SGK Toán 10 - Chân Trời Sáng Tạo
Giải SGK Bài tập cuối chương 8 trang 36 Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2
Các bài tập cuối chương Đại số tổ hợp (Chương 8 trang 36) trong SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 sẽ giúp các bạn ôn tập lại các kiến thức về Quy tắc cộng và quy tắc nhân, Hoán vị tổ hợp chỉnh hợp và Nhị thức Newton. Cùng xem HocThatGioi giải quyết các bài toán này nhé!
Bài 1 trang 36
1. Một nhóm tình nguyện viên gồm 4 học sinh lớp $10A$, 5 học sinh lớp $10B$ và 6 học sinh lớp $10C$. Để tham gia một công việc tình nguyện, nhóm có bao nhiêu cách cử ra
a) 1 thành viên của nhóm?
b) 3 thành viên của nhóm đang học ở ba lớp khác nhau?
c) 2 thành viên của nhóm đang học ở hai lớp khác nhau?
a) 1 thành viên của nhóm?
b) 3 thành viên của nhóm đang học ở ba lớp khác nhau?
c) 2 thành viên của nhóm đang học ở hai lớp khác nhau?
Phương pháp giải:
a) Sử dụng tổ hợp, chọn 1 bạn từ 15 bạn học sinh
b) Chọn 3 bạn. Trong đó, mỗi lớp 1 bạn học sinh
c) Sử dụng quy tắc cộng và quy tắc nhân
a) Sử dụng tổ hợp, chọn 1 bạn từ 15 bạn học sinh
b) Chọn 3 bạn. Trong đó, mỗi lớp 1 bạn học sinh
c) Sử dụng quy tắc cộng và quy tắc nhân
Lời giải chi tiết:
a) Số cách chọn 1 bạn từ nhóm 15 bạn là tổ hợp chập 1 của 15: C_15^1=15 cách
b) Việc chọn 3 thành viên của nhóm đang học ở ba lớp khác nhau gồm 3 công đoạn:
– Công đoạn 1: Chọn 1 bạn từ lớp 10A có 4 cách
– Công đoạn 2: Chọn 1 bạn từ lớp 10B có 5 cách
– Công đoạn 3: Chọn 1 bạn từ lớp 10C có 6 cách
Áp dụng quy tắc nhân, ta có 4.5.6=120 cách chọn 3 thành viên của nhóm đang học ở ba lớp khác nhau
c) Việc chọn 2 thành viên của nhóm đang học ở hai lớp khác nhau có 3 trường hợp:
TH1: 2 bạn đang học ở lớp 10A và 10B có 4.5=20 cách
TH2: 2 bạn đang học ở lớp 10A và 10C có 4.6=24 cách
TH3: 2 bạn đang học ở lớp 10C và 10B có 6.5=30 cách
Áp dụng quy tắc cộng, ta có 20+24+30=74 cách chọn 2 thành viên của nhóm đang học ở hai lớp khác nhau
a) Số cách chọn 1 bạn từ nhóm 15 bạn là tổ hợp chập 1 của 15: C_15^1=15 cách
b) Việc chọn 3 thành viên của nhóm đang học ở ba lớp khác nhau gồm 3 công đoạn:
– Công đoạn 1: Chọn 1 bạn từ lớp 10A có 4 cách
– Công đoạn 2: Chọn 1 bạn từ lớp 10B có 5 cách
– Công đoạn 3: Chọn 1 bạn từ lớp 10C có 6 cách
Áp dụng quy tắc nhân, ta có 4.5.6=120 cách chọn 3 thành viên của nhóm đang học ở ba lớp khác nhau
c) Việc chọn 2 thành viên của nhóm đang học ở hai lớp khác nhau có 3 trường hợp:
TH1: 2 bạn đang học ở lớp 10A và 10B có 4.5=20 cách
TH2: 2 bạn đang học ở lớp 10A và 10C có 4.6=24 cách
TH3: 2 bạn đang học ở lớp 10C và 10B có 6.5=30 cách
Áp dụng quy tắc cộng, ta có 20+24+30=74 cách chọn 2 thành viên của nhóm đang học ở hai lớp khác nhau
Bài 2 trang 36
2. Một khoá số có 3 vòng số (mỗi vòng gồm 10 số, từ 0 đến 9 ) như Hình 1 . Người dùng cần đặt mật mã cho khoá là một dãy số có 3 chữ số. Để mở khoá, cần xoay các vòng số để dãy số phía trước khóa trùng với mật mã đã chọn. Có bao nhiêu cách chọn mật mã cho khoá?
Phương pháp giải:
Dùng quy tắc nhân
Dùng quy tắc nhân
Lời giải chi tiết:
Mỗi cách chọn 1 chữ số cho mật mã là 1 trong 10 cách chọn các chữ số từ 0 đến 9. Vậy có tổng cả 10 cách chọn cho mỗi chữ số
Dãy mật mã có 3 chữ số nên có 10.10.10=1000 cách chọn mật mã cho khóa
Mỗi cách chọn 1 chữ số cho mật mã là 1 trong 10 cách chọn các chữ số từ 0 đến 9. Vậy có tổng cả 10 cách chọn cho mỗi chữ số
Dãy mật mã có 3 chữ số nên có 10.10.10=1000 cách chọn mật mã cho khóa
Bài 3 trang 36
3. Từ 6 thẻ số như Hình 2 , (1,2,3,4,5,6) có thể ghép để tạo thành bao nhiêu
a) số tự nhiên có 6 chữ số?
b) số tự nhiên lẻ có 6 chữ số?
c) số tự nhiên có 5 chữ số?
d) số tự nhiên có 5 chữ số lớn hơn 50000 ?
a) số tự nhiên có 6 chữ số?
b) số tự nhiên lẻ có 6 chữ số?
c) số tự nhiên có 5 chữ số?
d) số tự nhiên có 5 chữ số lớn hơn 50000 ?
Lời giải chi tiết:
a) Mỗi số tự nhiên có 6 chữ số được tạo ra từ 6 thẻ số trên là mỗi cách sắp xếp 6 tấm thẻ số
Vậy có $6!$ số tự nhiên có 6 chữ số được tạo thành từ 6 tấm thẻ số đã cho
b) Để số tạo thành là số lẻ thì chữ số tận cùng là chữ số lẻ (1, 3, 5) có 3 cách chọn
Sắp xếp 5 chữ số còn lại có $5!$ cách
Áp dụng quy tắc nhân, ta có $3.5!$ số lẻ có 6 chữ số được tạo thành từ 6 tấm thẻ số
c) Mỗi số tự nhiên có 5 chữ số được tạo thành từ 6 thẻ số là mỗi cách chọn 5 tấm thẻ và sắp xếp chúng.
Vậy có $A_6^5$ số có 5 chữ số được tạo thành từ 6 thẻ số đã cho
d) Để số tạo thành lớn hơn 50 000 thì chữ số đầu tiên phải là 6 hoặc 5
Sắp xếp 4 chữ số còn lại có $A_5^4$ cách
Vậy có $2.A_5^4$ số có 5 chữ số được tạo ra từ 6 thẻ số đã cho và lớn hơn 50 000
a) Mỗi số tự nhiên có 6 chữ số được tạo ra từ 6 thẻ số trên là mỗi cách sắp xếp 6 tấm thẻ số
Vậy có $6!$ số tự nhiên có 6 chữ số được tạo thành từ 6 tấm thẻ số đã cho
b) Để số tạo thành là số lẻ thì chữ số tận cùng là chữ số lẻ (1, 3, 5) có 3 cách chọn
Sắp xếp 5 chữ số còn lại có $5!$ cách
Áp dụng quy tắc nhân, ta có $3.5!$ số lẻ có 6 chữ số được tạo thành từ 6 tấm thẻ số
c) Mỗi số tự nhiên có 5 chữ số được tạo thành từ 6 thẻ số là mỗi cách chọn 5 tấm thẻ và sắp xếp chúng.
Vậy có $A_6^5$ số có 5 chữ số được tạo thành từ 6 thẻ số đã cho
d) Để số tạo thành lớn hơn 50 000 thì chữ số đầu tiên phải là 6 hoặc 5
Sắp xếp 4 chữ số còn lại có $A_5^4$ cách
Vậy có $2.A_5^4$ số có 5 chữ số được tạo ra từ 6 thẻ số đã cho và lớn hơn 50 000
Bài 4 trang 36
Thực đơn tại một quán cơm văn phòng có 6 món mặn, 5 món rau và 3 món canh. Tại đây, một nhóm khách muốn chọn bữa trưa gồm cơm, 2 món mặn, 2 món rau và 1 món canh. Nhóm khách có bao nhiêu cách chọn?
Lời giải chi tiết:
Để chọn được bữa cơm đủ món theo yêu cầu cần thực hiện 3 công đoạn
– Công đoạn 1: Chọn 2 món mặn từ 6 món mặn có $C_6^2$ cách
– Công đoạn 2: Chọn 2 món rau từ 5 món có $C_5^2$ cách
– Công đoạn 3: Chọn 1 món canh từ 3 món canh có 3 cách
Áp dụng quy tắc nhân, ta có $3 \cdot C_5^2 \cdot C_6^2=450$ cách chọn bữa cơm gồm cơm, 2 món mặn, 2 món rau và 1 món canh
Để chọn được bữa cơm đủ món theo yêu cầu cần thực hiện 3 công đoạn
– Công đoạn 1: Chọn 2 món mặn từ 6 món mặn có $C_6^2$ cách
– Công đoạn 2: Chọn 2 món rau từ 5 món có $C_5^2$ cách
– Công đoạn 3: Chọn 1 món canh từ 3 món canh có 3 cách
Áp dụng quy tắc nhân, ta có $3 \cdot C_5^2 \cdot C_6^2=450$ cách chọn bữa cơm gồm cơm, 2 món mặn, 2 món rau và 1 món canh
Bài 5 trang 36
Cho 9 điểm nằm trên hai đường thẳng song song như hình 3. Có bao nhiêu tam giác có các đỉnh là ba điểm trong các điểm đã cho?
Phương pháp giải:
Tam giác được tạo thành từ 3 điểm không thẳng hàng
=> chọn 2 điểm ở đường này và 1 điểm ở đường kia.
Tam giác được tạo thành từ 3 điểm không thẳng hàng
=> chọn 2 điểm ở đường này và 1 điểm ở đường kia.
Lời giải chi tiết:
*Cách 1:
TH 1: Chọn 2 điểm thuộc đường thẳng có 4 điểm Chọn 2 điểm từ đường thẳng trên có $C_4^2$ cách Chọn 1 điểm từ đường thẳng còn lại có 5 cách => Số tam giác tạo thành là $5 . C_4^2=30$
TH 2: Chọn 2 điểm thuộc đường thẳng có 5 điểm Chọn 2 điểm từ đường thẳng dưới có $C_5^2$ cách Chọn 1 điểm từ đường thẳng còn lại có 4 cách => Số tam giác tạo thành là $4 . C_5^2=40$ Vậy có tất cả 70 tam giác được tạo thành.
*Cách 2:
Số cách chọn 3 điểm bất kì là: $C_9^3=84$ cách
Số cách chọn 3 điểm thẳng hàng là: $C_4^3+C_5^3=14$ cách
=> Số cách chọn 3 điểm không thẳng hàng là: 84 – 14 = 70
(cách)
Do đó ta có thể có 70 tam giác.
*Cách 1:
TH 1: Chọn 2 điểm thuộc đường thẳng có 4 điểm Chọn 2 điểm từ đường thẳng trên có $C_4^2$ cách Chọn 1 điểm từ đường thẳng còn lại có 5 cách => Số tam giác tạo thành là $5 . C_4^2=30$
TH 2: Chọn 2 điểm thuộc đường thẳng có 5 điểm Chọn 2 điểm từ đường thẳng dưới có $C_5^2$ cách Chọn 1 điểm từ đường thẳng còn lại có 4 cách => Số tam giác tạo thành là $4 . C_5^2=40$ Vậy có tất cả 70 tam giác được tạo thành.
*Cách 2:
Số cách chọn 3 điểm bất kì là: $C_9^3=84$ cách
Số cách chọn 3 điểm thẳng hàng là: $C_4^3+C_5^3=14$ cách
=> Số cách chọn 3 điểm không thẳng hàng là: 84 – 14 = 70
(cách)
Do đó ta có thể có 70 tam giác.
Bài 6 trang 36
6. Khai triển các biểu thức:
a) $\left(a-\frac{b}{2}\right)^{4}$;
b) $\left(2 x^{2}+1\right)^{5}$
a) $\left(a-\frac{b}{2}\right)^{4}$;
b) $\left(2 x^{2}+1\right)^{5}$
Lời giải chi tiết:
a) Áp dụng công thức nhị thức Newton, ta có:
\begin{aligned} &(a-\frac{b}{2})^4\\ &=a^4+C_4^1 .a^3(-\frac{b}{2})+C_4^2 .a^2(-\frac{b}{2})^2+C_4^3 .a(-\frac{b}{2})^3+C_4^4 .(-\frac{b}{2})^4 \\ &=a^4-2 a^3 b+\frac{3}{2} a^2 b^2-\frac{1}{2} a b^3+\frac{1}{16} b^4 \end{aligned}
b) Áp dụng công thức nhị thức Newton, ta có:
\begin{aligned} & (2 x^2+1)^5\\ & =(2 x^2)^5+C_5^1 .(2 x^2)^4 .1+C_5^2 .(2 x^2)^3 .1^2 +C_5^3 .(2 x^2)^2 .1^3+C_5^4 .(2 x^2) .1^4+1^5 \\ & =32 x^{10}+80 x^8+80 x^6+40 x^4+10 x^2+1 \end{aligned}
a) Áp dụng công thức nhị thức Newton, ta có:
\begin{aligned} &(a-\frac{b}{2})^4\\ &=a^4+C_4^1 .a^3(-\frac{b}{2})+C_4^2 .a^2(-\frac{b}{2})^2+C_4^3 .a(-\frac{b}{2})^3+C_4^4 .(-\frac{b}{2})^4 \\ &=a^4-2 a^3 b+\frac{3}{2} a^2 b^2-\frac{1}{2} a b^3+\frac{1}{16} b^4 \end{aligned}
b) Áp dụng công thức nhị thức Newton, ta có:
\begin{aligned} & (2 x^2+1)^5\\ & =(2 x^2)^5+C_5^1 .(2 x^2)^4 .1+C_5^2 .(2 x^2)^3 .1^2 +C_5^3 .(2 x^2)^2 .1^3+C_5^4 .(2 x^2) .1^4+1^5 \\ & =32 x^{10}+80 x^8+80 x^6+40 x^4+10 x^2+1 \end{aligned}
Bài 7 trang 36
7. Hãy khai triển và rút gọn biểu thức
$(1+x)^{4}+(1-x)^{4}$
Sử dụng kết quả đó để tính gần đúng giá trị biểu thức $1,05^{4}+0,95^{4}$.
$(1+x)^{4}+(1-x)^{4}$
Sử dụng kết quả đó để tính gần đúng giá trị biểu thức $1,05^{4}+0,95^{4}$.
Phương pháp giải:
Áp dụng công thức nhị thức Newton
$(a+b)^n=\sum_{k=0}^n C_n^k a^{n-k} b^k$
Áp dụng công thức nhị thức Newton
$(a+b)^n=\sum_{k=0}^n C_n^k a^{n-k} b^k$
Lời giải chi tiết:
Áp dụng công thức nhị thức Newton, ta có:
\begin{aligned} & (1+x)^4\\ &=1^4+C_4^1 .1^3 x+C_4^2 .1^2 x^2+C_4^3 .1 x^3+C_4^4 x^4 \\ & =1+4 x+6 x^2+4 x^3+x^4 \\ & (1-x)^4\\ &=1^4+C_4^1 .1^3(-x)+C_4^2 .1^2(-x)^2+C_4^3 .1(-x)^3+C_4^4(-x)^4 \\ & =1-4 x+6 x^2-4 x^3+x^4 \\ & \text { Suy ra } \\ & (1+x)^4+(1-x)^4\\ &=1+4 x+6 x^2+4 x^3+x^4+1-4 x +6 x^2-4 x^3+x^4 \\ & =2+12 x^2+2 x^4 \\ & \text { Vậy }(1+x)^4+(1-x)^4=2+12 x^2+2 x^4 \\ & \text { Ta có: } 1,05^4+0,95^4=(1+0,5)^4+(1-0,5)^4 \\ \end{aligned}
Áp dụng biểu thức vừa chứng minh
\begin{aligned} &(1+x)^4+(1-x)^4= 2+12 x^2+2 x^4, \text { ta có: } \\ & 1,05^4+0,95^4\\ &=(1+0,5)^4+(1-0,5)^4\\ &=2+12.0,5^2 +2.0,5^4 \\ &=5,125 \end{aligned}
Áp dụng công thức nhị thức Newton, ta có:
\begin{aligned} & (1+x)^4\\ &=1^4+C_4^1 .1^3 x+C_4^2 .1^2 x^2+C_4^3 .1 x^3+C_4^4 x^4 \\ & =1+4 x+6 x^2+4 x^3+x^4 \\ & (1-x)^4\\ &=1^4+C_4^1 .1^3(-x)+C_4^2 .1^2(-x)^2+C_4^3 .1(-x)^3+C_4^4(-x)^4 \\ & =1-4 x+6 x^2-4 x^3+x^4 \\ & \text { Suy ra } \\ & (1+x)^4+(1-x)^4\\ &=1+4 x+6 x^2+4 x^3+x^4+1-4 x +6 x^2-4 x^3+x^4 \\ & =2+12 x^2+2 x^4 \\ & \text { Vậy }(1+x)^4+(1-x)^4=2+12 x^2+2 x^4 \\ & \text { Ta có: } 1,05^4+0,95^4=(1+0,5)^4+(1-0,5)^4 \\ \end{aligned}
Áp dụng biểu thức vừa chứng minh
\begin{aligned} &(1+x)^4+(1-x)^4= 2+12 x^2+2 x^4, \text { ta có: } \\ & 1,05^4+0,95^4\\ &=(1+0,5)^4+(1-0,5)^4\\ &=2+12.0,5^2 +2.0,5^4 \\ &=5,125 \end{aligned}
Cảm ơn các bạn đã theo dõi bài viết của HocThatGioi về giải bài tập cuối chương Đại số tổ hợp (Chương 8 trang 36) trong SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2. Hi vọng các bạn có một buổi học thú vị và ôn tập được đầy đủ các kiến thức đã học. Chúc các bạn học tốt
