Bất đẳng thức – Lý thuyết và bài tập SGK có đáp án
Bất đẳng thức là một trong những nội dung quan trọng trong chương trình Toán THPT nói chung và Toán 10 nói riêng – Đây cũng là nỗi sợ của nhiều học sinh mỗi khi bắt gặp vì tính phức tạp và nhiều công thức cần ghi nhớ. Biết được điều đó, hôm nay HocThatGioi sẽ gửi đến các bạn bài viết Bất đẳng thức – Lý thuyết và bài tập SGK có đáp án để bạn đọc có thể nắm vững kiến thức này nhé! Khám phá ngay thôi!
I. Lý thuyết bất đẳng thức
1. Khái niệm
Khái niệm: Là một mệnh đề có một trong các dạng A > B, A < B, A ≥ B, A ≤ B trong đó A, B là các biểu thức chứa các số và các phép toán.
Biểu thức A được gọi là vế trái, B là vế phải của bất đẳng thức.
2. Bất đẳng thức hệ quả và bất đẳng thức tương đương
- Nếu mệnh đề: “A < B => C < D” là mệnh đề đúng thì ta nói bất đẳng thức C < D là hệ quả của bất đẳng thức A < B.
- Nếu “A < B => C < D” và “C < D ⇒ A < B” là mệnh đề đúng thì ta nói hai bất đẳng thức A < B và C < D tương đương, kí hiệu là A < B ⇔ C < D.
3. Tính chất của bất đẳng thức
Dưới đây là 6 tính chất của bất đẳng thức mà ta thường gặp:
- Tính chất 1 (Tính chất bắc cầu): Nếu A < B, B < C => A < C
- Tính chất 2 (Quy tắc cộng): A < B ⇔ A + C < B + C
- Tính chất 3 (Quy tắc cộng hai bất đẳng thức cùng chiều): Nếu A < B và C < D => A + C < B + D
- Tính chất 4 (Quy tắc nhân): Nếu A < B và C > 0 ⇔ AC < BC
- Tính chất 5 (Quy tắc nhân hai bất đẳng thức): Nếu 0 < A < B, 0 < C < D => AC < BD
- Tính chất 6 (Quy tắc lũy thừa, khai căn): Với A, B > 0, n \in N ^\ast, ta có:
- Nếu A < B \Longleftrightarrow A^n < B^n
- Nếu A < B \Longleftrightarrow \sqrt[n]{A} < \sqrt[n]{B}
4. Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân (Bất đẳng thức Côsi)
4.1 Bất đẳng thức Cô-si
Định lý: Trung bình nhân của hai số không âm nhỏ hơn hoặc bằng trung bình cộng của chúng
(a+b)/2 là trung bình cộng của hai số a, b
\sqrt(ab) là căn bậc 2 của hai số a, b
4.2 Các hệ quả
- Tổng của một số dương với nghịch đảo của nó lớn hơn hoặc bằng 2. a+\frac{1}{a}>=2, \forall a>0
- Nếu x, y cùng dương và có tổng không đổi thì tích xy lớn nhất khi và chỉ khi x = y.
- Nếu x, y cùng dương và có tích không đổi thì tổng x + y nhỏ nhất khi và chỉ khi x = y.
5. Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối
Ta có các bất đẳng thức sau:
|a|-|b|<=|a+b|<=|a|+|b|; \forall a,b \in RDấu “=” chỉ xảy ra khi ab>=0
- |x|<=a \Longleftrightarrow -a<=x<=a; \forall a>0
- |x|>=a \Longleftrightarrow x>=a hoặc x<=-a; \forall a>0
II. Bài tập SGK bất đẳng thức
Bài 1 trang 79
a) 8x>4x
b) 4x>8x
c) 8x^2>4x^2
d) 8+x>4+x
Bài 2 trang 79
A=\frac{5}{x}
B=\frac{5}{x}+1
C=\frac{5}{x}-1
D=\frac{x}{5}
Bài 3 trang 79
a) Chứng minh (b-c)^2 < a^2
b) Từ đó suy ra: a^2 + b^2 + c^2 < 2(ab + bc + ca)
Bài 4 trang 79
x^3 + y^3 ≥ x^2y + xy^2; \forall x, y ≥ 0
=> Xem thêm Bất phương trình và hệ bất phương trình một ẩn – Lý thuyết và bài tập SGK có đáp án
Bài 5 trang 79
Bài 6 trang 79
Trên đây là toàn bộ bài viết Bất đẳng thức – Lý thuyết và bài tập SGK có đáp án. Cảm ơn các bạn đã theo dõi bài viết của HocThatGioi. Hi vọng rằng bài viết sẽ mang lại thêm các kiến thức bổ ích cho các bạn. Hãy đồng hành cùng HocThatGioi để tiếp thu thêm các kiến thức hay, bổ ích nhé. Chúc các bạn học tốt!
