SGK Toán 10 - Kết Nối Tri Thức
Giải SGK bài 22 Ba đường Conic trang 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57 Toán 10 Kết nối tri thức Tập 2
Trong bài này, HocThatGioi sẽ giúp các bạn giải đáp những câu hỏi cũng như bài tập trong bài Ba đường Conic. Đây là bài học thuộc bài 22 chương VII trang 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57 sách Toán 10 Kết nối tri thức tập 2. Hi vọng các bạn có thể hiểu được trọn vẹn bài học sau khi xem hết các phương pháp giải và lời giải cực chi tiết mà HocThatGioi trình bày bên dưới.
Trả lời câu hỏi trong SGK của bài 22
Dưới đây là phương pháp và bài giải chi tiết cho câu hỏi hoạt động cùng phần luyện tập ở các trang 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56 trong bài Ba đường Conic. Cùng HocThatGioi đi tìm đáp án ngay nhé!
Hoạt động 1 trang 48
Định hai đầu của một sợi dây không đàn hồi vào hai vị trí cố định $F_1 ; F_2$, trên một mặt bàn (độ dài sợi dây lớn hơn khoảng cách giữa hai điểm $F_1 ; F_2$ ). Kéo căng sợi dây tại một điểm $\mathrm{M}$ bởi một đầu bút dạ (hoặc phấn). Di chuyển đầu bút dạ để nó vẽ trên mặt bàn một đường khép kín (H7.18).
a) Đường vừa nhận được có liên hệ với hình ảnh nào ở Hình 7.17?
b) Trong quá trình đầu bút di chuyển để vẽ nên đường nói trên, tổng các khoảng cách từ nó tới các vị trí $F_1 ; F_2$, có thay đổi không? Vì sao?
a) Đường vừa nhận được có liên hệ với hình ảnh nào ở Hình 7.17?
b) Trong quá trình đầu bút di chuyển để vẽ nên đường nói trên, tổng các khoảng cách từ nó tới các vị trí $F_1 ; F_2$, có thay đổi không? Vì sao?
Lời giải chi tiết:
a) Đường vừa nhận được là đường “màu đỏ” trong Hình $7.17$.
b) Tổng khoảng cách từ đầu bút đến các vị trí không thay đổi
a) Đường vừa nhận được là đường “màu đỏ” trong Hình $7.17$.
b) Tổng khoảng cách từ đầu bút đến các vị trí không thay đổi
Câu hỏi trang 49
Tại sao trong định nghĩa elip cần điều kiện $a \gt c$ ?
Lời giải chi tiết:
Cần điều kiện $a \gt c$ hay $2 a \gt 2 c$ tức là $M F_1+M F_2 \gt F_1 F_2$, nói cách khác là để điểm $\mathrm{M}$ nằm ngoài đoạn $F_1 F_2$, từ đó mới tạo thành elip.
Không tồn tại $\mathrm{M}$ để $M F_1+M F_2 \lt F_1 F_2$ (hay a $ \lt $ c)
Nếu $M F_1+M F_2=F_1 F_2$ thì M thuộc đoạn $F_1 F_2$ cũng không tạo thành elip.
Cần điều kiện $a \gt c$ hay $2 a \gt 2 c$ tức là $M F_1+M F_2 \gt F_1 F_2$, nói cách khác là để điểm $\mathrm{M}$ nằm ngoài đoạn $F_1 F_2$, từ đó mới tạo thành elip.
Không tồn tại $\mathrm{M}$ để $M F_1+M F_2 \lt F_1 F_2$ (hay a $ \lt $ c)
Nếu $M F_1+M F_2=F_1 F_2$ thì M thuộc đoạn $F_1 F_2$ cũng không tạo thành elip.
Luyện tập 1 trang 49
Trên bàn bida hình elip có một lỗ thu bi tại một tiêu điểm (H.7.20). Nếu gậy chơi tác động đủ mạnh vào một bi đặt tại tiêu điểm còn lại của bàn, thì sau khi va vào thành bàn, bi sẽ bật lại và chạy về lỗ thu (bỏ qua các tác động phụ). Hỏi độ dài quãng đường bi lăn từ điểm xuất phát tới lỗ thu có phụ thuộc vào đường đi của bi hay không? Vì sao?
Lời giải chi tiết:
Quãng đường từ lúc bi lăn đến lúc về lỗ thu bi bằng tổng khoảng cách từ điểm bi chạm vào thành bàn tới hai tiêu điểm, dựa vào định nghĩa elip, tổng này luôn bằng $2 a$ không đổi.
Quãng đường từ lúc bi lăn đến lúc về lỗ thu bi bằng tổng khoảng cách từ điểm bi chạm vào thành bàn tới hai tiêu điểm, dựa vào định nghĩa elip, tổng này luôn bằng $2 a$ không đổi.
Hoạt động 2 trang 49
Xét một elip $(E)$ với các kí hiệu như trong định nghĩa. Chọn hệ trục toạ độ $O x y$ có gốc $O$ là trung điểm của $F_{1} F_{2}$, tia Ox trùng tia $\mathrm{OF}_{2}$ (H.7.21).
a) Nêu toạ độ của các tiêu điểm $F_{1}, F_{2}$
b) Giải thích vì sao điểm $M(x ; y)$ thuộc elip khi và chỉ khi:
$$\sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}}+\sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}}=2 a \text {. }$$ (1)
a) Nêu toạ độ của các tiêu điểm $F_{1}, F_{2}$
b) Giải thích vì sao điểm $M(x ; y)$ thuộc elip khi và chỉ khi:
$$\sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}}+\sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}}=2 a \text {. }$$ (1)
Lời giải chi tiết:
a) Tọa độ 2 tiêu điểm là: $F_1(-c ; 0), F_2(c ; 0)$.
b) Ta có: $M F_1=\sqrt{(x+c)^2+y^2}, M F_2=\sqrt{(x-c)^2+y^2}$.
Vậy để điểm $\mathrm{M}$ thuộc Elip thì khoảng cách $M F_1+M F_2=2 a$ nên $\sqrt{(x+c)^2+y^2}+\sqrt{(x-c)^2+y^2}=2 a$
a) Tọa độ 2 tiêu điểm là: $F_1(-c ; 0), F_2(c ; 0)$.
b) Ta có: $M F_1=\sqrt{(x+c)^2+y^2}, M F_2=\sqrt{(x-c)^2+y^2}$.
Vậy để điểm $\mathrm{M}$ thuộc Elip thì khoảng cách $M F_1+M F_2=2 a$ nên $\sqrt{(x+c)^2+y^2}+\sqrt{(x-c)^2+y^2}=2 a$
Luyện tập 2 trang 50
Cho elip có phương trình chính tắc $\frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{64}=1$. Tìm các tiêu điểm và tiêu cự của elip.
Phương pháp giải:
$\operatorname{Tìm} c=\sqrt{a^2-b^2}$, sau đó thay vào công thức xác địinh hai tiêu điểm và tiêu cự
$\operatorname{Tìm} c=\sqrt{a^2-b^2}$, sau đó thay vào công thức xác địinh hai tiêu điểm và tiêu cự
Lời giải chi tiết:
Ta có: $c=\sqrt{100^2-64^2}=6$.
Do đó $(\mathrm{E})$ có hai tiêu điểm là $F_1(-6 ; 0), F_2(6 ; 0)$ và có tiêu cự bằng $2 c=12$.
Ta có: $c=\sqrt{100^2-64^2}=6$.
Do đó $(\mathrm{E})$ có hai tiêu điểm là $F_1(-6 ; 0), F_2(6 ; 0)$ và có tiêu cự bằng $2 c=12$.
Vận dụng 1 trang 50
Trong bản vẽ thiết kế, vòm của ô thoáng trong Hình $7.22$ là nửa nằm phía trên trục hoành của elip có phương trình
$$\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{4}=1 \text {. }$$
Biết rằng 1 đơn vị trên mặt phẳng toạ độ của bản vẽ thiết kế ứng với $30 \mathrm{~cm}$ trên thực tế. Tính chiều cao $h$ của ô thoáng tại điểm cách điểm chính giữa của đế ô thoáng $75 \mathrm{~cm}$.
$$\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{4}=1 \text {. }$$
Biết rằng 1 đơn vị trên mặt phẳng toạ độ của bản vẽ thiết kế ứng với $30 \mathrm{~cm}$ trên thực tế. Tính chiều cao $h$ của ô thoáng tại điểm cách điểm chính giữa của đế ô thoáng $75 \mathrm{~cm}$.
Lời giải chi tiết:
$75 \mathrm{~cm}$ trên bản vẽ ứng với 2,5 đơn vị trên mặt phẳng tọa độ.
Gọi M là điểm trên vòm ô thoáng, có hoành độ 2,5 và tung độ là h.
M thuộc elip nên $\frac{2,5^2}{16}+\frac{h^2}{4}=1$
$$\Leftrightarrow h=\sqrt{4 .\left(1-\frac{2,5^2}{16}\right)}=\frac{\sqrt{39}}{4} \approx 1,56$$
Vậy độ cao h trên thực tế là: $h=1,56.30=46,8 \mathrm{~cm}$
$75 \mathrm{~cm}$ trên bản vẽ ứng với 2,5 đơn vị trên mặt phẳng tọa độ.
Gọi M là điểm trên vòm ô thoáng, có hoành độ 2,5 và tung độ là h.
M thuộc elip nên $\frac{2,5^2}{16}+\frac{h^2}{4}=1$
$$\Leftrightarrow h=\sqrt{4 .\left(1-\frac{2,5^2}{16}\right)}=\frac{\sqrt{39}}{4} \approx 1,56$$
Vậy độ cao h trên thực tế là: $h=1,56.30=46,8 \mathrm{~cm}$
Câu hỏi trang 50
Tại sao trong định nghĩa hypebol cần điều kiện $a \lt c$ ?
Lời giải chi tiết:
Giả sử $M F_1 \gt M F_2$, ta có:
$$\left|M F_1-M F_2\right|=M F_1-M F_2=M F_1+F_1F_2-\left(M F_2+F_2 F_1\right)$$
Mà M F_2+F_2 F_1 \gt M F_1 \\\\ \Rightarrow\left|M F_1-M F_2\right| \lt M F_1+F_1 F_2-M F_1=F_1 F_2
Hay $2 a \lt 2 c \Leftrightarrow a \lt c$
Giả sử $M F_1 \gt M F_2$, ta có:
$$\left|M F_1-M F_2\right|=M F_1-M F_2=M F_1+F_1F_2-\left(M F_2+F_2 F_1\right)$$
Mà M F_2+F_2 F_1 \gt M F_1 \\\\ \Rightarrow\left|M F_1-M F_2\right| \lt M F_1+F_1 F_2-M F_1=F_1 F_2
Hay $2 a \lt 2 c \Leftrightarrow a \lt c$
Luyện tập 3 trang 51
Cho hình chữ nhật $A B C D$ và $M, N$ tương ứng là trung điểm của các cạnh $A B, C D(\mathrm{H} .7 .25)$. Chứng minh rằng bốn điểm $A, B, C, D$ cùng thuộc một hypebol có hai tiêu điểm là $M$ và $N$.
Phương pháp giải:
$$|A M-A N|=|B M-B N|=|C M-C N|=|D M-D N| \lt M N \text {. }$$
$$|A M-A N|=|B M-B N|=|C M-C N|=|D M-D N| \lt M N \text {. }$$
Lời giải chi tiết:
Ta có: $A M=B M=C N=D N, A N=B N=C M=D M$.
Từ đó suy ra:
$$|A M-A N|=|B M-B N|=|C M-C N|=|D M-D N| \text {. }$$
Và $|AM-AN| \lt M N$ (bất đẳng thức trong tam giác)
Vậy bốn điểm $A, B, C, D$ cùng thuộc một đường hyperbol với $\mathrm{M}, \mathrm{N}$ là hai tiêu điểm.
Ta có: $A M=B M=C N=D N, A N=B N=C M=D M$.
Từ đó suy ra:
$$|A M-A N|=|B M-B N|=|C M-C N|=|D M-D N| \text {. }$$
Và $|AM-AN| \lt M N$ (bất đẳng thức trong tam giác)
Vậy bốn điểm $A, B, C, D$ cùng thuộc một đường hyperbol với $\mathrm{M}, \mathrm{N}$ là hai tiêu điểm.
Hoạt động 3 trang 51
Xét một hypebol $(H)$ với các kí hiệu như trong định nghĩa. Chọn hệ trục toạ độ $O x y$ có gốc $O$ là trung điểm của $F_{1} F_{2}$, tia $O x$ trùng tia $O F_{2}(H .7 .26)$. Nêu toạ độ của các tiêu điểm $F_{1}, F_{2}$. Giải thích vì sao điểm $M(x ; y)$ thuộc $(H)$ khi và chỉ khi:
\begin{vmatrix} \sqrt{ (x+c)^2 + y^2 }-\sqrt{ (x-c)^2 + y^2 } \end{vmatrix} \\\\ =2a (3)
\begin{vmatrix} \sqrt{ (x+c)^2 + y^2 }-\sqrt{ (x-c)^2 + y^2 } \end{vmatrix} \\\\ =2a (3)
Lời giải chi tiết:
Ta có: $M F_1=\sqrt{(x+c)^2+y^2}, M F_2=\sqrt{(x-c)^2+y^2}$.
Vậy để điểm $M$ thuộc Hyperbol khi và chỉ khi \begin{vmatrix} \sqrt{ (x+c)^2 + y^2 }-\sqrt{ (x-c)^2 + y^2 } \end{vmatrix} \\\\ =2a
Ta có: $M F_1=\sqrt{(x+c)^2+y^2}, M F_2=\sqrt{(x-c)^2+y^2}$.
Vậy để điểm $M$ thuộc Hyperbol khi và chỉ khi \begin{vmatrix} \sqrt{ (x+c)^2 + y^2 }-\sqrt{ (x-c)^2 + y^2 } \end{vmatrix} \\\\ =2a
Luyện tập 4 trang 52
Cho $(H): \frac{x^{2}}{144}-\frac{y^{2}}{25}=1$. Tìm các tiêu điểm và tiêu cự của $(H)$.
Phương pháp giải:
Tìm $c=\sqrt{a^2+b^2}$, sau đó thay vào công thức xác định hai tiêu điểm và tiêu cự.
Tìm $c=\sqrt{a^2+b^2}$, sau đó thay vào công thức xác định hai tiêu điểm và tiêu cự.
Lời giải chi tiết:
Ta có: $c=\sqrt{144+25}=13$.
Do đó $(\mathrm{H})$ có hai tiêu điểm là $F_1(-13 ; 0), F_2(13 ; 0)$ và có tiêu cự bằng $2 c=26$.
Ta có: $c=\sqrt{144+25}=13$.
Do đó $(\mathrm{H})$ có hai tiêu điểm là $F_1(-13 ; 0), F_2(13 ; 0)$ và có tiêu cự bằng $2 c=26$.
Hoạt động 4 trang 52
Cho parabol $(\mathrm{P}): y=\frac{1}{4} x^2$.
Xét $\mathrm{F}(0 ; 1)$ và đường thẳng $\Delta: y+1=0$. Với điểm $\mathrm{M}(\mathrm{x}$;y) bất kì, chứng minh rằng $M F=d(M, \Delta) \Leftrightarrow M(x y)$ thuộc (P).
Xét $\mathrm{F}(0 ; 1)$ và đường thẳng $\Delta: y+1=0$. Với điểm $\mathrm{M}(\mathrm{x}$;y) bất kì, chứng minh rằng $M F=d(M, \Delta) \Leftrightarrow M(x y)$ thuộc (P).
Lời giải chi tiết:
Ta có: $M F=\sqrt{x^2+(y-1)^2}, d(M, \Delta)=|y+1|$.
Xét M F=d(M, \Delta) \\\\ \Leftrightarrow \sqrt{x^2+(y-1)^2}=|y+1| \\\\ \Leftrightarrow x^2+(y-1)^2=(y+1)^2 \\\\ \Leftrightarrow x^2=4 y \\\\ \Leftrightarrow y=\frac{1}{4} x^2.
Vậy tập hợp điểm $\mathrm{M}$ để $M F=d(M, \Delta)$ là parabol $y=\frac{1}{4} x^2$
Ta có: $M F=\sqrt{x^2+(y-1)^2}, d(M, \Delta)=|y+1|$.
Xét M F=d(M, \Delta) \\\\ \Leftrightarrow \sqrt{x^2+(y-1)^2}=|y+1| \\\\ \Leftrightarrow x^2+(y-1)^2=(y+1)^2 \\\\ \Leftrightarrow x^2=4 y \\\\ \Leftrightarrow y=\frac{1}{4} x^2.
Vậy tập hợp điểm $\mathrm{M}$ để $M F=d(M, \Delta)$ là parabol $y=\frac{1}{4} x^2$
Hoạt động 5 trang 52
Xét $(P)$ là một parabol với tiêu điểm $F$ và đường chuẩn $\Delta$. Gọi $p$ là tham số tiêu của $(P)$ và $H$ là hình chiếu vuông góc của $F$ trên $\Delta$. Chọn hệ trục toạ độ $O x y$ có gốc $O$ là trung điểm của $H F$, tia $O x$ trùng tia $O F(H .7 .27)$.
a) Nêu toạ độ của $F$ và phương trình của $\Delta$.
b) Giải thích vì sao điểm $M(x ; y)$ thuộc $(P)$ khi và chỉ khi:
$$\sqrt{\left(x-\frac{p}{2}\right)^{2}+y^{2}}=\left|x+\frac{p}{2}\right| \text {. }$$
a) Nêu toạ độ của $F$ và phương trình của $\Delta$.
b) Giải thích vì sao điểm $M(x ; y)$ thuộc $(P)$ khi và chỉ khi:
$$\sqrt{\left(x-\frac{p}{2}\right)^{2}+y^{2}}=\left|x+\frac{p}{2}\right| \text {. }$$
Lời giải chi tiết:
a) Tọa độ điểm $\mathrm{F}$ là: $F\left(\frac{p}{2} ; 0\right)$ và phương trình đường chuẩn là: $\Delta: x=-\frac{p}{2}$
b) Ta có: $M F=\sqrt{\left(x-\frac{p}{2}\right)^2+y^2}, d(M, \Delta)=\left|x+\frac{p}{2}\right|$.
Để $M$ thuộc $(\mathrm{P})$ thì $M F=d(M, \Delta) \Leftrightarrow \sqrt{\left(x-\frac{p}{2}\right)^2+y^2}=\left|x+\frac{p}{2}\right|$
a) Tọa độ điểm $\mathrm{F}$ là: $F\left(\frac{p}{2} ; 0\right)$ và phương trình đường chuẩn là: $\Delta: x=-\frac{p}{2}$
b) Ta có: $M F=\sqrt{\left(x-\frac{p}{2}\right)^2+y^2}, d(M, \Delta)=\left|x+\frac{p}{2}\right|$.
Để $M$ thuộc $(\mathrm{P})$ thì $M F=d(M, \Delta) \Leftrightarrow \sqrt{\left(x-\frac{p}{2}\right)^2+y^2}=\left|x+\frac{p}{2}\right|$
Vận dụng 2 trang 53
Tại một vùng biển giữa đất liền và một đảo, người ta phân định một đường ranh giới cách đều đất liền và đảo $(\mathrm{H} .7 .28)$. Coi bờ biển vùng đất liền đó là một đường thẳng và đảo là hình tròn. Hỏi đường ranh giới nói trên có hình gì? Vì sao?
Phương pháp giải:
Lấy d là đường thẳng song song với bờ biển và cách bờ biển một khoảng bằng bán kính $\mathrm{OA}$.
Lấy d là đường thẳng song song với bờ biển và cách bờ biển một khoảng bằng bán kính $\mathrm{OA}$.
Lời giải chi tiết:
Gọi d là đường thẳng nằm trong đất liền, song song với bờ biển và cách bờ biển một khoảng bằng bán kính $O A$.
Ta có: $d(M, d)=M H+R=M A+A O=M O$
Vậy tập hợp điểm $\mathrm{M}$ thuộc $(\mathrm{P})$ có tiêu điểm là $\mathrm{O}$. Đường chuẩn là $\mathrm{d}$.
Do đó đường ranh giới cần tìm là đường parabol (P).
Gọi d là đường thẳng nằm trong đất liền, song song với bờ biển và cách bờ biển một khoảng bằng bán kính $O A$.
Ta có: $d(M, d)=M H+R=M A+A O=M O$
Vậy tập hợp điểm $\mathrm{M}$ thuộc $(\mathrm{P})$ có tiêu điểm là $\mathrm{O}$. Đường chuẩn là $\mathrm{d}$.
Do đó đường ranh giới cần tìm là đường parabol (P).
Vận dụng 3 trang 56
Gương elip trong một máy tán sỏi thận (H.7.33) ứng với elip có phương trình chính tắc $\frac{x^{2}}{400}+\frac{y^{2}}{76}=1$ (theo đơn vị $\mathrm{cm}$ ). Tính khoảng cách từ vị trí đầu phát sóng của máy đến vị trí của sỏi thận cần tán.
Lời giải chi tiết:
Vị tri bắt đầu phát sóng của máy và vị trí viên sỏi được đặt ở hai tiêu điểm của gương elip, do đó khoảng cách cần tìm là tiêu cự của gương và bằng $2 c=2 \sqrt{400-76}=36(\mathrm{~cm})$.
Vị tri bắt đầu phát sóng của máy và vị trí viên sỏi được đặt ở hai tiêu điểm của gương elip, do đó khoảng cách cần tìm là tiêu cự của gương và bằng $2 c=2 \sqrt{400-76}=36(\mathrm{~cm})$.
Giải bài tập vận dụng trang 56 SGK Toán 10 bài 22
Phần tiếp theo sẽ cung cấp cho các bạn phương pháp cùng lời giải trong phần bài tập trang 56 cực kỳ dễ hiểu và chi tiết. Cùng HocThatGioi rèn luyện và nâng cao kỹ năng giải quyết các vấn đề thực tế thông qua các phương pháp, công thức toán học từ bài Ba đường Conic ở trên.
Bài tập 7.19 trang 56
Cho Elip có phương trình $\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{9}=1$. Tìm tiêu điểm và tiêu cự của elip.
Phương pháp giải:
Tính $c=\sqrt{a^2-b^2}$,
+ Tiêu điểm: $F_1(-c ; 0), F_2(c ; 0)$
+ Tiêu cự: $F_1 F_2=2 c$.
Tính $c=\sqrt{a^2-b^2}$,
+ Tiêu điểm: $F_1(-c ; 0), F_2(c ; 0)$
+ Tiêu cự: $F_1 F_2=2 c$.
Lời giải chi tiết:
Ta có: $a^2=36, b^2=9 \Rightarrow c=\sqrt{36-9}=3 \sqrt{3}$ nên elip có hai tiêu điểm là:
$F_1(-3 \sqrt{3} ; 0) ; F_2(3 \sqrt{3} ; 0)$ và tiêu cự là $F_1 F_2=2 c=6 \sqrt{3}$.
Ta có: $a^2=36, b^2=9 \Rightarrow c=\sqrt{36-9}=3 \sqrt{3}$ nên elip có hai tiêu điểm là:
$F_1(-3 \sqrt{3} ; 0) ; F_2(3 \sqrt{3} ; 0)$ và tiêu cự là $F_1 F_2=2 c=6 \sqrt{3}$.
Bài tập 7.20 trang 56
Cho hyperbol có phương trình $\frac{x^2}{7}-\frac{y^2}{9}=1$. Tìm tiêu điểm và tiêu cự của hyperbol.
Phương pháp giải:
Tính $c=\sqrt{a^2+b^2}$,
+ Tiêu điểm $F_1(-c ; 0), F_2(c ; 0)$
+ Tiêu cự $F_1 F_2=2 c$.
Tính $c=\sqrt{a^2+b^2}$,
+ Tiêu điểm $F_1(-c ; 0), F_2(c ; 0)$
+ Tiêu cự $F_1 F_2=2 c$.
Lời giải chi tiết:
Ta có: $a^2=7, b^2=9 \Rightarrow c=\sqrt{7+9}=4$ nên elip có hai tiêu điểm là:
$F_1(-4 ; 0) ; F_2(4 ; 0)$ và tiêu cự là $F_1 F_2=2 c=8$.
Ta có: $a^2=7, b^2=9 \Rightarrow c=\sqrt{7+9}=4$ nên elip có hai tiêu điểm là:
$F_1(-4 ; 0) ; F_2(4 ; 0)$ và tiêu cự là $F_1 F_2=2 c=8$.
Bài tập 7.21 trang 56
Cho parabol có phương trình $y^2=8 x$. Tìm tiêu điểm và đường chuẩn của parabol.
Phương pháp giải:
Tìm p, sau đó dựa vào công thức xác định tiêu điểm $F\left(\frac{p}{2} ; 0\right)$ và đường chuẩn là $x=\frac{-p}{2}$ để kết luận.
Tìm p, sau đó dựa vào công thức xác định tiêu điểm $F\left(\frac{p}{2} ; 0\right)$ và đường chuẩn là $x=\frac{-p}{2}$ để kết luận.
Lời giải chi tiết:
Ta có: $2 p=8 \Rightarrow p=4$ nên $(\mathrm{P})$ có tiêu điểm là $F(2 ; 0)$ và đường chuẩn là $x=-2$.
Ta có: $2 p=8 \Rightarrow p=4$ nên $(\mathrm{P})$ có tiêu điểm là $F(2 ; 0)$ và đường chuẩn là $x=-2$.
Bài tập 7.22 trang 56
Lập phương trình chính tắc của elip đi qua hai điểm $A(5 ; 0)$ và có một tiêu điểm là $F_2(3 ; 0)$.
Phương pháp giải:
Gọi phương trình chính tắc của ( $\mathrm{E}$ ), sau đó thay tọa điểm $\mathrm{A}$ vào phương trình (E) và sử dụng $a^2-b^2=c^2$ để tìm $a, b$.
Gọi phương trình chính tắc của ( $\mathrm{E}$ ), sau đó thay tọa điểm $\mathrm{A}$ vào phương trình (E) và sử dụng $a^2-b^2=c^2$ để tìm $a, b$.
Lời giải chi tiết:
Phương trình chính tắc của elip có dạng: $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$.
Elip đi qua $A(5 ; 0)$ nên ta có $\frac{5^2}{a^2}+\frac{0^2}{b^2}=1 \Leftrightarrow a^2=25$
Mặt khác elip có một tiêu điểm $F_2=(3 ; 0)$ nên ta có $c=3$.
Suy ra $b^2=a^2-c^2=25-3^2=16$
Vậy phương trình của elip là: $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$.
Phương trình chính tắc của elip có dạng: $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$.
Elip đi qua $A(5 ; 0)$ nên ta có $\frac{5^2}{a^2}+\frac{0^2}{b^2}=1 \Leftrightarrow a^2=25$
Mặt khác elip có một tiêu điểm $F_2=(3 ; 0)$ nên ta có $c=3$.
Suy ra $b^2=a^2-c^2=25-3^2=16$
Vậy phương trình của elip là: $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$.
Bài tập 7.23 trang 56
Lập phương trình chính tắc của parabol đi qua điểm $M(2 ; 4)$.
Phương pháp giải:
Gọi phương trình chính tắc của (P), sau đó thay tọa điểm $\mathrm{M}$ vào phương trình (P) để tìm được tham số tiêu p.
Gọi phương trình chính tắc của (P), sau đó thay tọa điểm $\mathrm{M}$ vào phương trình (P) để tìm được tham số tiêu p.
Lời giải chi tiết:
Phương trình chính tắc của ( $\mathrm{P})$ có dạng $y^2=2 p x(p>0)$
$\mathrm{V}_{\mathrm{i}}(\mathrm{P})$ đi qua điểm $M(2 ; 4)$ nên ta có $4^2=2 p .2 \Leftrightarrow p=4$.
Vậy phương trình chính tắc của $(\mathrm{P})$ là $y^2=8 x$.
Phương trình chính tắc của ( $\mathrm{P})$ có dạng $y^2=2 p x(p>0)$
$\mathrm{V}_{\mathrm{i}}(\mathrm{P})$ đi qua điểm $M(2 ; 4)$ nên ta có $4^2=2 p .2 \Leftrightarrow p=4$.
Vậy phương trình chính tắc của $(\mathrm{P})$ là $y^2=8 x$.
Bài tập 7.24 trang 56
Có hai trạm phát tín hiệu vô tuyến đặt tại hai vị trí $A, B$ cách nhau $300 \mathrm{~km}$. Tại cùng một thời điểm, hai trạm cùng phát tín hiệu với vận tốc $292000 \mathrm{~km} / \mathrm{s}$ để một tàu thuỷ thu và đo độ lệch thời gian. Tín hiệu từ $\mathrm{A}$ đến sớm hơn tín hiệu từ $\mathrm{B}$ là $0,0005 \mathrm{~s}$. Từ thông tin trên, ta có thể xác định được tàu thuỷ thuộc đường hypebol nào? Viết phương trình chính tắc của hypebol đó theo đơn vị kilômét.
Phương pháp giải:
Gắn hệ trục tọa độ, sau đó tìm phương trình hyperbol đi qua vị trí tàu thủy
Gắn hệ trục tọa độ, sau đó tìm phương trình hyperbol đi qua vị trí tàu thủy
Lời giải chi tiết:
Gọi $\mathrm{M}$ là vị trí tàu thu tín hiệu.
Gọi $t_A, t_B$ lần lượt là thời gian tín hiệu truyền từ trạm phát $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ đến $\mathrm{M}$.
Theo đề bài, ta có: $t_A-t_B=-0,0005 s$
Suy ra: $M A-M B=v . t_A-v \cdot t_B=292000 .(-0,0005)=-146 \mathrm{~km}$.
Gọi (H) là hyperbol ở dạng chính tắc nhận $A, B$ làm hai tiêu điểm và đi qua $M$.
Khi đó ta có:
\begin{cases} 2 a = | M A – M B | = 1 4 6 \\ 2 c = A B = 3 0 0 \\ \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a = 7 3 \\ c = 1 5 0\\ \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a=73 \\ b^2=c^2-a^2=17171 \\ \end{cases}
Vậy phương trình chính tắc của $(\mathrm{H})$ là: $\frac{x^2}{5329}-\frac{y^2}{17171}=1$.
Gọi $\mathrm{M}$ là vị trí tàu thu tín hiệu.
Gọi $t_A, t_B$ lần lượt là thời gian tín hiệu truyền từ trạm phát $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ đến $\mathrm{M}$.
Theo đề bài, ta có: $t_A-t_B=-0,0005 s$
Suy ra: $M A-M B=v . t_A-v \cdot t_B=292000 .(-0,0005)=-146 \mathrm{~km}$.
Gọi (H) là hyperbol ở dạng chính tắc nhận $A, B$ làm hai tiêu điểm và đi qua $M$.
Khi đó ta có:
\begin{cases} 2 a = | M A – M B | = 1 4 6 \\ 2 c = A B = 3 0 0 \\ \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a = 7 3 \\ c = 1 5 0\\ \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a=73 \\ b^2=c^2-a^2=17171 \\ \end{cases}
Vậy phương trình chính tắc của $(\mathrm{H})$ là: $\frac{x^2}{5329}-\frac{y^2}{17171}=1$.
Bài tập 7.25 trang 56
Khúc cua của một con đường có dạng hình parabol, điểm đầu vào khúc cua là $A$, điểm cuối là $B$, khoảng cách $A B=400 \mathrm{~m}$. Đỉnh parabol $(P)$ của khúc cua cách đường thẳng $A B$ một khoảng $20 \mathrm{~m}$ và cách đều $A, B(H .7 .34)$.
a) Lập phương trình chính tắc của $(P)$, với 1 đơn vị đo trong mặt phẳng toạ độ tương ứng $1 \mathrm{~m}$ trên thực tế.
b) Lập phương trình chính tắc của $(P)$, với 1 đơn vị đo trong mặt phẳng toạ độ tương ứng $1 \mathrm{~km}$ trên thực tế.
a) Lập phương trình chính tắc của $(P)$, với 1 đơn vị đo trong mặt phẳng toạ độ tương ứng $1 \mathrm{~m}$ trên thực tế.
b) Lập phương trình chính tắc của $(P)$, với 1 đơn vị đo trong mặt phẳng toạ độ tương ứng $1 \mathrm{~km}$ trên thực tế.
Phương pháp giải:
Gọi phương trình chính tắc của $(\mathrm{P})$ và sử dụng điều kiện $(\mathrm{P})$ đi qua điểm thỏa mãn để tìm phương trình $(\mathrm{P})$.
Gọi phương trình chính tắc của $(\mathrm{P})$ và sử dụng điều kiện $(\mathrm{P})$ đi qua điểm thỏa mãn để tìm phương trình $(\mathrm{P})$.
Lời giải chi tiết:
Phương trình chính tắc của parabol (P) có dạng $y^2=2 p x(p>0)$.
a) Khi 1 đơn vị đo trong mặt phẳng tọa độ ứng với $1 \mathrm{~m}$ trên thực tế, ta có $B(20 ; 200)$.
Thay tọa độ điểm $\mathrm{B}$ vào phương trình của ( $\mathrm{P})$ ta được:
$200^2=2 p .20 \Leftrightarrow p=1000$.
Vậy phương trình chính tắc của $(\mathrm{P})$ là: $y^2=2000 x$.
b) Khi 1 đơn vị đo trong mặt phẳng tọa độ ứng với $1 \mathrm{~km}$ trên thực tế, ta có $B(0,02 ; 0,2)$.
Tương tự, ta có phương trình chính tắc của $(\mathrm{P})$ là $y^2=2 x$.
Phương trình chính tắc của parabol (P) có dạng $y^2=2 p x(p>0)$.
a) Khi 1 đơn vị đo trong mặt phẳng tọa độ ứng với $1 \mathrm{~m}$ trên thực tế, ta có $B(20 ; 200)$.
Thay tọa độ điểm $\mathrm{B}$ vào phương trình của ( $\mathrm{P})$ ta được:
$200^2=2 p .20 \Leftrightarrow p=1000$.
Vậy phương trình chính tắc của $(\mathrm{P})$ là: $y^2=2000 x$.
b) Khi 1 đơn vị đo trong mặt phẳng tọa độ ứng với $1 \mathrm{~km}$ trên thực tế, ta có $B(0,02 ; 0,2)$.
Tương tự, ta có phương trình chính tắc của $(\mathrm{P})$ là $y^2=2 x$.
Cảm ơn các bạn đã theo dõi bài viết của HocThatGioi về Giải SGK bài Ba đường Conic Chương phương pháp tọa độ trong mặt phẳng Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 ở các trang 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57. Hi vọng các bạn sẽ có một buổi thú vị và học được nhiều điều bổ ích. Chúc các bạn học tốt!
