SGK Toán 10 - Kết Nối Tri Thức
Giải SGK bài 17 chương VI trang 19, 20, 21, 22, 23, 24 Toán 10 Kết nối tri thức tập 2
Trong bài này, HocThatGioi sẽ giúp các bạn giải đáp những câu hỏi cũng như bài tập trong bài Dấu của tam thức bậc hai. Đây là bài học thuộc bài 17 chương VI trang 19, 20, 21, 22, 23, 24 sách Toán 10 Kết nối tri thức tập 2. Hi vọng các bạn có thể hiểu được trọn vẹn bài học sau khi xem hết các phương pháp giải và lời giải cực chi tiết mà HocThatGioi trình bày bên dưới.
Trả lời câu hỏi trong SGK của bài 17
Dưới đây là phương pháp và bài giải chi tiết cho câu hỏi mở đầu, các hoạt động cùng phần luyện tập ở các trang 19, 20, 21, 22, 23 trong bài Dấu của tam thức bậc hai. Cùng HocThatGioi đi tìm đáp án ngay nhé!
Câu hỏi mở đầu trang 19
Xét bài toán rào vườn ở Bài 16 , nhưng ta trả lời câu hỏi: Hai cột góc hàng rào $(H .6 .8)$ cần phải cắm cách bờ tường bao nhiêu mét để mảnh đất được rào chắn có diện tích không nhỏ hơ $48 \mathrm{~m}^{2}$ ?
Lời giải chi tiết:
Theo Bài 16 , diện tích mảnh đất được rào chắn là $S(x)=-2 x^2+20 x\left(\mathrm{~m}^2\right)$.
Vì mảnh đất được rào chắn có diện tích không nhỏ hơn $48 \mathrm{~m}^2$ nghĩa là $\mathrm{S}(\mathrm{x})$ phải lớn hơn hoặc bằng 48 .
Khi đó: $-2 x^2+20 x \geq 48 \Leftrightarrow 2 x^2-20 x+48 \leq 0$ (1).
Ta cần giải bất phương trình (1).
Sau bài học này ta sẽ giải được bất phương trình (1) như sau:
Tam thức bậc hai $f(x)=2 x^2-20 x+48$ có hai nghiệm $x_1=4 ; x_2=6$; hệ số $a=2>0$. Từ đó suy ra tập nghiệm của bất phương trình (1) là đoạn $[4 ; 6]$. Như vậy khoảng cách từ điểm cắm cột đến bờ tường phải lớn hơn hoặc bằng $4 \mathrm{~m}$ và nhỏ hơn hoặc bằng $6 \mathrm{~m}$ thì mảnh đất rào chắn của bác Việt sẽ có diện tích không nhỏ hơn $48 \mathrm{~m}^2$.
Theo Bài 16 , diện tích mảnh đất được rào chắn là $S(x)=-2 x^2+20 x\left(\mathrm{~m}^2\right)$.
Vì mảnh đất được rào chắn có diện tích không nhỏ hơn $48 \mathrm{~m}^2$ nghĩa là $\mathrm{S}(\mathrm{x})$ phải lớn hơn hoặc bằng 48 .
Khi đó: $-2 x^2+20 x \geq 48 \Leftrightarrow 2 x^2-20 x+48 \leq 0$ (1).
Ta cần giải bất phương trình (1).
Sau bài học này ta sẽ giải được bất phương trình (1) như sau:
Tam thức bậc hai $f(x)=2 x^2-20 x+48$ có hai nghiệm $x_1=4 ; x_2=6$; hệ số $a=2>0$. Từ đó suy ra tập nghiệm của bất phương trình (1) là đoạn $[4 ; 6]$. Như vậy khoảng cách từ điểm cắm cột đến bờ tường phải lớn hơn hoặc bằng $4 \mathrm{~m}$ và nhỏ hơn hoặc bằng $6 \mathrm{~m}$ thì mảnh đất rào chắn của bác Việt sẽ có diện tích không nhỏ hơn $48 \mathrm{~m}^2$.
Hoạt động 1 trang 19
Hãy chỉ ra một đặc điểm chung của các biểu thức dưới đây:
$$\begin{aligned}& A=0,5 x^2 \\& B=1-x^2 \\& C=x^2+x+1 \\& D=(1-x)(2 x+1)\end{aligned}$$
$$\begin{aligned}& A=0,5 x^2 \\& B=1-x^2 \\& C=x^2+x+1 \\& D=(1-x)(2 x+1)\end{aligned}$$
Lời giải chi tiết:
Ta có :
A=0,5 x^2 \\B=1-x^2 \\C=x^2+x+1 \\ D=(1-x)(2 x+1)=2 x+1-2 x^2-x=-2 x^2+x+1
=> Các biểu thức đều có dạng $a x^2+b x+c(a \neq 0), \mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}$ là các số thực.
Ta có :
A=0,5 x^2 \\B=1-x^2 \\C=x^2+x+1 \\ D=(1-x)(2 x+1)=2 x+1-2 x^2-x=-2 x^2+x+1
=> Các biểu thức đều có dạng $a x^2+b x+c(a \neq 0), \mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}$ là các số thực.
Luyện tập 1 trang 19
Hãy cho biết biểu thức nào sau đây là tam thức bậc hai.
$$\begin{aligned}& A=3 x+2 \sqrt{x}+1 \\& B=-5 x^4-3 x^2+4 \\& C=-\frac{2}{3} x^2+7 x-4 \\& D=\left(\frac{1}{x}\right)^2+2 \cdot \frac{1}{x}+3\end{aligned}$$
$$\begin{aligned}& A=3 x+2 \sqrt{x}+1 \\& B=-5 x^4-3 x^2+4 \\& C=-\frac{2}{3} x^2+7 x-4 \\& D=\left(\frac{1}{x}\right)^2+2 \cdot \frac{1}{x}+3\end{aligned}$$
Phương pháp giải:
Tam thức bậc hai là biểu thức có dạng $a x^2+b x+c$, trong đó $a, b, c$ là những số cho trước $(a \neq 0)$
Tam thức bậc hai là biểu thức có dạng $a x^2+b x+c$, trong đó $a, b, c$ là những số cho trước $(a \neq 0)$
Lời giải chi tiết:
Biểu thức $C=-\frac{2}{3} x^2+7 x-4$ là tam thức bậc hai
Biểu thức $\mathrm{A}$ không là tam thức bậc hai vì chứa $\sqrt{x}$
Biểu thức $\mathrm{B}$ không là tam thức bậc hai vì chứa $x^4$
Biểu thức $D$ không là tam thức bậc hai vì chứa $\left(\frac{1}{x}\right)^2$
Biểu thức $C=-\frac{2}{3} x^2+7 x-4$ là tam thức bậc hai
Biểu thức $\mathrm{A}$ không là tam thức bậc hai vì chứa $\sqrt{x}$
Biểu thức $\mathrm{B}$ không là tam thức bậc hai vì chứa $x^4$
Biểu thức $D$ không là tam thức bậc hai vì chứa $\left(\frac{1}{x}\right)^2$
Hoạt động 2 trang 19
Cho hàm số bậc hai $y=f(x)=x^2-4 x+3$
a) Xác định hệ số a. Tính $f(0) ; f(1) ; f(2) ; f(3) ; f(4)$ và nhận xét về dấu của chúng so với dấu của hệ số a
b) Cho đồ thị hàm số $\mathrm{y}=\mathrm{f}(\mathrm{x})(\mathrm{H} .6 .17)$. Xét từng khoảng $(-\infty ; 1) ;(1 ; 3) ;(3 ;+\infty)$, đồ thị nằm phía trên hay phía dưới trục $\mathrm{Ox}$ ?
c) Nhận xét về dấu của $f(x)$ và dấu của hệ số a trên từng khoảng đó.
a) Xác định hệ số a. Tính $f(0) ; f(1) ; f(2) ; f(3) ; f(4)$ và nhận xét về dấu của chúng so với dấu của hệ số a
b) Cho đồ thị hàm số $\mathrm{y}=\mathrm{f}(\mathrm{x})(\mathrm{H} .6 .17)$. Xét từng khoảng $(-\infty ; 1) ;(1 ; 3) ;(3 ;+\infty)$, đồ thị nằm phía trên hay phía dưới trục $\mathrm{Ox}$ ?
c) Nhận xét về dấu của $f(x)$ và dấu của hệ số a trên từng khoảng đó.
Lời giải chi tiết:
a) Hệ số a là: $a=1$
$$\begin{aligned}& f(0)=0^2-4.0+3=3 \\& f(1)=1^2-4.1+3=0 \\& f(2)=2^2-4.2+3=-1 \\& f(3)=3^2-4.3+3=0 \\& f(4)=4^2-4.4+3=3\end{aligned}$$
=> $f(0); f(4)$ cùng dấu với hệ số a; $f(2)$ khác dấu với hệ số a
b) Nhìn vào đồ thị ta thấy
– Trên khoảng $(-\infty ; 1)$ đồ thị nằm phía trên trục hoành
– Trên khoảng ( $1 ; 3)$, đồ thị nằm phía dưới trục hoành
– Trên khoảng $(3 ;+\infty)$, đồ thị nằm phía trên trục hoành
c) – Trên khoảng $(-\infty ; 1)$ đồ thị nằm phía trên trục hoành $=>\mathrm{f}(x)>0$, cùng dấu với hệ số a
– Trên khoảng $(1 ; 3)$, đồ thị nằm phía dưới trục hoành $=>\mathrm{f}(\mathrm{x})\mathrm{f}(\mathrm{x})>0$, cùng dấu với hệ số a
a) Hệ số a là: $a=1$
$$\begin{aligned}& f(0)=0^2-4.0+3=3 \\& f(1)=1^2-4.1+3=0 \\& f(2)=2^2-4.2+3=-1 \\& f(3)=3^2-4.3+3=0 \\& f(4)=4^2-4.4+3=3\end{aligned}$$
=> $f(0); f(4)$ cùng dấu với hệ số a; $f(2)$ khác dấu với hệ số a
b) Nhìn vào đồ thị ta thấy
– Trên khoảng $(-\infty ; 1)$ đồ thị nằm phía trên trục hoành
– Trên khoảng ( $1 ; 3)$, đồ thị nằm phía dưới trục hoành
– Trên khoảng $(3 ;+\infty)$, đồ thị nằm phía trên trục hoành
c) – Trên khoảng $(-\infty ; 1)$ đồ thị nằm phía trên trục hoành $=>\mathrm{f}(x)>0$, cùng dấu với hệ số a
– Trên khoảng $(1 ; 3)$, đồ thị nằm phía dưới trục hoành $=>\mathrm{f}(\mathrm{x})\mathrm{f}(\mathrm{x})>0$, cùng dấu với hệ số a
Hoạt động 3 trang 20
Cho đồ thị hàm số $y=g(x)=-2 x^3+x+3$ như Hình $6.18$
a) Xét trên từng khoảng $(-\infty ;-1),\left(-1 ; \frac{3}{2}\right),\left(\frac{3}{2} ;+\infty\right)$, đồ thị nằm phía trên trục $\mathrm{Ox}$ hay nằm phía dưới trục $\mathrm{Ox}$
b) Nhận xét về dấu của $\mathrm{g}(\mathrm{x})$ và dấu của hệ số a trên từng khoảng đó
a) Xét trên từng khoảng $(-\infty ;-1),\left(-1 ; \frac{3}{2}\right),\left(\frac{3}{2} ;+\infty\right)$, đồ thị nằm phía trên trục $\mathrm{Ox}$ hay nằm phía dưới trục $\mathrm{Ox}$
b) Nhận xét về dấu của $\mathrm{g}(\mathrm{x})$ và dấu của hệ số a trên từng khoảng đó
Lời giải chi tiết:
Ta có: hệ số $a=-2f(x)f(x)>0$, khác dấu với hệ số a
– Trên khoảng $\left(\frac{3}{2} ;+\infty\right)$, đồ thị nằm phía dưới trục hoành $=>f(x)<0$, cùng dấu với hệ số a
Ta có: hệ số $a=-2f(x)f(x)>0$, khác dấu với hệ số a
– Trên khoảng $\left(\frac{3}{2} ;+\infty\right)$, đồ thị nằm phía dưới trục hoành $=>f(x)<0$, cùng dấu với hệ số a
Hoạt động 4 trang 20
Nêu nội dung thay vào các ô có dấu “?” trong bảng sau cho thích hợp
Trường hợp a>0
Trường hợp a>0
Trường hợp a<0
Lời giải chi tiết:
Ta điền vào bảng như sau:
Luyện tập 2 trang 22
Xét dấu các tam thức bậc hai sau:
a) $-3 x^{2}+x-\sqrt{2}$
b) $x^{2}+8 x+16$
c) $-2 x^{2}+7 x-3$.
a) $-3 x^{2}+x-\sqrt{2}$
b) $x^{2}+8 x+16$
c) $-2 x^{2}+7 x-3$.
Phương pháp giải:
Xét dấu tam thức bậc hai $f(x)=a x^2+b x+c$
Bước 1: Tính $\Delta=b^2-4 a c$
Bước 2:
– Nếu $\Delta0$ thì $f(x)$ có 2 nghiệm là x_1; x_2 (x_1 \lt x_2). Ta lập bảng xét dấu.
Bước 1: Tính $\Delta=b^2-4 a c$
Bước 2:
– Nếu $\Delta0$ thì $f(x)$ có 2 nghiệm là x_1; x_2 (x_1 \lt x_2). Ta lập bảng xét dấu.
Lời giải chi tiết:
a) $f(x)=-3 x^2+x-\sqrt{2}$ có $\Delta=1-12 \sqrt{2}<0$ và a $=-3<0$ nên $f(x)0$ nên $g(\mathrm{x})$ có nghiệm kép $x=-4$ và $g(\mathrm{x})>0$ với mọi $x \neq-4$
c) $h(x)=-2 x^2+7 x-3$ có $\Delta=25>0$ và $a=-2<0$ và có 2 nghiệm phân biệt $x_1=\frac{1}{2} ; x_2=3$
Do đó ta có bảng xét dấu h(x)
a) $f(x)=-3 x^2+x-\sqrt{2}$ có $\Delta=1-12 \sqrt{2}<0$ và a $=-3<0$ nên $f(x)0$ nên $g(\mathrm{x})$ có nghiệm kép $x=-4$ và $g(\mathrm{x})>0$ với mọi $x \neq-4$
c) $h(x)=-2 x^2+7 x-3$ có $\Delta=25>0$ và $a=-2<0$ và có 2 nghiệm phân biệt $x_1=\frac{1}{2} ; x_2=3$
Do đó ta có bảng xét dấu h(x)
Suy ra $h(x)0$ với mọi $x \in\left(\frac{1}{2} ; 3\right)$
Hoạt động 5 trang 22
Trở lại tình huống mở đầu. Với yêu cầu mảnh đất được rào chắn có diện tích không nhỏ hơn $48 \mathrm{~m}^{2}$, hãy viết bất đẳng thức thể hiện sự so sánh biểu thức tính diện tích $S(x)=-2 x^{2}+20 x$ với 48 .
Lời giải chi tiết:
Diện tích mảnh đất được rào chắn là $S(x)=-2 x^2+20 x\left(m^2\right)$.
Vì mảnh đất được rào chắn có diện tích không nhỏ hơn $48 \mathrm{~m}^2$ nghĩa là $\mathrm{S}(\mathrm{x})$ phải lớn hơn hoặc bằng 48 .
Khi đó: $-2 x^2+20 x \geq 48$.
Diện tích mảnh đất được rào chắn là $S(x)=-2 x^2+20 x\left(m^2\right)$.
Vì mảnh đất được rào chắn có diện tích không nhỏ hơn $48 \mathrm{~m}^2$ nghĩa là $\mathrm{S}(\mathrm{x})$ phải lớn hơn hoặc bằng 48 .
Khi đó: $-2 x^2+20 x \geq 48$.
Luyện tập 3 trang 23
Giải các bất phương trình sau:
а) $-5 x^2+x-1 \leq 0$
b) $x^2-8 x+16 \leq 0$
c) $x^2-x+6>0$
а) $-5 x^2+x-1 \leq 0$
b) $x^2-8 x+16 \leq 0$
c) $x^2-x+6>0$
Phương pháp giải:
Để giải bất phương trình bậc hai, ta cần xét dấu tam thức $f(x)=a x^2+b x+x(a \neq 0)$ từ đó suy ra tập nghiệm.
Xét dấu tam thức bậc hai $f(x)=a x^2+b x+c$
Bước 1: Tính $\Delta=b^2-4 a c$
Bước 2:
– Nếu $\Delta0$ thì $f(x)$ có 2 nghiệm là x_1; x_2 (x_1 \lt x_2). Ta lập bảng xét dấu:
Xét dấu tam thức bậc hai $f(x)=a x^2+b x+c$
Bước 1: Tính $\Delta=b^2-4 a c$
Bước 2:
– Nếu $\Delta0$ thì $f(x)$ có 2 nghiệm là x_1; x_2 (x_1 \lt x_2). Ta lập bảng xét dấu:
Lời giải chi tiết:
a) Tam thức $f(x)=-5 x^2+x-1$ có $\Delta=-19<0$, hệ số $a=-5<0$ nên $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ luôn âm (cùng dấu với a) với mọi x, tức là $-5 x^2+x-10$ nên $g(x)$ luôn dương (cùng dấu với a) với mọi $x \neq 4$, tức là $x^2-8 x+16>0$ với mọi $x \neq 4$
Suy ra bất phương trình có nghiệm duy nhất là $x=4$
c) Tam thức $h(x)=x^2-x+6$ có $\Delta=-230$ nên $\mathrm{h}(\mathrm{x})$ luôn dương (cùng dấu với a) với mọi x , tức là $x^2-x+6>0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$. Suy ra bất phương trình có vô số nghiệm
a) Tam thức $f(x)=-5 x^2+x-1$ có $\Delta=-19<0$, hệ số $a=-5<0$ nên $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ luôn âm (cùng dấu với a) với mọi x, tức là $-5 x^2+x-10$ nên $g(x)$ luôn dương (cùng dấu với a) với mọi $x \neq 4$, tức là $x^2-8 x+16>0$ với mọi $x \neq 4$
Suy ra bất phương trình có nghiệm duy nhất là $x=4$
c) Tam thức $h(x)=x^2-x+6$ có $\Delta=-230$ nên $\mathrm{h}(\mathrm{x})$ luôn dương (cùng dấu với a) với mọi x , tức là $x^2-x+6>0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$. Suy ra bất phương trình có vô số nghiệm
Vận dụng trang 23
Độ cao so với mặt đất của một quá bóng được ném lên theo phương thẳng đứng được mô tả bởi hàm số bậc hai $h(t)=-4,9 t^2+20 t+1$, ở độ cao $h(t)$ tính bằng mét và thời gian t tình bằng giây. Trong khoảng thời điểm nào trong quá trình bay của nó, quả bóng sẽ ở độ cao trên $5 \mathrm{~m}$ so với mặt đất.
Phương pháp giải:
Tìm khoảng thời gian $t$ để $h(t)>5$, bài toán đưa về xét dấu tam thức $f(t)=h(t)-5$
Các bước xét dấu tam thức bậc hai $f(t)=a t^2+b t+c$
Bước 1: Tính $\Delta=b^2-4 a c$
Bước 2:
– Nếu $\Delta0$ thì $f(t)$ có 2 nghiệm là x_1; x_2 (x_1 \lt x_2).
Ta lập bảng xét dấu.
Tìm khoảng thời gian $t$ để $h(t)>5$, bài toán đưa về xét dấu tam thức $f(t)=h(t)-5$
Các bước xét dấu tam thức bậc hai $f(t)=a t^2+b t+c$
Bước 1: Tính $\Delta=b^2-4 a c$
Bước 2:
– Nếu $\Delta0$ thì $f(t)$ có 2 nghiệm là x_1; x_2 (x_1 \lt x_2).
Ta lập bảng xét dấu.
Kết luận khoảng chứa t thỏa mãn $f(t)>0$
Lời giải chi tiết:
Để quả bóng ở độ cao trên $5 \mathrm{~m}$ so với mặt đất thì:
$$\begin{aligned}& h(t)>5 \\& \Rightarrow-4,9 t^2+20 t+1>5 \\& \Rightarrow-4,9 t^2+20 t-4>0\end{aligned}$$
Đặt $f(t)=-4,9 t^2+20 t-4$ có $\Delta^{\prime}=b^{\prime 2}-a c=10^2-(-4,9) .(-4)=80,4>0$ nên $f(t)$ có 2 nghiệm:
t_1= \frac{\mathrm{-b’+ \sqrt{ \Delta’} } }{\mathrm{a}} = \frac{\mathrm{-10+ \sqrt{ 80,4} } }{\mathrm{-4,9}}= \frac{\mathrm{10- \sqrt{ 80,4} } }{\mathrm{4,9}}\\ t_2= \frac{\mathrm{-b’- \sqrt{ \Delta’} } }{\mathrm{a}} = \frac{\mathrm{-10- \sqrt{ 80,4} } }{\mathrm{-4,9}}= \frac{\mathrm{10+ \sqrt{ 80,4} } }{\mathrm{4,9}}
Mặt khác $a=-4,9<0$, do đó ta có bảng xét dấu sau:
Để quả bóng ở độ cao trên $5 \mathrm{~m}$ so với mặt đất thì:
$$\begin{aligned}& h(t)>5 \\& \Rightarrow-4,9 t^2+20 t+1>5 \\& \Rightarrow-4,9 t^2+20 t-4>0\end{aligned}$$
Đặt $f(t)=-4,9 t^2+20 t-4$ có $\Delta^{\prime}=b^{\prime 2}-a c=10^2-(-4,9) .(-4)=80,4>0$ nên $f(t)$ có 2 nghiệm:
t_1= \frac{\mathrm{-b’+ \sqrt{ \Delta’} } }{\mathrm{a}} = \frac{\mathrm{-10+ \sqrt{ 80,4} } }{\mathrm{-4,9}}= \frac{\mathrm{10- \sqrt{ 80,4} } }{\mathrm{4,9}}\\ t_2= \frac{\mathrm{-b’- \sqrt{ \Delta’} } }{\mathrm{a}} = \frac{\mathrm{-10- \sqrt{ 80,4} } }{\mathrm{-4,9}}= \frac{\mathrm{10+ \sqrt{ 80,4} } }{\mathrm{4,9}}
Mặt khác $a=-4,9<0$, do đó ta có bảng xét dấu sau:
Do đó để $h(t)>5$ thì $t \in\left(\frac{10-\sqrt{80,4}}{4,9} ; \frac{10+\sqrt{80,4}}{4,9}\right)$
Vậy để quả bóng sẽ ở độ cao trên $5 \mathrm{~m}$ so với mặt đất thì $t \in\left(\frac{10-\sqrt{80,4}}{4,9} ; \frac{10+\sqrt{80,4}}{4,9}\right)$
Vậy để quả bóng sẽ ở độ cao trên $5 \mathrm{~m}$ so với mặt đất thì $t \in\left(\frac{10-\sqrt{80,4}}{4,9} ; \frac{10+\sqrt{80,4}}{4,9}\right)$
Giải bài tập vận dụng trang 24 SGK Toán 10 bài 17
Phần tiếp theo sẽ cung cấp cho các bạn phương pháp cùng lời giải trong phần bài tập trang 24 cực kỳ dễ hiểu và chi tiết. Cùng HocThatGioi rèn luyện và nâng cao kỹ năng giải quyết các vấn đề thực tế thông qua các phương pháp, công thức toán học từ bài Dấu của tam thức bậc hai ở trên.
Bài tập 6.15 trang 24
Xét dấu các tam thức bậc hai sau:
a) $3 x^{2}-4 x+1$;
b) $x^{2}+2 x+1$;
c) $-x^{2}+3 x-2$
d) $-x^{2}+x-1$
a) $3 x^{2}-4 x+1$;
b) $x^{2}+2 x+1$;
c) $-x^{2}+3 x-2$
d) $-x^{2}+x-1$
Phương pháp giải:
Xét dấu tam thức bậc hai $f(x)=a x^2+b x+c$
Bước 1: Tính $\Delta=b^2-4 a c$
Bước 2:
– Nếu $\Delta0$ thì $f(x)$ có 2 nghiệm là x_1; x_2 (x_1 \lt x_2).
Ta lập bảng xét dấu:
Xét dấu tam thức bậc hai $f(x)=a x^2+b x+c$
Bước 1: Tính $\Delta=b^2-4 a c$
Bước 2:
– Nếu $\Delta0$ thì $f(x)$ có 2 nghiệm là x_1; x_2 (x_1 \lt x_2).
Ta lập bảng xét dấu:
Lời giải chi tiết:
a) $f(x)=3 x^2-4 x+1$ có $\Delta=4>0, a=3>0$ và có hai nghiệm phân biệt $x_1=1 ; x_2=\frac{1}{3}$. Do đó ta có bảng xét dấu $f(x)$ :
Suy ra $f(x)>0$ 0ới mọi $x \in\left(-\infty ; \frac{1}{3}\right) \cup(1 ;+\infty)$ và $f(x)<0$ với mọi $x \in\left(\frac{1}{3} ; 1\right)$
b) $g(x)=x^2+2 x+1$ có $\Delta=0$ và $a=1>0$ nên $g(x)$ có nghiệm kép $x=-1$ và $g(x)>0$ với $x \neq-1$
c) $h(x)=-x^2+3 x-2$ có $\Delta=1>0, a=-1$
Suy ra $h(x)>0$ với mọi $x \in(1 ; 2)$ và $h(x)<0$ với mọi $x \in(-\infty ; 1) \cup(2 ;+\infty)$
d) $k(x)=-x^2+x-1$ có $\Delta=-3$
a) $f(x)=3 x^2-4 x+1$ có $\Delta=4>0, a=3>0$ và có hai nghiệm phân biệt $x_1=1 ; x_2=\frac{1}{3}$. Do đó ta có bảng xét dấu $f(x)$ :
Suy ra $f(x)>0$ 0ới mọi $x \in\left(-\infty ; \frac{1}{3}\right) \cup(1 ;+\infty)$ và $f(x)<0$ với mọi $x \in\left(\frac{1}{3} ; 1\right)$
b) $g(x)=x^2+2 x+1$ có $\Delta=0$ và $a=1>0$ nên $g(x)$ có nghiệm kép $x=-1$ và $g(x)>0$ với $x \neq-1$
c) $h(x)=-x^2+3 x-2$ có $\Delta=1>0, a=-1$
Suy ra $h(x)>0$ với mọi $x \in(1 ; 2)$ và $h(x)<0$ với mọi $x \in(-\infty ; 1) \cup(2 ;+\infty)$
d) $k(x)=-x^2+x-1$ có $\Delta=-3$
Bài tập 6.16 trang 24
Giải các bất phương trình bậc hai:
a) $x^{2}-1 \geq 0$;
b) $x^{2}-2 x-1<0$;
c) $-3 x^{2}+12 x+1 \leq 0$
d) $5 x^{2}+x+1 \geq 0$.
a) $x^{2}-1 \geq 0$;
b) $x^{2}-2 x-1<0$;
c) $-3 x^{2}+12 x+1 \leq 0$
d) $5 x^{2}+x+1 \geq 0$.
Phương pháp giải:
Để giải bất phương trình bậc hai, ta cần xét dấu tam thức $f(x)=a x^2+b x+x(a \neq 0)$ từ đó suy ra tập nghiệm.
Xét dấu tam thức bậc hai $f(x)=a x^2+b x+c$
Bước 1: Tính $\Delta=b^2-4 a c$
Bước 2:
– Nếu $\Delta0$ thì $f(x)$ có 2 nghiệm là x_1; x_2 (x_1 \lt x_2). Ta lập bảng xét dấu:
Xét dấu tam thức bậc hai $f(x)=a x^2+b x+c$
Bước 1: Tính $\Delta=b^2-4 a c$
Bước 2:
– Nếu $\Delta0$ thì $f(x)$ có 2 nghiệm là x_1; x_2 (x_1 \lt x_2). Ta lập bảng xét dấu:
Lời giải chi tiết:
a) Tam thức $f(x)=x^2-1$ có $\Delta=4>0$ nên $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ có 2 nghiệm phân biệt $x_1=-1; x_2=1$
Mặt khác $a=1>0$, do đó ta có bảng xét dấu:
Mặt khác $a=1>0$, do đó ta có bảng xét dấu:
Mặt khác $a=-3<0$, do đó ta có bảng xét dấu:
a) Tam thức $f(x)=x^2-1$ có $\Delta=4>0$ nên $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ có 2 nghiệm phân biệt $x_1=-1; x_2=1$
Mặt khác $a=1>0$, do đó ta có bảng xét dấu:
Tập nghiệm của bất phương trình là $(-\infty ;-1] \cup[1 ;+\infty)$
b) Tam thức $g(x)=x^2-2 x-1$ có $\Delta=8>0$ nên $g(\mathrm{x})$ có 2 nghiệm phân biệt $x_1=1-\sqrt{2} ; x_2=1+\sqrt{2}$Mặt khác $a=1>0$, do đó ta có bảng xét dấu:
Tập nghiệm của bất phương trình là $(1-\sqrt{2} ; 1+\sqrt{2})$
c) Tam thức $h(x)=-3 x^2+12 x+1$ có $\Delta^{\prime}=39>0$ nên $h(\mathrm{x})$ có 2 nghiệm phân biệt $x_1=\frac{6-\sqrt{39}}{3} ; x_2=\frac{6+\sqrt{39}}{3}$Mặt khác $a=-3<0$, do đó ta có bảng xét dấu:
Tập nghiệm của bất phương trình là $\left(-\infty ; \frac{6-\sqrt{39}}{3}\right] \cup\left[\frac{6+\sqrt{39}}{3} ;+\infty\right)$
d) Tam thức $k(x)=5 x^2+x+1$ có $\Delta=-190$ nên $\mathrm{k}(\mathrm{x}$ ) luôn dương ( cùng dấu với a) với mọi x, tức là $5 x^2+x+1>0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$. Suy ra bất phương trình có vô số nghiệm
d) Tam thức $k(x)=5 x^2+x+1$ có $\Delta=-190$ nên $\mathrm{k}(\mathrm{x}$ ) luôn dương ( cùng dấu với a) với mọi x, tức là $5 x^2+x+1>0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$. Suy ra bất phương trình có vô số nghiệm
Bài tập 6.17 trang 24
Tìm các giá trị của tham số $\mathrm{m}$ để tam thức bậc hai sau dương với mọi $x \in \mathbb{R}$ :
$$x^2+(m+1) x+2 m+3$$
$$x^2+(m+1) x+2 m+3$$
Phương pháp giải:
Để tam thức bậc hai $a x^2+b x+c>0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$ thì:
$a>0$ và $\Delta<0$
Để tam thức bậc hai $a x^2+b x+c>0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$ thì:
$a>0$ và $\Delta<0$
Lời giải chi tiết:
Để tam thức bậc hai $x^2+(m+1) x+2 m+3>0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$
Ta có: $\mathrm{a}=1>0$ nên $\Delta<0$
$$\begin{aligned}& \Leftrightarrow(m+1)^2-4 \cdot(2 m+3)<0 \\& \Leftrightarrow m^2+2 m+1-8 m-12<0 \\& \Leftrightarrow m^2-6 m-110$ nên $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ có 2 nghiệm phân biệt $m_1=3+\sqrt{20} ; m_2=3-\sqrt{20}$
Khi đó:
$3+\sqrt{20}\lt m \lt 3-\sqrt{20}$
Vậy $m \in(3-2 \sqrt{5} ; 3+2 \sqrt{5})$ thì tam thức bậc hai đã cho luôn dương với mọi $x \in \mathbb{R}$
Để tam thức bậc hai $x^2+(m+1) x+2 m+3>0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$
Ta có: $\mathrm{a}=1>0$ nên $\Delta<0$
$$\begin{aligned}& \Leftrightarrow(m+1)^2-4 \cdot(2 m+3)<0 \\& \Leftrightarrow m^2+2 m+1-8 m-12<0 \\& \Leftrightarrow m^2-6 m-110$ nên $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ có 2 nghiệm phân biệt $m_1=3+\sqrt{20} ; m_2=3-\sqrt{20}$
Khi đó:
$3+\sqrt{20}\lt m \lt 3-\sqrt{20}$
Vậy $m \in(3-2 \sqrt{5} ; 3+2 \sqrt{5})$ thì tam thức bậc hai đã cho luôn dương với mọi $x \in \mathbb{R}$
Bài tập 6.18 trang 24
Một vật được ném theo phương thẳng đứng xuống dưới từ độ cao $320 \mathrm{~m}$ với vận tốc ban đầu $v_{Q}=20 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu giây, vật đó cách mặt đất không quá $100 \mathrm{~m}$ ? Giả thiết rằng sức cản của không khí là không đáng kể.
Phương pháp giải:
Tìm hàm tính độ cao so với mặt đất của vật $h(t)$,
Tìm khoảng thời gian $\mathrm{t}$ để $320-h(t) \leq 100$, bài toán đưa về xét dấu tam thức $f(t)=a t^2+b t+c$
Bước 1: Tính $\Delta=b^2-4 a c$
Bước 2:
– Nếu $\Delta0$ thì $f(t)$ có 2 nghiệm là x_1; x_2 (x_1 \lt x_2).
Ta lập bảng xét dấu.
Tìm hàm tính độ cao so với mặt đất của vật $h(t)$,
Tìm khoảng thời gian $\mathrm{t}$ để $320-h(t) \leq 100$, bài toán đưa về xét dấu tam thức $f(t)=a t^2+b t+c$
Bước 1: Tính $\Delta=b^2-4 a c$
Bước 2:
– Nếu $\Delta0$ thì $f(t)$ có 2 nghiệm là x_1; x_2 (x_1 \lt x_2).
Ta lập bảng xét dấu.
Kết luận khoảng chứa t thỏa mãn $f(t)>0$
Lời giải chi tiết:
Quãng đường vật rơi được sau $\mathrm{t}(\mathrm{s})$ là: $h(t)=20 t+\frac{1}{2} .9,8 . t^2=4,9 . t^2+20 t$
Để vật cách mặt đất không quá $100 \mathrm{~m}$ thì:
$$320-h(t) \leq 100 \Leftrightarrow h(t) \geq 220 \Leftrightarrow 4,9 t^2+20 t-220 \geq 0$$
Tam thức $f(t)=4,9 t^2+20 t-220$ có $\Delta^{\prime}=1178>0$ nên $f(t)$ có 2 nghiệm phân biệt $t_1=\frac{-10-\sqrt{1} 178}{4,9} ; t_2=\frac{-10+\sqrt{1} 178}{4,9}(\mathrm{t}>0)$
Mặt khác $a=1>0$ nên ta có bảng xét dấu:
Quãng đường vật rơi được sau $\mathrm{t}(\mathrm{s})$ là: $h(t)=20 t+\frac{1}{2} .9,8 . t^2=4,9 . t^2+20 t$
Để vật cách mặt đất không quá $100 \mathrm{~m}$ thì:
$$320-h(t) \leq 100 \Leftrightarrow h(t) \geq 220 \Leftrightarrow 4,9 t^2+20 t-220 \geq 0$$
Tam thức $f(t)=4,9 t^2+20 t-220$ có $\Delta^{\prime}=1178>0$ nên $f(t)$ có 2 nghiệm phân biệt $t_1=\frac{-10-\sqrt{1} 178}{4,9} ; t_2=\frac{-10+\sqrt{1} 178}{4,9}(\mathrm{t}>0)$
Mặt khác $a=1>0$ nên ta có bảng xét dấu:
Do $t>0$ nên $t \geq \frac{-10+\sqrt{1} 178}{4,9} \approx 5$
Vậy sau ít nhất khoảng $5 s$ thì vật đó cách mặt đất không quá $100 \mathrm{~m}$
Vậy sau ít nhất khoảng $5 s$ thì vật đó cách mặt đất không quá $100 \mathrm{~m}$
Bài tập 6.19 trang 24
Xét đường tròn đường kính $A B=4$ và một điểm $M \mathrm{di}$ chuyển trên đoạn $A B$, đặt $A M=x(H .6 .19)$. Xét hai đường tròn đường kính $A M$ và $M B$. Kí hiệu $S(x)$ là diện tích phần hình phẳng nằm trong hình tròn lớn và nằm ngoài hai hình tròn nhỏ. Xác định các giá trị của $x$ để diện tích $S(x)$ không vượt quá một nửa tổng diện tích hai hình tròn nhỏ.
Phương pháp giải:
Bước 1: Tính diện tích hình tròn đường kính $AB, AM, MB$ theo $x$
Bước 2: Tính diện tích phần hình phằng nằm trong hình tròn lớn và nằm ngoài hai hình tròn nhỏ theo $x$
Bước 3: Lập bất phương trình từ dữ kiện bài toán
Bước 1: Tính diện tích hình tròn đường kính $AB, AM, MB$ theo $x$
Bước 2: Tính diện tích phần hình phằng nằm trong hình tròn lớn và nằm ngoài hai hình tròn nhỏ theo $x$
Bước 3: Lập bất phương trình từ dữ kiện bài toán
Lời giải chi tiết:
Ta có: $\mathrm{AM}<\mathrm{AB}$ nên $0<x0$ nên $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ có 2 nghiệm phân biệt $x_1=\frac{6-2 \sqrt{3}}{3} ; x_2=\frac{6+2 \sqrt{3}}{3}$
Mặt khác $a=3>0$, do đó ta có bảng xét dấu:
Ta có: $\mathrm{AM}<\mathrm{AB}$ nên $0<x0$ nên $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ có 2 nghiệm phân biệt $x_1=\frac{6-2 \sqrt{3}}{3} ; x_2=\frac{6+2 \sqrt{3}}{3}$
Mặt khác $a=3>0$, do đó ta có bảng xét dấu:
Do đó $f(x) \geq 0$ với mọi $x \in\left(-\infty ; \frac{6-2 \sqrt{3}}{3}\right] \cup\left[\frac{6+2 \sqrt{3}}{3} ;+\infty\right)$
Mà $0<\mathrm{x}<4$ nên $x \in\left(-\infty ; \frac{6-2 \sqrt{3}}{3}\right] \cup\left[\frac{6+2 \sqrt{3}}{3} ;+\infty\right)$
Mà $0<\mathrm{x}<4$ nên $x \in\left(-\infty ; \frac{6-2 \sqrt{3}}{3}\right] \cup\left[\frac{6+2 \sqrt{3}}{3} ;+\infty\right)$
Cảm ơn các bạn đã theo dõi bài viết của HocThatGioi về Giải SGK bài Dấu của tam thức bậc hai Chương Hàm số, đồ thị và ứng dụng Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 ở các trang 19, 20, 21, 22, 23, 24. Hi vọng các bạn sẽ có một buổi thú vị và học được nhiều điều bổ ích. Chúc các bạn học tốt!
