90^{\circ}$
Cách 1:
Ta có $\Delta_1$ có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_1}=(1 ; 3)$.
Phương trình tổng quát của $\Delta_2$ là $3 x-y+1=0$, suy ra $\overrightarrow{n_2}=(3 ;-1)$
Do $\overrightarrow{n_1} \cdot \overrightarrow{n_2}=1 \cdot 3+3 \cdot(-1)=0$.
Vậy hai đường thẳng vuông góc với nhau.
Cách 2:
Gọi $\varphi$ là góc giữa hai đường thẳng, ta có:
$$\cos \varphi=\frac{\left|\overrightarrow{n_1} \cdot \overrightarrow{n_2}\right|}{\left|\overrightarrow{n_1}\right|\cdot\left|\vec{n}_2\right|}=\frac{|1 \cdot 3+3 \cdot(-1)|}{\sqrt{1^2+3^2} \cdot \sqrt{3^2+(-1)^2}}=0$$
Do đó góc giữa $\Delta_1$ và $\Delta_2$ là $\varphi=90^{\circ}$
Luyện tập 3 trang 39
Tính góc giữa hai đường thẳng:
\Delta _1: \begin{cases} x=2+t \\ y=1-2t \\ \end{cases} , \Delta _2: \begin{cases} x=1+t’ \\ y=5+3t’ \\ \end{cases}
\Delta _1: \begin{cases} x=2+t \\ y=1-2t \\ \end{cases} , \Delta _2: \begin{cases} x=1+t’ \\ y=5+3t’ \\ \end{cases}
Phương pháp giải:
Cho hai đường thẳng $\Delta_1, \Delta_2$
Bước 1: Xác định VTPT $\overrightarrow{n_1}\left(a_1, b_1\right)$ và $\overrightarrow{n_2}\left(a_2, b_2\right)$ tương ứng.
Bước 2: Tính $\cos \varphi=\frac{\left|\overrightarrow{n_1} \cdot \overrightarrow{n_2}\right|}{\left|\overrightarrow{n_1}\right| \cdot\left|\cdot \overrightarrow{n_2}\right|}=\frac{\left|a_1 a_2+b_1 b_2\right|}{\sqrt{a_1^2+b_1^2} \cdot \sqrt{a_2^2+b_2^2}}$
Từ đó suy ra $\varphi$, là góc giữa hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng $\Delta_1, \Delta_2$
Bước 1: Xác định VTPT $\overrightarrow{n_1}\left(a_1, b_1\right)$ và $\overrightarrow{n_2}\left(a_2, b_2\right)$ tương ứng.
Bước 2: Tính $\cos \varphi=\frac{\left|\overrightarrow{n_1} \cdot \overrightarrow{n_2}\right|}{\left|\overrightarrow{n_1}\right| \cdot\left|\cdot \overrightarrow{n_2}\right|}=\frac{\left|a_1 a_2+b_1 b_2\right|}{\sqrt{a_1^2+b_1^2} \cdot \sqrt{a_2^2+b_2^2}}$
Từ đó suy ra $\varphi$, là góc giữa hai đường thẳng
Lời giải chi tiết:
Ta có: $\overrightarrow{u_1}=(1 ;-2) \Rightarrow \overrightarrow{n_1}=(2 ; 1)$ và $\overrightarrow{u_2}=(1 ; 3) \Rightarrow \overrightarrow{n_2}=(3 ;-1)$.
Ta có:
$\cos \left(\Delta_1, \Delta_2\right)=\frac{|2 \cdot 3+1 \cdot(-1)|}{\sqrt{2^2+1^2} \cdot \sqrt{3^2+(-1)^2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$
$\Rightarrow\left(\Delta_1, \Delta_2\right)=45^{\circ}$
Ta có: $\overrightarrow{u_1}=(1 ;-2) \Rightarrow \overrightarrow{n_1}=(2 ; 1)$ và $\overrightarrow{u_2}=(1 ; 3) \Rightarrow \overrightarrow{n_2}=(3 ;-1)$.
Ta có:
$\cos \left(\Delta_1, \Delta_2\right)=\frac{|2 \cdot 3+1 \cdot(-1)|}{\sqrt{2^2+1^2} \cdot \sqrt{3^2+(-1)^2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$
$\Rightarrow\left(\Delta_1, \Delta_2\right)=45^{\circ}$
Luyện tập 4 trang 39
Cho đường thẳng $\Delta: y=a x+b$, với $a \neq 0$.
a) Chứng minh rằng $\Delta$ cắt trục hoành.
b) Lập phương trình đường thẳng $\Delta_o$ đi qua $\mathrm{O}(0,0)$ và song song (hoặc trùng) với $\Delta$
c) Hãy chỉ ra mối quan hệ giữa $\alpha_{\Delta}$ và $\alpha_{\Delta_e}$.
d) Gọi $\mathrm{M}$ là giao điểm của $\Delta_o$ với nửa đường tròn đơn vị và $x_o$ là hoành độ của $\mathrm{M}$. Tính tung độ của $\mathrm{M}$ theo $x_o$ và a. Từ đó, chứng minh rằng tan $\alpha_{\Delta}=a$.
a) Chứng minh rằng $\Delta$ cắt trục hoành.
b) Lập phương trình đường thẳng $\Delta_o$ đi qua $\mathrm{O}(0,0)$ và song song (hoặc trùng) với $\Delta$
c) Hãy chỉ ra mối quan hệ giữa $\alpha_{\Delta}$ và $\alpha_{\Delta_e}$.
d) Gọi $\mathrm{M}$ là giao điểm của $\Delta_o$ với nửa đường tròn đơn vị và $x_o$ là hoành độ của $\mathrm{M}$. Tính tung độ của $\mathrm{M}$ theo $x_o$ và a. Từ đó, chứng minh rằng tan $\alpha_{\Delta}=a$.
Phương pháp giải:
a) Xét hệ phương trình tọa độ giao điểm
b) Hai đường thẳng song có cùng vectơ chỉ phương ( hoặc pháp tuyến)
d) Sử dụng đinh nghĩa hàm số tang
a) Xét hệ phương trình tọa độ giao điểm
b) Hai đường thẳng song có cùng vectơ chỉ phương ( hoặc pháp tuyến)
d) Sử dụng đinh nghĩa hàm số tang
Lời giải chi tiết:
a) Xét hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}y=0 \\ y=a x+b\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}y=0 \\ x=\frac{-b}{a}\end{array}\right.\right.$.
Vậy đường thẳng $\Delta$ cắt trục hoành tại điểm $\left(\frac{-b}{a} ; 0\right)$.
b) Phương trình đường thẳng $\Delta_o$ đi qua $\mathrm{O}(0,0)$ và song song (hoặc trùng) với $\Delta$ là $y=a(x-0)+0=\mathrm{a} x$.
c) Ta có: $\alpha_{\Delta}=\alpha_{\Delta_a}$
d) Từ câu b) và điều kiện $x_o^2+y_o^2=1$ trong đó $y_o$ là tung độ của điểm $\mathrm{M}$, ta suy ra $x_o \neq 0$.
Do đó: $\tan \alpha_{\Delta}=\tan \alpha_{\Delta_o}=\frac{y_o}{x_o}=a$.
a) Xét hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}y=0 \\ y=a x+b\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}y=0 \\ x=\frac{-b}{a}\end{array}\right.\right.$.
Vậy đường thẳng $\Delta$ cắt trục hoành tại điểm $\left(\frac{-b}{a} ; 0\right)$.
b) Phương trình đường thẳng $\Delta_o$ đi qua $\mathrm{O}(0,0)$ và song song (hoặc trùng) với $\Delta$ là $y=a(x-0)+0=\mathrm{a} x$.
c) Ta có: $\alpha_{\Delta}=\alpha_{\Delta_a}$
d) Từ câu b) và điều kiện $x_o^2+y_o^2=1$ trong đó $y_o$ là tung độ của điểm $\mathrm{M}$, ta suy ra $x_o \neq 0$.
Do đó: $\tan \alpha_{\Delta}=\tan \alpha_{\Delta_o}=\frac{y_o}{x_o}=a$.
Hoạt động 4 trang 40
Cho điểm $M\left(x_o ; y_0\right)$ và đường thẳng $\Delta: \mathrm{a} x+b y+c=0$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(\mathrm{a} ; \mathrm{b})(\vec{n} \neq 0)$
Gọi H là hình chiếu vuông góc của $\mathrm{M}$ trên $\Delta$.
a) Chứng minh rằng $|\vec{n} \cdot \overrightarrow{H M}|=\sqrt{a^2+b^2} . H M$
b) Giả sử H có tọa độ $\left(x_1 ; y_1\right)$. Chứng minh rằng $\vec{n} . \overrightarrow{H M}=a\left(x_o-x_1\right)+b\left(y_o-y_1\right)=a x_o+b y_o+c$
c) Chứng minh rằng $H M=\frac{\left|a x_o+b y_o+c\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}$
Gọi H là hình chiếu vuông góc của $\mathrm{M}$ trên $\Delta$.
a) Chứng minh rằng $|\vec{n} \cdot \overrightarrow{H M}|=\sqrt{a^2+b^2} . H M$
b) Giả sử H có tọa độ $\left(x_1 ; y_1\right)$. Chứng minh rằng $\vec{n} . \overrightarrow{H M}=a\left(x_o-x_1\right)+b\left(y_o-y_1\right)=a x_o+b y_o+c$
c) Chứng minh rằng $H M=\frac{\left|a x_o+b y_o+c\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}$
Lời giải chi tiết:
a) Ta có:
|\vec{n} \cdot \overrightarrow{H M}|=|\vec{n}| \cdot|\overrightarrow{H M}| \cdot|\cos (\vec{n}, \overrightarrow{H M})| \\\\ =\sqrt{a^2+b^2} . H M .1 \\\\ =\sqrt{a^2+b^2} \cdot H M
b) Ta có:
\vec{n}=(\mathrm{a} ; \mathrm{b})(\vec{n} \neq 0), \overrightarrow{H M}=\left(x_1-x_o ; y_1-y_o\right) \\\\ \Rightarrow \vec{n} . \overrightarrow{H M}=a\left(x_o-x_1\right)+b\left(y_o-y_1\right)=a x_o+b y_o+c
Trong đó: $a x_1+b y_1=c$.
c) Ta có:
|\vec{n} \cdot \overrightarrow{H M}|=|\vec{n}| \cdot|\overrightarrow{H M}| \cdot|\cos (\vec{n}, \overrightarrow{H M})| \\\\ \Leftrightarrow\left|a x_o+b y_o+c\right|=\sqrt{a^2+b^2} . H M \\\\ \Rightarrow H M=\frac{\left|a x_o+b y_o+c\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}
a) Ta có:
|\vec{n} \cdot \overrightarrow{H M}|=|\vec{n}| \cdot|\overrightarrow{H M}| \cdot|\cos (\vec{n}, \overrightarrow{H M})| \\\\ =\sqrt{a^2+b^2} . H M .1 \\\\ =\sqrt{a^2+b^2} \cdot H M
b) Ta có:
\vec{n}=(\mathrm{a} ; \mathrm{b})(\vec{n} \neq 0), \overrightarrow{H M}=\left(x_1-x_o ; y_1-y_o\right) \\\\ \Rightarrow \vec{n} . \overrightarrow{H M}=a\left(x_o-x_1\right)+b\left(y_o-y_1\right)=a x_o+b y_o+c
Trong đó: $a x_1+b y_1=c$.
c) Ta có:
|\vec{n} \cdot \overrightarrow{H M}|=|\vec{n}| \cdot|\overrightarrow{H M}| \cdot|\cos (\vec{n}, \overrightarrow{H M})| \\\\ \Leftrightarrow\left|a x_o+b y_o+c\right|=\sqrt{a^2+b^2} . H M \\\\ \Rightarrow H M=\frac{\left|a x_o+b y_o+c\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}
Trải nghiệm trang 40
Đo trực tiếp khoảng cách từ điểm $\mathrm{M}$ đến đường thẳng $\mathrm{A}(\mathrm{H} 7.10)$ và giải thích vì sao kết quả đo đạc đó phù hợp với kết quả tính toán trong lời giải của Ví dụ 4.
Lời giải chi tiết:
Khoảng cách từ $\mathrm{M}$ đến đường thẳng $\Delta$ chính là độ dài đoạn $\mathrm{MH}$ trong đó $\mathrm{H}$ là hình chiếu từ $\mathrm{M}$ xuống $\Delta$.
Gọi các điểm $A, B, C, D$ như hình vẽ.
Ta có: $O A=3, O B=4 \Rightarrow A B=5$
$D B=2=\frac{1}{2} O B $
$\Rightarrow C D=\frac{1}{2} O A=1,5$
$\Rightarrow M C=4-1,5=2,5$.
Lai có: $\widehat{M C H}=\widehat{B C D}=\widehat{B A O}$
Mà: $\sin \widehat{M C H}=\frac{M H}{M C} ; \sin \widehat{B A O}=\frac{O B}{A B}=\frac{4}{5}$
$$\Rightarrow \frac{M H}{2,5}=\frac{4}{5} \Leftrightarrow M H=2$$
Do đó kết quả đo đạc phù hợp với kết quả tính toán trong lời giải ở Ví dụ 4.
Khoảng cách từ $\mathrm{M}$ đến đường thẳng $\Delta$ chính là độ dài đoạn $\mathrm{MH}$ trong đó $\mathrm{H}$ là hình chiếu từ $\mathrm{M}$ xuống $\Delta$.
Gọi các điểm $A, B, C, D$ như hình vẽ.
Ta có: $O A=3, O B=4 \Rightarrow A B=5$
$D B=2=\frac{1}{2} O B $
$\Rightarrow C D=\frac{1}{2} O A=1,5$
$\Rightarrow M C=4-1,5=2,5$.
Lai có: $\widehat{M C H}=\widehat{B C D}=\widehat{B A O}$
Mà: $\sin \widehat{M C H}=\frac{M H}{M C} ; \sin \widehat{B A O}=\frac{O B}{A B}=\frac{4}{5}$
$$\Rightarrow \frac{M H}{2,5}=\frac{4}{5} \Leftrightarrow M H=2$$
Do đó kết quả đo đạc phù hợp với kết quả tính toán trong lời giải ở Ví dụ 4.
Luyện tập 5 trang 40
Tính khoảng cách từ điểm $M(1 ; 2)$ đến đường thẳng $\Delta:\left\{\begin{array}{l}x=5+3 t \\ y=-5-4 t\end{array}\right.$.
Phương pháp giải:
Bước 1: Đưa pt về dạng PT tổng quát
Bước 2: Khoảng cách từ $M\left(x_0 ; y_0\right)$ đến $\Delta: a x+b y+c=0$ là:
$$d(M, \Delta)=\frac{\left|a x_0+b y_0+c\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}$$
Bước 1: Đưa pt về dạng PT tổng quát
Bước 2: Khoảng cách từ $M\left(x_0 ; y_0\right)$ đến $\Delta: a x+b y+c=0$ là:
$$d(M, \Delta)=\frac{\left|a x_0+b y_0+c\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}$$
Lời giải chi tiết:
Ta có: \begin{cases} x=5+3t \\ y=-5-4t \\ \end{cases} \\\\ \Rightarrow 4 x+3 y=4(5+3 t)+3(-5-4 t)=5
Phương trình tổng quát của $\Delta$ là $4 x+3 y-5=0$
Khoảng cách từ $M$ đến đường thẳng $\Delta$ là $d(M, \Delta)=\frac{|4.1+3.2-5|}{\sqrt{4^2+3^2}}=1$.
Ta có: \begin{cases} x=5+3t \\ y=-5-4t \\ \end{cases} \\\\ \Rightarrow 4 x+3 y=4(5+3 t)+3(-5-4 t)=5
Phương trình tổng quát của $\Delta$ là $4 x+3 y-5=0$
Khoảng cách từ $M$ đến đường thẳng $\Delta$ là $d(M, \Delta)=\frac{|4.1+3.2-5|}{\sqrt{4^2+3^2}}=1$.
Vận dụng trang 41
Nhân dịp nghỉ hè, Nam về quê ở với ông bà nội. Nhà ông bà nội có một ao cá có dạng hình chữ nhật $A B C D$ với chiều dài $A D=15$ m, chiều rộng $A B=12$ m. Phần tam giác $D E F$ là nơi ông bà nuôi vịt, $\mathrm{AE}=5 \mathrm{~m}, C \mathrm{CF}=6 \mathrm{~m}(\mathrm{H} .7 .11)$.
a) Chọn hệ trục toạ độ $\mathrm{Oxy}$, có điểm $\mathrm{O}$ trùng với điểm $\mathrm{B}$, các tia $\mathrm{Ox}, \mathrm{Oy}$ tương ứng trùng với các tia $\mathrm{BC}$, $\mathrm{BA}$. Chọn 1 đơn vị độ dài trên mặt phẳng toạ độ tương ứng với $1 \mathrm{~m}$ trong thực tế. Hãy xác định toạ độ của các điếm $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}, \mathrm{D}, \mathrm{E}, \mathrm{F}$ và viết phương trình đường thẳng $EF$.
b) Nam đứng ở vị trí $B$ câu cá và có thể quăng lưỡi câu xa $10,7 m$. Hỏi lưỡi câu có thể rơi vào nơi nuôi vịt hay không?
a) Chọn hệ trục toạ độ $\mathrm{Oxy}$, có điểm $\mathrm{O}$ trùng với điểm $\mathrm{B}$, các tia $\mathrm{Ox}, \mathrm{Oy}$ tương ứng trùng với các tia $\mathrm{BC}$, $\mathrm{BA}$. Chọn 1 đơn vị độ dài trên mặt phẳng toạ độ tương ứng với $1 \mathrm{~m}$ trong thực tế. Hãy xác định toạ độ của các điếm $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}, \mathrm{D}, \mathrm{E}, \mathrm{F}$ và viết phương trình đường thẳng $EF$.
b) Nam đứng ở vị trí $B$ câu cá và có thể quăng lưỡi câu xa $10,7 m$. Hỏi lưỡi câu có thể rơi vào nơi nuôi vịt hay không?
Phương pháp giải:
Viết phương trình tổng quát của $\mathrm{EF}$, sau đó tính khoảng cách từ $\mathrm{B}$ đến $\mathrm{EF}$ rồi so sánh với $10,7$.
Viết phương trình tổng quát của $\mathrm{EF}$, sau đó tính khoảng cách từ $\mathrm{B}$ đến $\mathrm{EF}$ rồi so sánh với $10,7$.
Lời giải chi tiết:
a) Tọa độ các điểm là: $B(0;0)$, $A(0;12)$, $C(15;0)$, $D(15;12)$, $E(5;12)$, $F(15;6)$.
Ta có: $\overrightarrow{E F}=(10 ;-6) \Rightarrow \overrightarrow{n_{E F}}=(3 ; 5)$.
Phương trình tổng quát của $\mathrm{EF}$ là: $3(x-5)+5(y-12)=0$
$\Leftrightarrow 3 x+5 y-75=0$.
b) Khoảng cách từ điểm $\mathrm{B}$ đến đường thẳng $\mathrm{EF}$ là:
$d(B, E F)=\frac{|3.0+5.0-75|}{\sqrt{3^2+5^2}} \approx 12,9(\mathrm{~m})$.
Mặt khác, Nam có thể quăng lưỡi câu xa $10,7 \mathrm{~m}$. Do đó lưỡi câu của Nam không thể rơi vào nơi nuôi vịt được.
a) Tọa độ các điểm là: $B(0;0)$, $A(0;12)$, $C(15;0)$, $D(15;12)$, $E(5;12)$, $F(15;6)$.
Ta có: $\overrightarrow{E F}=(10 ;-6) \Rightarrow \overrightarrow{n_{E F}}=(3 ; 5)$.
Phương trình tổng quát của $\mathrm{EF}$ là: $3(x-5)+5(y-12)=0$
$\Leftrightarrow 3 x+5 y-75=0$.
b) Khoảng cách từ điểm $\mathrm{B}$ đến đường thẳng $\mathrm{EF}$ là:
$d(B, E F)=\frac{|3.0+5.0-75|}{\sqrt{3^2+5^2}} \approx 12,9(\mathrm{~m})$.
Mặt khác, Nam có thể quăng lưỡi câu xa $10,7 \mathrm{~m}$. Do đó lưỡi câu của Nam không thể rơi vào nơi nuôi vịt được.
Giải bài tập vận dụng trang 41 SGK Toán 10 bài 20
Phần tiếp theo sẽ cung cấp cho các bạn phương pháp cùng lời giải trong phần bài tập trang 41 cực kỳ dễ hiểu và chi tiết. Cùng HocThatGioi rèn luyện và nâng cao kỹ năng giải quyết các vấn đề thực tế thông qua các phương pháp, công thức toán học từ bài Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng, góc và khoảng cách ở trên.
Bài tập 7.7 trang 41
Xét vị trí tương đối giữa các cặp đường thẳng sau:
a) $\Delta_1: 3 \sqrt{2} x+\sqrt{2} y-\sqrt{3}=0$ và $\Delta_2: 6 x+2 y-\sqrt{6}=0$
b) $d_1: x-\sqrt{3} y+2=0$ và $d_2: \sqrt{3} x-3 y+2=0$
c) $m_1: x-2 y+1=0$ và $m_2: 3 x+y-2=0$
a) $\Delta_1: 3 \sqrt{2} x+\sqrt{2} y-\sqrt{3}=0$ và $\Delta_2: 6 x+2 y-\sqrt{6}=0$
b) $d_1: x-\sqrt{3} y+2=0$ và $d_2: \sqrt{3} x-3 y+2=0$
c) $m_1: x-2 y+1=0$ và $m_2: 3 x+y-2=0$
Lời giải chi tiết:
a) Ta có:
\Delta_1: 3 \sqrt{2} x+\sqrt{2} y-\sqrt{3}=0 \\\\ \Leftrightarrow \sqrt{2}(3 \sqrt{2} x+\sqrt{2} y-\sqrt{3})=0 \\\\ \Leftrightarrow 6 x+2 y-\sqrt{6}=0
Do đó hai đường thẳng trùng nhau.
b) Ta có: $\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{-\sqrt{3}}{-3} \neq \frac{2}{2}$, do đó hai đường thẳng song song với nhau.
c) Ta có: $\frac{1}{3} \neq \frac{-2}{1}$, do đó hai đường thẳng cắt nhau.
a) Ta có:
\Delta_1: 3 \sqrt{2} x+\sqrt{2} y-\sqrt{3}=0 \\\\ \Leftrightarrow \sqrt{2}(3 \sqrt{2} x+\sqrt{2} y-\sqrt{3})=0 \\\\ \Leftrightarrow 6 x+2 y-\sqrt{6}=0
Do đó hai đường thẳng trùng nhau.
b) Ta có: $\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{-\sqrt{3}}{-3} \neq \frac{2}{2}$, do đó hai đường thẳng song song với nhau.
c) Ta có: $\frac{1}{3} \neq \frac{-2}{1}$, do đó hai đường thẳng cắt nhau.
Bài tập 7.8 trang 41
Tính góc giữa hai đường thẳng:
a) $\Delta_1: \sqrt{3} x+y-4=0$ và $\Delta_2: x+\sqrt{3} y+3=0$
b) $d_1:\left\{\begin{array}{l}x=-1+2 t \\ y=3+4 t\end{array}\right.$ và $d_2:\left\{\begin{array}{l}x=3+s \\ y=1-3 s\end{array}\right.$
a) $\Delta_1: \sqrt{3} x+y-4=0$ và $\Delta_2: x+\sqrt{3} y+3=0$
b) $d_1:\left\{\begin{array}{l}x=-1+2 t \\ y=3+4 t\end{array}\right.$ và $d_2:\left\{\begin{array}{l}x=3+s \\ y=1-3 s\end{array}\right.$
Phương pháp giải:
Cho hai đường thẳng $\Delta_1: a_1 x+b_1 y+c_1=0, \Delta_2: a_1 x+b_1 y+c_1=0$
Bước 1: Xác định VTPT $\overrightarrow{n_1}\left(a_1, b_1\right)$ và $\overrightarrow{n_2}\left(a_2, b_2\right)$ (hoặc 2 VTCP) tương ứng.
Bước 2: Tính $\cos \varphi=\frac{\left|\overrightarrow{n_1} \cdot \overrightarrow{n_2}\right|}{\left|\overrightarrow{n_1}\right| \cdot\left|\cdot \overrightarrow{n_2}\right|}=\frac{\left|a_1 a_2+b_1 b_2\right|}{\sqrt{a_1^2+b_1{ }^2} \cdot \sqrt{a_2^2+b_2^2}}$
Từ đó suy ra $\varphi$, là góc giữa hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng $\Delta_1: a_1 x+b_1 y+c_1=0, \Delta_2: a_1 x+b_1 y+c_1=0$
Bước 1: Xác định VTPT $\overrightarrow{n_1}\left(a_1, b_1\right)$ và $\overrightarrow{n_2}\left(a_2, b_2\right)$ (hoặc 2 VTCP) tương ứng.
Bước 2: Tính $\cos \varphi=\frac{\left|\overrightarrow{n_1} \cdot \overrightarrow{n_2}\right|}{\left|\overrightarrow{n_1}\right| \cdot\left|\cdot \overrightarrow{n_2}\right|}=\frac{\left|a_1 a_2+b_1 b_2\right|}{\sqrt{a_1^2+b_1{ }^2} \cdot \sqrt{a_2^2+b_2^2}}$
Từ đó suy ra $\varphi$, là góc giữa hai đường thẳng
Lời giải chi tiết:
a) Ta có: $\overrightarrow{n_1}=(\sqrt{3} ; 1), \overrightarrow{n_2}=(1 ; \sqrt{3})$
Suy ra: $\cos \left(\Delta_1, \Delta_2\right)=\left|\cos \left(\overrightarrow{n_1} ; \overrightarrow{n_2}\right)\right|=\frac{|\sqrt{3} \cdot 1+1 \cdot \sqrt{3}|}{\sqrt{1^2+(\sqrt{3})^2} \cdot \sqrt{1^2+(\sqrt{3})^2}}=\frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow\left(\Delta_1, \Delta_2\right)=30^o$
b) Ta có: $\overrightarrow{u_1}=(2 ; 4), \overrightarrow{u_2}=(1 ;-3)$
Suy ra: $\cos \left(d_1, d_2\right)=\left|\cos \left(\overrightarrow{u_1} ; \overrightarrow{u_2}\right)\right|=\frac{|2 \cdot 1+4 \cdot(-3)|}{\sqrt{2^2+4^2} \cdot \sqrt{1^2+(-3)^2}}=\frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow\left(\Delta_1, \Delta_2\right)=45^o$
a) Ta có: $\overrightarrow{n_1}=(\sqrt{3} ; 1), \overrightarrow{n_2}=(1 ; \sqrt{3})$
Suy ra: $\cos \left(\Delta_1, \Delta_2\right)=\left|\cos \left(\overrightarrow{n_1} ; \overrightarrow{n_2}\right)\right|=\frac{|\sqrt{3} \cdot 1+1 \cdot \sqrt{3}|}{\sqrt{1^2+(\sqrt{3})^2} \cdot \sqrt{1^2+(\sqrt{3})^2}}=\frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow\left(\Delta_1, \Delta_2\right)=30^o$
b) Ta có: $\overrightarrow{u_1}=(2 ; 4), \overrightarrow{u_2}=(1 ;-3)$
Suy ra: $\cos \left(d_1, d_2\right)=\left|\cos \left(\overrightarrow{u_1} ; \overrightarrow{u_2}\right)\right|=\frac{|2 \cdot 1+4 \cdot(-3)|}{\sqrt{2^2+4^2} \cdot \sqrt{1^2+(-3)^2}}=\frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow\left(\Delta_1, \Delta_2\right)=45^o$
Bài tập 7.9 trang 41
Trong mặt phẳng toạ độ $\mathrm{Oxy}$, cho điểm $\mathrm{A}(0 ;-2)$ và đường thẳng $\Delta: x+y-4=0$.
a) Tính khoảng cách từ điểm $\mathrm{A}$ đến đường thẳng $\Delta$.
b) Viết phương trình đường thẳng a đi qua điểm $\mathrm{M}(-1 ; 0)$ và song song với $\Delta$.
c) Viết phương trình đường thẳng b đi qua điểm $\mathrm{N}(0 ; 3)$ và vuông góc với $\Delta$
a) Tính khoảng cách từ điểm $\mathrm{A}$ đến đường thẳng $\Delta$.
b) Viết phương trình đường thẳng a đi qua điểm $\mathrm{M}(-1 ; 0)$ và song song với $\Delta$.
c) Viết phương trình đường thẳng b đi qua điểm $\mathrm{N}(0 ; 3)$ và vuông góc với $\Delta$
Phương pháp giải:
a) Sử dụng công thức khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
b) Đường thẳng a đi qua $\mathrm{M}$ và có vecto pháp tuyến là $\overrightarrow{n_a}=\overrightarrow{n_{\Delta}}$
c) Đường thẳng b đi qua $\mathrm{N}$ và có vecto chỉ phương là $\overrightarrow{u_b}=\overrightarrow{n_{\Delta}}$
a) Sử dụng công thức khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
b) Đường thẳng a đi qua $\mathrm{M}$ và có vecto pháp tuyến là $\overrightarrow{n_a}=\overrightarrow{n_{\Delta}}$
c) Đường thẳng b đi qua $\mathrm{N}$ và có vecto chỉ phương là $\overrightarrow{u_b}=\overrightarrow{n_{\Delta}}$
Lời giải chi tiết:
a) Khoảng cách từ điểm $\mathrm{A}$ đến đường thẳng $\Delta \mathrm{là}: d(A, \Delta)=\frac{|0-2-4|}{\sqrt{1^2+1^2}}=3 \sqrt{2}$.
b) Ta có: $\overrightarrow{n_a}=\overrightarrow{n_{\Delta}}=(1 ; 1)$. Phương trình đường thẳng a là:
$$1(x+1)+1(y-0)=0 \Leftrightarrow x+y+1=0$$
c) Ta có: $\overrightarrow{u_a}=\overrightarrow{n_{\Delta}}=(1 ; 1)$.Từ đó suy ra $\overrightarrow{n_b}=(1 ;-1)$. Phương trình đường thẳng b là:
$$1(x-0)-1(y-3)=0 \Leftrightarrow x-y+3=0$$
a) Khoảng cách từ điểm $\mathrm{A}$ đến đường thẳng $\Delta \mathrm{là}: d(A, \Delta)=\frac{|0-2-4|}{\sqrt{1^2+1^2}}=3 \sqrt{2}$.
b) Ta có: $\overrightarrow{n_a}=\overrightarrow{n_{\Delta}}=(1 ; 1)$. Phương trình đường thẳng a là:
$$1(x+1)+1(y-0)=0 \Leftrightarrow x+y+1=0$$
c) Ta có: $\overrightarrow{u_a}=\overrightarrow{n_{\Delta}}=(1 ; 1)$.Từ đó suy ra $\overrightarrow{n_b}=(1 ;-1)$. Phương trình đường thẳng b là:
$$1(x-0)-1(y-3)=0 \Leftrightarrow x-y+3=0$$
Bài tập 7.10 trang 41
Trong mặt phẳng toạ độ, cho tam giác $\mathrm{ABC}$ có $\mathrm{A}(1 ; 0), \mathrm{B}(3 ; 2)$ và $\mathrm{C}(-2 ;-1)$.
a) Tính độ dài đường cao kẻ từ đỉnh $\mathrm{A}$ của tam giác $\mathrm{ABC}$.
b) Tính diện tích tam giác $\mathrm{ABC}$.
a) Tính độ dài đường cao kẻ từ đỉnh $\mathrm{A}$ của tam giác $\mathrm{ABC}$.
b) Tính diện tích tam giác $\mathrm{ABC}$.
Phương pháp giải:
a) Viết phương trình tổng quát của đường thẳng $\mathrm{BC}$, sau đó tính khoảng cách từ $\mathrm{A}$ đến đường thẳng $\mathrm{BC}$.
b) Tính $\mathrm{BC}$ sau đó sử dụng công thức $S_{A B C}=\frac{1}{2} \cdot d(A, B C) . B C$.
a) Viết phương trình tổng quát của đường thẳng $\mathrm{BC}$, sau đó tính khoảng cách từ $\mathrm{A}$ đến đường thẳng $\mathrm{BC}$.
b) Tính $\mathrm{BC}$ sau đó sử dụng công thức $S_{A B C}=\frac{1}{2} \cdot d(A, B C) . B C$.
Lời giải chi tiết:
a) Ta có: $\overrightarrow{u_{B C}}=\overrightarrow{B C}=(-5 ;-3) \Rightarrow \overrightarrow{n_{B C}}=(3 ;-5)$.
Vậy phương trình tổng quát của đường thẳng $\mathrm{BC}$ là:
$3(x-3)-5(y-2)=0 \Leftrightarrow 3 x-5 y+1=0$.
Độ dài đường cao $\mathrm{AK}$ của tam giác $A B C$ hạ từ đỉnh $\mathrm{A}$ là:
$A K=d(A, B C)=\frac{|3.1-0.5+1|}{\sqrt{3^2+(-5)^2}}=\frac{4}{\sqrt{34}}$
b) Ta có: $\overrightarrow{B C}=(-5 ;-3) \Rightarrow B C=\sqrt{(-5)^2+(-3)^2}=\sqrt{34}$
Diện tích tam giác $\mathrm{ABC}$ là:
$S_{A B C}=\frac{1}{2} \cdot A K . B C=\frac{1}{2} \cdot \frac{4}{\sqrt{34}} \cdot \sqrt{34}=2$
a) Ta có: $\overrightarrow{u_{B C}}=\overrightarrow{B C}=(-5 ;-3) \Rightarrow \overrightarrow{n_{B C}}=(3 ;-5)$.
Vậy phương trình tổng quát của đường thẳng $\mathrm{BC}$ là:
$3(x-3)-5(y-2)=0 \Leftrightarrow 3 x-5 y+1=0$.
Độ dài đường cao $\mathrm{AK}$ của tam giác $A B C$ hạ từ đỉnh $\mathrm{A}$ là:
$A K=d(A, B C)=\frac{|3.1-0.5+1|}{\sqrt{3^2+(-5)^2}}=\frac{4}{\sqrt{34}}$
b) Ta có: $\overrightarrow{B C}=(-5 ;-3) \Rightarrow B C=\sqrt{(-5)^2+(-3)^2}=\sqrt{34}$
Diện tích tam giác $\mathrm{ABC}$ là:
$S_{A B C}=\frac{1}{2} \cdot A K . B C=\frac{1}{2} \cdot \frac{4}{\sqrt{34}} \cdot \sqrt{34}=2$
Bài tập 7.11 trang 41
Chứng minh rằng hai đường thẳng $\mathrm{d}: \mathrm{y}=\mathrm{ax}+\mathrm{b}(a \neq 0)$ và d’: $y=a^{\prime} x+b^{\prime}\left(a^{\prime} \neq 0\right)$ vuông góc với nhau khi và chỉ khi aa’ $=-1$.
Phương pháp giải:
Chuyển mỗi phương trình của $d, d^{\prime}$ về dạng tổng quát từ đó tìm được hai vectơ pháp tuyến tương ứng của mỗi đường thẳng, sau đó sử dụng điều kiện $\overrightarrow{n_d} \cdot \overrightarrow{n_{d^{\prime}}}=0$
Chuyển mỗi phương trình của $d, d^{\prime}$ về dạng tổng quát từ đó tìm được hai vectơ pháp tuyến tương ứng của mỗi đường thẳng, sau đó sử dụng điều kiện $\overrightarrow{n_d} \cdot \overrightarrow{n_{d^{\prime}}}=0$
Lời giải chi tiết:
Phương trình tổng quát của đường thẳng $d, d^{\prime}$ lần lượt là: $a x-y+b=0, a^{\prime} x-y+b^{\prime}=0$.
Do đó $\overrightarrow{n_d}=(a ;-1), \overrightarrow{n_{d^{\prime}}}=\left(a^{\prime} ;-1\right)$.
Ta có:
d \perp d^{\prime} \Leftrightarrow \overrightarrow{n_d} \perp \overrightarrow{n_{d^{\prime}}} \Leftrightarrow \overrightarrow{n_d} \cdot \overrightarrow{n_{d^{\prime}}}=0 \\\\ \Leftrightarrow a . a^{\prime}+(-1)(-1)=0 \Leftrightarrow a . a^{\prime}=-1.
Phương trình tổng quát của đường thẳng $d, d^{\prime}$ lần lượt là: $a x-y+b=0, a^{\prime} x-y+b^{\prime}=0$.
Do đó $\overrightarrow{n_d}=(a ;-1), \overrightarrow{n_{d^{\prime}}}=\left(a^{\prime} ;-1\right)$.
Ta có:
d \perp d^{\prime} \Leftrightarrow \overrightarrow{n_d} \perp \overrightarrow{n_{d^{\prime}}} \Leftrightarrow \overrightarrow{n_d} \cdot \overrightarrow{n_{d^{\prime}}}=0 \\\\ \Leftrightarrow a . a^{\prime}+(-1)(-1)=0 \Leftrightarrow a . a^{\prime}=-1.
Bài tập 7.12 trang 41
Trong mặt phẳng toạ độ, một tín hiệu âm thanh phát đi từ một vị trí và được ba thiết bị ghi tín hiệu đặt tại ba vị trí $\mathrm{O}(0 ; 0), \mathrm{A}(1 ; 0)$, $\mathrm{B}(1 ; 3)$ nhận được cùng một thời điểm. Hãy xác định vị trí phát tín hiệu âm thanh.
Phương pháp giải:
Vị trí điểm $J$ đặt âm thanh cách đều ba điểm $\mathrm{O}, \mathrm{A}, \mathrm{B}$. Do đó $\mathrm{J}$ là giao điểm của các đường trung trực của tam giác $\mathrm{OAB}$.
Vị trí điểm $J$ đặt âm thanh cách đều ba điểm $\mathrm{O}, \mathrm{A}, \mathrm{B}$. Do đó $\mathrm{J}$ là giao điểm của các đường trung trực của tam giác $\mathrm{OAB}$.
Lời giải chi tiết:
Gọi J là vị trí âm thanh phát đi, ta có: $\mathrm{J}$ cách đều $\mathrm{O}, \mathrm{A}, \mathrm{B}$.
Do đó $\mathrm{J}$ là giao của hai đường trung trực $d_1, d_2$ tương ứng của $\mathrm{OA}, \mathrm{OB}$.
Mặc khác, đường thẳng $d_1$ đi qua trung điểm $\mathrm{M}$ của $\mathrm{OA}$ và vuông góc với $\mathrm{OA}$.
Ta có: $M\left(\frac{1}{2} ; 0\right)$ và $\overrightarrow{n_{d_1}}=\overrightarrow{O A}=(1 ; 0)$.
Phương trình đường thẳng $d_1$ là $1\left(x-\frac{1}{2}\right)+0(y-0)=0 \Leftrightarrow x=\frac{1}{2}$.
Tương tự, phương trình đường thẳng $d_2$ là $x+3 y-5=0$.
Tọa độ điểm J là nghiệm của hệ $\left\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{2} \\ x+3 y-5=0\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{2} \\ y=\frac{3}{2}\end{array}\right.\right.$.
Vậy $J\left(\frac{1}{2} ; \frac{3}{2}\right)$.
Gọi J là vị trí âm thanh phát đi, ta có: $\mathrm{J}$ cách đều $\mathrm{O}, \mathrm{A}, \mathrm{B}$.
Do đó $\mathrm{J}$ là giao của hai đường trung trực $d_1, d_2$ tương ứng của $\mathrm{OA}, \mathrm{OB}$.
Mặc khác, đường thẳng $d_1$ đi qua trung điểm $\mathrm{M}$ của $\mathrm{OA}$ và vuông góc với $\mathrm{OA}$.
Ta có: $M\left(\frac{1}{2} ; 0\right)$ và $\overrightarrow{n_{d_1}}=\overrightarrow{O A}=(1 ; 0)$.
Phương trình đường thẳng $d_1$ là $1\left(x-\frac{1}{2}\right)+0(y-0)=0 \Leftrightarrow x=\frac{1}{2}$.
Tương tự, phương trình đường thẳng $d_2$ là $x+3 y-5=0$.
Tọa độ điểm J là nghiệm của hệ $\left\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{2} \\ x+3 y-5=0\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{2} \\ y=\frac{3}{2}\end{array}\right.\right.$.
Vậy $J\left(\frac{1}{2} ; \frac{3}{2}\right)$.
Cảm ơn các bạn đã theo dõi bài viết của HocThatGioi về Giải SGK bài Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng, góc và khoảng cách Chương phương pháp tọa độ trong mặt phẳng Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 ở các trang 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42. Hi vọng các bạn sẽ có một buổi thú vị và học được nhiều điều bổ ích. Chúc các bạn học tốt!Chỉnh sửa
