Giải SGK bài tập ôn tập cuối năm Toán 10 Kết nối tri thức Tập 2

1. Cho hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn $\left\{\begin{array}{l}x+y>2 \\ x-y \leq 1\end{array}\right.$. Điểm nào sau đây thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho?
A. $(1 ; 1)$.
B. $(2 ; 0)$.
C. $(3 ; 2)$.
D. $(3 ;-2)$.

Lời giải chi tiết:
$(1 ; 1)$ không thuộc miền nghiệm vì $1+1=2>2$ (Vô lý) => Loại $A$
$(2 ; 0)$ không thuộc miền nghiệm vì $2+0=2>2$ (Vô lý) => Loại $B$
$(3;2)$ thuộc miền nghiệm vì: $3+2=5>2$ (đúng) và $3-2=1 \geq 1$ (đúng)
$(3;-2)$ không thuộc miền nghiệm vì $3+(-2)=1>2$ (Vô lý) => Loại $D$
$=>$ Chọn $C$

Cho tam giác $ABC$. Có bao nhiêu điểm $M$ thỏa mãn $|\overrightarrow{M A}+\overrightarrow{M B}+\overrightarrow{M C}|=3$ ?
A. Vô số
B. 1
C. 2
D. 3

Lời giải chi tiết:
Gọi G là trọng tâm của tam giác $A B C$, ta có:
$\overrightarrow{G A}+\overrightarrow{G B}+\overrightarrow{G C}=\overrightarrow{0}$
$$\Rightarrow \overrightarrow{M A}+\overrightarrow{M B}+\overrightarrow{M C}=3 \overrightarrow{M G}+\overrightarrow{G A}+\overrightarrow{G B}+\overrightarrow{G C}=3 \overrightarrow{M G}$$
Do đó: $|\overrightarrow{M A}+\overrightarrow{M B}+\overrightarrow{M C}|=3$
$\Leftrightarrow|3 \overrightarrow{M G}|=3$ hay $M G=1$
Vậy tập hợp các điểm $M$ thỏa mãn là đường tròn tâm $\mathrm{G}$, bán kính 1.
Nói cách khác có vô số điểm M thỏa mãn ycbt.
$=>$ Chọn $A$.

Biết rằng parabol $y=x^2+b x+c$ có đỉnh $1(1 ; 4)$. Khi đó giá trị của $b+c$ là:
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4

Lời giải chi tiết:
Parabol có đỉnh $\mathrm{I}(1 ; 4)$ hay $I(1;4)$ thuộc parabol
$\Rightarrow 4=1^2+1 . b+c \Leftrightarrow b+c=3$
$=>$ Chọn C.

Trongg mặt phẳng tọa độ $\mathrm{Oxy}$, cho đường thẳng $\Delta: x+2 y-5=0$. Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:
A. Vecto $\vec{n}=(1 ; 2)$ là một vectơ pháp tuyến của $\Delta$
B. Vecto $\vec{u}=(-2 ; 1)$ là một vectơ chỉ phương của $\Delta$
C. Đường thẳng $\Delta$ song song với đường thẳng $d:\left\{\begin{array}{l}x=1-2 t \\ y=1+t\end{array}\right.$
D. Đường thẳng $\Delta$ có hệ số góc $k=2$

Lời giải chi tiết:
Xét đường thẳng $\Delta: x+2 y-5=0$
Vectơ $\vec{n}=(1 ; 2)$ là một VTPT của $\Delta=>$ A đúng $=>$ Loại$ A$
Vectơ $\vec{u}=(-2 ; 1)$ là một VTCP của $\Delta=>$ B đúng $=>$ Loại $B$
Đường thẳng $\Delta$ có hệ số góc $k=-\frac{a}{b}=-\frac{1}{2}=>\mathrm{D}$ sai => Chọn $\mathrm{D}$

Trong khai triển nhị thức Newton của $(2+3 x)^4$, hệ số của $x^2$ là:
A. 9
B. $C_4^2$
C. $9 C_4^2$
D. $36 C_4^2$

Lời giải chi tiết:
Ta có:
$$(2+3 x)^4=C_4^0 2^4+C_4^1 2^3 3 x+C_4^2 2^2(3 x)^2+C_4^3 2.(3 x)^3+C_4^4(3 x)^4$$
$=>$ Hệ số của của $x^2$ là $C_4^2. 2^2.3^2=36 C_4^2$.
$=>$ Chọn $D$

Một tổ gồm 7 nam và 3 nữ. Chọn ngẫu nhiên hai người. Xác suất để trong hai người được chọn có ít nhất một nữ là
A. $\frac{7}{15}$.
B. $\frac{8}{15}$.
C. $\frac{1}{15}$.
D. $\frac{2}{15}$.

Lời giải chi tiết:
Số cách chọn 2 bạn bất kì trong 10 bạn đó là $C_{10}^2$
Cách 1:
Trường hợp 1: Hai bạn được chọn gồm 1 nam và 1 nữ
Có $7$ cách chọn một bạn nam
Có $3$ cách chọn một bạn nữ
$=>$ Có $3.7=21$ cách chọn
Trường hợp 2: Hai bạn được chọn đều là nữ
Số cách chọn $2$ trong 3 bạn nữ là: $C_3^2$
Xác suất để trong hai người được chọn có ít nhất một nữ là: $\frac{21+C_3^2}{C_{10}^2}=\frac{8}{15}$
$=>$ Chọn B.
Cách 2:
Gọi $A$ là biến cố: “trong hai người được chọn có ít nhất một nữ”
Biến cố đối $\bar{A}$ : “trong hai người được không có bạn nữ nào” hay “hai người được chọn đều là nam”
Ta có: Số cách chọn 2 trong 7 bạn nam là $n(\bar{A})=C_7^2$
\Rightarrow P(\bar{A})=\frac{C_7^2}{C_{10}^2}=\frac{21}{45}=\frac{7}{15} \\\\ \Rightarrow P(A)=1-P(\bar{A}) \\\\ =1-\frac{7}{15}=\frac{8}{15}
$=>$ Chọn B.

Cho các mệnh đề:
P: “Tam giác $A B C$ là tam giác vuông tại $A$ “;
Q: “Tam giác $A B C$ có các cạnh thoả mãn $A B^{2}+A C^{2}=B C^{2 “}$.

a) Hãy phát biểu các mệnh đề: $P \Rightarrow Q, Q \Rightarrow P, P \Leftrightarrow Q, \bar{P} \Rightarrow \bar{Q}$. Xét tính đúng sai của các mệnh đề này.
b) Dùng các khái niệm “điều kiện cần” và “điều kiện đủ” để diễn tả mệnh đề $P \Rightarrow Q$.
c) Gọi $X$ là tập hợp các tam giác $A B C$ vuông tại $A, Y$ là tập hợp các tam giác $A B C$ có trung tuyến $A M=\frac{1}{2} B C$. Nêu mối quan hệ giữa hai tập hợp $X$ và $Y$.

Lời giải chi tiết:
a)
$P \Rightarrow Q:$ ” Nếu tam giác $\mathrm{ABC}$ là tam giác vuông tại $A$ thì các cạnh của nó thỏa mãn $A B^2+A C^2=B C^{2 “}$
Mệnh đề này đúng.
$Q \Rightarrow P:$ “Nếu tam giác $\mathrm{ABC}$ có các cạnh thỏa mãn $A B^2+A C^2=B C^2$ thì tam giác $\mathrm{ABC}$ vuông tại $\mathrm{A}^{\text {” }}$
Mệnh đề này đúng.
$P \Leftrightarrow Q$ : “Tam giác $\mathrm{ABC}$ là tam giác vuông tại $A$ khi và chỉ khi các cạnh của nó thỏa mãn $A B^2+A C^2=B C^{2 “}$
Mệnh đề này đúng do các mệnh đề $P \Rightarrow Q, Q \Rightarrow P$ đều đúng.
$\bar{P} \Rightarrow \bar{Q}:$ “Nếu tam giác $A B C$ không là tam giác vuông tại $A$ thì các cạnh của nó thỏa mãn $A B^2+A C^2 \neq B C$ “
Mệnh đề này đúng.
b) Mệnh đề $P \Rightarrow Q$ có thể phát biểu là:
“Tam giác $\mathrm{ABC}$ là tam giác vuông tại $A$ là điều kiện đủ để tam giác $\mathrm{ABC}$ có các cạnh thỏa mãn $A B^2+A C$ $=B C$ ”
“Tam giác $\mathrm{ABC}$ có các cạnh thỏa mãnn $A B^2+A C^2=B C^2$ là điều kiện cần để tam giác $\mathrm{ABC}$ vuông tại $\mathrm{A}^{\text {” }}$
C)
X là tập hợp các tam giác $\mathrm{ABC}$ vuông tại $\mathrm{A}$.
Y là tập hợp các tam giác $\mathrm{ABC}$ có trung tuyến $A M=\frac{1}{2} B C$.
Dễ thấy: $X \subset Y$ do các tam giác $\mathrm{ABC}$ vuông thì đều có trung tuyến $A M=\frac{1}{2} B C$.
Ta chứng minh: Nếu tam giác $\mathrm{ABC}$ có trung tuyến $A M=\frac{1}{2} B C$ thì tam giác $\mathrm{ABC}$ vuông tại $\mathrm{A}$.
Thật vậy, $B M=M C=A M=\frac{1}{2} B C$ suy ra $\mathrm{M}$ là tâm đường tròn đường kính $\mathrm{BC}$, ngoại tiếp tam giác $\mathrm{ABC}$.
$\Rightarrow \widehat{B A C}=90^{\circ}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Vậy tam giác $A B C$ là tam giác vuông.
Do đó $Y \subset X$
Vậy $X=Y$

8. a) Biểu diễn miền nghiệm $D$ của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn sau:
\begin{cases} x+y \leq 6 \\ 2x-y \leq 2 \\ x \geq0 \\ y \geq0 \end{cases}
b) Từ kết quả câu $\mathrm{a}$, tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $F(x, y)=2 x+3 y$ trên miền $D$.

Lời giải chi tiết:
+ Biểu diễn miền nghiệm của BPT $x-y \leq 6$
Bước 1: Vẽ đường thẳng $d: x-y=6$ trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$
Bước 2: Lấy $O(0 ; 0)$ không thuộc $d$, ta có: $0-0=0 \leq 6$ => Điểm $O(0;0)$ thuộc miền nghiệm
=> Miền nghiệm của BPT $x-y \leq 6$ là nửa mp bờ $\mathrm{d}$, chứa gốc tọa độ.
+ Tương tự, ta có miền nghiệm của BPT $2 x-y \leq 2$ là nửa mp bờ $d^{\prime}: 2 x-y=0$, chứa gốc tọa độ.
+ Miền nghiệm của BPT $x \geq 0$ là nửa mp bên phải $Oy$ (tính cả trục $\mathrm{Oy}$ )
+ Miền nghiệm của BPT $y \geq 0$ là nửa mp phía trên $\mathrm{Ox}$ (tính cả trục $\mathrm{Ox}$ )
Biểu diễn trên cùng một mặt phẳng tọa độ và gạch bỏ các miền không là nghiệm của từng BPT, ta được:

Miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho là miền tứ giác $\mathrm{OABC}$ (miền không bị gạch) với $A(0 ; 6), B\left(\frac{8}{3} ; \frac{10}{3}\right), C(1 ; 0)$
b) Thay tọa độ các điểm $O(0 ; 0), A(0 ; 6), B\left(\frac{8}{3} ; \frac{10}{3}\right), C(1 ; 0)$ và biểu thức $F(x ; y)=2 x+3 y$ ta được:
$$\begin{aligned}& F(0 ; 0)=2.0+3.0=0 \\& F(0 ; 6)=2.0+3.6=18 \\& F\left(\frac{8}{3} ; \frac{10}{3}\right)=2.\frac{8}{3}+3.\frac{10}{3}=\frac{46}{3} \\& F(1 ; 0)=2.1+3.0=2 \\& \Rightarrow \min F=0, \max F=18\end{aligned}$$
Vậy trên miền $\mathrm{D}$, giá trị nhỏ nhất của $\mathrm{F}$ bằng $0$, giá trị lớn nhất của $\mathrm{F}$ bằng $18$ .

Cho hàm số $y=f(x)=a x^{2}+b x+c$ với đồ thị là parabol $(P)$ có đỉnh $I\left(\frac{5}{2} ;-\frac{1}{4}\right)$ và đi qua điểm $A(1 ; 2)$.
a) Biết rằng phương trình của parabol có thể viết dưới dạng $y=a(x-h)^{2}+k$, trong đó $I(h ; k)$ là toạ độ đỉnh của parabol. Hãy xác định phương trình của parabol $(P)$ đã cho và vẽ parabol này.
b) Từ parabol $(P)$ đã vẽ ở câu a, hãy cho biết khoảng đồng biến và khoảng nghịch biến của hàm số $y=f(x)$.
c) Giải bất phương trình $f(x) \geq 0$.

Lời giải chi tiết:
a) Vì parabol có đỉnh $I\left(\frac{5}{2} ;-\frac{1}{4}\right)$ nên ta có $\mathrm{h}=\frac{5}{2}$ và $k=-\frac{1}{4}$.
Suy ra phương trình của parabol $(\mathrm{P})$ có dạng: $y=a\left(x-\frac{5}{2}\right)^2-\frac{1}{4}$
Vì parabol $(\mathrm{P})$ đi qua điểm $\mathrm{A}(1 ; 2)$ nên ta có $2=a\left(1-\frac{5}{2}\right)^2-\frac{1}{4}$ => $a=1$.
Vậy parabol $(P)$ có phương trình là $y=1.\left(x-\frac{5}{2}\right)^2-\frac{1}{4}$ hay $y=x^2-5 x+6$.
* Vẽ parabol (P):
Parabol có đỉnh $I\left(\frac{5}{2} ;-\frac{1}{4}\right)$, hệ số $\mathrm{a}=1>0$ nên parabol có bề lõm hướng lên trên.
Phương trình trục đối xứng: $x=\frac{5}{2}$.
Giao điểm của $(P)$ với trục tung có tọa độ là $\mathrm{B}(0 ; 6)$.
Phương trình $x^2-5 x+6=0$ có hai nghiệm $x=2$ và $x=3$.
Vậy giao điểm của $(P)$ với trục hoành là $C(2 ; 0)$ và $\mathrm{D}(3 ; 0)$
Vẽ đường cong đi qua các điểm trên ta được parabol $(P)$.

b) Từ parabol $(P)$ đã vẽ ở câu a, ta có hàm số $y=x^2-5 x+6$ đồng biến trên khoảng $\left(\frac{5}{2} ;+\infty\right)$ và nghịch biến trên khoảng $\left(-\infty ; \frac{5}{2}\right)$.
c) Ta có: $f(x) \geq 0$
$\Leftrightarrow x^2-5 x+6 \geq 0$
$\Leftrightarrow x \leq 2$ hoặc $x \geq 3$ (từ đồ thị suy ra)
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S=(-\infty ; 2] \cup[3 ;+\infty)$.

Giải các phương trình chứa căn thức sau:
a) $\sqrt{2 x^2-6 x+3}=\sqrt{x^2-3 x+1}$
b) $\sqrt{x^2+18 x-9}=2 x-3$

Lời giải chi tiết:
a) Bình phương hai vế của phương trình ta được:
$2 x^2-6 x+3=x^2-3 x+1$
Sau khi thu gọn ta được: $x^2-3 x+2=0$.
Từ đó tìm được $x=1$ hoặc $x=2$
Thay lần lượt hai giá trị này của x vào phương trình ban đầu, ta thấy chỉ có $x=2$ thỏa mãn.
Vậy nghiệm của PT đã cho là $x=2$
b) Bình phương hai vế của phương trình ta được:
$x^2+18 x-9=4 x^2-12 x+9$
Sau khi thu gọn ta được: $3 x^2-30 x+18=0$.
Từ đó tìm được $x=5+\sqrt{19}$ hoặc $x=5-\sqrt{19}$
Thay lần lượt hai giá trị này của x vào phương trình ban đầu, ta thấy chỉ có $x=5+\sqrt{19}$ thỏa mãn.
Vậy nghiệm của PT đã cho là $x=5+\sqrt{19}$

Từ các chữ số $0 ; 1 ; 2 ; \ldots . ; 9$, có thể lập được tất cả bao nhiêu số tự nhiên nhỏ hơn 1000 , chia hết cho 5 và gồm các chữ số khác nhau?

Lời giải chi tiết:
Các số tự nhiên nhỏ hơn 1000 gồm các số có 1 chữ số, có 2 chữ số hoặc 3 chữ số.
+ Số có 1 chữ số chia hết cho 5 là: $0$ và $5=>$ có 2 số.
+ Số có 2 chữ số chia hết cho 5 :
Hàng đơn vị là 0: chữ số hàng chục có 9 cách chọn.
Hàng đơn vị là 5 : chữ số hàng chục có 8 cách chọn (khác 0).
$\Rightarrow$ Có $9+8=17$ (Số)
+ Số có 3 chữ số chia hết cho 5 :
Hàng đơn vị là 0: chữ số hàng trăm có 9 cách chọn, hàng chục có 8 cách chọn.
Hàng đơn vị là 5: chữ số hàng trăm có 8 cách chọn, hàng chục có 8 cách chọn.
$\Rightarrow$ Có $9.8+8.8=136$ (số)
Vậy có tất cả $2+17+136=155$ số thỏa mãn ycbt.

Viết khai triển nhị thức Newton của $(2 x-1)^n$, biết n là số tự nhiên thỏa mãn $A_n^2+24 C_n^1=140$.

Lời giải chi tiết:
Ta có:
A_n^2+24 C_n^1= \frac{\mathrm{n!} }{\mathrm{(n-2)}!} +24.\frac{\mathrm{n!} }{\mathrm{(n-1)}!}=n(n-1)+24 n \\\\ \Longleftrightarrow n^2+23 n=140 \Longleftrightarrow\left[\begin{array}{l}n=5 \\n=-28(L)\end{array}\right.
Thay $a=2 x, b=-1$ trong công thức khai triển của $(a+b)^5$, ta được:
(2 x-1)^5= (2 x)^5+5.(2 x)^4.(-1)+10.(2 x)^3.(-1)^2 +10.(2 x)^2.(-1)^3+5.(2 x).(-1)^4+(-1)^5= 32 x^5-80 x^4+80 x^3-40 x^2+10 x-1

Từ các công thức tính diện tích tam giác đã được học, hãy chứng minh rằng, trong tam giác $A B C$, ta có:
$$r=\frac{\sqrt{(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)}}{2 \sqrt{a+b+c}} .$$

Cho hình vuông $A B C D$ có cạnh bằng $a$. Gọi $M, N$ tương ứng là trung điểm của các cạnh $A B, B C$.
a) Biểu thị các vectơ $\overrightarrow{D M}, \overrightarrow{A N}$ theo các vectơ $\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A D}$.
b) Tính $\overrightarrow{D M}.\overrightarrow{A N}$ và tìm góc giữa hai đường thẳng $D M$ và $A N$.

Lời giải chi tiết:

a) Ta có:
$\overrightarrow{D M}=\overrightarrow{D A}+\overrightarrow{A M}=-\overrightarrow{A D}+\frac{1}{2} \overrightarrow{A B}$ (do $\mathrm{M}$ là trung điểm của $\mathrm{AB}$ )
$\overrightarrow{A N}=\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B N}=\overrightarrow{A B}+\frac{1}{2} \overrightarrow{B C}=\overrightarrow{A B}+\frac{1}{2} \overrightarrow{A D}$ (do N là trung điểm của $\mathrm{BC}$ )
b)
\overrightarrow{DM}. \overrightarrow{A N}= (-\overrightarrow{A D}+\frac{1}{2} \overrightarrow{A B}).(\overrightarrow{A B}+\frac{1}{2} \overrightarrow{A D}) \\\\ =-\overrightarrow{A D}.\overrightarrow{A B}-\frac{1}{2} \overrightarrow{A D}^2+\frac{1}{2} \overrightarrow{A B}^2+\frac{1}{4} \overrightarrow{A B}.\overrightarrow{A D}
\text { Mà } \overrightarrow{A B}.\overrightarrow{A D}=\overrightarrow{A D}.\overrightarrow{A B}=0(\text { do } A B \perp A D), \overrightarrow{A B}^2=A B^2=a^2 ; \overrightarrow{A D}^2=A D^2=a^2\\\\ \Rightarrow \overrightarrow{D M}.\overrightarrow{A N}=-0-\frac{1}{2} a^2+\frac{1}{2} a^2+\frac{1}{4}. 0=0
Vậy $D M \perp A N$ hay góc giữa hai đường thẳng $\mathrm{DM}$ và $\mathrm{AN}$ bằng $90^{\circ}$.

Trong mặt phẳng tọa độ, cho tam giác $\mathrm{ABC}$ có ba đỉnh $A(-1 ; 3), B(1 ; 2), C(4 ;-2)$
a) Viết phương trình đường thẳng $\mathrm{BC}$.
b) Tính diện tích tam giác $A B C$
c) Viết phương trình đường tròn có tâm $\mathrm{A}$ và tiếp xúc với đường thẳng $\mathrm{BC}$.

Lời giải chi tiết:
a) Ta có: $\overrightarrow{B C}=(3 ;-4) \Rightarrow$ VTPT của đường thẳng $\mathrm{BC}$ là $\overrightarrow{n_{B C}}=(4 ; 3)$
PT đường thẳng $\mathrm{BC}$ qua $B(1 ; 2)$, nhận $\overrightarrow{n_{B C}}=(4 ; 3)$ làm VTPT là:
$$4(x-1)+3(y-2)=0 \Leftrightarrow 4 x+3 y-10=0$$
b) Ta có:
$\overrightarrow{B C}=(3 ;-4) \Rightarrow B C=\sqrt{3^2+(-4)^2}=5$
d(A, B C)=\frac{|4.(-1)+3. 3-10|}{\sqrt{4^2+3^3}}=1 \\\\ \Rightarrow S_{A B C}=\frac{1}{2}.d(A, B C).B C=\frac{1}{2}.1.5=\frac{5}{2}
c) Phương trình đường tròn tâm $\mathrm{A}$ tiếp xúc với đường thẳng $\mathrm{BC}$ có bán kính $R=d(A, B C)=1$ là: $$(x+1)^2+(y-3)^2=1$$

Trên mặt phẳng tọa độ, hai vật thể khởi hành cùng lúc tại hai địa điểm $\mathrm{A}(1 ; 1)$ và $\mathrm{B}(-1 ; 21)$ với các vectơ vận tốc tương ứng là $\overrightarrow{v_A}=(1 ; 2), \overrightarrow{v_B}=(1 ;-4)$. Hỏi hai vật thể đó có gặp nhau hay không?

Lời giải chi tiết:
Gọi $M, N$ là vị trí của hai vật thể sau thời gian t.
Khi đó $\overrightarrow{A M}=t \cdot \overrightarrow{v_A}=(t ; 2 t) ; \overrightarrow{B N}=t \cdot \overrightarrow{v_B}=(t ;-4 t)$
$\Rightarrow$ Sau thời gian $\mathrm{t}$, vị trí của hai vật thể là $M(t+1 ; 2 t+1), N(t-1 ;-4 t+21)$
Nếu hai vật thể gặp nhau thì $\mathrm{M}$ phải trùng $\mathrm{N}$ với t nào đó
\Leftrightarrow(t+1 ; 2 t+1)=(t-1 ;-4 t+21)\\\\\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}t+1=t-1 \\2 t+1=-4t+21\end{array}\right.\\\\\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}1=-1 \\2 t+1=-4 t+21\end{array}\right.\text { (Vô lí) }
Vậy hai vật thể không gặp nhau.

Trong đêm, một âm thanh cầu cứu phát ra từ một vị trí trong rừng và đã được hai trạm ghi tín hiệu ở các vị trí $A, B$ nhận được. Khoảng cách giữa hai trạm là $16 \mathrm{~km}$ và trạm ở vị trí $A$ nhận được tín hiệu sớm hơn 6 giây so với trạm ở vị trí $B$. Giả sử vận tốc âm thanh là $1236 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$. Hãy xác định phạm vi tìm kiếm vị trí phát ra âm thanh đó.

Lời giải chi tiết:
Gọi $\mathrm{M}$ là vị trí phát ra âm thanh cầu cứu trong rừng.
Gọi $t_1, t_2$ lần lượt là thời gian trạm $A, B$ nhận được tín hiệu cầu cứu (đơn vị: giây)
$$\Rightarrow t_A=t_B-6 \Leftrightarrow t_B-t_A=6$$
Đổi $v=1236 \mathrm{~km} / \mathrm{h}=\frac{1236}{3600} \mathrm{~km} / \mathrm{s}=\frac{103}{300} \mathrm{~km} / \mathrm{s}$.
Ta có: $M A=t_A.v ; M B=t_B.v$
$$\Rightarrow M B-M A=\left(t_B-t_A\right).v=6.\frac{103}{300}=2,06(\mathrm{~km})$$
Như vậy, tập hợp các điểm $M$ là một hypepol nhận $A, B$ làm hai tiêu điểm.
Ta có:
$A B=16=2 c \Rightarrow c=8$
$|M A-M B|=2,06=2 a \Rightarrow a=1,03$
$$\Rightarrow b^2=c^2-a^2=8^2-1,03^2=62,9391$$
Vậy phương trình chính tắc của hypebol đó là: $(\mathrm{H}) \frac{x^2}{1,0609}-\frac{y^2}{62,9391}=1$
Do $M A \lt M B$ nên $M$ thuộc của nhánh $(H)$ gần $A$.
Vậy phạm vi tìm kiếm vị trí phát ra âm thanh đó là nhánh gần $\mathrm{A}$ của hypebol $(\mathrm{H})$ có phương trình $\frac{x^2}{1,0609}-\frac{y^2}{62,9391}=1$

Các nhà toán học cổ đại Trung Quốc đã dùng phân số $\frac{22}{7}$ để xấp xỉ cho $\pi$.
a) Cho biết đâu là số đúng, đâu là số gần đúng.
b) Đánh giá sai số tuyệt đối, sai số tương đối của giá trị gần đúng này, biết $3,1415<\pi<3,1416$.

Lời giải chi tiết:
a) Dùng phân số $\frac{22}{7}$ để xấp xỉ cho $\pi$ tức là $\pi$ là số đúng, $\frac{22}{7}$ là số gần đúng.
b) Ta có: $3,1415<\pi<3,1416$
\Rightarrow \frac{22}{7}-3,1415 \gt \frac{22}{7}-\pi \gt \frac{22}{7}-3,1416 \\\\ \Leftrightarrow 0,001357 \gt \frac{22}{7}-\pi \gt 0,001257 \\\\ \Rightarrow \Delta=\left|\frac{22}{7}-\pi\right| \lt 0,001357
Vậy sai số tuyệt đối không quá 0,001357
Sai số tương đối là $\delta=\frac{\Delta}{\frac{22}{7}}<\frac{0,001357}{\frac{22}{7}} \approx 0,03 \%$

Tỉ lệ hộ nghèo (%) của 10 tỉnh/thành phố thuộc đồng bằng sông Hồng trong năm 2010 và năm 2016 được cho trong bảng sau:

a) Tính số trung bình và độ lệch chuẩn của tỉ lệ hộ nghèo các tỉnh/thành phố thuộc đồng bằng sông Hồng trong các năm 2010, 2016.
b) Dựa trên kết quả nhận được, em có nhận xét gì về số trung bình và độ phân tán của tỉ lệ hộ nghèo các tỉnh/thành phố thuộc đồng bằng sông Hồng trong các năm 2010 và 2016.

Lời giải chi tiết:
a) Năm 2010:
Tỉ lệ hộ nghèo trung bình là:
$$\overline{x_{2010}}=\frac{5,3+10,4+7,0+\ldots+10,0+12,2}{10}=9,6$$
Phương sai của mẫu số liệu năm 2010 là:
s_{2010} ^2 = \frac{\mathrm{1} }{\mathrm{10}}[(5,3-9,6)^2+(10,4-9,6)^2+\ldots+(12,2-9,6)^2]=5,308\\\\ \Rightarrow \text { Độ lệch chuẩn là } s_{2010}=\sqrt{s_{2010}{ }^2}=\sqrt{5,308} \approx 2,304
Năm 2016:
Tỉ lệ hộ nghèo trung bình là:
$$\overline{x_{2016}}=\frac{1,3+2,9+1,6+\ldots+3,0+4,3}{10}=2,82$$
Phương sai của mẫu số liệu năm 2016 là:
s_{2016} ^2 = \frac{\mathrm{1} }{\mathrm{10}}[(1,3-2,82)^2+(2,9-2,82)^2+\ldots+(4,3-2,82)^2]=1,0136 \\\\ \Rightarrow \text { Độ lệch chuẩn là } s_{2016}=\sqrt{s_{2016}{ }^2}=\sqrt{1,0136} \approx 1,007
b) Theo số trung bình thì tỉ lệ hộ nghèo các tỉnh/ thành phố thuộc đồng bằng sông Hồng của năm 2016 giảm khoảng 3,4 lần so với năm 2010.
Theo độ lệch chuẩn, độ phân tán của tỉ lệ hộ nghèo các tỉnh/ thành phố thuộc đồng bằng sông Hồng của năm 2016 nhỏ hơn 2010, từ đó cho thấy sự chênh lệch về tỉ lệ hộ nghèo giữa các tỉnh/ thành phố năm 2016 là nhỏ hơn so với năm 2010.

Chọn ngẫu nhiên ba số khác nhau từ 23 số nguyên dương đầu tiên. Tìm xác suất để tổng ba số chọn được là một số chẵn.

Lời giải chi tiết:
23 số nguyên dương đầu tiên gồm các số từ 0 đến 22 , trong đó có 11 số lẻ và 12 số chẵn.
Số cách chọn 3 số từ 23 số (không kể thứ tự) là: $C_{23}^3$
Tổng ba số là một số chẵn $\Leftrightarrow$ Trong ba số, có 1 số chẵn và 2 số lẻ hoặc 3 số đều chẵn.
Trường hợp 1: Trong ba số có 1 số chẵn và 2 số lẻ
Số cách chọn 1 số chẵn là: 12 cách
Số cách chọn 2 số lẻ (trong 11 số lẻ) là: $C_{11}^2$ cách
Vậy có $12.C_{11}^2$ cách để chọ̣ bộ ba số gồm 1 số chẵn và 2 số lẻ
Trường hợp 2: Cả ba số được chọn đều là số chẵn
Số cách chọn 3 số chẵn (trong 12 số chẵn) là: $C_{12}^3$ cách
Vậy tổng số cách để chọn bộ ba số có tổng là số chẵn là: $12 . C_{11}^2+C_{12}^3$
$\Rightarrow$ Xác suất để tổng ba số được chọn là một số chẵn là: $\frac{12 . C_{11}^2+C_{12}^3}{C_{23}^3}=\frac{880}{1771}=\frac{80}{161}$