SGK Toán 10 - Kết Nối Tri Thức
Giải SGK bài 21 chương VII trang 43, 44, 45, 46, 47 Toán 10 Kết nối tri thức tập 2
Trong bài này, HocThatGioi sẽ giúp các bạn giải đáp những câu hỏi cũng như bài tập trong bài Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ. Đây là bài học thuộc bài 21 chương VII trang 43, 44, 45, 46, 47 sách Toán 10 Kết nối tri thức tập 2. Hi vọng các bạn có thể hiểu được trọn vẹn bài học sau khi xem hết các phương pháp giải và lời giải cực chi tiết mà HocThatGioi trình bày bên dưới.
Trả lời câu hỏi trong SGK của bài 21
Dưới đây là phương pháp và bài giải chi tiết cho câu hỏi hoạt động cùng phần luyện tập ở các trang 43, 44, 45, 46 trong bài Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ. Cùng HocThatGioi đi tìm đáp án ngay nhé!
Hoạt động 1 trang 43
Trong mặt phẳng toạ độ $O x y$, cho đường tròn $(C)$, tâm $I(a ; b)$, bán kính $R(H .7 .13)$. Khi đó, một điểm $M(x ; y)$ thuộc đường tròn $(C)$ khi và chỉ khi toạ độ của nó thoả mãn điều kiện đại số nào?
Lời giải chi tiết:
Điểm $M(x ; y)$ thuộc đường tròn $(C)$ tâm $I(a ; b)$, bán kính $R$ khi và chỉ khi:
$M I=R \Leftrightarrow \sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}=R$
Hay $(x-a)^2+(y-b)^2=R^2$
Điểm $M(x ; y)$ thuộc đường tròn $(C)$ tâm $I(a ; b)$, bán kính $R$ khi và chỉ khi:
$M I=R \Leftrightarrow \sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}=R$
Hay $(x-a)^2+(y-b)^2=R^2$
Luyện tập 1 trang 44
Tìm tâm và bán kính của đường tròn $(C):(x+2)^2+(y-4)^2=7$.
Phương pháp giải:
Đường tròn tâm l(a;b) bán kính $R$ có phương trình là:
$$(x-a)^2+(y-b)^2=R^2 \text {. }$$
Đường tròn tâm l(a;b) bán kính $R$ có phương trình là:
$$(x-a)^2+(y-b)^2=R^2 \text {. }$$
Lời giải chi tiết:
Phương trình của $(C)$ là $(x-(-2))^2+(y-4)^2=(\sqrt{7})^2$.
Vậy $(C)$ có tâm $I(-2 ; 4)$ và bán kính $R=\sqrt{7}$.
Phương trình của $(C)$ là $(x-(-2))^2+(y-4)^2=(\sqrt{7})^2$.
Vậy $(C)$ có tâm $I(-2 ; 4)$ và bán kính $R=\sqrt{7}$.
Luyện tập 2 trang 44
Hãy cho biết phương trình nào dưới đây là phương trình đường tròn. Tìm tâm và bán kính của đường tròn đó.
a) $x^2-y^2-2 x+4 y-1=0$
b) $x^2+y^2-2 x+4 y+6=0$
c) $x^2+y^2+6 x-4 y+2=0$
a) $x^2-y^2-2 x+4 y-1=0$
b) $x^2+y^2-2 x+4 y+6=0$
c) $x^2+y^2+6 x-4 y+2=0$
Phương pháp giải:
Phương trình $x^2+y^2-2 a x-2 b y+c=0$ là phương trình đường tròn khi và chỉ khi $a^2+b^2-c>0$.
Phương trình $x^2+y^2-2 a x-2 b y+c=0$ là phương trình đường tròn khi và chỉ khi $a^2+b^2-c>0$.
Lời giải chi tiết:
a) Đây không phải là dạng của phương trình đường tròn (hệ số $y^2$ bằng -1).
b) Vì $a^2+b^2-c=1^2+(-2)^2-60$ nên phương trình đã cho là phương trình tròn có tâm $I(-3 ; 2)$ và bán kính $R=\sqrt{a^2+b^2-c}=\sqrt{11}$.
a) Đây không phải là dạng của phương trình đường tròn (hệ số $y^2$ bằng -1).
b) Vì $a^2+b^2-c=1^2+(-2)^2-60$ nên phương trình đã cho là phương trình tròn có tâm $I(-3 ; 2)$ và bán kính $R=\sqrt{a^2+b^2-c}=\sqrt{11}$.
Luyện tập 3 trang 45
Viết phương trình đường tròn $(C)$ đi qua ba điểm $M(4 ;-5), N(2 ;-1), P(3 ;-8)$.
Phương pháp giải:
Tâm $J$ là giao điểm của hai đường trung trực của tam giác MNP và bán kính $R=J M$.
Tâm $J$ là giao điểm của hai đường trung trực của tam giác MNP và bán kính $R=J M$.
Lời giải chi tiết:
Cách 1:
Gọi $d, \Delta$ lần lượt là đường trung trực của hai đoạn thẳng MN, NP. Đường thẳng d đi qua trung điểm I của đoạn MN và vuông góc với MN.
Ta có: \begin{cases} x_I= \frac{\mathrm{x_M+x_N} }{\mathrm{2}} = \frac{\mathrm{4+2} }{\mathrm{2}} =3 \\ y_I= \frac{\mathrm{y_M+y_N} }{\mathrm{2}} = \frac{\mathrm{-5-1} }{\mathrm{2}} =-3 \\ \end{cases}
\Rightarrow I(3 ; 3) ; \overrightarrow{M N}=(-2 ; 4) \\\\ \Rightarrow \overrightarrow{n_d}=\frac{-1}{2} \overrightarrow{M N}=(1 ;-2).
Phương trình tổng quát của $d$ là: $1(x-3)-2(y+3)=0 \Leftrightarrow x-2 y-9=0$.
Tương tự, ta có phương trình đường thẳng $\Delta$ là: $x-7 y-34=0$.
Gọi $J$ là tâm đường tròn đi qua ba điểm $\mathrm{M}, \mathrm{N}, \mathrm{P}$.
Khi đó $J=d \cap \Delta$, do đó tọa điểm $J$ thỏa mãn hệ phương trình:
\left\{\begin{array}{l}x-7 y-34=0 \\ x-2 y-9=0\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x=-1 \\ y=-5\end{array} \right.\right.
\Rightarrow J(-1 ;-5)
Từ đó ta tìm được $R=J M=5$
Vậy phương trình đường tròn $(C)$ là: $(x+1)^2+(y+5)^2=25$.
Cách 2:
Gọi phương trình đường tròn cần tìm là (C): $x^2+y^2+2 a x+2 b y+c=0\left(a^2+b^2-c>0\right)$
$M(4 ;-5), N(2 ;-1), P(3 ;-8)$ thuộc (C) nên ta có:
\begin{cases} 1 6 + 2 5 + 8 a – 1 0 b + c = 0 \\ 4 + 1 + 4 a – 2 b + c = 0 \\ 9 + 6 4 + 6 a – 1 6 b + c = 0 \end{cases} \\\\\Longleftrightarrow \begin{cases} 8 a – 1 0 b + c = – 4 1 \\ 4 a – 2 b + c = – 5 \\ 6 a – 1 6 b + c = – 7 3 \end{cases} \\\\\Longleftrightarrow \begin{cases} a=1 \\ b=5 (thỏa mãn) \\ c=1 \end{cases}
Vậy phương trình đường tròn đi qua 3 điểm $\mathrm{M}, \mathrm{N}$, $\mathrm{P}$ là: $x^2+y^2+2 x+10 y+1=0$ hay $(x+1)^2+(y+5)^2=25$.
Cách 1:
Gọi $d, \Delta$ lần lượt là đường trung trực của hai đoạn thẳng MN, NP. Đường thẳng d đi qua trung điểm I của đoạn MN và vuông góc với MN.
Ta có: \begin{cases} x_I= \frac{\mathrm{x_M+x_N} }{\mathrm{2}} = \frac{\mathrm{4+2} }{\mathrm{2}} =3 \\ y_I= \frac{\mathrm{y_M+y_N} }{\mathrm{2}} = \frac{\mathrm{-5-1} }{\mathrm{2}} =-3 \\ \end{cases}
\Rightarrow I(3 ; 3) ; \overrightarrow{M N}=(-2 ; 4) \\\\ \Rightarrow \overrightarrow{n_d}=\frac{-1}{2} \overrightarrow{M N}=(1 ;-2).
Phương trình tổng quát của $d$ là: $1(x-3)-2(y+3)=0 \Leftrightarrow x-2 y-9=0$.
Tương tự, ta có phương trình đường thẳng $\Delta$ là: $x-7 y-34=0$.
Gọi $J$ là tâm đường tròn đi qua ba điểm $\mathrm{M}, \mathrm{N}, \mathrm{P}$.
Khi đó $J=d \cap \Delta$, do đó tọa điểm $J$ thỏa mãn hệ phương trình:
\left\{\begin{array}{l}x-7 y-34=0 \\ x-2 y-9=0\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x=-1 \\ y=-5\end{array} \right.\right.
\Rightarrow J(-1 ;-5)
Từ đó ta tìm được $R=J M=5$
Vậy phương trình đường tròn $(C)$ là: $(x+1)^2+(y+5)^2=25$.
Cách 2:
Gọi phương trình đường tròn cần tìm là (C): $x^2+y^2+2 a x+2 b y+c=0\left(a^2+b^2-c>0\right)$
$M(4 ;-5), N(2 ;-1), P(3 ;-8)$ thuộc (C) nên ta có:
\begin{cases} 1 6 + 2 5 + 8 a – 1 0 b + c = 0 \\ 4 + 1 + 4 a – 2 b + c = 0 \\ 9 + 6 4 + 6 a – 1 6 b + c = 0 \end{cases} \\\\\Longleftrightarrow \begin{cases} 8 a – 1 0 b + c = – 4 1 \\ 4 a – 2 b + c = – 5 \\ 6 a – 1 6 b + c = – 7 3 \end{cases} \\\\\Longleftrightarrow \begin{cases} a=1 \\ b=5 (thỏa mãn) \\ c=1 \end{cases}
Vậy phương trình đường tròn đi qua 3 điểm $\mathrm{M}, \mathrm{N}$, $\mathrm{P}$ là: $x^2+y^2+2 x+10 y+1=0$ hay $(x+1)^2+(y+5)^2=25$.
Vận dụng trang 45
Bên trong một hồ bơi, người ta dự định thiết kế hai bể sục nửa hình tròn bằng nhau và một bể sục hình tròn (H.7.14) để người bơi có thể ngồi tựa lưng vào thành các bể sục thư giãn. Hãy tìm bán kính của các bể sục để tổng chu vi của ba bể là $32 \mathrm{~m}$ mà tổng diện tích (chiếm hồ bơi) là nhỏ nhất. Trong tính toán, lấy $\pi=3,14$, độ dài tính theo mét và làm tròn tới chữ số thập phân thứ hai.
Lời giải chi tiết:
Gọi bán kính bể hình tròn và bể nửa hình tròn tương ứng là $\mathrm{x}, \mathrm{y}(\mathrm{m})$.
Khi đó, tổng chu vi ba bể là $32 \mathrm{~m}$ khi và chỉ khi $1,57x+2,57 \mathrm{y}-8=0$.
Gọi tổng diện tích của ba bể sục là $S\left(m^2\right)$.
Khi đó: $x^2+y^2=\frac{S}{3,14}$.
Trong mặt phẳng toạ độ $\mathrm{Oxy}$, xét đường tròn (C): $x^2+y^2=\frac{S}{3,14}$ có tâm $\mathrm{O}(0,0)$, bán kính $R=\sqrt{\frac{S}{3,14}}$ và đường thẳng $\Delta: 1,57 x+2,57 y-8=0$.
Ta có $\mathrm{S}$ nhỏ nhất khi $\mathrm{R}$ nhỏ nhất; $M(x ; y)$ thuộc đường thẳng $\Delta$, đồng thời $\mathrm{M}$ thuộc đường tròn $(C)$.
Bài toán chuyển thành: Tìm $\mathrm{R}$ nhỏ nhất để $(C)$ và $\Delta$ có ít nhất một điểm chung. Điều đó tương đương với $\Delta$ tiếp xúc với $(C)$, đồng thời $\mathrm{M}$ trùng với H là hình chiếu vuông góc của $\mathrm{O}$ trên $\Delta$
Ta có: $\overrightarrow{u_{O H}}=(1,57 ; 2,57)$ suy ra $\overrightarrow{n_{O H}}=(2,57 ;-1,57)$.
Phương trình $\mathrm{OH}$ là $2,57 x-1,57 y=0$
Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ:
\begin{cases} 1,57 x+2,57 y-8=0 \\ 2,57 x-1,57 y=0 \\ \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} x \approx 1,38 \\ y \approx 2,27 \\ \end{cases}
Vậy bán kính của bể tròn và bể nửa hình tròn tương ứng là $1,38 \mathrm{~m}$ và $2,27 \mathrm{~m}$.
Gọi bán kính bể hình tròn và bể nửa hình tròn tương ứng là $\mathrm{x}, \mathrm{y}(\mathrm{m})$.
Khi đó, tổng chu vi ba bể là $32 \mathrm{~m}$ khi và chỉ khi $1,57x+2,57 \mathrm{y}-8=0$.
Gọi tổng diện tích của ba bể sục là $S\left(m^2\right)$.
Khi đó: $x^2+y^2=\frac{S}{3,14}$.
Trong mặt phẳng toạ độ $\mathrm{Oxy}$, xét đường tròn (C): $x^2+y^2=\frac{S}{3,14}$ có tâm $\mathrm{O}(0,0)$, bán kính $R=\sqrt{\frac{S}{3,14}}$ và đường thẳng $\Delta: 1,57 x+2,57 y-8=0$.
Ta có $\mathrm{S}$ nhỏ nhất khi $\mathrm{R}$ nhỏ nhất; $M(x ; y)$ thuộc đường thẳng $\Delta$, đồng thời $\mathrm{M}$ thuộc đường tròn $(C)$.
Bài toán chuyển thành: Tìm $\mathrm{R}$ nhỏ nhất để $(C)$ và $\Delta$ có ít nhất một điểm chung. Điều đó tương đương với $\Delta$ tiếp xúc với $(C)$, đồng thời $\mathrm{M}$ trùng với H là hình chiếu vuông góc của $\mathrm{O}$ trên $\Delta$
Ta có: $\overrightarrow{u_{O H}}=(1,57 ; 2,57)$ suy ra $\overrightarrow{n_{O H}}=(2,57 ;-1,57)$.
Phương trình $\mathrm{OH}$ là $2,57 x-1,57 y=0$
Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ:
\begin{cases} 1,57 x+2,57 y-8=0 \\ 2,57 x-1,57 y=0 \\ \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} x \approx 1,38 \\ y \approx 2,27 \\ \end{cases}
Vậy bán kính của bể tròn và bể nửa hình tròn tương ứng là $1,38 \mathrm{~m}$ và $2,27 \mathrm{~m}$.
Hoạt động 2 trang 46
Cho đường tròn $(C):(x-1)^2+(y-2)^2=25$ và điểm $M(4 ;-2)$.
a) Chứng minh điểm $M(4 ;-2)$ thuộc đường tròn $(C)$.
b) Xác định tâm và bán kính đường tròn $(C)$.
c) Gọi $\Delta$ là tiếp tuyến của $(C)$ tại $M$. Hãy chỉ ra một vectơ pháp tuyến của đường thẳng $\Delta$. Từ đó, viết phương trình đường thẳng $\Delta$.
a) Chứng minh điểm $M(4 ;-2)$ thuộc đường tròn $(C)$.
b) Xác định tâm và bán kính đường tròn $(C)$.
c) Gọi $\Delta$ là tiếp tuyến của $(C)$ tại $M$. Hãy chỉ ra một vectơ pháp tuyến của đường thẳng $\Delta$. Từ đó, viết phương trình đường thẳng $\Delta$.
Lời giải chi tiết:
a) Thay tọa độ điểm $M(4 ;-2)$ vào phương trình đường tròn ta được: $(4-1)^2+(-2-2)^2=3^2+4^2=25$.
Vậy điểm $\mathrm{M}$ thỏa mãn phương trình đường tròn $(C)$.
b) Đường tròn $(C)$ có tâm $I(1 ; 2)$ và $R=5$.
c) Ta có: $\overrightarrow{n_{\Delta}}=\overrightarrow{I M}=(3 ;-4)$.
Vậy phương trình tiếp tuyến $\Delta$ của đường tròn $(C)$ là:
$$3(x-4)-4(y+2)=0 \Leftrightarrow 3 x-4 y-20=0$$
a) Thay tọa độ điểm $M(4 ;-2)$ vào phương trình đường tròn ta được: $(4-1)^2+(-2-2)^2=3^2+4^2=25$.
Vậy điểm $\mathrm{M}$ thỏa mãn phương trình đường tròn $(C)$.
b) Đường tròn $(C)$ có tâm $I(1 ; 2)$ và $R=5$.
c) Ta có: $\overrightarrow{n_{\Delta}}=\overrightarrow{I M}=(3 ;-4)$.
Vậy phương trình tiếp tuyến $\Delta$ của đường tròn $(C)$ là:
$$3(x-4)-4(y+2)=0 \Leftrightarrow 3 x-4 y-20=0$$
Luyện tập 4 trang 46
Cho đường tròn $(C): x^2+y^2-2 x+4 y+1=0$. Viết phương trình tiếp tuyến $\Delta$ của $(C)$ tại điểm $N(1 ; 0)$.
Phương pháp giải:
Đường thẳng $\Delta$ đi qua $\mathrm{N}$ và có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{I N}$.
Đường thẳng $\Delta$ đi qua $\mathrm{N}$ và có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{I N}$.
Lời giải chi tiết:
Đường tròn $(C)$ có tâm $I(1 ;-2)$. Đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $N(1 ; 0)$ nhận $\overrightarrow{I N}=(0 ; 2)$ làm vecto pháp tuyến là $y=0$.
Đường tròn $(C)$ có tâm $I(1 ;-2)$. Đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $N(1 ; 0)$ nhận $\overrightarrow{I N}=(0 ; 2)$ làm vecto pháp tuyến là $y=0$.
Giải bài tập vận dụng trang 46, 47 SGK Toán 10 bài 21
Phần tiếp theo sẽ cung cấp cho các bạn phương pháp cùng lời giải trong phần bài tập trang 48, 47 cực kỳ dễ hiểu và chi tiết. Cùng HocThatGioi rèn luyện và nâng cao kỹ năng giải quyết các vấn đề thực tế thông qua các phương pháp, công thức toán học từ bài Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ ở trên.
Bài tập 7.13 trang 46
Tìm tâm và bán kính của đường tròn $(x+3)^2+(y-3)^2=36$.
Phương pháp giải:
Phương trình $(C)(x-a)^2+(y-b)^2=R^2$ có tâm $I(a ; b)$ và bán kính $R$.
Phương trình $(C)(x-a)^2+(y-b)^2=R^2$ có tâm $I(a ; b)$ và bán kính $R$.
Lời giải chi tiết:
Phương trình của $(C)$ là: $(x-(-3))^2+(y-3)^2=6^2$. Vậy $(C)$ có tâm $I(-3 ; 3)$ và $R=6$
Phương trình của $(C)$ là: $(x-(-3))^2+(y-3)^2=6^2$. Vậy $(C)$ có tâm $I(-3 ; 3)$ và $R=6$
Bài tập 7.14 trang 47
Hãy cho biết phương trình nào dưới đây là phương trình của một đường tròn và tìm tâm, bán kính của đường tròn tương ứng.
a) $x^{2}+y^{2}+x y+4 x-2=0$
b) $x^{2}+y^{2}-2 x-4 y+5=0$
c) $x^{2}+y^{2}+6 x-8 y+1=0$
a) $x^{2}+y^{2}+x y+4 x-2=0$
b) $x^{2}+y^{2}-2 x-4 y+5=0$
c) $x^{2}+y^{2}+6 x-8 y+1=0$
Lời giải chi tiết:
a) Phương trình $x^2+y^2+x y+4 x-2=0$ không có dạng $x^2+y^2-2 a x-2 b y+c=0$ với a, b, c là các số thực nên đây không phải phương trình đường tròn.
b) $x^2+y^2-2 x-4 y+5=0$
$\Leftrightarrow x^2+y^2-2.1.x-2.2.y+5=0$.
Các hệ số: $a=1, b=2, c=5$.
Ta có: $a^2+b^2-c=1^2+2^2-5=0$ nên đây cũng không phải phương trình đường tròn.
c) $x^2+y^2+6 x-8 y+1=0$
$\Leftrightarrow x^2+y^2-2.(-3). x-2.4.y+1=0$.
Các hệ số: $a=-3, b=4, c=1$.
Ta có: $a^2+b^2-c=(-3)^2+4^2-1=24>0$ nên đây là phương trình đường tròn.
Đường tròn này có tâm $\mathrm{I}(-3 ; 4)$ và bán kính $\mathrm{R}=\sqrt{24}=2 \sqrt{6}$
a) Phương trình $x^2+y^2+x y+4 x-2=0$ không có dạng $x^2+y^2-2 a x-2 b y+c=0$ với a, b, c là các số thực nên đây không phải phương trình đường tròn.
b) $x^2+y^2-2 x-4 y+5=0$
$\Leftrightarrow x^2+y^2-2.1.x-2.2.y+5=0$.
Các hệ số: $a=1, b=2, c=5$.
Ta có: $a^2+b^2-c=1^2+2^2-5=0$ nên đây cũng không phải phương trình đường tròn.
c) $x^2+y^2+6 x-8 y+1=0$
$\Leftrightarrow x^2+y^2-2.(-3). x-2.4.y+1=0$.
Các hệ số: $a=-3, b=4, c=1$.
Ta có: $a^2+b^2-c=(-3)^2+4^2-1=24>0$ nên đây là phương trình đường tròn.
Đường tròn này có tâm $\mathrm{I}(-3 ; 4)$ và bán kính $\mathrm{R}=\sqrt{24}=2 \sqrt{6}$
Bài tập 7.15 trang 46
Viết phương trình của đường tròn $(\mathrm{C})$ trong mỗi trường hợp sau:
a) Có tâm $\mathrm{I}(-2 ; 5)$ và bán kính $\mathrm{R}=7$;
b) Có tâm $\mathrm{I}(1 ;-2)$ và đi qua điểm $\mathrm{A}(-2,2)$;
c) Có đường kính $\mathrm{AB}$, với $\mathrm{A}(-1 ;-3), \mathrm{B}(-3 ; 5)$;
d) Có tâm I(1; 3$)$ và tiếp xúc với đường thẳng $x+2 y+3=0$.
a) Có tâm $\mathrm{I}(-2 ; 5)$ và bán kính $\mathrm{R}=7$;
b) Có tâm $\mathrm{I}(1 ;-2)$ và đi qua điểm $\mathrm{A}(-2,2)$;
c) Có đường kính $\mathrm{AB}$, với $\mathrm{A}(-1 ;-3), \mathrm{B}(-3 ; 5)$;
d) Có tâm I(1; 3$)$ và tiếp xúc với đường thẳng $x+2 y+3=0$.
Phương pháp giải:
a) Đường tròn có tâm $I(a ; b)$ và bán kính $\mathrm{R}$ có phương trình là: $(x-a)^2+(y-b)^2=R^2$
b) $(C)$ có tâm I và bán kính $R=I A$.
c) $(C)$ có tâm I là trung điểm $\mathrm{AB}$ và bán kính $R=\frac{A B}{2}$.
d) $(C)$ có tâm $I(1 ; 3)$ và bán kính $R=d(I, \Delta)$.
a) Đường tròn có tâm $I(a ; b)$ và bán kính $\mathrm{R}$ có phương trình là: $(x-a)^2+(y-b)^2=R^2$
b) $(C)$ có tâm I và bán kính $R=I A$.
c) $(C)$ có tâm I là trung điểm $\mathrm{AB}$ và bán kính $R=\frac{A B}{2}$.
d) $(C)$ có tâm $I(1 ; 3)$ và bán kính $R=d(I, \Delta)$.
Lời giải chi tiết:
a) Phương trình đường tròn $(C)$ là: $(x+2)^2+(y-5)^2=49$.
b) Bán kính đường tròn là: $R=I A=\sqrt{(-2-1)^2+(2-(-2))^2}=5$
Phương trình đường tròn là: $(x-1)^2+(y+2)^2=25$
c) Gọi $I(a ; b)$ là trung điểm $\mathrm{AB}$.
Vậy tọa độ điểm I là: $I(-2 ; 1)$
Bán kính đường tròn là: $$R=I A=\sqrt{(-1+2)^2+(-3-1)^2}=\sqrt{17}$$
Phương trình đường tròn là: $(x+2)^2+(y-1)^2=17$
d) Bán kính đường tròn là: $R=\frac{|1+2.3+3|}{\sqrt{1^2+2^2}}=2 \sqrt{5}$
Phương trình đường tròn là: $(x-1)^2+(y-3)^2=20$
a) Phương trình đường tròn $(C)$ là: $(x+2)^2+(y-5)^2=49$.
b) Bán kính đường tròn là: $R=I A=\sqrt{(-2-1)^2+(2-(-2))^2}=5$
Phương trình đường tròn là: $(x-1)^2+(y+2)^2=25$
c) Gọi $I(a ; b)$ là trung điểm $\mathrm{AB}$.
Vậy tọa độ điểm I là: $I(-2 ; 1)$
Bán kính đường tròn là: $$R=I A=\sqrt{(-1+2)^2+(-3-1)^2}=\sqrt{17}$$
Phương trình đường tròn là: $(x+2)^2+(y-1)^2=17$
d) Bán kính đường tròn là: $R=\frac{|1+2.3+3|}{\sqrt{1^2+2^2}}=2 \sqrt{5}$
Phương trình đường tròn là: $(x-1)^2+(y-3)^2=20$
Bài tập 7.16 trang 47
Trong mặt phẳng toạ độ, cho tam giác $A B C$, với $A(6 ;-2), B(4 ; 2), C(5 ;-5)$. Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác đó.
Lời giải chi tiết:
Giả sử tâm đường tròn là điểm $I(a ; b)$.
Ta có: $I A=I B=I C \Leftrightarrow I A^2=I B^2=I C^2$
Vì $I A^2=I B^2, I B^2=I C^2$ nên:
\begin{cases} (6-a)^2 + (-2-b)^2 \\ (4-a)^2 + (2-b)^2 \\ \end{cases}= \begin{cases} (4-a)^2 + (2-b)^2 \\ (5-a)^2 + (-5-b)^2 \\ \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases}a=1 \\ b=-2 \\ \end{cases}
Vậy $I(1 ;-2)$ và $R=I A=\sqrt{(1-6)^2+(-2+2)^2}=5$
Vậy phương trình đường tròn đị qua 3 điểm $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}$ là: $(x-1)^2+(y+2)^2=25$
Cách 2:
Gọi phương trình đường tròn cần tìm là (C): $x^2+y^2+2 a x+2 b y+c=0\left(a^2+b^2-c>0\right)$ $A(6 ;-2), B(4 ; 2), C(5 ;-5)$ thuộc (C) nên ta có:
\begin{cases} 3 6 + 4 + 1 2 a – 4 b + c = 0 \\ 1 6 + 4 + 8 a + 4 b + c = 0 \\ 2 5 + 2 5 + 1 0 a – 1 0 b + c = 0 \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} 1 2 a – 4 b + c = – 4 0 \\ 8 a + 4 b + c = – 2 0 \\ 1 0 a – 1 0 b + c = – 5 0 \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} a=-1 \\ b=2\text { (thỏamãn) } \\ c=-20\end{cases}
Vậy phương trình đường tròn đi qua 3 điểm $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{Cl}$ là: $x^2+y^2-2 x+4 y-20=0$ hay $(x-1)^2+(y+2)^2=25$
Giả sử tâm đường tròn là điểm $I(a ; b)$.
Ta có: $I A=I B=I C \Leftrightarrow I A^2=I B^2=I C^2$
Vì $I A^2=I B^2, I B^2=I C^2$ nên:
\begin{cases} (6-a)^2 + (-2-b)^2 \\ (4-a)^2 + (2-b)^2 \\ \end{cases}= \begin{cases} (4-a)^2 + (2-b)^2 \\ (5-a)^2 + (-5-b)^2 \\ \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases}a=1 \\ b=-2 \\ \end{cases}
Vậy $I(1 ;-2)$ và $R=I A=\sqrt{(1-6)^2+(-2+2)^2}=5$
Vậy phương trình đường tròn đị qua 3 điểm $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}$ là: $(x-1)^2+(y+2)^2=25$
Cách 2:
Gọi phương trình đường tròn cần tìm là (C): $x^2+y^2+2 a x+2 b y+c=0\left(a^2+b^2-c>0\right)$ $A(6 ;-2), B(4 ; 2), C(5 ;-5)$ thuộc (C) nên ta có:
\begin{cases} 3 6 + 4 + 1 2 a – 4 b + c = 0 \\ 1 6 + 4 + 8 a + 4 b + c = 0 \\ 2 5 + 2 5 + 1 0 a – 1 0 b + c = 0 \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} 1 2 a – 4 b + c = – 4 0 \\ 8 a + 4 b + c = – 2 0 \\ 1 0 a – 1 0 b + c = – 5 0 \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} a=-1 \\ b=2\text { (thỏamãn) } \\ c=-20\end{cases}
Vậy phương trình đường tròn đi qua 3 điểm $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{Cl}$ là: $x^2+y^2-2 x+4 y-20=0$ hay $(x-1)^2+(y+2)^2=25$
Bài tập 7.17 trang 47
Cho đường tròn $(C): x^2+y^2+2 x-4 y+4=0$. Viết phương trình tiếp tuyến d của (C) tại điếm $\mathrm{M}(0 ; 2)$.
Phương pháp giải:
Tiếp tuyến $d$ đi qua M và có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{I M}$.
Tiếp tuyến $d$ đi qua M và có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{I M}$.
Lời giải chi tiết:
Đường tròn $(C)$ có tâm $I(-1 ; 2)$.
Đường thẳng $d$ đi qua điểm $M(0 ; 2)$ nhận $\overrightarrow{I M}=(1 ; 0)$ làm vectơ pháp tuyến có phương trình là $x=0$.
Đường tròn $(C)$ có tâm $I(-1 ; 2)$.
Đường thẳng $d$ đi qua điểm $M(0 ; 2)$ nhận $\overrightarrow{I M}=(1 ; 0)$ làm vectơ pháp tuyến có phương trình là $x=0$.
Bài tập 7.18 trang 47
Chuyển động của một vật thể trong khoảng thời gian 180 phút được thể hiện trong mặt phẳng toạ độ. Theo đó, tại thời điểm $t(0 \leq t \leq 180)$ vật thể ở vị trí có toạ độ $\left(2+\sin t^{\circ} ; 4+\cos ^{\circ}\right)$.
a) Tìm vị trí ban đầu và vị trí kết thúc của vật thể.
b) Tìm quỹ đạo chuyển động của vật thể.
a) Tìm vị trí ban đầu và vị trí kết thúc của vật thể.
b) Tìm quỹ đạo chuyển động của vật thể.
Phương pháp giải:
a) Thay $t=0$ và $t=180$ để tìm tọa độ của chất điểm .
b) Khử $t$ bằng cách sử dụng đẳng thức $\left(\sin t^o\right)^2+\left(\cos t^o\right)^2=1$.
a) Thay $t=0$ và $t=180$ để tìm tọa độ của chất điểm .
b) Khử $t$ bằng cách sử dụng đẳng thức $\left(\sin t^o\right)^2+\left(\cos t^o\right)^2=1$.
Lời giải chi tiết:
a) Vị trí ban đầu ứng với $t=0$, suy ra vật thể ở vị trí có tọa độ là $A(2 ; 5)$.
Vị trí kết thúc ứng với $t=180$, suy ra vật thể ở vị trí có tọa độ là $B(2 ; 3)$.
b) Từ đẳng thức $\left(\sin t^o\right)^2+\left(\cos t^o\right)^2=1$ ta suy ra $\left(x_M-2\right)^2+\left(y_M-4\right)^2=1$
Do đó, M thuộc đường tròn $(C)$ có phương trình $(x-2)^2+(y-4)^2=1$
Đường tròn có tâm $I(2 ; 4)$, bán kính $R=1$ và nhận $A B$ làm đường kính.
Khi $t \in[0 ; 180]$ thì $\sin t \in[0 ; 1]$ và $\cos t \in[-1 ; 1]$.
Do đó, $2+\sin t^o \in[2 ; 3]$ và $4+\cos t^{\circ} \in[3 ; 5]$.
Vậy quỹ đạo của vật thể là nửa đường tròn đường kính $\mathrm{AB}$ vẽ trên nửa mặt phẳng chứa điểm $C(3 ; 0)$ bờ $\mathrm{AB}$.
a) Vị trí ban đầu ứng với $t=0$, suy ra vật thể ở vị trí có tọa độ là $A(2 ; 5)$.
Vị trí kết thúc ứng với $t=180$, suy ra vật thể ở vị trí có tọa độ là $B(2 ; 3)$.
b) Từ đẳng thức $\left(\sin t^o\right)^2+\left(\cos t^o\right)^2=1$ ta suy ra $\left(x_M-2\right)^2+\left(y_M-4\right)^2=1$
Do đó, M thuộc đường tròn $(C)$ có phương trình $(x-2)^2+(y-4)^2=1$
Đường tròn có tâm $I(2 ; 4)$, bán kính $R=1$ và nhận $A B$ làm đường kính.
Khi $t \in[0 ; 180]$ thì $\sin t \in[0 ; 1]$ và $\cos t \in[-1 ; 1]$.
Do đó, $2+\sin t^o \in[2 ; 3]$ và $4+\cos t^{\circ} \in[3 ; 5]$.
Vậy quỹ đạo của vật thể là nửa đường tròn đường kính $\mathrm{AB}$ vẽ trên nửa mặt phẳng chứa điểm $C(3 ; 0)$ bờ $\mathrm{AB}$.
Cảm ơn các bạn đã theo dõi bài viết của HocThatGioi về Giải SGK bài Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ Chương phương pháp tọa độ trong mặt phẳng Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 ở các trang 43, 44, 45, 46, 47. Hi vọng các bạn sẽ có một buổi thú vị và học được nhiều điều bổ ích. Chúc các bạn học tốt!
