SGK Toán 10 - Chân Trời Sáng Tạo
Giải SGK bài Đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ Toán 10 Chân trời sáng tạo
Trong bài này, HocThatGioi sẽ giúp các bạn giải đáp những câu hỏi cũng như bài tập trong bài Đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ. Đây là bài học thuộc Bài 2 chương 9 sách Toán 10 Chân trời sáng tạo ở các trang 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58. Hi vọng các bạn có thể hiểu được trọn vẹn bài học sau khi xem hết các phương pháp giải và lời giải cực chi tiết mà HocThatGioi trình bày bên dưới.
Trả lời câu hỏi SGK bài Đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ
Cùng HocThatGioi đi tìm đáp án cho các hoạt động khởi động, thực hành và vận dụng ở các trang 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57 trong bài Đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ ở ngay bên dưới nhé!
Hoạt động khởi động trang 46
Tìm các giá trị của tham số $a, b$, c để phương trình $a x+b y+c=0$ có thể biểu diễn được các đường thẳng trong hình dưới đây.
Lời giải chi tiết:
+) Hình 1: $y=2 x+3 \Rightarrow y-2 x-3=0$
Vậy $a=-1, b=1, c=-3$
+) Hình 2: $y=-x+1 \Rightarrow y+x-1=0$
Vậy $a=1, b=1, c=-1$
+) Hình 3: $y=3 \Rightarrow y-3=0$
Vậy $a=0, b=1, c=-3$
+ Hình 4: $x=-2 \Rightarrow x+2=0$
Vậy $a=1, b=0, c=2$
+) Hình 1: $y=2 x+3 \Rightarrow y-2 x-3=0$
Vậy $a=-1, b=1, c=-3$
+) Hình 2: $y=-x+1 \Rightarrow y+x-1=0$
Vậy $a=1, b=1, c=-1$
+) Hình 3: $y=3 \Rightarrow y-3=0$
Vậy $a=0, b=1, c=-3$
+ Hình 4: $x=-2 \Rightarrow x+2=0$
Vậy $a=1, b=0, c=2$
Hoạt động khám phá 1 trang 46
Trong mặt phẳng $O x y$, cho đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $M_{0}\left(x_{0} ; y_{0}\right)$ và cho hai vectơ $\vec{n}=(a ; b)$ và $\vec{u}=(b ;-a)$ khác vectơ-không. Cho biết $\vec{u}$ có giá song song hoặc trùng với $\Delta$.
a) Tính tích vô hướng $\vec{n} \cdot \vec{u}$ và nêu nhận xét về phương của hai vectơ $\vec{n}, \vec{u}$.
b) Gọi $M(x ; y)$ là điểm di động trên $\Delta$. Chứng tỏ rằng vectơ $\overrightarrow{M_{0} M}$ luôn củng phương với vectơ $\vec{u}$ và luôn vuông góc với vectơ $\vec{n}$.
a) Tính tích vô hướng $\vec{n} \cdot \vec{u}$ và nêu nhận xét về phương của hai vectơ $\vec{n}, \vec{u}$.
b) Gọi $M(x ; y)$ là điểm di động trên $\Delta$. Chứng tỏ rằng vectơ $\overrightarrow{M_{0} M}$ luôn củng phương với vectơ $\vec{u}$ và luôn vuông góc với vectơ $\vec{n}$.
Phương pháp giải:
a)
+) Áp dụng ứng dụng biểu thức tọa độ của vectơ tính tích vô hướng
+) Dựa vào kết quả tích vô hướng các định phương (bằng 0 thì vuông góc)
b)
+) Xác định tỉ lệ giũa các tọa độ của hai vectơ để so sánh về phương
+) Tính tích vô hướng để chứng minh vuông góc
a)
+) Áp dụng ứng dụng biểu thức tọa độ của vectơ tính tích vô hướng
+) Dựa vào kết quả tích vô hướng các định phương (bằng 0 thì vuông góc)
b)
+) Xác định tỉ lệ giũa các tọa độ của hai vectơ để so sánh về phương
+) Tính tích vô hướng để chứng minh vuông góc
Lời giải chi tiết:
a) Ta có $\vec{n} \cdot \vec{u}=a \cdot b+b \cdot(-a)=0$
Tích vô hướng bằng 0 nên hai vectơ $\vec{n}, \vec{u}$ có phương vuông góc với nhau
b) Vectơ $\overrightarrow{M_0 M}$ có giá là đường thẳng $\Delta$
=> luôn cùng phương với vectơ $\vec{u}$
=> vectơ $\overrightarrow{M_0 M}$ có phương vuông góc với vectơ $\vec{n}$
a) Ta có $\vec{n} \cdot \vec{u}=a \cdot b+b \cdot(-a)=0$
Tích vô hướng bằng 0 nên hai vectơ $\vec{n}, \vec{u}$ có phương vuông góc với nhau
b) Vectơ $\overrightarrow{M_0 M}$ có giá là đường thẳng $\Delta$
=> luôn cùng phương với vectơ $\vec{u}$
=> vectơ $\overrightarrow{M_0 M}$ có phương vuông góc với vectơ $\vec{n}$
Hoạt động khám phá 2 trang 47
Trong mặt phẳng $O x y$, cho đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $M_{0}\left(x_{0} ; y_{0}\right)$ và nhận $\vec{u}=\left(u_{1} ; u_{2}\right)$ làm vectơ chỉ phương. Với mỗi điểm $M(x ; y)$ thuộc $\Delta$, tìm toạ độ của $M$ theo toạ độ của $M_{0}$ và $\vec{u}$.
Phương pháp giải:
M \text { và } M_0 \text { thuộc } \Delta \text { nên } \overrightarrow{M M}_0 \text { làm vectơ chỉ phương }
M \text { và } M_0 \text { thuộc } \Delta \text { nên } \overrightarrow{M M}_0 \text { làm vectơ chỉ phương }
Lời giải chi tiết:
$\overrightarrow{M M}_0=\left(x_0-x ; y_0-y\right)$ mà $\Delta$ nhận $\overrightarrow{M M}_0$ làm vectơ chỉ phương nên ta có:
\left\{\begin{array} { l } { x _ { 0 } – x = u _ { 1 } } \\ { y _ { 0 } – y = u _ { 2 } } \end{array} \Rightarrow \left\{\begin{array}{l} x=x_0-u_1 \\ y=y_0-u_2 \end{array}\right.\right. \\ \text { Vậy } M\left(x_0-u_1 ; y_0-u_2\right)
$\overrightarrow{M M}_0=\left(x_0-x ; y_0-y\right)$ mà $\Delta$ nhận $\overrightarrow{M M}_0$ làm vectơ chỉ phương nên ta có:
\left\{\begin{array} { l } { x _ { 0 } – x = u _ { 1 } } \\ { y _ { 0 } – y = u _ { 2 } } \end{array} \Rightarrow \left\{\begin{array}{l} x=x_0-u_1 \\ y=y_0-u_2 \end{array}\right.\right. \\ \text { Vậy } M\left(x_0-u_1 ; y_0-u_2\right)
Thực hành 1 trang 47
a) Viết phương trình tham số của đường thẳng $d$ đi qua điểm $B(-9 ; 5)$ và nhận $\vec{v}=(8 ;-4)$ làm vectơ chỉ phương.
b) Tìm toạ độ điểm $P$ trên $\Delta$, biết $P$ có tung độ bằng 1 .
b) Tìm toạ độ điểm $P$ trên $\Delta$, biết $P$ có tung độ bằng 1 .
Lời giải chi tiết:
a) Phương trình tham số của đường thẳng $d:\left\{\begin{array}{l}x=-9+8 t \\ y=5-4 t\end{array}\right.$
b) Thay $y=1$ vào phương trình $y=5-4 t$ ta được $1=5-4 t \Rightarrow t=1$
Thay $t=1$ vào phương trình $x=-9+8 t$, ta được $x=-1$
Vậy $P(-1 ; 1)$
a) Phương trình tham số của đường thẳng $d:\left\{\begin{array}{l}x=-9+8 t \\ y=5-4 t\end{array}\right.$
b) Thay $y=1$ vào phương trình $y=5-4 t$ ta được $1=5-4 t \Rightarrow t=1$
Thay $t=1$ vào phương trình $x=-9+8 t$, ta được $x=-1$
Vậy $P(-1 ; 1)$
Vận dụng 1 trang 48
Một trò chơi đua xe ô tô vượt sa mạc trên máy tính đã xác định trước một hệ trục toạ độ $O x y$. Cho biết một ô tô chuyển động thẳng đều từ điểm $M(1 ; 1)$ với vectơ vận tốc $\vec{v}=(40 ; 30)$.
a) Viết phương trình tham số của đường thẳng $d$ biễu diễn đường đi của ô tô.
b) Tìm toạ độ của xe ứng với $t=2 ; t=4$.
a) Viết phương trình tham số của đường thẳng $d$ biễu diễn đường đi của ô tô.
b) Tìm toạ độ của xe ứng với $t=2 ; t=4$.
Lời giải chi tiết:
a) Phương trình tham số của đường thẳng $d:\left\{\begin{array}{l}x=1+40 t \\ y=1+30 t\end{array}\right.$
b) Thay $t=2$ vào phương trình d$:\left\{\begin{array}{l}x=1+40 t \\ y=1+30 t\end{array}\right.$ ta được $\left\{\begin{array}{l}x=1+40.2=81 \\ y=1+30.2=61\end{array}\right.$
Vậy khi $t=2$ thì tọa độ của ô tô là $(81 ; 61)$
Thay $t=4$ vào phương trìnhd $:\left\{\begin{array}{l}x=1+40 t \\ y=1+30 t\end{array}\right.$ ta được $\left\{\begin{array}{l}x=1+40.4=161 \\ y=1+30.4=121\end{array}\right.$
Vậy khi $t=4$ thì tọa độ của ô tô là $(161 ; 121)$
a) Phương trình tham số của đường thẳng $d:\left\{\begin{array}{l}x=1+40 t \\ y=1+30 t\end{array}\right.$
b) Thay $t=2$ vào phương trình d$:\left\{\begin{array}{l}x=1+40 t \\ y=1+30 t\end{array}\right.$ ta được $\left\{\begin{array}{l}x=1+40.2=81 \\ y=1+30.2=61\end{array}\right.$
Vậy khi $t=2$ thì tọa độ của ô tô là $(81 ; 61)$
Thay $t=4$ vào phương trìnhd $:\left\{\begin{array}{l}x=1+40 t \\ y=1+30 t\end{array}\right.$ ta được $\left\{\begin{array}{l}x=1+40.4=161 \\ y=1+30.4=121\end{array}\right.$
Vậy khi $t=4$ thì tọa độ của ô tô là $(161 ; 121)$
Hoạt động khám phá 3 trang 48
Trong mặt phẳng $O x y$, cho đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $M_{0}\left(x_{0} ; y_{0}\right)$ và nhận $\vec{n}=(a ; b)$ làm vectơ pháp tuyến. Với mỗi điểm $M(x ; y)$ thuộc $\Delta$, chứng tỏ rằng điểm $M(x ; y)$ có toạ độ thoả mãn phương trình: a x+b y+c=0\left(\text { với } c=-a x_{0}-b y_{0}\right) .
Phương pháp giải:
Bước 1: Tìm tọa độ điểm $M$ qua $M_0$ và $a, b$
Bước 2 : Thay vào phương trình
Bước 1: Tìm tọa độ điểm $M$ qua $M_0$ và $a, b$
Bước 2 : Thay vào phương trình
Lời giải chi tiết:
$\Delta$ nhận vectơ $\vec{n}=(a ; b)$ làm vectơ pháp tuyến, suy ra vectơ chỉ phương của $\Delta$ là $\vec{u}=(b ;-a)$
$M$ và $M_0$ thuộc đường thẳng $\Delta$ nên $\Delta$ nhận $\overrightarrow{M M}_0$ làm vectơ chỉ phương
\overrightarrow{M M}_0=\left(x_0-x ; y_0-y\right) \text {, suy ra } \\ \left\{\begin{array} { l } { x _ { 0 } – x = b } \\ { y _ { 0 } – y = – a } \end{array} \Rightarrow \left\{\begin{array}{l} x=x_0-b \\ y=y_0+a \end{array}\right.\right. \\ \text { Suy ra } M\left(x_0-u_1 ; y_0-u_2\right)
Thay tọa độ điểm $M$ vào phương trình $a x+b y+c=0$ ta có:
a\left(x_0-b\right)+b\left(y_0+a\right)+c=(-a b+b a)+\left(a x_0+b y_0+c\right) =0 \\ \left.\quad \text { (đúng vì }-a x_0-b y_0=c\right)
Vậy $M(x ; y)$ thỏa mãn phương trình đã cho
$\Delta$ nhận vectơ $\vec{n}=(a ; b)$ làm vectơ pháp tuyến, suy ra vectơ chỉ phương của $\Delta$ là $\vec{u}=(b ;-a)$
$M$ và $M_0$ thuộc đường thẳng $\Delta$ nên $\Delta$ nhận $\overrightarrow{M M}_0$ làm vectơ chỉ phương
\overrightarrow{M M}_0=\left(x_0-x ; y_0-y\right) \text {, suy ra } \\ \left\{\begin{array} { l } { x _ { 0 } – x = b } \\ { y _ { 0 } – y = – a } \end{array} \Rightarrow \left\{\begin{array}{l} x=x_0-b \\ y=y_0+a \end{array}\right.\right. \\ \text { Suy ra } M\left(x_0-u_1 ; y_0-u_2\right)
Thay tọa độ điểm $M$ vào phương trình $a x+b y+c=0$ ta có:
a\left(x_0-b\right)+b\left(y_0+a\right)+c=(-a b+b a)+\left(a x_0+b y_0+c\right) =0 \\ \left.\quad \text { (đúng vì }-a x_0-b y_0=c\right)
Vậy $M(x ; y)$ thỏa mãn phương trình đã cho
Thực hành 2 trang 49
Viết phương trình tham số và phương trình tổng quát của đường thẳng $\Delta$ trong các trường hợp sau:
a) Đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $A(1 ; 1)$ và có vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(3 ; 5)$;
b) Đường thẳng $\Delta$ đi qua gốc toạ độ $O(0 ; 0)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u}=(2 ;-7)$;
c) Đường thẳng $\Delta$ đi qua hai điểm $M(4 ; 0), N(0 ; 3)$.
a) Đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $A(1 ; 1)$ và có vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(3 ; 5)$;
b) Đường thẳng $\Delta$ đi qua gốc toạ độ $O(0 ; 0)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u}=(2 ;-7)$;
c) Đường thẳng $\Delta$ đi qua hai điểm $M(4 ; 0), N(0 ; 3)$.
Lời giải chi tiết:
a) Đường thẳng $\Delta$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(3 ; 5)$ nên có vectơ chỉ phương $\vec{u}=(5 ;-3)$, nên ta có phương trình tham số của $\Delta$ là :
\left\{\begin{array}{l} x=1+5 t \\ y=1-3 t \end{array}\right.
Đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $A(1 ; 1)$ và có vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(3 ; 5)$
Phương trình tổng quát của đường thẳng $d$ là: 3(x-1)+5(y-1)=0 \Leftrightarrow 3 x+5 y-8=0
b) Đường thẳng $\Delta$ đi qua gốc tọa độ $O(0 ; 0)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u}=(2 ;-7)$, nên có phương trình tham số là:
\left\{\begin{array}{l} x=2 t \\ y=-7 t \end{array}\right.
Đường thẳng $\Delta$ có vectơ chỉ phương $\vec{u}=(2 ;-7)$, nên có vectơ pháp tuyền là $\vec{n}=(7 ; 2)$ và đi qua $O(0 ; 0)$
Ta có phương trình tổng quát là:
7(x-0)+2(y-0)=0 \Leftrightarrow 7 x+2 y=0
c) Đường thẳng $\Delta$ đi qua hai điểm $M(4 ; 0), N(0 ; 3)$ nên có vectơ chỉ phương $\vec{u}=\overrightarrow{M N}=(-4 ; 3)$ và có vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(3 ; 4)$
Phương trình tham số của $\Delta$ là: $\left\{\begin{array}{l}x=4-4 t \\ y=3 t\end{array}\right.$
Phương trình tổng quát của $\Delta$ là:
3(x-4)+4(x-0)=0 \Leftrightarrow 3 x+4 y-12=0
a) Đường thẳng $\Delta$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(3 ; 5)$ nên có vectơ chỉ phương $\vec{u}=(5 ;-3)$, nên ta có phương trình tham số của $\Delta$ là :
\left\{\begin{array}{l} x=1+5 t \\ y=1-3 t \end{array}\right.
Đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $A(1 ; 1)$ và có vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(3 ; 5)$
Phương trình tổng quát của đường thẳng $d$ là: 3(x-1)+5(y-1)=0 \Leftrightarrow 3 x+5 y-8=0
b) Đường thẳng $\Delta$ đi qua gốc tọa độ $O(0 ; 0)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u}=(2 ;-7)$, nên có phương trình tham số là:
\left\{\begin{array}{l} x=2 t \\ y=-7 t \end{array}\right.
Đường thẳng $\Delta$ có vectơ chỉ phương $\vec{u}=(2 ;-7)$, nên có vectơ pháp tuyền là $\vec{n}=(7 ; 2)$ và đi qua $O(0 ; 0)$
Ta có phương trình tổng quát là:
7(x-0)+2(y-0)=0 \Leftrightarrow 7 x+2 y=0
c) Đường thẳng $\Delta$ đi qua hai điểm $M(4 ; 0), N(0 ; 3)$ nên có vectơ chỉ phương $\vec{u}=\overrightarrow{M N}=(-4 ; 3)$ và có vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(3 ; 4)$
Phương trình tham số của $\Delta$ là: $\left\{\begin{array}{l}x=4-4 t \\ y=3 t\end{array}\right.$
Phương trình tổng quát của $\Delta$ là:
3(x-4)+4(x-0)=0 \Leftrightarrow 3 x+4 y-12=0
Vận dụng 2 trang 49
Một người đang lập trình một trò chơi trên máy tính. Trên màn hình máy tính đã xác định trước một hệ trục toạ độ $O x y$. Người đó viết lệnh để một điểm $M(x ; y)$ từ vị trí $A(1 ; 2)$ chuyển động thẳng đều với vectơ vận tốc $\vec{v}=(3 ;-4)$.
a) Viết phương trình tổng quát của đường thẳng $\Delta$ biểu diễn đường đi của điểm $M$.
b) Tìm toạ độ của điểm $M$ khi $\Delta$ cắt trục hoành.
a) Viết phương trình tổng quát của đường thẳng $\Delta$ biểu diễn đường đi của điểm $M$.
b) Tìm toạ độ của điểm $M$ khi $\Delta$ cắt trục hoành.
Phương pháp giải:
a) Từ vectơ chỉ phương tìm vectơ pháp tuyến và viết phương trình tổng quát
VTCP $(a ; b)=>$ VTPT: $(-b ; a)$ hoặc $(b ;-a)$
b) $M$ thuộc trục hoành thì $M$ có tọa độ $(\mathrm{m} ; 0)$
a) Từ vectơ chỉ phương tìm vectơ pháp tuyến và viết phương trình tổng quát
VTCP $(a ; b)=>$ VTPT: $(-b ; a)$ hoặc $(b ;-a)$
b) $M$ thuộc trục hoành thì $M$ có tọa độ $(\mathrm{m} ; 0)$
Lời giải chi tiết:
a) Đường thẳng $\Delta$ có vectơ chỉ phương $\vec{v}=(3 ;-4)$,nên có vectơ pháp tuyền là $\vec{n}=(4 ; 3)$ và đi qua $A(1 ; 2)$
Ta có phương trình tổng quát là $4(x-1)+3(y-2)=0 \Leftrightarrow 4 x+3 y-10=0$
b) Điểm $M$ thuộc trục hoành nên tung độ bằng 0
Thay $y=0$ vào phương trình $4 x+3 y-10=0$ ta tìm được $x=\frac{5}{2}$
Vậy $\Delta$ cắt trục hoành tại điểm $M\left(\frac{5}{2} ; 0\right)$
a) Đường thẳng $\Delta$ có vectơ chỉ phương $\vec{v}=(3 ;-4)$,nên có vectơ pháp tuyền là $\vec{n}=(4 ; 3)$ và đi qua $A(1 ; 2)$
Ta có phương trình tổng quát là $4(x-1)+3(y-2)=0 \Leftrightarrow 4 x+3 y-10=0$
b) Điểm $M$ thuộc trục hoành nên tung độ bằng 0
Thay $y=0$ vào phương trình $4 x+3 y-10=0$ ta tìm được $x=\frac{5}{2}$
Vậy $\Delta$ cắt trục hoành tại điểm $M\left(\frac{5}{2} ; 0\right)$
Thực hành 3 trang 51
Tìm các hàm số bậc nhất có đồ thị là các đường thẳng trong $Z_{2}$.
Lời giải chi tiết:
a) Ta có $3 x+5 y-8=0 \Leftrightarrow y=\frac{8}{5}-\frac{3}{5} x$
Vậy hàm số bậc ứng với đường thẳng $3 x+5 y-8=0$ là $y=\frac{8}{5}-\frac{3}{5} x$
b) Ta có $7 x+2 y=0 \Leftrightarrow y=-\frac{7}{2} x$
Vậy hàm số bậc ứng với đường thẳng $7 x+2 y=0$ là $y=-\frac{7}{2} x$
c) Ta có $3 x+4 y-12=0 \Leftrightarrow y=3-\frac{3}{4} x$
Vậy hàm số bậc ứng với đường thẳng $3 x+4 y-12=0$ là $y=3-\frac{3}{4} x$
a) Ta có $3 x+5 y-8=0 \Leftrightarrow y=\frac{8}{5}-\frac{3}{5} x$
Vậy hàm số bậc ứng với đường thẳng $3 x+5 y-8=0$ là $y=\frac{8}{5}-\frac{3}{5} x$
b) Ta có $7 x+2 y=0 \Leftrightarrow y=-\frac{7}{2} x$
Vậy hàm số bậc ứng với đường thẳng $7 x+2 y=0$ là $y=-\frac{7}{2} x$
c) Ta có $3 x+4 y-12=0 \Leftrightarrow y=3-\frac{3}{4} x$
Vậy hàm số bậc ứng với đường thẳng $3 x+4 y-12=0$ là $y=3-\frac{3}{4} x$
Vận dụng 3 trang 51
Một người bắt đầu mở một vòi nước. Nước từ vòi chảy với tốc độ là $2 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{h}$ vào một cái bể đã chứa sẵn $5 \mathrm{~m}^{3}$ nước.
a) Viết biểu thức tính thể tích $y$ của nước có trong bể sau $x$ giờ.
b) Gọi $y=f(x)$ là hàm số xác định được từ câu a). Vẽ đồ thị $d$ của hàm số này.
c) Viết phương trình tham số và phương trình tổng quát của đường thẳng $d$.
a) Viết biểu thức tính thể tích $y$ của nước có trong bể sau $x$ giờ.
b) Gọi $y=f(x)$ là hàm số xác định được từ câu a). Vẽ đồ thị $d$ của hàm số này.
c) Viết phương trình tham số và phương trình tổng quát của đường thẳng $d$.
Lời giải chi tiết:
a) Thể tích nước trong bể được tính bằng công thức y=5+2x
b)
c) Ta có đồ thị hàm số bậc nhất $y=5+2 x \Leftrightarrow 2 x-y+5=0$
Vậy phương trình tổng quát của đường thẳng $d$ là $2 x-y+5=0$
Từ phương trình tổng quát ta có vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(2 ;-1)$, từ đó ta có vectơ chỉ phương $\vec{u}=(1 ; 2)$
Khi $x=0$ thì $y=5$ nên đường thẳng đó đi qua điểm $(0 ; 5)$
Ta có phương trình tham số của đường thẳng d là $\left\{\begin{array}{l}x=t \\ y=5+2 t\end{array}\right.$
a) Thể tích nước trong bể được tính bằng công thức y=5+2x
b)
c) Ta có đồ thị hàm số bậc nhất $y=5+2 x \Leftrightarrow 2 x-y+5=0$
Vậy phương trình tổng quát của đường thẳng $d$ là $2 x-y+5=0$
Từ phương trình tổng quát ta có vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(2 ;-1)$, từ đó ta có vectơ chỉ phương $\vec{u}=(1 ; 2)$
Khi $x=0$ thì $y=5$ nên đường thẳng đó đi qua điểm $(0 ; 5)$
Ta có phương trình tham số của đường thẳng d là $\left\{\begin{array}{l}x=t \\ y=5+2 t\end{array}\right.$
Hoạt động khám phá 4 trang 51
Cho hai đường thẳng $\Delta_{1}$ và $\Delta_{2}$ có vectơ pháp tuyến lần lượt là $\vec{n}_{1}$ và $\vec{n}_{2}$.
Nêu nhận xét về vị trí tương đối giữa $\Delta_{1}$ và $\Delta_{2}$ trong các trường hợp sau:
a) $\vec{n}_{1}$ và $\vec{n}_{2}$ cùng phương (Hình $5 \mathrm{a}, \mathrm{b}$ );
b) $\vec{n}_{1}$ và $\vec{n}_{2}$ không cùng phương (Hình $5 \mathrm{c}, \mathrm{d}$ );
c) $\vec{n}_{1}$ và $\vec{n}_{2}$ vuông góc (Hình $5 \mathrm{~d}$ ).
Nêu nhận xét về vị trí tương đối giữa $\Delta_{1}$ và $\Delta_{2}$ trong các trường hợp sau:
a) $\vec{n}_{1}$ và $\vec{n}_{2}$ cùng phương (Hình $5 \mathrm{a}, \mathrm{b}$ );
b) $\vec{n}_{1}$ và $\vec{n}_{2}$ không cùng phương (Hình $5 \mathrm{c}, \mathrm{d}$ );
c) $\vec{n}_{1}$ và $\vec{n}_{2}$ vuông góc (Hình $5 \mathrm{~d}$ ).
Lời giải chi tiết:
Dựa vào hình vẽ ta có
a) $\overrightarrow{n_1}$ và $\overrightarrow{n_2}$ cùng phương thì hai đường thẳng $\Delta_1$ và $\Delta_2$ song song
b) $\overrightarrow{n_1}$ và $\overrightarrow{n_2}$ không cùng phương thì hai đường thẳng $\Delta_1$ và $\Delta_2$ cắt nhau
c) $\overrightarrow{n_1}$ và $\overrightarrow{n_2}$ vuông góc thì hai đường thẳng $\Delta_1$ và $\Delta_2$ vuông góc
Dựa vào hình vẽ ta có
a) $\overrightarrow{n_1}$ và $\overrightarrow{n_2}$ cùng phương thì hai đường thẳng $\Delta_1$ và $\Delta_2$ song song
b) $\overrightarrow{n_1}$ và $\overrightarrow{n_2}$ không cùng phương thì hai đường thẳng $\Delta_1$ và $\Delta_2$ cắt nhau
c) $\overrightarrow{n_1}$ và $\overrightarrow{n_2}$ vuông góc thì hai đường thẳng $\Delta_1$ và $\Delta_2$ vuông góc
Thực hành 4 trang 53
Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng $d_{1}$ và $d_{2}$ trong các trường hợp sau:
a) $d_{1}: x-5 y+9=0$ và $d_{2}: 10 x+2 y+7=10$,
b) $d_{1}: 3 x-4 y+9=0$ và $d_{2}:\left\{\begin{array}{l}x=1+4 t \\ y=1+3 t\end{array}\right.$
c) $d_{1}:\left\{\begin{array}{l}x=5+4 t \\ y=4+3 t\end{array}\right.$ và $d_{2}:\left\{\begin{array}{l}x=1+8 t \\ y=1+6 t\end{array}\right.$
a) $d_{1}: x-5 y+9=0$ và $d_{2}: 10 x+2 y+7=10$,
b) $d_{1}: 3 x-4 y+9=0$ và $d_{2}:\left\{\begin{array}{l}x=1+4 t \\ y=1+3 t\end{array}\right.$
c) $d_{1}:\left\{\begin{array}{l}x=5+4 t \\ y=4+3 t\end{array}\right.$ và $d_{2}:\left\{\begin{array}{l}x=1+8 t \\ y=1+6 t\end{array}\right.$
Phương pháp giải:
Bước 1: Xác định cặp vectơ pháp tuyến (hoặc chỉ phương) của hai đường thẳng
Bước 2:
+) Nếu 2 vecto cùng phương: Lấy điểm A thuộc d1. Kiểm tra A có thuộc d2 hay không.
=> KL: 2 đường thẳng song song nếu A không thuộc d2.
2 đường thẳng trùng nhau nếu A thuộc d2.
+) Nếu 2 vecto không cùng phương: Tính tích vô hướng
Nếu bằng 0 thì hai đường thẳng vuông góc, nếu khác 0 thì 2 đường thẳng chỉ cắt nhau.
=> Giải hệ phương trình từ hai đường thẳng để tìm giao điểm
Bước 1: Xác định cặp vectơ pháp tuyến (hoặc chỉ phương) của hai đường thẳng
Bước 2:
+) Nếu 2 vecto cùng phương: Lấy điểm A thuộc d1. Kiểm tra A có thuộc d2 hay không.
=> KL: 2 đường thẳng song song nếu A không thuộc d2.
2 đường thẳng trùng nhau nếu A thuộc d2.
+) Nếu 2 vecto không cùng phương: Tính tích vô hướng
Nếu bằng 0 thì hai đường thẳng vuông góc, nếu khác 0 thì 2 đường thẳng chỉ cắt nhau.
=> Giải hệ phương trình từ hai đường thẳng để tìm giao điểm
Lời giải chi tiết:
a) $d_1$ và $d_2$ có vectơ pháp tuyến lần Iượt là $\overrightarrow{n_1}=(1 ;-5), \overrightarrow{n_2}=(10 ; 2)$
Ta có $\overrightarrow{n_1} \cdot \overrightarrow{n_2}=1.10+(-5) \cdot 2=0$ nên $\overrightarrow{n_1} \perp \overrightarrow{n_2}$
Giải hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}x-5 y+9=0 \\ 10 x+2 y+7=10\end{array}\right.$ ta được nghiệm $\left\{\begin{array}{l}x=-\frac{3}{52} \\ y=\frac{93}{52}\end{array}\right.$
Suy ra hai đường thẳng $d_1$ và $d_2$ vuông góc và cắt nhau tại $M\left(-\frac{3}{52} ; \frac{93}{52}\right)$
b) $d_1$ và $d_2$ có vectơ pháp tuyến lần lượt là
$\overrightarrow{n_1}=(3 ;-4), \overrightarrow{n_2}=(3,-4)$
$\overrightarrow{n_1}, \overrightarrow{n_2}$ trùng nhau nên hai vectơ pháp tuyến cùng phương. Suy ra $d_1$ và $d_2$ song song hoặc trùng nhau
Lấy điểm $A(1 ; 1)$ thuộc $d_2$, thay tọa độ của $A$ vào phương trình $d_1$, ta được $3.1-4.1+9=8 \neq 0$, suy ra $A$ không thuộc đường thẳng $d_1$
Vậy hai đường thẳng $d_1$ và $d_2$ song song
c) $d_1$ và $d_2$ có vectơ pháp tuyến lần lượt là $\overrightarrow{n_1}=(3 ;-4), \overrightarrow{n_2}=(6 ;-8)$
Ta có $a_1 b_2-a_2 b_1=3 \cdot(-8)-(-4) \cdot 6=0$ suy ra hai vectơ pháp tuyến cùng phương. Suy ra $d_1$ và $d_2$ song song hoặc trùng nhau
Lấy điểm $A(1 ; 1)$ thuộc $d_2$, thay tọa độ của $A$ vào phương trình $d_1$, ta được $\left\{\begin{array}{l}1=5+4 t \\ 1=4+3 t\end{array} \Leftrightarrow t=-1\right.$, suy ra $A$ thuộc đường thẳng $d_1$
Vậy hai đường thẳng $d_1$ và $d_2$ trùng nhau
a) $d_1$ và $d_2$ có vectơ pháp tuyến lần Iượt là $\overrightarrow{n_1}=(1 ;-5), \overrightarrow{n_2}=(10 ; 2)$
Ta có $\overrightarrow{n_1} \cdot \overrightarrow{n_2}=1.10+(-5) \cdot 2=0$ nên $\overrightarrow{n_1} \perp \overrightarrow{n_2}$
Giải hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}x-5 y+9=0 \\ 10 x+2 y+7=10\end{array}\right.$ ta được nghiệm $\left\{\begin{array}{l}x=-\frac{3}{52} \\ y=\frac{93}{52}\end{array}\right.$
Suy ra hai đường thẳng $d_1$ và $d_2$ vuông góc và cắt nhau tại $M\left(-\frac{3}{52} ; \frac{93}{52}\right)$
b) $d_1$ và $d_2$ có vectơ pháp tuyến lần lượt là
$\overrightarrow{n_1}=(3 ;-4), \overrightarrow{n_2}=(3,-4)$
$\overrightarrow{n_1}, \overrightarrow{n_2}$ trùng nhau nên hai vectơ pháp tuyến cùng phương. Suy ra $d_1$ và $d_2$ song song hoặc trùng nhau
Lấy điểm $A(1 ; 1)$ thuộc $d_2$, thay tọa độ của $A$ vào phương trình $d_1$, ta được $3.1-4.1+9=8 \neq 0$, suy ra $A$ không thuộc đường thẳng $d_1$
Vậy hai đường thẳng $d_1$ và $d_2$ song song
c) $d_1$ và $d_2$ có vectơ pháp tuyến lần lượt là $\overrightarrow{n_1}=(3 ;-4), \overrightarrow{n_2}=(6 ;-8)$
Ta có $a_1 b_2-a_2 b_1=3 \cdot(-8)-(-4) \cdot 6=0$ suy ra hai vectơ pháp tuyến cùng phương. Suy ra $d_1$ và $d_2$ song song hoặc trùng nhau
Lấy điểm $A(1 ; 1)$ thuộc $d_2$, thay tọa độ của $A$ vào phương trình $d_1$, ta được $\left\{\begin{array}{l}1=5+4 t \\ 1=4+3 t\end{array} \Leftrightarrow t=-1\right.$, suy ra $A$ thuộc đường thẳng $d_1$
Vậy hai đường thẳng $d_1$ và $d_2$ trùng nhau
Vận dụng 4 trang 53
Viết phương trình đường thẳng $d_{1}$ :
a) Đi qua điểm $A(2 ; 3)$ và song song với đường thẳng $d_{2}: x+3 y+2=0$;
b) Đi qua điểm $B(4 ;-1)$ và vuông góc với đường thẳng $d_{3}: 3 x-y+1=0$.
a) Đi qua điểm $A(2 ; 3)$ và song song với đường thẳng $d_{2}: x+3 y+2=0$;
b) Đi qua điểm $B(4 ;-1)$ và vuông góc với đường thẳng $d_{3}: 3 x-y+1=0$.
Phương pháp giải:
Bước 1: Từ đường thẳng đã cho xác định vectơ pháp tuyến hoặc vectơ chỉ phương
Bước 2: Viết phương trình tổng quát hoặc phương trình tham số
Bước 1: Từ đường thẳng đã cho xác định vectơ pháp tuyến hoặc vectơ chỉ phương
Bước 2: Viết phương trình tổng quát hoặc phương trình tham số
Lời giải chi tiết:
a) $d_1$ song song với đường thẳng $d_2: x+3 y+2=0$ nên nhận vectơ pháp tuyến của đường thẳng $d_2$ làm vectơ pháp tuyến là $\vec{n}=(1 ; 3)$
$d_1$ đi qua điểm $A(2 ; 3)$ nên ta có phương trình tổng quát
(x-2)+3 \cdot(y-3)=0 \Leftrightarrow x+3 y-11=0
b) $d_1$ vuông góc với đường thẳng $d_3: 3 x-y+1=0$ nên nhận vectơ pháp tuyến của đường thẳng $d_3$ làm vectơ chỉ phương là $\vec{u}=(3 ;-1)$
$d_1$ đi qua điểm $B(4 ;-1)$ nên ta có phương trình tham số:
\left\{\begin{array}{l} x=4+3 t \\ y=-1-t \end{array}\right.
a) $d_1$ song song với đường thẳng $d_2: x+3 y+2=0$ nên nhận vectơ pháp tuyến của đường thẳng $d_2$ làm vectơ pháp tuyến là $\vec{n}=(1 ; 3)$
$d_1$ đi qua điểm $A(2 ; 3)$ nên ta có phương trình tổng quát
(x-2)+3 \cdot(y-3)=0 \Leftrightarrow x+3 y-11=0
b) $d_1$ vuông góc với đường thẳng $d_3: 3 x-y+1=0$ nên nhận vectơ pháp tuyến của đường thẳng $d_3$ làm vectơ chỉ phương là $\vec{u}=(3 ;-1)$
$d_1$ đi qua điểm $B(4 ;-1)$ nên ta có phương trình tham số:
\left\{\begin{array}{l} x=4+3 t \\ y=-1-t \end{array}\right.
Hoạt động khám phá 5 trang 54
Cho hai đường thẳng $x y$ và $z t$ cắt nhau tại $O$ và cho biết $\widehat{x O z}:=38^{\circ}($ Hình 6$)$.
Tính số đo các góc $\widehat{x O t}, \widehat{t O y}$ và $\widehat{y O z}$.
Tính số đo các góc $\widehat{x O t}, \widehat{t O y}$ và $\widehat{y O z}$.
Lời giải chi tiết:
Ta có hai góc $\widehat{x O z}$ và $\widehat{t O y}$ đối đỉnh nên $\widehat{x O z}=\widehat{t O y}=38^{\circ}$ hai góc $\widehat{x O t}$ và $\widehat{y O z}$ đối đỉnh nên $\widehat{x O t}=\widehat{y O z}$
$\widehat{x O z}$ và $\widehat{x O t}$ bù nhau nên $\widehat{x O t}=180^{\circ}-\widehat{x O z}=180^{\circ}-38^{\circ}=142^{\circ}$
Vậy $\widehat{x O z}=\widehat{t O y}=38^{\circ}$ và $\widehat{x O t}=\widehat{y O z}=142^{\circ}$
Ta có hai góc $\widehat{x O z}$ và $\widehat{t O y}$ đối đỉnh nên $\widehat{x O z}=\widehat{t O y}=38^{\circ}$ hai góc $\widehat{x O t}$ và $\widehat{y O z}$ đối đỉnh nên $\widehat{x O t}=\widehat{y O z}$
$\widehat{x O z}$ và $\widehat{x O t}$ bù nhau nên $\widehat{x O t}=180^{\circ}-\widehat{x O z}=180^{\circ}-38^{\circ}=142^{\circ}$
Vậy $\widehat{x O z}=\widehat{t O y}=38^{\circ}$ và $\widehat{x O t}=\widehat{y O z}=142^{\circ}$
Hoạt động khám phá 6 trang 54
Cho hai đường thẳng
\Delta_{1}: a_{1} x+b_{1} y+c_{1}=0\left(a_{1}^{2}+b_{1}^{2}>0\right) \text { và } \Delta_{2}: a_{2} x+b_{2} y+c_{2}=0\left(a_{2}^{2}+b_{2}^{2}>0\right)
có vectơ pháp tuyến lần lượt là $\vec{n}_{1}$ và $\vec{n}_{2}$.
Tìm toạ độ của $\vec{n}_{1}, \vec{n}_{2}$ và tính $\cos \left(\vec{n}_{1}, \vec{n}_{2}\right)$.
\Delta_{1}: a_{1} x+b_{1} y+c_{1}=0\left(a_{1}^{2}+b_{1}^{2}>0\right) \text { và } \Delta_{2}: a_{2} x+b_{2} y+c_{2}=0\left(a_{2}^{2}+b_{2}^{2}>0\right)
có vectơ pháp tuyến lần lượt là $\vec{n}_{1}$ và $\vec{n}_{2}$.
Tìm toạ độ của $\vec{n}_{1}, \vec{n}_{2}$ và tính $\cos \left(\vec{n}_{1}, \vec{n}_{2}\right)$.
Phương pháp giải:
+) Tọa độ của $\overrightarrow{n_1}, \overrightarrow{n_2}$ được xác định từ phương trình tổng quát của hai đường thẳng
+) Áp dụng biểu thức tọa độ của vectơ trong mặt phẳng
+) Tọa độ của $\overrightarrow{n_1}, \overrightarrow{n_2}$ được xác định từ phương trình tổng quát của hai đường thẳng
+) Áp dụng biểu thức tọa độ của vectơ trong mặt phẳng
Lời giải chi tiết:
+) Từ phương trình $\Delta_1: a_1 x+b_1 y+c_1=0$ ta xác định được tọa độ của vectơ $\overrightarrow{n_1}$ là $\left(a_1 ; b_1\right)$
+) Từ phương trình $\Delta_2: a_2 x+b_2 y+c_2=0$ ta xác định được tọa độ của vectơ $\overrightarrow{n_2}$ là $\left(a_2 ; b_2\right)$
\text { +) } \cos \left(\overrightarrow{n_1}, \overrightarrow{n_2}\right)=\frac{\overrightarrow{n_1} \cdot \overrightarrow{n_2}}{\left|\overrightarrow{n_1}\right| \cdot \overrightarrow{\vec{n}_2} \mid}=\frac{a_1 a_2+b_1 b_2}{\sqrt{a_1^2+b_1^2} \sqrt{a_2^2+b_2{ }^2}}
+) Từ phương trình $\Delta_1: a_1 x+b_1 y+c_1=0$ ta xác định được tọa độ của vectơ $\overrightarrow{n_1}$ là $\left(a_1 ; b_1\right)$
+) Từ phương trình $\Delta_2: a_2 x+b_2 y+c_2=0$ ta xác định được tọa độ của vectơ $\overrightarrow{n_2}$ là $\left(a_2 ; b_2\right)$
\text { +) } \cos \left(\overrightarrow{n_1}, \overrightarrow{n_2}\right)=\frac{\overrightarrow{n_1} \cdot \overrightarrow{n_2}}{\left|\overrightarrow{n_1}\right| \cdot \overrightarrow{\vec{n}_2} \mid}=\frac{a_1 a_2+b_1 b_2}{\sqrt{a_1^2+b_1^2} \sqrt{a_2^2+b_2{ }^2}}
Thực hành 5 trang 56
Tìm số đo của góc giữa hai đường thẳng $\Delta_{1}$ và $\Delta_{2}$ trong các trường hợp sau:
a) $\Delta_{1}: x+3 y-7=0$
và $\Delta_{2}: x-2 y+3=0$
b) $\Delta_{1}: 4 x-2 y+5=0$
và $\Delta_{2}:\left\{\begin{array}{l}x=t \\ y=13+2 t\end{array}\right.$
c) $\Delta_{1}:\left\{\begin{array}{l}x=1+t \\ y=3+2 t\end{array}\right.$
và $\Delta_{2}:\left\{\begin{array}{l}x=-7+2 t \\ y=1-t .\end{array}\right.$
a) $\Delta_{1}: x+3 y-7=0$
và $\Delta_{2}: x-2 y+3=0$
b) $\Delta_{1}: 4 x-2 y+5=0$
và $\Delta_{2}:\left\{\begin{array}{l}x=t \\ y=13+2 t\end{array}\right.$
c) $\Delta_{1}:\left\{\begin{array}{l}x=1+t \\ y=3+2 t\end{array}\right.$
và $\Delta_{2}:\left\{\begin{array}{l}x=-7+2 t \\ y=1-t .\end{array}\right.$
Phương pháp giải:
Bước 1: Xác định vectơ pháp tuyến của hai đường thẳng đã cho
Bước 2: Tính số đo góc giữa hai đường thẳng bằng công thức
\cos \left(\Delta_1, \Delta_2\right)=\frac{\left|a_1 a_2+b_1 b_2\right|}{\sqrt{a_1{ }^2+b_1{ }^2} \sqrt{a_2{ }^2+b_2{ }^2}}
Bước 1: Xác định vectơ pháp tuyến của hai đường thẳng đã cho
Bước 2: Tính số đo góc giữa hai đường thẳng bằng công thức
\cos \left(\Delta_1, \Delta_2\right)=\frac{\left|a_1 a_2+b_1 b_2\right|}{\sqrt{a_1{ }^2+b_1{ }^2} \sqrt{a_2{ }^2+b_2{ }^2}}
Lời giải chi tiết:
a) Ta có vectơ pháp tuyến của hai đường thẳng $\Delta_1$ và $\Delta_2$ lần lượt là $\overrightarrow{n_1}=(1 ; 3), \overrightarrow{n_2}=(1 ;-2)$
Ta có $\cos \left(\Delta_1, \Delta_2\right)=\frac{|1.1+3 .(-2)|}{\sqrt{1^2+3^2} \sqrt{1^2+(-2)^2}} \approx 0,93 \Rightarrow\left(\Delta_1, \Delta_2\right) \approx 22^{\circ} 8^{\prime}$
b) Ta có vectơ pháp tuyến của hai đường thẳng $\Delta_1$ và $\Delta_2$ lần lượt là $\overrightarrow{n_1}=(4 ;-2), \overrightarrow{n_2}=(2 ;-1)$
Ta có $\cos \left(\Delta_1, \Delta_2\right)=\frac{|4 \cdot 2+(-2) \cdot(-1)|}{\sqrt{4^2+(-2)^2} \sqrt{2^2+(-1)^2}}=1 \Rightarrow\left(\Delta_1, \Delta_2\right)=0^{\circ}$
c) Ta có vectơ pháp tuyến của hai đường thẳng $\Delta_1$ và $\Delta_2$ lần lượt là $\overrightarrow{n_1}=(2 ;-1), \overrightarrow{n_2}=(1 ; 2)$
Ta có $a_1 a_2+b_1 b_2=2.1+(-1) \cdot 2=0$
Suy ra $\left(\Delta_1, \Delta_2\right)=90^{\circ}$
a) Ta có vectơ pháp tuyến của hai đường thẳng $\Delta_1$ và $\Delta_2$ lần lượt là $\overrightarrow{n_1}=(1 ; 3), \overrightarrow{n_2}=(1 ;-2)$
Ta có $\cos \left(\Delta_1, \Delta_2\right)=\frac{|1.1+3 .(-2)|}{\sqrt{1^2+3^2} \sqrt{1^2+(-2)^2}} \approx 0,93 \Rightarrow\left(\Delta_1, \Delta_2\right) \approx 22^{\circ} 8^{\prime}$
b) Ta có vectơ pháp tuyến của hai đường thẳng $\Delta_1$ và $\Delta_2$ lần lượt là $\overrightarrow{n_1}=(4 ;-2), \overrightarrow{n_2}=(2 ;-1)$
Ta có $\cos \left(\Delta_1, \Delta_2\right)=\frac{|4 \cdot 2+(-2) \cdot(-1)|}{\sqrt{4^2+(-2)^2} \sqrt{2^2+(-1)^2}}=1 \Rightarrow\left(\Delta_1, \Delta_2\right)=0^{\circ}$
c) Ta có vectơ pháp tuyến của hai đường thẳng $\Delta_1$ và $\Delta_2$ lần lượt là $\overrightarrow{n_1}=(2 ;-1), \overrightarrow{n_2}=(1 ; 2)$
Ta có $a_1 a_2+b_1 b_2=2.1+(-1) \cdot 2=0$
Suy ra $\left(\Delta_1, \Delta_2\right)=90^{\circ}$
Vận dụng 5 trang 56
Tìm số đo của góc giữa hai đường thẳng là đồ thị của hai hàm số $y=x$ và $y=2 x+1$.
Phương pháp giải:
Bước 1: Viết phương trình tổng quat từ đồ thị của hai hàm số đã cho
Bước 2: Xác định vectơ pháp tuyền
Bước 3: \cos \left(\Delta_1, \Delta_2\right)=\frac{\left|a_1 a_2+b_1 b_2\right|}{\sqrt{a_1{ }^2+b_1{ }^2} \sqrt{a_2{ }^2+b_2{ }^2}}
Bước 1: Viết phương trình tổng quat từ đồ thị của hai hàm số đã cho
Bước 2: Xác định vectơ pháp tuyền
Bước 3: \cos \left(\Delta_1, \Delta_2\right)=\frac{\left|a_1 a_2+b_1 b_2\right|}{\sqrt{a_1{ }^2+b_1{ }^2} \sqrt{a_2{ }^2+b_2{ }^2}}
Lời giải chi tiết:
Từ đồ thị hàm số ta có phương trình tổng quát
y=x \Leftrightarrow d_1: x-y=0, y=2 x+1 \Leftrightarrow 2 x-y+1=0
Từ đó ta có vectơ pháp tuyến lần lượt là
\overrightarrow{n_1}=(1 ;-1), \overrightarrow{n_2}=(2 ;-1) \\ \cos \left(d_1, d_2\right)=\frac{|1.2+(-1) \cdot(-1)|}{\sqrt{1^2+(-1)^2} \sqrt{2^2+(-1)^2}}=\frac{3 \sqrt{10}}{10} \Rightarrow\left(d_1, d_2\right) \approx 18^{\circ} 26^{\prime}
Vậy góc giữa hai đường thẳng có đồ thị đã cho gần bằng $18^{\circ} 26^{\prime}$
Từ đồ thị hàm số ta có phương trình tổng quát
y=x \Leftrightarrow d_1: x-y=0, y=2 x+1 \Leftrightarrow 2 x-y+1=0
Từ đó ta có vectơ pháp tuyến lần lượt là
\overrightarrow{n_1}=(1 ;-1), \overrightarrow{n_2}=(2 ;-1) \\ \cos \left(d_1, d_2\right)=\frac{|1.2+(-1) \cdot(-1)|}{\sqrt{1^2+(-1)^2} \sqrt{2^2+(-1)^2}}=\frac{3 \sqrt{10}}{10} \Rightarrow\left(d_1, d_2\right) \approx 18^{\circ} 26^{\prime}
Vậy góc giữa hai đường thẳng có đồ thị đã cho gần bằng $18^{\circ} 26^{\prime}$
Hoạt động khám phá 7
Trong mặt phẳng $O x y$, cho đường thẳng $\Delta: a x+b y+c=0$ $\left(a^{2}+b^{2}>0\right)$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}$ và cho điểm $M_{0}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ có hình chiếu vuông góc $H\left(x_{H} ; y_{H}\right)$ trên $\Delta$ (Hình 9).
a) Chứng minh rằng hai vectơ $\vec{n}$ và $\overrightarrow{H M_{0}}$ cùng phương và tìm toạ độ của chúng.
b) Gọi $p$ là tích vô hướng của hai vectơ $\vec{n}$ và $\overrightarrow{H M_{0}}$. Chứng minh rằng $p=a x_{0}+b y_{0}+c$.
c) Giải thích công thức $\left|\overrightarrow{H M_{0}}\right|=\frac{|p|}{|\vec{n}|}$.
a) Chứng minh rằng hai vectơ $\vec{n}$ và $\overrightarrow{H M_{0}}$ cùng phương và tìm toạ độ của chúng.
b) Gọi $p$ là tích vô hướng của hai vectơ $\vec{n}$ và $\overrightarrow{H M_{0}}$. Chứng minh rằng $p=a x_{0}+b y_{0}+c$.
c) Giải thích công thức $\left|\overrightarrow{H M_{0}}\right|=\frac{|p|}{|\vec{n}|}$.
Phương pháp giải:
a) So sánh phương với vectơ chỉ phương
b)
Bước 1: Nhân tích vô hướng của hai vectơ
Bước 2: Thay tọa độ điẻm H vào đường thẳng tìm mối liên hệ
c) Thay vào công thức kết quả đã tìm được ở câu b)
a) So sánh phương với vectơ chỉ phương
b)
Bước 1: Nhân tích vô hướng của hai vectơ
Bước 2: Thay tọa độ điẻm H vào đường thẳng tìm mối liên hệ
c) Thay vào công thức kết quả đã tìm được ở câu b)
Lời giải chi tiết:
a) Ta có: $\vec{n}$ và $\overrightarrow{H M_0}=\left(x_0-x_H ; y_0-y_H\right)$
Mà $H$ là hình chiếu vuông góc của $M_0$ trên $\Delta$ nên $H M_0 \perp \Delta$
Mặt khác vectơ pháp tuyến $\vec{n}$ cùng vuông góc với $\Delta$
Suy ra $\vec{n}$ và $\overrightarrow{H M_0}$ cùng phương (đpcm)
b) Ta có: $\vec{n}=(a ; b)$ và $\overrightarrow{H M_0}=\left(x_0-x_H ; y_0-y_H\right)$
Suy ra
p=\vec{n} \cdot \overrightarrow{H M_0}=a\left(x_0-x_H\right)+b\left(y_0-y_H\right)=a x_0+b y_0 \\ -\left(a x_H+b y_H\right)(1)
Mà $H$ thuộc đường thẳng $\Delta$ nên tọa độ điểm $H$ thỏa mãn phương trình đường thẳng $\Delta$
Thay tọa độ điểm $H$ vào phương trình $\Delta: a x+b y+c=0\left(a^2+b^2>0\right)$ ta có: $a x_H+b y_H+c=0 \Leftrightarrow c=-\left(a x_H+b y_H\right)$
Thay $c=-\left(a x_H+b y_H\right)$ vào (1) ta có $p=a x_0+b y_0+c \quad$ (đpcm)
c) Ta có:
p=\vec{n} \cdot \overrightarrow{H M_0} \Leftrightarrow \overrightarrow{H M_0}=\frac{p}{\vec{n}} \Rightarrow\left|\overrightarrow{H M_0}\right|=\left|\frac{p}{\vec{n}}\right| \Rightarrow\left|\overrightarrow{H M_0}\right|=\frac{|p|}{|\vec{n}|}
a) Ta có: $\vec{n}$ và $\overrightarrow{H M_0}=\left(x_0-x_H ; y_0-y_H\right)$
Mà $H$ là hình chiếu vuông góc của $M_0$ trên $\Delta$ nên $H M_0 \perp \Delta$
Mặt khác vectơ pháp tuyến $\vec{n}$ cùng vuông góc với $\Delta$
Suy ra $\vec{n}$ và $\overrightarrow{H M_0}$ cùng phương (đpcm)
b) Ta có: $\vec{n}=(a ; b)$ và $\overrightarrow{H M_0}=\left(x_0-x_H ; y_0-y_H\right)$
Suy ra
p=\vec{n} \cdot \overrightarrow{H M_0}=a\left(x_0-x_H\right)+b\left(y_0-y_H\right)=a x_0+b y_0 \\ -\left(a x_H+b y_H\right)(1)
Mà $H$ thuộc đường thẳng $\Delta$ nên tọa độ điểm $H$ thỏa mãn phương trình đường thẳng $\Delta$
Thay tọa độ điểm $H$ vào phương trình $\Delta: a x+b y+c=0\left(a^2+b^2>0\right)$ ta có: $a x_H+b y_H+c=0 \Leftrightarrow c=-\left(a x_H+b y_H\right)$
Thay $c=-\left(a x_H+b y_H\right)$ vào (1) ta có $p=a x_0+b y_0+c \quad$ (đpcm)
c) Ta có:
p=\vec{n} \cdot \overrightarrow{H M_0} \Leftrightarrow \overrightarrow{H M_0}=\frac{p}{\vec{n}} \Rightarrow\left|\overrightarrow{H M_0}\right|=\left|\frac{p}{\vec{n}}\right| \Rightarrow\left|\overrightarrow{H M_0}\right|=\frac{|p|}{|\vec{n}|}
Thực hành 6 trang 57
Trong mặt phẳng $O x y$, cho tam giác $A B C$ có toạ độ các đỉnh là $A(1 ; 1), B(5 ; 2), C(4 ; 4)$. Tính độ dài các đường cao của tam giác $A B C$.
Phương pháp giải:
Bước 1: Viết phương trình tổng quat của các đường thẳng $A B, A C$, $B C$
Bước 2: Đường của kẻ từ $A$ chính là khoảng cách từ điểm $A$ đến đường thẳng $B C$ (tương tự các đường cao còn lại)
Bước 1: Viết phương trình tổng quat của các đường thẳng $A B, A C$, $B C$
Bước 2: Đường của kẻ từ $A$ chính là khoảng cách từ điểm $A$ đến đường thẳng $B C$ (tương tự các đường cao còn lại)
Lời giải chi tiết:
Ta có: $\overrightarrow{A B}=(4 ; 1), \overrightarrow{A C}=(3 ; 3), \overrightarrow{B C}=(-1 ; 2)$
+) Đường thẳng $A B$ nhận vectơ $\overrightarrow{A B}=(4 ; 1)$ làm phương trình chỉ phương nên có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_1}=(1 ;-4)$ và đi qua điểm $A(1 ; 1)$, suy ra ta có phương trình tổng quát của đường thẳng $A B$ là:
(x-1)-4(y-1)=0 \Leftrightarrow x-4 y+3=0
Độ dài đường cao kẻ từ $C$ chính là khoảng cách từ điểm $C$ đến đường thẳng $A B$
d(C, A B)=\frac{|4-4.4+3|}{\sqrt{1^2+4^2}}=\frac{9 \sqrt{17}}{17}
+) Đường thẳng $B C$ nhận vectơ $\overrightarrow{B C}=(-1 ; 2)$ làm phương trình chỉ phương nên có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_2}=(2 ; 1)$ và đi qua điểm $B(5 ; 2)$, suy ra ta có phương trình tổng quát của đường thẳng $\mathrm{BC}$ là: $2(x-5)+(y-2)=0 \Leftrightarrow 2 x+y-12=0$
Độ dài đường cao kẻ từ $A$ chính là khoảng cách từ điểm $A$ đến đường thẳng $B C$
d(A, B C)=\frac{|2.1+1-12|}{\sqrt{2^2+1^2}}=\frac{9 \sqrt{5}}{5}
+) Đường thẳng $A C$ nhận vectơ $\overrightarrow{A C}=(3 ; 3)$ làm phương trình chỉ phương nên có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_3}=(1 ;-1)$ và đi qua điểm $A(1 ; 1)$, suy ra ta có phương trình tổng quát của đường thẳng $A C$ là:
(x-1)-(y-1)=0 \Leftrightarrow x-y=0
Độ dài đường cao kẻ từ $B$ chính là khoảng cách từ điểm $B$ đến đường thẳng $A C$
d(B, A C)=\frac{|5-2|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\frac{3 \sqrt{2}}{2}
Ta có: $\overrightarrow{A B}=(4 ; 1), \overrightarrow{A C}=(3 ; 3), \overrightarrow{B C}=(-1 ; 2)$
+) Đường thẳng $A B$ nhận vectơ $\overrightarrow{A B}=(4 ; 1)$ làm phương trình chỉ phương nên có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_1}=(1 ;-4)$ và đi qua điểm $A(1 ; 1)$, suy ra ta có phương trình tổng quát của đường thẳng $A B$ là:
(x-1)-4(y-1)=0 \Leftrightarrow x-4 y+3=0
Độ dài đường cao kẻ từ $C$ chính là khoảng cách từ điểm $C$ đến đường thẳng $A B$
d(C, A B)=\frac{|4-4.4+3|}{\sqrt{1^2+4^2}}=\frac{9 \sqrt{17}}{17}
+) Đường thẳng $B C$ nhận vectơ $\overrightarrow{B C}=(-1 ; 2)$ làm phương trình chỉ phương nên có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_2}=(2 ; 1)$ và đi qua điểm $B(5 ; 2)$, suy ra ta có phương trình tổng quát của đường thẳng $\mathrm{BC}$ là: $2(x-5)+(y-2)=0 \Leftrightarrow 2 x+y-12=0$
Độ dài đường cao kẻ từ $A$ chính là khoảng cách từ điểm $A$ đến đường thẳng $B C$
d(A, B C)=\frac{|2.1+1-12|}{\sqrt{2^2+1^2}}=\frac{9 \sqrt{5}}{5}
+) Đường thẳng $A C$ nhận vectơ $\overrightarrow{A C}=(3 ; 3)$ làm phương trình chỉ phương nên có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_3}=(1 ;-1)$ và đi qua điểm $A(1 ; 1)$, suy ra ta có phương trình tổng quát của đường thẳng $A C$ là:
(x-1)-(y-1)=0 \Leftrightarrow x-y=0
Độ dài đường cao kẻ từ $B$ chính là khoảng cách từ điểm $B$ đến đường thẳng $A C$
d(B, A C)=\frac{|5-2|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\frac{3 \sqrt{2}}{2}
Vận dụng 6 trang 57
Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $d_{1}: 4 x-3 y+2=0$ và $d_{2}: 4 x-3 y+12=0$.
Phương pháp giải:
Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song là khoảng cách một điềm bất kì từ đường thẳng này tới đường thẳng còn lại
Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song là khoảng cách một điềm bất kì từ đường thẳng này tới đường thẳng còn lại
Lời giải chi tiết:
Ta thấy hai đường thẳng này song song, nên khoảng cách giữa chúng là khoảng cách từ một điểm bất kì từ đường thẳng này tới đường thẳng kia
Chọn điểm $A(0 ; 4) \in d_2$, suy ra $d\left(d_1, d_2\right)=d\left(A, d_1\right)=\frac{|4.0-3.4+2|}{\sqrt{4^2+3^2}}=2$
Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng $d_1: 4 x-3 y+2=0$ và $d_2: 4 x-3 y+12=0$ là 2
Ta thấy hai đường thẳng này song song, nên khoảng cách giữa chúng là khoảng cách từ một điểm bất kì từ đường thẳng này tới đường thẳng kia
Chọn điểm $A(0 ; 4) \in d_2$, suy ra $d\left(d_1, d_2\right)=d\left(A, d_1\right)=\frac{|4.0-3.4+2|}{\sqrt{4^2+3^2}}=2$
Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng $d_1: 4 x-3 y+2=0$ và $d_2: 4 x-3 y+12=0$ là 2
Giải bài tập SGK trang 57, 58 bài Đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ
Những bài tập SGK ở cuối bài Đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ trang 56, 57 sách Toán 10 Chân trời sáng tạo sẽ giúp các bạn vận dụng những kiến thức vừa học để giải các bài tập từ cơ bản đến nâng cao. Cùng HocThatGioi giải quyết những bài toán này nhé!
Bài 1 trang 57
1. Lập phương trình tham số và phương trình tổng quát của đường thẳng $d$ trong mỗi trường hợp sau:
a) $d$ đi qua điểm $A(-1 ; 5)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u}=(2 ; 1)$;
b) $d$ đi qua điểm $B(4 ;-2)$ và có vectơ pháp tuyến là $\vec{n}=(3 ;-2)$;
c) $d$ đi qua $P(1 ; 1)$ và có hệ số góc $k=-2$;
d) $d$ đi qua hai điểm $Q(3 ; 0)$ và $R(0 ; 2)$.
a) $d$ đi qua điểm $A(-1 ; 5)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u}=(2 ; 1)$;
b) $d$ đi qua điểm $B(4 ;-2)$ và có vectơ pháp tuyến là $\vec{n}=(3 ;-2)$;
c) $d$ đi qua $P(1 ; 1)$ và có hệ số góc $k=-2$;
d) $d$ đi qua hai điểm $Q(3 ; 0)$ và $R(0 ; 2)$.
Lời giải chi tiết:
a) Đường thẳng $d$ đi qua điểm $A(-1 ; 5)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u}=(2 ; 1)$, nên có phương trình tham số là:
\left\{\begin{array}{l} x=-1+2 t \\ y=5+t \end{array}\right.
Đường thẳng $d$ có vectơ chỉ phương $\vec{u}=(2 ; 1)$, nên có vectơ pháp tuyền là $\vec{n}=(1 ;-2)$ và đi qua $A(-1 ; 5)$
Ta có phương trình tổng quát là
(x+1)-2(y-5)=0 \Leftrightarrow x-2 y+11=0
b) Đường thẳng $d$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(3 ;-2)$ nên có vectơ chỉ phương $\vec{u}=(2 ; 3)$, và đi qua điểm $B(4 ;-2)$ nên ta có phương trình tham số của $d$ là :
\left\{\begin{array}{l} x=4+2 t \\ y=-2+3 t \end{array}\right.
Đường thẳng $d$ đi qua điểm $B(4 ;-2)$ và có vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(3 ;-2)$
Phương trình tổng quát của đường thẳng $d$ là:
3(x-4)-2(y+2)=0 \Leftrightarrow 3 x-2 y-16=0
c) Đường thẳng $d$ có dạng $y=a x+b$
$d$ đi qua $P(1 ; 1)$ và có hệ số góc $k=-2$ nên ta có:
$1=-2.1+b \Rightarrow b=3$
Suy ra đồ thị đường thẳng $d$ có dạng $y=-2 x+3$
Vậy đường thẳng $d$ có phương trình tổng quát là $y+2 x-3=0$
Suy ra đường thẳng $d$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(2 ; 1)$, nên có vectơ chỉ phương là $\vec{u}=(1 ;-2)$ và đi qua điểm $P(1 ; 1)$ nên ta có phương trình tham số của $d$ là :
\left\{\begin{array}{l} x=1+t \\ y=1-2 t \end{array}\right.
d) Đường thằng $d$ đi qua hai điểm $Q(3 ; 0)$ và $R(0 ; 2)$ nên có vectơ chỉ phương $\vec{u}=\overrightarrow{Q R}=(-3 ; 2)$ và có vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(2 ; 3)$
Phương trình tham số của $\Delta$ là: $\left\{\begin{array}{l}x=3-3 t \\ y=2 t\end{array}\right.$
Phương trình tổng quát của $\Delta$ là:
2(x-3)+3(x-0)=\Leftrightarrow 2 x+3 y-6=0
a) Đường thẳng $d$ đi qua điểm $A(-1 ; 5)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u}=(2 ; 1)$, nên có phương trình tham số là:
\left\{\begin{array}{l} x=-1+2 t \\ y=5+t \end{array}\right.
Đường thẳng $d$ có vectơ chỉ phương $\vec{u}=(2 ; 1)$, nên có vectơ pháp tuyền là $\vec{n}=(1 ;-2)$ và đi qua $A(-1 ; 5)$
Ta có phương trình tổng quát là
(x+1)-2(y-5)=0 \Leftrightarrow x-2 y+11=0
b) Đường thẳng $d$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(3 ;-2)$ nên có vectơ chỉ phương $\vec{u}=(2 ; 3)$, và đi qua điểm $B(4 ;-2)$ nên ta có phương trình tham số của $d$ là :
\left\{\begin{array}{l} x=4+2 t \\ y=-2+3 t \end{array}\right.
Đường thẳng $d$ đi qua điểm $B(4 ;-2)$ và có vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(3 ;-2)$
Phương trình tổng quát của đường thẳng $d$ là:
3(x-4)-2(y+2)=0 \Leftrightarrow 3 x-2 y-16=0
c) Đường thẳng $d$ có dạng $y=a x+b$
$d$ đi qua $P(1 ; 1)$ và có hệ số góc $k=-2$ nên ta có:
$1=-2.1+b \Rightarrow b=3$
Suy ra đồ thị đường thẳng $d$ có dạng $y=-2 x+3$
Vậy đường thẳng $d$ có phương trình tổng quát là $y+2 x-3=0$
Suy ra đường thẳng $d$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(2 ; 1)$, nên có vectơ chỉ phương là $\vec{u}=(1 ;-2)$ và đi qua điểm $P(1 ; 1)$ nên ta có phương trình tham số của $d$ là :
\left\{\begin{array}{l} x=1+t \\ y=1-2 t \end{array}\right.
d) Đường thằng $d$ đi qua hai điểm $Q(3 ; 0)$ và $R(0 ; 2)$ nên có vectơ chỉ phương $\vec{u}=\overrightarrow{Q R}=(-3 ; 2)$ và có vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(2 ; 3)$
Phương trình tham số của $\Delta$ là: $\left\{\begin{array}{l}x=3-3 t \\ y=2 t\end{array}\right.$
Phương trình tổng quát của $\Delta$ là:
2(x-3)+3(x-0)=\Leftrightarrow 2 x+3 y-6=0
Bài 2 trang 57
2. Cho tam giác $A B C$, biết $A(2 ; 5), B(1 ; 2)$ và $C(5 ; 4)$.
a) Lập phương trình tổng quát của đường thẳng $B C$.
b) Lập phương trình tham số của trung tuyến $A M$.
c) Lập phương trình của đường cao $A H$.
a) Lập phương trình tổng quát của đường thẳng $B C$.
b) Lập phương trình tham số của trung tuyến $A M$.
c) Lập phương trình của đường cao $A H$.
Lời giải chi tiết:
a) Ta có: $\overrightarrow{B C}=(4 ; 2) \Rightarrow V T P T: \overrightarrow{n_{B C}}=(2 ;-4)$
Phương trình tổng quát của đường thẳng $B C$ đi qua điểm $B(1 ; 2)$ và nhận vectơ $\vec{n}=(2 ;-4)$ làm VTPT là:
2(x-1)-4(y-2)=0 \Leftrightarrow 2 x-4 y+6=0
b) $M$ là trung điểm của $B C$ nên ta có tọa độ điểm $M$ là $M(3 ; 3)$
Đường thẳng $A M$ đi qua điểm $A(2 ; 5)$ và nhận vectơ $\overrightarrow{A M}=(1 ;-2)$ làm vectơ chỉ phương nên ta có phương trình tham số của trung tuyến $A M$ là:
\left\{\begin{array}{l} x=2+t \\ y=5-2 t \end{array}\right.
c) Ta có: $A H \perp B C$ nên đường cao $A H$ nhận vectơ $\overrightarrow{B C}=(4 ; 2)$ làm vectơ pháp tuyến
Đường thẳng $A H$ đi qua $A(2 ; 5)$ và nhận vectơ $\overrightarrow{B C}=(4 ; 2)$ làm vectơ pháp tuyến, suy ta phương trình tổng quát của đường cao $A H$ là:
4(x-2)+2(y-5)=0 \Leftrightarrow 4 x+2 y-18=0
a) Ta có: $\overrightarrow{B C}=(4 ; 2) \Rightarrow V T P T: \overrightarrow{n_{B C}}=(2 ;-4)$
Phương trình tổng quát của đường thẳng $B C$ đi qua điểm $B(1 ; 2)$ và nhận vectơ $\vec{n}=(2 ;-4)$ làm VTPT là:
2(x-1)-4(y-2)=0 \Leftrightarrow 2 x-4 y+6=0
b) $M$ là trung điểm của $B C$ nên ta có tọa độ điểm $M$ là $M(3 ; 3)$
Đường thẳng $A M$ đi qua điểm $A(2 ; 5)$ và nhận vectơ $\overrightarrow{A M}=(1 ;-2)$ làm vectơ chỉ phương nên ta có phương trình tham số của trung tuyến $A M$ là:
\left\{\begin{array}{l} x=2+t \\ y=5-2 t \end{array}\right.
c) Ta có: $A H \perp B C$ nên đường cao $A H$ nhận vectơ $\overrightarrow{B C}=(4 ; 2)$ làm vectơ pháp tuyến
Đường thẳng $A H$ đi qua $A(2 ; 5)$ và nhận vectơ $\overrightarrow{B C}=(4 ; 2)$ làm vectơ pháp tuyến, suy ta phương trình tổng quát của đường cao $A H$ là:
4(x-2)+2(y-5)=0 \Leftrightarrow 4 x+2 y-18=0
Bài 3 trang 57
3. Lập phương trình tham số và phương trình tổng quát của đường thẳng $\Delta$ trong mỗi trường hợp sau:
a) $\triangle$ đi qua $A(2 ; 1)$ và song song với đường thẳng $3 x+y+9=0$;
b) $\Delta$ đi qua $B(-1 ; 4)$ và vuông góc với đường thẳng $2 x-y-2=0$.
a) $\triangle$ đi qua $A(2 ; 1)$ và song song với đường thẳng $3 x+y+9=0$;
b) $\Delta$ đi qua $B(-1 ; 4)$ và vuông góc với đường thẳng $2 x-y-2=0$.
Phương pháp giải:
Bước 1: Từ đường thẳng đã cho xác định vectơ pháp tuyến hoặc vectơ chỉ phương
Bước 2: Viết phương trình tổng quát và phương trình tham số
Bước 1: Từ đường thẳng đã cho xác định vectơ pháp tuyến hoặc vectơ chỉ phương
Bước 2: Viết phương trình tổng quát và phương trình tham số
Lời giải chi tiết:
a) $\Delta$ song song với đường thẳng $3 x+y+9=0$ nên nhận vectơ pháp tuyến của đường thẳng này làm vectơ pháp tuyến là $\vec{n}=(3 ; 1)$
$\Delta$ đi qua điểm $A(2 ; 1)$ nên ta có phương trình tổng quát
3(x-2)+(y-1)=0 \Leftrightarrow 3 x+y-7=0
$\Delta$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(3 ; 1)$ nên có vectơ chỉ phương là $\vec{u}=(1 ;-3)$
Phương trình tham số của đường thẳng $\Delta$ là:
\left\{\begin{array}{l} x=2+t \\ y=1-3 t \end{array}\right.
b) $\Delta$ vuông góc với đường thẳng $2 x-y-2=0$ nên nhận vectơ pháp tuyến của đường thẳng này làm vectơ chỉ phương là $\vec{u}=(2 ;-1)$
$\Delta$ đi qua điểm $B(-1 ; 4)$ nên ta có phương trình tham số: $\left\{\begin{array}{l}x=-1+2 t \\ y=4-t\end{array}\right.$
$\Delta$ có vectơ chỉ phương $\vec{u}=(2 ;-1)$ nên có vectơ pháp tuyến là $\vec{n}=(1 ; 2)$
Phương trình tổng quát của đường thẳng $\Delta$ là:
(x+1)+2(y-4)=0 \Leftrightarrow x+2 y-7=0
a) $\Delta$ song song với đường thẳng $3 x+y+9=0$ nên nhận vectơ pháp tuyến của đường thẳng này làm vectơ pháp tuyến là $\vec{n}=(3 ; 1)$
$\Delta$ đi qua điểm $A(2 ; 1)$ nên ta có phương trình tổng quát
3(x-2)+(y-1)=0 \Leftrightarrow 3 x+y-7=0
$\Delta$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(3 ; 1)$ nên có vectơ chỉ phương là $\vec{u}=(1 ;-3)$
Phương trình tham số của đường thẳng $\Delta$ là:
\left\{\begin{array}{l} x=2+t \\ y=1-3 t \end{array}\right.
b) $\Delta$ vuông góc với đường thẳng $2 x-y-2=0$ nên nhận vectơ pháp tuyến của đường thẳng này làm vectơ chỉ phương là $\vec{u}=(2 ;-1)$
$\Delta$ đi qua điểm $B(-1 ; 4)$ nên ta có phương trình tham số: $\left\{\begin{array}{l}x=-1+2 t \\ y=4-t\end{array}\right.$
$\Delta$ có vectơ chỉ phương $\vec{u}=(2 ;-1)$ nên có vectơ pháp tuyến là $\vec{n}=(1 ; 2)$
Phương trình tổng quát của đường thẳng $\Delta$ là:
(x+1)+2(y-4)=0 \Leftrightarrow x+2 y-7=0
Bài 4 trang 57
4. Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng $d_{1}$ và $d_{2}$ sau đây:
a) $d_{1}: x-y+2=0$ và $d_{2}: x+y+4=0$,
b) $d_{1}:\left\{\begin{array}{l}x=1+2 t \\ y=3+5 t\end{array}\right.$ và $d_{2}: 5 x-2 y+9=0$,
c) $d_{1}:\left\{\begin{array}{l}x=2-t \\ y=5+3 t\end{array}\right.$ và $d_{2}: 3 x+y-11=0$.
a) $d_{1}: x-y+2=0$ và $d_{2}: x+y+4=0$,
b) $d_{1}:\left\{\begin{array}{l}x=1+2 t \\ y=3+5 t\end{array}\right.$ và $d_{2}: 5 x-2 y+9=0$,
c) $d_{1}:\left\{\begin{array}{l}x=2-t \\ y=5+3 t\end{array}\right.$ và $d_{2}: 3 x+y-11=0$.
Phương pháp giải:
Bước 1: Xác định cặp vectơ pháp tuyến (hoặc chỉ phương) của hai đường thẳng: $\left(a_1 ; b_1\right)$ và $\left(\mathrm{a}_2 ; \mathrm{b}_2\right)$
Bước 2:
+) Nếu 2 vecto cùng phương: Lấy điểm $A$ thuộc d1. Kiểm tra A có thuộc $\mathrm{d} 2$ hay không.
=> KL: 2 đường thẳng song song nếu $\mathrm{A}$ không thuộc $\mathrm{d} 2$.
2 đường thẳng trùng nhau nếu $A$ thuộc $\mathrm{d} 2$.
+) Nếu 2 vecto không cùng phương: Tính tích vô hướng
Nếu bằng 0 thì hai đường thẳng vuông góc, nếu khác 0 thì 2 đường thẳng chỉ cắt nhau.
=> Giải hệ phương trình từ hai đường thẳng để tìm giao điểm
Bước 1: Xác định cặp vectơ pháp tuyến (hoặc chỉ phương) của hai đường thẳng: $\left(a_1 ; b_1\right)$ và $\left(\mathrm{a}_2 ; \mathrm{b}_2\right)$
Bước 2:
+) Nếu 2 vecto cùng phương: Lấy điểm $A$ thuộc d1. Kiểm tra A có thuộc $\mathrm{d} 2$ hay không.
=> KL: 2 đường thẳng song song nếu $\mathrm{A}$ không thuộc $\mathrm{d} 2$.
2 đường thẳng trùng nhau nếu $A$ thuộc $\mathrm{d} 2$.
+) Nếu 2 vecto không cùng phương: Tính tích vô hướng
Nếu bằng 0 thì hai đường thẳng vuông góc, nếu khác 0 thì 2 đường thẳng chỉ cắt nhau.
=> Giải hệ phương trình từ hai đường thẳng để tìm giao điểm
Lời giải chi tiết:
a) $d_1$ và $d_2$ có vectơ pháp tuyến lần lượt là $\overrightarrow{n_1}=(1 ;-1), \overrightarrow{n_2}=(1 ; 1)$
Ta có $\overrightarrow{n_1} .\overrightarrow{n_2}=1.1+(-1) .1=0$ nên $\overrightarrow{n_1} \perp \overrightarrow{n_2}$
Giải hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}x-y+2=0 \\ x+y+4=0\end{array}\right.$ ta được nghiệm $\left\{\begin{array}{l}x=-3 \\ y=-1\end{array}\right.$
Suy ra hai đường thẳng $d_1$ và $d_2$ vuông góc và cắt nhau tại $M(-3 ;-1)$
b) $d_1$ và $d_2$ có vectơ pháp tuyến lần lượt là $\overrightarrow{n_1}=(5 ;-2), \overrightarrow{n_2}=(5 ;-2)$
$\overrightarrow{n_1}, \overrightarrow{n_2}$ trùng nhau nên hai vectơ pháp tuyến cùng phương. Suy ra $d_1$ và $d_2$ song song hoặc trùng nhau
Lấy điểm $A(1 ; 3)$ thuộc $d_1$, thay tọa độ của $A$ vào phương trình $d_2$, ta được $5.1-2.3+9=8 \neq 0$, suy ra $A$ không thuộc đường thẳng $d_2$
Vậy hai đường thẳng $d_1$ và $d_2$ song song
c) $d_1$ và $d_2$ có vectơ pháp tuyến lần lượt là $\overrightarrow{n_1}=(3 ; 1), \overrightarrow{n_2}=(3 ; 1)$
Suy ra hai vectơ pháp tuyến cùng phương. Suy ra $d_1$ và $d_2$ song song hoặc trùng nhau
Lấy điểm $A(2 ; 5)$ thuộc $d_1$, thay tọa độ của $A$ vào phương trình $d_2$, ta được $3.2+5-11=0$, suy ra $A$ thuộc đường thẳng $d_2$
Vậy hai đường thẳng $d_1$ và $d_2$ trùng nhau
a) $d_1$ và $d_2$ có vectơ pháp tuyến lần lượt là $\overrightarrow{n_1}=(1 ;-1), \overrightarrow{n_2}=(1 ; 1)$
Ta có $\overrightarrow{n_1} .\overrightarrow{n_2}=1.1+(-1) .1=0$ nên $\overrightarrow{n_1} \perp \overrightarrow{n_2}$
Giải hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}x-y+2=0 \\ x+y+4=0\end{array}\right.$ ta được nghiệm $\left\{\begin{array}{l}x=-3 \\ y=-1\end{array}\right.$
Suy ra hai đường thẳng $d_1$ và $d_2$ vuông góc và cắt nhau tại $M(-3 ;-1)$
b) $d_1$ và $d_2$ có vectơ pháp tuyến lần lượt là $\overrightarrow{n_1}=(5 ;-2), \overrightarrow{n_2}=(5 ;-2)$
$\overrightarrow{n_1}, \overrightarrow{n_2}$ trùng nhau nên hai vectơ pháp tuyến cùng phương. Suy ra $d_1$ và $d_2$ song song hoặc trùng nhau
Lấy điểm $A(1 ; 3)$ thuộc $d_1$, thay tọa độ của $A$ vào phương trình $d_2$, ta được $5.1-2.3+9=8 \neq 0$, suy ra $A$ không thuộc đường thẳng $d_2$
Vậy hai đường thẳng $d_1$ và $d_2$ song song
c) $d_1$ và $d_2$ có vectơ pháp tuyến lần lượt là $\overrightarrow{n_1}=(3 ; 1), \overrightarrow{n_2}=(3 ; 1)$
Suy ra hai vectơ pháp tuyến cùng phương. Suy ra $d_1$ và $d_2$ song song hoặc trùng nhau
Lấy điểm $A(2 ; 5)$ thuộc $d_1$, thay tọa độ của $A$ vào phương trình $d_2$, ta được $3.2+5-11=0$, suy ra $A$ thuộc đường thẳng $d_2$
Vậy hai đường thẳng $d_1$ và $d_2$ trùng nhau
Bài 5 trang 58
5. Cho đường thẳng $d$ có phương trình tham số $\left\{\begin{array}{l}x=2-t \\ y=5+3 t\end{array}\right.$.
Tìm giao điểm của $d$ với hai trục toạ độ.
Tìm giao điểm của $d$ với hai trục toạ độ.
Phương pháp giải:
+) A là giao của d với $O x=>A(a ; 0)$ thuộc $d$.
+) A là giao của d với $O y=>A\left(0 ; a^{\prime}\right)$ thuộc $d$.
+) A là giao của d với $O x=>A(a ; 0)$ thuộc $d$.
+) A là giao của d với $O y=>A\left(0 ; a^{\prime}\right)$ thuộc $d$.
Lời giải chi tiết:
+) Gọi $A$ là giao điểm của đường thẳng $d$ với trục tung
Suy ra tọa độ của $A$ là: $A(0 ; y)$
Thay $x=0$ vào phương trình $\left\{\begin{array}{l}x=2-t \\ y=5+3 t\end{array}\right.$ ta có:
\left\{\begin{array} { l } { 0 = 2 – t } \\ { y = 5 + 3 t } \end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} t=2 \\ y=11 \end{array}\right.\right.
Vậy giao điểm của $d$ với trục tung là $A(0 ; 11)$
+) Gọi $B$ là giao điểm của đường thẳng $d$ với trục hoành
Suy ra tọa độ của $B$ là: $B(x ; 0)$
Thay $y=0$ vào phương trình $\left\{\begin{array}{l}x=2-t \\ y=5+3 t\end{array}\right.$ ta có:
\left\{\begin{array} { l } { x = 2 – t } \\ { 0 = 5 + 3 t } \end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} x=\frac{11}{3} \\ t=-\frac{5}{3} \end{array}\right.\right.
Vậy giao điểm của $d$ với trục hoành là $B\left(\frac{11}{3} ; 0\right)$
+) Gọi $A$ là giao điểm của đường thẳng $d$ với trục tung
Suy ra tọa độ của $A$ là: $A(0 ; y)$
Thay $x=0$ vào phương trình $\left\{\begin{array}{l}x=2-t \\ y=5+3 t\end{array}\right.$ ta có:
\left\{\begin{array} { l } { 0 = 2 – t } \\ { y = 5 + 3 t } \end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} t=2 \\ y=11 \end{array}\right.\right.
Vậy giao điểm của $d$ với trục tung là $A(0 ; 11)$
+) Gọi $B$ là giao điểm của đường thẳng $d$ với trục hoành
Suy ra tọa độ của $B$ là: $B(x ; 0)$
Thay $y=0$ vào phương trình $\left\{\begin{array}{l}x=2-t \\ y=5+3 t\end{array}\right.$ ta có:
\left\{\begin{array} { l } { x = 2 – t } \\ { 0 = 5 + 3 t } \end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} x=\frac{11}{3} \\ t=-\frac{5}{3} \end{array}\right.\right.
Vậy giao điểm của $d$ với trục hoành là $B\left(\frac{11}{3} ; 0\right)$
Bài 6 trang 58
6. Tìm số đo của góc giữa hai đường thẳng $d_{1}$ và $d_{2}$ trong các trường hợp sau:
a) $d_{1}: x-2 y+3=0 \quad$ và $d_{2}: 3 x-y-11=0$;
b) $d_{1}:\left\{\begin{array}{l}x=t \\ y=3+5 t\end{array} \quad\right.$ và $d_{2}: x+5 y-5=0$,
c) $d_{1}:\left\{\begin{array}{l}x=3+2 t \\ y=7+4 t\end{array} \quad\right.$ và $\quad d_{2}:\left\{\begin{array}{l}x=t \\ y=-9+2 t \text {. }\end{array}\right.$
a) $d_{1}: x-2 y+3=0 \quad$ và $d_{2}: 3 x-y-11=0$;
b) $d_{1}:\left\{\begin{array}{l}x=t \\ y=3+5 t\end{array} \quad\right.$ và $d_{2}: x+5 y-5=0$,
c) $d_{1}:\left\{\begin{array}{l}x=3+2 t \\ y=7+4 t\end{array} \quad\right.$ và $\quad d_{2}:\left\{\begin{array}{l}x=t \\ y=-9+2 t \text {. }\end{array}\right.$
Phương pháp giải:
Bước 1: Xác định 2 vectơ pháp tuyến (hoặc chỉ phương) của hai đường thẳng đã cho: $\left(a_1 ; b_1\right),\left(a_2 ; b_2\right)$
Bước 2: Tính cos góc giữa hai đường thẳng bằng công thức $\cos \left(d_1, d_2\right)=\frac{\left|a_1 a_2+b_1 b_2\right|}{\sqrt{a_1^2+b_1^2} \sqrt{a_2^2+b_2^2}}=>$ suy ra góc giữa 2 đt.
Bước 1: Xác định 2 vectơ pháp tuyến (hoặc chỉ phương) của hai đường thẳng đã cho: $\left(a_1 ; b_1\right),\left(a_2 ; b_2\right)$
Bước 2: Tính cos góc giữa hai đường thẳng bằng công thức $\cos \left(d_1, d_2\right)=\frac{\left|a_1 a_2+b_1 b_2\right|}{\sqrt{a_1^2+b_1^2} \sqrt{a_2^2+b_2^2}}=>$ suy ra góc giữa 2 đt.
Lời giải chi tiết:
a) Ta có vectơ pháp tuyến của hai đường thẳng $d_1$ và $d_2$ lần lượt là $\overrightarrow{n_1}=(1 ;-2), \overrightarrow{n_2}=(3 ;-1)$
Ta có $\cos \left(d_1, d_2\right)=\frac{|1 \cdot 3+(-2) \cdot(-1)|}{\sqrt{1^2+(-2)^2} \sqrt{3^2+(-1)^2}}=\frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow\left(d_1, d_2\right)$ $=45^{\circ}$
b) Ta có vectơ pháp tuyến của hai đường thẳng $d_1$ và $d_2$ lần lượt là $\overrightarrow{n_1}=(5 ;-1), \overrightarrow{n_2}=(1 ; 5)$
Ta có $a_1 a_2+b_1 b_2=5.1+(-1) .5=0$
Suy ra $\left(d_1, d_2\right)=90^{\circ}$
c) Ta có vectơ chỉ phương của hai đường thẳng $\Delta_1$ và $\Delta_2$ lần lượt là $\overrightarrow{u_1}=(2 ; 4), \overrightarrow{u_2}=(1 ; 2)$
\cos \left(d_1, d_2\right)=\frac{|2.1+4.2|}{\sqrt{2^2+4^2} \sqrt{1^2+2^2}}=1 \Rightarrow\left(d_1, d_2\right)=0^{\circ}
a) Ta có vectơ pháp tuyến của hai đường thẳng $d_1$ và $d_2$ lần lượt là $\overrightarrow{n_1}=(1 ;-2), \overrightarrow{n_2}=(3 ;-1)$
Ta có $\cos \left(d_1, d_2\right)=\frac{|1 \cdot 3+(-2) \cdot(-1)|}{\sqrt{1^2+(-2)^2} \sqrt{3^2+(-1)^2}}=\frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow\left(d_1, d_2\right)$ $=45^{\circ}$
b) Ta có vectơ pháp tuyến của hai đường thẳng $d_1$ và $d_2$ lần lượt là $\overrightarrow{n_1}=(5 ;-1), \overrightarrow{n_2}=(1 ; 5)$
Ta có $a_1 a_2+b_1 b_2=5.1+(-1) .5=0$
Suy ra $\left(d_1, d_2\right)=90^{\circ}$
c) Ta có vectơ chỉ phương của hai đường thẳng $\Delta_1$ và $\Delta_2$ lần lượt là $\overrightarrow{u_1}=(2 ; 4), \overrightarrow{u_2}=(1 ; 2)$
\cos \left(d_1, d_2\right)=\frac{|2.1+4.2|}{\sqrt{2^2+4^2} \sqrt{1^2+2^2}}=1 \Rightarrow\left(d_1, d_2\right)=0^{\circ}
Bài 7 trang 58
7. Tính khoảng cách từ điểm $M$ đến đường thẳng $\Delta$ trong các trường hợp sau:
a) $M(1 ; 2)$ và $\Delta: 3 x-4 y+12=0$;
b) $M(4 ; 4)$ và $\Delta:\left\{\begin{array}{l}x=t \\ y=-t\end{array}\right.$
c) $M(0 ; 5)$ và $\Delta:\left\{\begin{array}{l}x=t \\ y=\frac{-19}{4}\end{array}\right.$
d) $M(0 ; 0)$ và $\Delta: 3 x+4 y-25=0$.
a) $M(1 ; 2)$ và $\Delta: 3 x-4 y+12=0$;
b) $M(4 ; 4)$ và $\Delta:\left\{\begin{array}{l}x=t \\ y=-t\end{array}\right.$
c) $M(0 ; 5)$ và $\Delta:\left\{\begin{array}{l}x=t \\ y=\frac{-19}{4}\end{array}\right.$
d) $M(0 ; 0)$ và $\Delta: 3 x+4 y-25=0$.
Phương pháp giải:
Bước 1: Xác định phương trình tổng quát của $\Delta: a x_0+b y_0+c=0$
Bước 2: khoảng cách từ $A\left(x_0 ; y_0\right)$ đến d là: $d(A, \Delta)=\frac{\left|a x_0+b y_0+c\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}$
Bước 1: Xác định phương trình tổng quát của $\Delta: a x_0+b y_0+c=0$
Bước 2: khoảng cách từ $A\left(x_0 ; y_0\right)$ đến d là: $d(A, \Delta)=\frac{\left|a x_0+b y_0+c\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}$
Lời giải chi tiết:
a) Khoảng cách từ $M(1 ; 2)$ đến $\Delta: 3 x-4 y+12=0$ là:
d(M, \Delta)=\frac{|3.1-4.2+12|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\frac{7}{5}
b) $\Delta$ có phương trình tham số $\Delta:\left\{\begin{array}{l}x=t \\ y=-t\end{array}\right.$ nên có phương trình tổng quát là
(x-0)+(y-0)=0 \Leftrightarrow x+y=0
Suy ra khoảng cách từ điểm $M(4 ; 4)$ đến đường thẳng $\Delta$ là
d(M, \Delta)=\frac{|1.4+1.4|}{\sqrt{1^2+1^2}}=2 \sqrt{2}
c) $\Delta$ có phương trình tham số $\Delta:\left\{\begin{array}{l}x=t \\ y=\frac{-19}{4}\end{array}\right.$ nên có phương trình tổng quát là
$0 .(x-0)+\left(y+\frac{19}{4}\right)=0 \Leftrightarrow y+\frac{19}{4}=0$
Suy ra khoảng cách từ điểm $M(0 ; 5)$ đến đường thẳng $\Delta$ là
d(M, \Delta)=\frac{\left|5+\frac{19}{4}\right|}{\sqrt{0^2+1^2}}=\frac{39}{4}
d) Khoảng cách từ $M(0 ; 0)$ đến $\Delta: 3 x+4 y-25=0$ là:
d(M, \Delta)=\frac{|3.0+4.0-25|}{\sqrt{3^2+4^2}}=5
a) Khoảng cách từ $M(1 ; 2)$ đến $\Delta: 3 x-4 y+12=0$ là:
d(M, \Delta)=\frac{|3.1-4.2+12|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\frac{7}{5}
b) $\Delta$ có phương trình tham số $\Delta:\left\{\begin{array}{l}x=t \\ y=-t\end{array}\right.$ nên có phương trình tổng quát là
(x-0)+(y-0)=0 \Leftrightarrow x+y=0
Suy ra khoảng cách từ điểm $M(4 ; 4)$ đến đường thẳng $\Delta$ là
d(M, \Delta)=\frac{|1.4+1.4|}{\sqrt{1^2+1^2}}=2 \sqrt{2}
c) $\Delta$ có phương trình tham số $\Delta:\left\{\begin{array}{l}x=t \\ y=\frac{-19}{4}\end{array}\right.$ nên có phương trình tổng quát là
$0 .(x-0)+\left(y+\frac{19}{4}\right)=0 \Leftrightarrow y+\frac{19}{4}=0$
Suy ra khoảng cách từ điểm $M(0 ; 5)$ đến đường thẳng $\Delta$ là
d(M, \Delta)=\frac{\left|5+\frac{19}{4}\right|}{\sqrt{0^2+1^2}}=\frac{39}{4}
d) Khoảng cách từ $M(0 ; 0)$ đến $\Delta: 3 x+4 y-25=0$ là:
d(M, \Delta)=\frac{|3.0+4.0-25|}{\sqrt{3^2+4^2}}=5
Bài 8 trang 58
8. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng: $\Delta: 3 x+4 y-10=0$ và $\Delta^{\prime}: 6 x+8 y-1=0$.
Phương pháp giải:
+) Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song là khoảng cách một điểm bất kì từ đường thẳng này tới đường thẳng còn lại
+) khoảng cách từ $A\left(x_0 ; y_0\right)$ đến d là:
d(A, \Delta)=\frac{\left|a x_0+b y_0+c\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}
+) Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song là khoảng cách một điểm bất kì từ đường thẳng này tới đường thẳng còn lại
+) khoảng cách từ $A\left(x_0 ; y_0\right)$ đến d là:
d(A, \Delta)=\frac{\left|a x_0+b y_0+c\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}
Lời giải chi tiết:
Ta có vectơ pháp tuyến của hai đường thẳng là $\overrightarrow{n_1}=(3 ; 4), \overrightarrow{n_2}=(6 ; 8)$ suy ra hai đường thẳng này song song, nên khoảng cách giữa chúng là khoảng cách từ một điểm bất kì từ đường thẳng này tới đường thẳng kia
Chọn điểm $A\left(0 ; \frac{5}{2}\right) \in \Delta$, suy ra
d\left(\Delta, \Delta^{\prime}\right)=d\left(A, \Delta^{\prime}\right)=\frac{\left|6.0+8 \cdot \frac{5}{2}-1\right|}{\sqrt{6^2+8^2}}=\frac{19}{10}
Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng
$\Delta: 3 x+4 y-10=0$ và $\Delta^{\prime}: 6 x+8 y-1=0$ là $\frac{19}{10}$
Ta có vectơ pháp tuyến của hai đường thẳng là $\overrightarrow{n_1}=(3 ; 4), \overrightarrow{n_2}=(6 ; 8)$ suy ra hai đường thẳng này song song, nên khoảng cách giữa chúng là khoảng cách từ một điểm bất kì từ đường thẳng này tới đường thẳng kia
Chọn điểm $A\left(0 ; \frac{5}{2}\right) \in \Delta$, suy ra
d\left(\Delta, \Delta^{\prime}\right)=d\left(A, \Delta^{\prime}\right)=\frac{\left|6.0+8 \cdot \frac{5}{2}-1\right|}{\sqrt{6^2+8^2}}=\frac{19}{10}
Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng
$\Delta: 3 x+4 y-10=0$ và $\Delta^{\prime}: 6 x+8 y-1=0$ là $\frac{19}{10}$
Bài 9 trang 58
9. Trong mặt phẳng $O x y$, cho điểm $S(x ; y)$ di động trên đường thẳng $d: 12 x-5 y+16=0$. Tính khoảng cách ngắn nhất từ điểm $M(5 ; 10)$ đến điểm $S$.
Phương pháp giải:
Khi M nằm trên đường thẳng d thì khoảng ngắn nhất là đoạn vuông góc
Khi M nằm trên đường thẳng d thì khoảng ngắn nhất là đoạn vuông góc
Lời giải chi tiết:
Điểm $S$ nằm trên đường thẳng $d$, nên khi $S$ di động trên đoạn thẳng $d$ thì $S M$ ngắn nhất khi $S M \perp d$
Nên khoảng cách ngắn nhất từ điểm $M(5 ; 10)$ đến điểm $S$ là khoảng cách từ điểm $M(5 ; 10)$ đến d Khoảng cách đó là: $d(M, d)=\frac{|12.5-5.10+16|}{\sqrt{12^2+5^2}}=2$
Vậy khi $S$ di động trên đường thẳng $d$ thì khoảng cách ngắn nhất từ điểm $M(5 ; 10)$ đến điểm $S$ là 2.
Điểm $S$ nằm trên đường thẳng $d$, nên khi $S$ di động trên đoạn thẳng $d$ thì $S M$ ngắn nhất khi $S M \perp d$
Nên khoảng cách ngắn nhất từ điểm $M(5 ; 10)$ đến điểm $S$ là khoảng cách từ điểm $M(5 ; 10)$ đến d Khoảng cách đó là: $d(M, d)=\frac{|12.5-5.10+16|}{\sqrt{12^2+5^2}}=2$
Vậy khi $S$ di động trên đường thẳng $d$ thì khoảng cách ngắn nhất từ điểm $M(5 ; 10)$ đến điểm $S$ là 2.
Bài 10 trang 58
10. Một người đang viết chương trình cho tró chơi bóng đá rô bốt. Gọi $A(-1 ; 1), B(9 ; 6), C(5 ;-3)$ là ba vị trí trên màn hình.
a) Viết phương trình các đường thẳng $A B, A C, B C$.
b) Tính góc hợp bởi hai đường thẳng $A B$ và $A C$.
c) Tính khoảng cách từ điểm $A$ đến đường thẳng $B C$.
a) Viết phương trình các đường thẳng $A B, A C, B C$.
b) Tính góc hợp bởi hai đường thẳng $A B$ và $A C$.
c) Tính khoảng cách từ điểm $A$ đến đường thẳng $B C$.
Phương pháp giải:
a) Tìm VTPT (hoặc VTCP) => Lập PT tổng quát (hoặc tham số) của đt.
b) Xác định góc giữa hai đường thẳng thông qua cặp VTPT ( hoặc VTCP): $\left(a_1 ; b_1\right),\left(a_2 ; b_2\right)$
\cos \left(d_1, d_2\right)=\frac{\left|a_1 a_2+b_1 b_2\right|}{\sqrt{a_1^2+b_1{ }^2} \sqrt{a_2{ }^2+b_2{ }^2}}
c) Khoảng cách từ $A\left(x_0 ; y_0\right)$ đến $B C$ : $a x_0+b y_0+c=0$ là
d(A, \Delta)=\frac{\left|a x_0+b y_0+c\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}
a) Tìm VTPT (hoặc VTCP) => Lập PT tổng quát (hoặc tham số) của đt.
b) Xác định góc giữa hai đường thẳng thông qua cặp VTPT ( hoặc VTCP): $\left(a_1 ; b_1\right),\left(a_2 ; b_2\right)$
\cos \left(d_1, d_2\right)=\frac{\left|a_1 a_2+b_1 b_2\right|}{\sqrt{a_1^2+b_1{ }^2} \sqrt{a_2{ }^2+b_2{ }^2}}
c) Khoảng cách từ $A\left(x_0 ; y_0\right)$ đến $B C$ : $a x_0+b y_0+c=0$ là
d(A, \Delta)=\frac{\left|a x_0+b y_0+c\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}
Lời giải chi tiết:
a) Ta có:
$\overrightarrow{A B}=(10 ; 5), \overrightarrow{A C}=(6 ;-4), \overrightarrow{B C}=(-4 ;-9)$
+) Đường thẳng $A B$ nhận vectơ $\overrightarrow{A B}=(10 ; 5)$ làm
phương trình chỉ phương và đi qua điểm $A(-1 ; 1)$ nên có
phương trình tham số là: $\left\{\begin{array}{l}x=-1+10 t \\ y=1+5 t\end{array}\right.$
+) Đường thẳng $A C$ nhận vectơ $\overrightarrow{A C}=(6 ;-4)$ làm
phương trình chỉ phương và đi qua điểm $A(-1 ; 1)$ nên có
phương trình tham số là: $\left\{\begin{array}{l}x=-1+6 t \\ y=1-4 t\end{array}\right.$
+) Đường thẳng $B C$ nhận vectơ $\overrightarrow{B C}=(-4 ;-9)$ làm
phương trình chỉ phương và đi qua điểm $B(9 ; 6)$ nên có
phương trình tham số là: $\quad\left\{\begin{array}{l}x=9-4 t \\ y=6-9 t\end{array}\right.$
b) Ta có vectơ pháp tuyến của hai đường thẳng $A B$ và $A C$ lần lượt là: $\overrightarrow{n_1}=(1 ;-2), \overrightarrow{n_2}=(2 ; 3)$
\cos (A B, A C)=\cos \left(\overrightarrow{n_1}, \overrightarrow{n_2}\right)=\frac{|1.2+(-2) \cdot 3|}{\sqrt{1^2+(-2)^2} \sqrt{2^2+3^2}} \\ =\frac{4 \sqrt{65}}{65} \Rightarrow(A B, A C)=60^{\circ} 15^{\prime}
Vậy góc giữa hai đường thẳng $A B$ và $A C$ là $60^{\circ} 15^{\prime}$
c) Đường thẳng $B C$ nhận vectơ $\overrightarrow{B C}=(-4 ;-9)$ làm vectơ chỉ phương nên có vectơ pháp tuyến là
$\vec{n}=(9 ;-4)$ và đi qua $B(9 ; 6)$, suy ra phương trình tổng quát của đường thẳng $B C$ là:
9. $(x-9)-4(y-6)=0 \Leftrightarrow 9 x-4 y-57=0$
Khoảng cách từ $A(-1 ; 1)$ đến đường thẳng $B C$ là:
d(A, B C)=\frac{|9 .(-1)-4.1-57|}{\sqrt{9^2+(-4)^2}}=\frac{70 \sqrt{97}}{97}
a) Ta có:
$\overrightarrow{A B}=(10 ; 5), \overrightarrow{A C}=(6 ;-4), \overrightarrow{B C}=(-4 ;-9)$
+) Đường thẳng $A B$ nhận vectơ $\overrightarrow{A B}=(10 ; 5)$ làm
phương trình chỉ phương và đi qua điểm $A(-1 ; 1)$ nên có
phương trình tham số là: $\left\{\begin{array}{l}x=-1+10 t \\ y=1+5 t\end{array}\right.$
+) Đường thẳng $A C$ nhận vectơ $\overrightarrow{A C}=(6 ;-4)$ làm
phương trình chỉ phương và đi qua điểm $A(-1 ; 1)$ nên có
phương trình tham số là: $\left\{\begin{array}{l}x=-1+6 t \\ y=1-4 t\end{array}\right.$
+) Đường thẳng $B C$ nhận vectơ $\overrightarrow{B C}=(-4 ;-9)$ làm
phương trình chỉ phương và đi qua điểm $B(9 ; 6)$ nên có
phương trình tham số là: $\quad\left\{\begin{array}{l}x=9-4 t \\ y=6-9 t\end{array}\right.$
b) Ta có vectơ pháp tuyến của hai đường thẳng $A B$ và $A C$ lần lượt là: $\overrightarrow{n_1}=(1 ;-2), \overrightarrow{n_2}=(2 ; 3)$
\cos (A B, A C)=\cos \left(\overrightarrow{n_1}, \overrightarrow{n_2}\right)=\frac{|1.2+(-2) \cdot 3|}{\sqrt{1^2+(-2)^2} \sqrt{2^2+3^2}} \\ =\frac{4 \sqrt{65}}{65} \Rightarrow(A B, A C)=60^{\circ} 15^{\prime}
Vậy góc giữa hai đường thẳng $A B$ và $A C$ là $60^{\circ} 15^{\prime}$
c) Đường thẳng $B C$ nhận vectơ $\overrightarrow{B C}=(-4 ;-9)$ làm vectơ chỉ phương nên có vectơ pháp tuyến là
$\vec{n}=(9 ;-4)$ và đi qua $B(9 ; 6)$, suy ra phương trình tổng quát của đường thẳng $B C$ là:
9. $(x-9)-4(y-6)=0 \Leftrightarrow 9 x-4 y-57=0$
Khoảng cách từ $A(-1 ; 1)$ đến đường thẳng $B C$ là:
d(A, B C)=\frac{|9 .(-1)-4.1-57|}{\sqrt{9^2+(-4)^2}}=\frac{70 \sqrt{97}}{97}
Cảm ơn các bạn đã theo dõi bài viết của HocThatGioi về Giải SGK bài Đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ Toán 10 Chân trời sáng tạo ở các trang 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58. Hi vọng các bạn có một buổi học thật thú vị và tiếp thu được nhiều kiến thức bổ ích. Chúc các bạn học tốt!
