Giải SGK Luyện tập chung trang 19, 20 Toán 7 Kết nối tri thức Tập 2

Các giá trị của hai đại lượng $x$ và $y$ được cho bởi bảng sau đây:

x	0,5	1	1,5	2	2,5
y	2,5	5	7,5	10	12,5

Hỏi hai đại lượng $x$ và $y$ có quan hệ tỉ lệ thuận hay tỉ lệ nghịch không? Viết công thức liên hệ giữa $x$ và $y$.

Lời giải chi tiết:
Ta thấy: $\frac{0,5}{2,5}=\frac{1}{5}=\frac{1,5}{7,5}=\frac{2}{10}=\frac{2,5}{12,5}$ nên $x$ và $y$ là $2$ đại lượng tỉ lệ thuận.
Công thức liên hệ: $x=\frac{1}{5}.y$ (hay $y = 5.x$)

Cho ba đại lượng $x,y,z$. Tìm mối quan hệ giữa hai đại lượng $x$ và $z$, biết rằng:
a) $x$ và $y$ tỉ lệ thuận, $y$ và $z$ tỉ lệ thuận
b) $x$ và $y$ tỉ lệ thuận, $y$ và $z$ tỉ lệ nghịch
c) $x$ và $y$ tỉ lệ nghịch, $y$ và $z$ tỉ lệ nghịch

Lời giải chi tiết:
a) Giả sử $y$ tỉ lệ thuận với $x$ theo hệ số tỉ lệ $a$ nên $y = a.x$ nên $x=\frac{y}{a}$. $y$ tỉ lệ thuận với $z$ theo hệ số tỉ lệ $b$ nên $y = b.z$
Do đó, $x=\frac{y}{a}=\frac{b.z}{a}=\frac{b}{a}.z$ ($\frac{b}{a}$ là hằng số vì $a,b$ là các hằng số)
Vậy $x$ tỉ lệ thuận với $z$ và hệ số tỉ lệ là $\frac{b}{a}$
b) Giả sử $y$ tỉ lệ thuận với $x$ theo hệ số tỉ lệ $a$ nên $y = a.x$ nên, $x=\frac{y}{a}$.
$y$ tỉ lệ nghịch với $z$ theo hệ số tỉ lệ $b$ nên $y=\frac{b}{z}$.
Do đó, $x=\frac{y}{a}=\frac{\frac{b}{z}}{a}=\frac{b}{z}:a=\frac{b}{z}.\frac{1}{a}=\frac{\frac{b}{a}}{z}$ ($\frac{b}{a}$ là hằng số vì $a,b$ là các hằng số)
Vậy $x$ tỉ lệ nghịch với $z$ và hệ số tỉ lệ là $\frac{b}{a}$
c) Giả sử $y$ tỉ lệ nghịch với $x$ theo hệ số tỉ lệ $a$ nên $y = \frac{a}{x}$ nên $x=\frac{a}{y}$
$y$ tỉ lệ nghịch với $z$ theo hệ số tỉ lệ $b$ nên $y =\frac{b}{z}$
Do đó, $x=\frac{a}{y}=\frac{a}{\frac{b}{z}}= a:\frac{b}{z}=a.\frac{z}{b}=\frac{a}{b}.z$ ($\frac{a}{b}$ là hằng số vì a,b là các hằng số)
Vậy $x$ tỉ lệ thuận với $z$ và hệ số tỉ lệ là $\frac{a}{b}$.

Để thu được một loại đồng thau, người ta pha chế đồng và kẽm nguyên chất theo tỉ lệ $6:4$. Tính khối lượng đồng và kẽm nguyên chất cần thiết để sản xuất $150$ kg đồng thau.

Lời giải chi tiết:
Gọi khối lượng đồng và kẽm để pha chế $150$ kg đồng thau lần lượt là $x, y$ (kg) ($x,y > 0$) nên $x + y = 150$
Vì đồng và kẽm nguyên chất theo tỉ lệ $6:4$ nên $\frac{x}{6}=\frac{y}{4}$.
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
$\frac{x}{6}=\frac{y}{4}= \frac{x+y}{6+4}=\frac{150}{10}=15$
$\Rightarrow x=15.6=90$
$y=15.4=60$
Vậy khối lượng đồng và kẽm để pha chế $150$ kg đồng thau lần lượt là $90$ kg và $60$ kg.

Với thời gian để một thợ lành nghề làm được $12$ sản phẩm thì người thợ học việc chỉ làm được $8$ sản phẩm. Hỏi người thợ học việc phải mất bao nhiêu thời gian để hoàn thành khối lượng công việc mà người thợ lành nghề làm trong $48$ giờ?

Lời giải chi tiết:
Gọi thời gian người thợ học việc cần để hoàn thành khối lượng công việc mà người thợ lành nghề làm trong $48$ giờ là $x$ (giờ) ($x > 0$)
Vì với cùng một công việc, thời gian hoàn thành và số sản phẩm làm được trong một đơn vị thời gian là hai đại lượng tỉ lệ nghịch.
Theo tính chất hai đại lượng tỉ lệ nghịch, ta có:
$12.48=8.x\Rightarrow x=\frac{12.48}{8}=72$.
Vậy thời gian người thợ học việc cần là $72$ giờ.

Học sinh khối lớp $7$ đã quyên góp được một số sáchh nộp cho thư viện. Sĩ số của các lớp $7A, 7B, 7C, 7D$ tương ứng là $38;39;40$ và $40$ em. Biết rằng số sách quyên góp được tỉ lệ với số học sinh của lớp và lớp $7D$ góp được nhiều hơn lớp $7A$ là $4$ quyển sách. Hỏi mỗi lớp quyên góp được bao nhiêu quyển sách?

Lời giải chi tiết:
Gọi số quyển sách $4$ lớp $7A, 7B, 7C, 7D$ quyên góp được lần lượt là $x,y,z,t$ (quyển) ($x,y,z,t \epsilon N*$)
Vì lớp $7D$ góp được nhiều hơn lớp $7A$ là $4$ quyển sách nên $\frac{x}{38}=\frac{y}{39}=\frac{z}{40}=\frac{t}{40}$.
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
$\frac{x}{38}=\frac{y}{39}=\frac{z}{40}=\frac{t}{40}=\frac{t-x}{40-38}=\frac{4}{2}=2$
$\Rightarrow x=2.38=76$
$y=2.39=78$
$z=2.40=80$
$t=2.40=80$
Vậy số quyển sách $4$ lớp $7A, 7B, 7C, 7D$ quyên góp được lần lượt là $76, 78, 80, 80$ quyển sách.

Thư viện của một trường Trung học cơ sở mua ba đầu sách tham khảo môn Toán lớp $6$, lớp $7$ và lớp $8$, tổng cộng $121$ cuốn. Giá của mỗi cuốn sách tham khảo môn Toán lớp $6$, lớp $7$ và lớp $8$ lần lượt là $40$ nghìn đồng, $45$ nghìn đồng và $50$ nghìn đồng. Hỏi thư viện đó mua bao nhiêu cuốn sách tham khảo môn Toán mỗi loại, biết rằng số tiền dùng để mua mỗi loại sách đó là như nhau?

Lời giải chi tiết:
Gọi số cuốn sách tham khảo môn Toán lớp $6$, lớp $7$ và lớp $8$ mà thư viện đó mua lần lượt là $x, y, z$ ($x, y, z \epsilon N$)
Vì tổng cộng là $121$ cuốn nên ta có $x+y+z=121$
Vì số tiền dùng để mua mỗi loại sách đó là như nhau nên số cuốn sách và giá tiền một cuốn sách tương ứng là $2$ đại lượng tỉ lệ nghịch.
Theo tính chất hai đại lượng tỉ lệ nghịch, ta có:
$40.x=45.y=50.z\Rightarrow \frac{x}{\frac{1}{40}}=\frac{y}{\frac{1}{45}}=\frac{z}{\frac{1}{50}}$.
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
$ \frac{x}{\frac{1}{40}}=\frac{y}{\frac{1}{45}}=\frac{z}{\frac{1}{50}}=\frac{x+y+z}{\frac{1}{40}+\frac{1}{45}+\frac{1}{50}}=\frac{121}{\frac{121}{1800}}=121.\frac{1800}{121}=1800$
$\Rightarrow x=1800.\frac{1}{40}=45$
$y=1800.\frac{1}{45}=40$
$z=1800.\frac{1}{50}=36$
Vậy số sách tham khảo môn Toán lớp $6$, lớp $7$ và lớp $8$ mà thư viện đó mua lần lượt là $45$ quyển, $40$ quyển và $36$ quyển.