Giải SGK bài 14 chương V trang 84, 85, 86, 87, 88 Toán 10 Kết nối tri thức tập 1

Điểm trung bình môn học kì của An và Bình đều là 8,0 nhưng rõ ràng Bình “học đều” hơn An. Có thể dùng những số đặc trưng nào để đo mức độ “học đều”?

Lời giải chi tiết:
Sắp xếp lại theo thứ tự không giảm:
Bạn An: $\begin{array}{lllll} 6,5 & 6,8 & 7,3 & 8,0 & 8,0 & 8,7 & 9,2 & 9,5 \end{array}$
Bạn Bình: $\begin{array}{lllll}7,6 & 7,8 & 7,9 & 8,0 & 8,1 & 8,1 & 8,2 & 8,3\end{array}$
+ So sánh theo khoảng biến thiên:
Bạn An: R_1 = 9 , 5 − 6 , 5 = 3
Bạn Bình: R_2 = 8 , 3 − 7 , 6 = 0 , 7
Ta thấy R_1 \gt R_2 nên bạn Bình học đều hơn
+ So sánh theo khoảng tứ phân vị:
Bạn An: n=8
Q_1= \frac{\mathrm{6 , 8 + 7 , 3} }{\mathrm{2}} =7 , 05, Q_4= \frac{\mathrm{8 , 7 + 9 , 2} }{\mathrm{2}} =8,95
Khoảng tứ phân vị là \Delta _Q= Q_3- Q_1 =8,95-7,05=1,9
Bạn Bình: n=8
Q’_1= \frac{\mathrm{7 , 8 + 7 , 9} }{\mathrm{2}} =7,85, Q’_3= \frac{\mathrm{8 , 1 + 8 , 2} }{\mathrm{2}} =8,15
Khoảng tứ phân vị là \Delta’ _Q= Q’_3- Q’_1 =8,15-7,85=0,3
\Rightarrow Ta thấy \Delta _Q \gt \Delta’ _Q nên bạn Bình học đều hơn
+ So sánh theo phương sai hoặc độ lệch chuẩn
Bạn An: \overline{x} =8


Phương sai là s_1 ^2 = \frac{\mathrm{8,36} }{\mathrm{8} } =1,045
Độ lệch chuẩn là s_1 = \sqrt{1,045} \approx 1,02
Bạn Bình: \overline{x} =8


Phương sai là s_2 ^2 = \frac{\mathrm{0,36} }{\mathrm{8} } =0,045
Độ lệch chuẩn là s_2 = \sqrt{0,045} \approx 0,21
Ta thấy s_2 \lt s_1 nên bạn Bình học đều hơn

Một cổ động viên của câu lạc bộ Everton, Anh đã thống kê điểm số mà hai câu lạc bộ Leicester City và Everton đạt được trong năm mùa giải Ngoại hạng Anh gần đây, từ mùa giải 2014 – 2015 đến mùa giải 2018 – 2019 như sau:
Leicester City: $\begin{array}{lllll}41 & 81 & 44 & 47 & 52 \end{array}$
Everton: $\begin{array}{lllll}47 & 47 & 61 & 49 & 54 \end{array}$
Cổ động viên đó cho rằng, Everton thi đấu ổn định hơn Leicester City. Em có đồng ý với nhận định này không? Vì sao?

Lời giải chi tiết:
Ta có câu lạc bộ Leicester City có điểm lớn nhất là 81 và nhỏ nhất là 41 nên khoảng cách giữa điểm cao nhất và thấp nhất là 40.
Câu lạc bộ Everton có điểm lớn nhất là 61 và nhỏ nhất là 41 nên khoảng cách giữa điểm cao nhất và thấp nhất là 20.
Vì 40 \gt 20 nên câu lạc bộ Everton thi đấu ổn định hơn câu lạc bộ Leicester Cit

Mẫu số liệu sau cho biết chiều cao (đơn vị cm) của các bạn trong tổ:
$\begin{array}{lllll}163 &159 & 172 & 167 & 165 & 168 & 170 & 161 \end{array}$
Tính khoảng biến thiên của mẫu số liệu này.

Lời giải chi tiết:
Số lớn nhất là 172, số nhỏ nhất là 159
R=172-159=13

Trong một tuần, nhiệt độ cao nhất trong ngày (đơn vị C) tại hai thành phố Hà Nội và Điện Biên được cho như sau:
Hà Nội: $\begin{array}{lllll} 23 & 25 & 28 & 28 & 32 & 33 & 35 \end{array}$
Điện Biên: $\begin{array}{lllll}16 & 24 & 26 & 26 & 26 & 27 & 28 \end{array}$
a) Tính các khoảng biến thiên của mỗi mẫu số liệu và so sánh.
b) Em có nhận xét gì về sự ảnh hưởng của giá trị 16 đến khoảng biến thiên của mẫu số liệu về nhiệt độ cao nhất trong ngày tại Điện Biên?
c) Tính các tứ phân vị và hiệu Q_3- Q_1 cho mỗi mẫu số liệu. Có thể dùng hiệu này để đo độ phân tán của mẫu số liệu không?

Lời giải chi tiết:
a)
Hà Nội:
Số lớn nhất là 35, số nhỏ nhất là 23
R=35-23=12
Điện Biên:
Số lớn nhất là 28, số nhỏ nhất là 16
R=28-16=12
Khoảng biến thiên về nhiệt độ của Hà Nội và Điện Biên bằng nhau.
b) Số 16 làm cho khoảng biến thiên về nhiệt độ tại Điện Biên lớn hơn.
c)
Hà Nội: $\begin{array}{lllll}23 & 25 & 28 & 28 & 32 & 33 & 35\end{array}$
Q_2=28
Q_1=25
Q_3=33
Q_3- Q_1 =33-25=8
Điện Biên: $\begin{array}{lllll}16 & 24 & 26 & 26 & 26 & 27 & 28\end{array}$
Q_2=26
Q_1=24
Q_3=27
Q_3- Q_1 =27-24=3
Có thể dùng hiệu này để đo độ phân tán.
Chú ý: Q_3- Q_1 chính là khoảng tứ phân vị.

Mẫu số liệu sau đây cho biết số bài hát ở mỗi album trong bộ sưu tập của An:
$\begin{array}{lllll}12 & 7 & 10 & 9 & 12 & 9 & 10 & 11 & 10 & 14\end{array}$
Hãy tìm khoảng tứ phân vị cho mẫu số liệu này.

Lời giải chi tiết:
Sắp xếp lại:
7 9 9 10 10 10 11 12 12 14
Trung vị Q_2= \frac{\mathrm{10+10} }{\mathrm{2} }=10
Nửa trái: Q_2 7 9 9 10 10
Q_1= 9
Nửa phải: 10 11 12 12 14
Q_3= 12
Khoảng tứ phân vị: \Delta _Q =Q_3- Q_1 =12-9=3

Dùng đồng hồ đo thời gian có độ chia nhỏ nhất đến 0,001 giây để đo 7 lần thời gian rơi tự do của một vật bắt đầu từ điểm A( v_a =0) đến điểm B. Kết quả đo như sau:
0,398 \ 0,399 \ 0,408 \ 0,410 \ 0,406 \ 0,405 \ 0,402 (Theo Bài tập Vật lý 10, Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam, 2018).
Hãy tính phương sai và độ lệch chuẩn cho mẫu số liệu này. Qua các đại lượng này, em có nhận xét gì về độ chính xác của phép đo trên?

Lời giải chi tiết:
Ta có giá trị trung bình:
\overline{x} = \frac{\mathrm{0 , 398 + 0 , 399 + 0 , 408 + 0 , 410 + 0 , 406 + 0 , 405 + 0 , 402 } }{\mathrm{7}}=0,404


Phương sai:
s^2= \frac{\mathrm{12,2. 10^{-5} } }{\mathrm{d} 7} \approx 0,000017
Độ lệch chuẩn: s= \sqrt{ s^2 } \approx 4,17. 10^{-3}
Phép đo có độ chính xác cao.

Một mẫu số liệu có tử phân vị thứ nhất là 56 và tứ phân vị thứ ba là 84. Hãy kiểm tra xem trong hai giá trị 10 và 100 giá trị nào được xem là giá trị bất thường.

Lời giải chi tiết:
Ta có:
Q_1=56; Q_3=84
\Delta _Q = Q_3- Q_1=84-56=28
Ta có: $\mathrm{Q}_1-1,5 . \Delta_{\mathrm{Q}}=56-1,5.28=14$ và $ \mathrm{Q}_3+1,5 . \Delta_{\mathrm{Q}}=84+1,5.28=126$ nên trong hai số liệu 10 và 100 thì giá trị được xem là bất thường là 10 (nhỏ hơn 14).

Mỗi khẳng định sau đúng hay sai?
(1) Nếu các giá trị của mẫu số liệu càng tập trung quanh giá trị trung bình thì độ lệch chuẩn càng lớn.
(2) Khoảng biến thiên chỉ sử dụng thông tin của giá trị lớn nhất và bé nhất, bỏ qua thông tin của các giá trị còn lại.
(3) Khoảng tứ phân vị có sử dụng thông tin của giá trị lớn nhất, giá trị bé nhất.
(4) Khoảng tứ phân vị chính là khoảng biến thiên của nửa dưới mẫu số liệu đã sắp xếp.
(5) Các số đo độ phân tán đều không âm.

Lời giải chi tiết:
Khằng định (1): Nếu các giá trị của mẫu số liệu càng tập trung quanh giá trị trung bình thì độ lệch của mỗi giá trị so với giá trị trung bình càng nhỏ (tức là $x_i-\bar{x}$ càng nhỏ, với $i=1 ; 2 ; \ldots ; n$ ), dẫn đến độ lệch chuẩn càng nhỏ.
$\Rightarrow(1)$ Sai.
Khằng định (2): Khoảng biến thiên $\mathrm{R}$ bằng hiệu số giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất nên chỉ sử dụng thông tin của giá trị lớn nhất và bé nhất
$\Rightarrow(2)$ Đúng.
Khẳng định (3): Khoảng tứ phân vị $\Delta_Q=Q_3-Q_1$, các giá trị $Q_1, Q_3$ không bị ảnh hưởng bởi giá trị của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (với $n>4$ )
$\Rightarrow$ Sai.
Khẳng định (4): Khoảng tứ phân vị chính là khoảng biến thiên của $50 \%$ số liệu chính giữa của mẫu số liệu đã sắp xếp
$\Rightarrow$ Sai.
Khẳng định (5): Các số đo độ phân tán là
Khoảng biến thiên $\mathrm{R}=$ Số lớn nhất – Số nhỏ nhất > 0
Trước khi tính khoảng tứ phân vị thì mẫu số liệu được sắp xếp theo thứ tự không giảm
$$\Rightarrow Q_3>Q_1=>\Delta_Q=Q_3-Q_1>0$$
Phương sai $s^2=\frac{\left(x_1-\bar{x}\right)^2+\left(x_2-\bar{x}\right)^2+\ldots+\left(x_n-\bar{x}\right)^2}{n}>0$
Độ lệch chuẩn: $s=\sqrt{s^2}>0$
$\Rightarrow$ Các số đo độ phân tán đều không âm
$\Rightarrow$ (5) Đúng.

Không tính toán, hãy cho biết:
a) Hai mẫu số liệu này có cùng khoảng biến thiên và số trung bình không?
b) Mẫu số liệu nào có phương sai lớn hơn?

Lời giải chi tiết:
a) Cả 2 mẫu đều có n=15.
Ta có cả 2 mẫu đều có giá trị nhỏ nhất là 3, giá trị lớn nhất là 9
Do đó cả 2 mẫu cùng khoảng biến thiên.
Cả 2 biểu đồ này có dạng đối xứng nên giá trị trung bình của hai mẫu A và B bằng nhau.
b) Từ biểu đồ ta thấy, mẫu A có các số liệu đồng đều và ổn định hơn mẫu B nên phương sai của mẫu A nhỏ hơn mẫu B.

Cho mẫu số liệu gồm 10 số dương không hoàn toàn giống nhau. Các số đo độ phân tán (khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị, độ lệch chuẩn) sẽ thay đổi như thế nào nếu:
a) Nhân mỗi giá trị của mẫu số liệu với 2.
b) Cộng mỗi giá trị của mẫu số liệu với 2.

Lời giải chi tiết:
a) Gọi các giá trị dương của mẫu số liệu ban đầu theo thứ tự từ bé đến lớn là: a; b; c; d; e; f; g; h; i; k.
Số trung bình cộng của mẫu số liệu là:
$$\bar{X}=\frac{a+b+c+d+e+f+g+h+i+k}{10}$$
Phương sai:
$$s^2=\frac{(a-\bar{X})^2+(b-\bar{X})^2+(c-\bar{X})^2+\ldots+(k-\bar{X})^2}{10}$$
Độ lệch chuẩn:
$$s=\sqrt{s^2}=\sqrt{\frac{(a-\bar{X})^2+(b-\bar{X})^2+(c-\bar{X})^2+\ldots+(k-\bar{X})^2}{10}}$$
Giá trị lớn nhất là k, giá trị nhỏ nhất là a. Khi đó khoảng biến thiên: $\mathrm{R}=\mathrm{k}-\mathrm{a}$.
Vî n $=10$ nên trung vị là trung bình cộng hai giá trị chính giữa: $Q_2=\frac{e+f}{2}$
Nửa mẫu số liệu bên trái có tứ phân vị thứ nhất là $Q_1=\frac{b+c}{2}$
Nửa mẫu số liệu bên phải có tứ phân vị thứ ba là $Q_3=\frac{h+i}{2}$.
Khi đó khoảng tứ phân vị là:
$$\Delta_Q=Q_3-Q_1=\frac{h+i}{2}-\frac{b+c}{2} \text {. }$$
Nhân mỗi giá trị của mẫu số liệu với 2 ta được dãy số liệu mới theo thứ tự từ bé đến Iớn là: 2a; 2b; 2c; 2d; 2e; 2f; 2g; 2h; 2i; 2k.
Số trung bình cộng của mẫu số liệu là:
$$\overline{\mathrm{X}^{\prime}}=\frac{2 \mathrm{a}+2 \mathrm{~b}+2 \mathrm{c}+2 \mathrm{~d}+2 \mathrm{e}+2 \mathrm{f}+2 \mathrm{~g}+2 \mathrm{~h}+2 \mathrm{i}+2 \mathrm{k}}{10}=2 \overline{\mathrm{X}}$$
Phương sai:
$$\mathrm{s}^{\prime 2}=\frac{(2 \mathrm{a}-2 \overline{\mathrm{X}})^2+(2 \mathrm{~b}-2 \overline{\mathrm{X}})^2+(2 \mathrm{c}-2 \overline{\mathrm{X}})^2+\ldots+(2 \mathrm{k}-2 \overline{\mathrm{X}})^2}{10}=4 \mathrm{~s}^2$$
Độ lệch chuẩn:
$$\mathrm{s}^{\prime}=\sqrt{\mathrm{s}^{\prime 2}}=\sqrt{\frac{(2 \mathrm{a}-2 \overline{\mathrm{X}})^2+(2 \mathrm{~b}-2 \overline{\mathrm{X}})^2+(2 \mathrm{c}-2 \overline{\mathrm{X}})^2+\ldots+(2 \mathrm{k}-2 \overline{\mathrm{X}})^2}{10}}=2 \mathrm{~s}$$
Giá trị lớn nhất là k, giá trị nhỏ nhất là $a$. Khi đó khoảng biến thiên: $\mathrm{R}^{\prime}=2 \mathrm{k}-2 \mathrm{a}=2 \mathrm{R}$.
Ta có:
Tứ phân vị thứ nhất là $Q^{\prime}{ }_1=\frac{2 b+2 c}{2}=b+c=2 Q_1$
Tứ phân vị thứ ba là $Q^{\prime}{ }_3=\frac{2 h+2 i}{2}=h+i=2 Q_3$
Khi đó khoảng tứ phân vị là:
$$\Delta_Q^{\prime}=Q_3^{\prime}-Q_1^{\prime}=2 Q_3-2 Q_1=2 \Delta_Q \text {. }$$
Vậy các khoảng biến thiên, độ lệch chuẩn, khoảng tứ phân vị của dãy số liệu mới bằng hai lần các khoảng biến thiên, độ lệch chuẩn, khoảng tứ phân vị ban đầu.
b) Cộng mỗi giá trị của mẫu số liệu với 2 thì
+ Số lớn nhất tăng 2 đơn vị và số nhỏ nhất tăng 2 đơn vị
=> R không đổi vì phần tăng thêm bị triệt tiêu cho nhau.
+ $Q_1$ và $Q_3$ tăng 2 đơn vị
=> Khoảng tứ phân vị $\Delta_Q=Q_3-Q_1$ không đổi vì phần tăng thêm bị triệt tiêu cho nhau.
+ Giá trị trung bình tăng 2 đơn vị
=> Độ lệch của mỗi giá trị so với giá trị trung bình $\left|x_i-\bar{x}\right|$ không đổi vì phần tăng thêm bị triệt tiêu cho nhau.
$\Rightarrow\left(x_i-\bar{x}\right)^2$ không đổi
=> Phương sai không đổi.
=> Độ lệch chuẩn không đổi.
Vậy khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị và độ lệch chuẩn đều không đổi.

Từ mẫu số liệu về thuế thuốc lá của 51 thành phố tại một quốc gia, người ta tính được:
Giá trị nhỏ nhất bằng 2,5; $Q_1=36, Q_2=60, Q_3=100$; giá trị lớn nhất bằng 205.
a) Tỉ lệ thành phố có thuế thuốc lá lớn hơn 36 là bao nhiêu?
b) Chỉ ra hai giá trị sao cho có $50 \%$ giá trị của mẫu số liệu nằm giữa hai giá trị này.
c) Tìm khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu.

Lời giải chi tiết:
a) Tỉ lệ thành phố có thuế thuốc lá lớn hơn 36 là tỉ lệ thành phố có thuế thuốc lá lớn hơn $Q_1$
$$\text { => Có } 75 \%$$
b) Ta thấy từ giá trị nhỏ nhất đến $Q_2$ có $50 \%$ giá trị của mẫu số liệu nằm giữa hai giá trị này
=> Ta chọn giá trị thứ nhất là 2,5 và 36 .
c) Khoảng tứ phân vị $\Delta_Q=Q_3-Q_1=100-36=64$

Mẫu số liệu sau đây cho biết cân nặng của 10 trẻ sơ sinh (đơn vị kg):
$\begin{array}{lllll}2,977 & 3,155 & 3,920 & 3,412 & 4,236\end{array}$
$\begin{array}{lllll}2,977 & 3,155 & 3,920 & 3,412 & 4,236\end{array}$
Hãy tính khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị và độ lệch chuẩn cho mẫu số liệu này.

Lời giải chi tiết:
Sắp xếp theo thứ tự không giảm.
Khoảng biến thiên $R=4,236-2,593=1,643$
Vì $\mathrm{n}=10$ nên ta có:
$$Q_1=3,155 ; Q_3=3,920$$
Khoảng tứ phân vị $\Delta_Q=Q_3-Q_1=3,920-3,155=0,765$
$\bar{x} \approx 3,481$


Độ lệch chuẩn: s= \sqrt{0,2396} \approx 0,489
Phương sai là s_2= \frac{\mathrm{2,396} }{\mathrm{10} } \approx 0,2396

Tỉ lệ thất nghiệp ở một số quốc gia vào năm 2007 (đơn vị %) được cho như sau:
$\begin{array}{lllll}7,8 & 3,2 & 7,7 & 8,7 & 8,6 & 8,4 & 7,2 & 3,6\end{array}$
$\begin{array}{lllll}5,0 & 4,4 & 6,7 & 7,0 & 4,5 & 6,0 & 5,4\end{array}$
Hãy tìm các giá trị bất thường (nếu có) của mẫu số liệu trên.

Lời giải chi tiết:
Sắp xếp theo thứ tự không giảm.:
Vî̀ n=15 nên $Q_2=6,7$
$Q_1=4,5 ; Q_3=7,8$
$\Delta_Q=Q_3-Q_1=7,8-4,5=3,3$
$Q_3+1,5 . \Delta_Q=12,75$
$Q_1-1,5 \Delta_Q=-0,45$
Ta thấy không có giá trị nào dưới -0,45 và trên 12,75 nên không có giá trị bất thường.