Giải SGK bài tập cuối chương 10 trang 86 Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2

1. Chọn ngẫu nhiên một số nguyên dương có ba chữ số.
a) Hãy mô tả không gian mẫu.
b) Tính xác suất của biến cố “Số được chọn là lập phương của một số nguyên”.
c) Tính xác suất của biến cố “Số được chọn chia hết cho 5 “.

2. Gieo bốn đồng xu cân đối và đồng chất. Xác định biến cố đối của mỗi biến cố sau và tính xác suất của nó.
a) “Xuất hiện it nhất ba mặt sấp”;
b) “Xuất hiện it nhất một mặt ngửa”

Lời giải chi tiết:
Tổng số kết quả có thể xảy ra của phép thứ là $n(\Omega)=2^4$
a) Biến cố đối của biến cố “Xuất hiện ít nhất ba mặt sấp” là biến cố ” Xuất hiện nhiều nhất một mặt sấp”
Biến cố xảy ra khi trên mặt đồng xu chỉ xuất hiện một hoặc không có mặt sấp nào. Số kết quả thuận lợi cho biến cố là $C_4^1+1=5$
Xác suất của biến cố là $P=\frac{5}{2^4}=\frac{5}{16}$
b) Biến cố đối của biến cố “Xuất hiện ít nhất một mặt ngửa” là biến cố ” Không xuất hiện mặt ngửa nào”
Biến cố xảy ra khi tất cả các mặt đồng là mặt sấp. Chỉ có 1 kết quả thuận lợi cho biến cố
Xác suất của biến cố là $P=\frac{1}{2^4}=\frac{1}{16}$

3. Gieo ba con xúc xắc cân đối và đồng chất. Tính xác suất của mỗi biến cố sau:
a) “Tổng số chấm xuất hiện nhỏ hơn 5”;
b) “Tích số chấm xuất hiện chia hết cho 5”.

Lời giải chi tiết:
Tổng số khả năng có thể xảy ra của phép thử là $n(\Omega)=6^3$
a) Gọi $A$ là biến cố “Tổng số chấm xuất hiện nhỏ hơn 5”,
ta có biến cố đối của $A$ là $\bar{A}$ : “Tổng số chấm xuất hiện lớn hơn hoặc bằng 5”
Số kết quả thuận lợi cho $\bar{A}$ là $n(\bar{A})=1+C_3^1=4$
Xác suất của biến cố $\bar{A}$ là $P(\bar{A})=\frac{4}{6^3}=\frac{1}{54}$
Vậy xác suất của biến cố $A$ là P(A)=1-P(\bar{A})=1-\frac{1}{54}=\frac{53}{54}
b) Gọi $A$ là biến cố “Tích số chấm xuất hiện chia hết cho 5″, ta có biến cố đối của $A$ là $\bar{A}$ : “Tích số chấm xuất hiện không chia hết cho $5^{\prime \prime}$
$\bar{A}$ xảy ra khi không có mặt của xúc xắc nào xuất hiện 5 chấm

4. Hộp thứ nhất chứa 4 viên bi xanh, 3 viên bi đỏ. Hộp thứ hai chứa 5 viên bi xanh, 2 viên bi đỏ. Các viên bi có kích thước và khối lượng như nhau. Lấy ra ngẫu nhiên từ mỗi hộp 2 viên bi. Tính xác suất của mỗi biến cố sau:
a) “Bốn viên bi lấy ra có cùng màu”;
b) “Trong 4 viên bi lấy ra có đúng 1 viên bi xanh”;
c) “Trong 4 viên bi lấy ra có đủ cả bi xanh và bi đỏ”.

Lời giải chi tiết:
Tổng số khả năng có thể xảy ra của phép thử là $n(\Omega)=C_7^2 . C_7^2=441$
a) Biến cố “Bốn viên bi lấy ra có cùng màu” xảy ra khi mỗi lần lấy từ 2 hộp đều là hai viên bi xạnh hoặc hai viên bi đỏ. Số kết quả thuận lợi cho biến cố là $C_4^2 .C_5^2+C_3^2 . C_2^2=63$
Vậy xác suất của biến cố “Bốn viên bi lấy ra có cùng màu” là $P=\frac{63}{441}=\frac{1}{7}$
b) Số kết quả thuận lợi cho biến cố “Trong 4 viên bi lấy ra có đúng 1 viên bi xanh” là $C_4^1 .C_3^1 .C_2^2+C_3^2 .C_5^1 .C_2^1=42$
Vậy xác suất của biến cố “Trong 4 viên bi lấy ra có đúng 1 viên bi xanh” là: $P=\frac{42}{441}=\frac{2}{21}$
c) Gọi $A$ là biến cố “Trong 4 viên bi lấy ra có đủ cả bi xanh và bi đỏ”, ta có biến cố đối là $\bar{A}:$ “4 viên bi lấy ra chỉ có một màu”
$\bar{A}$ xảy ra khi 2 lần lấy ra đều được các viên bi cùng màu xanh hoặc cùng màu đỏ
Từ câu a) ta có xác suất của biến cố $\bar{A}$ là $P(\bar{A})=\frac{1}{7}$
Suy ra, xác suất của biến cố $A$ là P(A)=1-P(\vec{A})=1-\frac{1}{7}=\frac{6}{7}

5. Một nhóm học sinh được chia vào 4 tổ, mỗi tổ có 3 học sinh. Chọn ra ngẫu nhiên từ nhóm đó 4 học sinh. Tính xác suất của mỗi biến cố sau:
a) “Bốn bạn thuộc 4 tổ khác nhau”;
b) “Bốn bạn thuộc 2 tổ khác nhau”.

Lời giải chi tiết:
Tổng số khả năng có thể xảy ra của phép thử là $n(\Omega)=C_{12}^4$
a) Số kết quả thuận lợi cho biến cố “Bốn bạn thuộc 4 tổ khác nhau” là số cách sắp xếp 4 bạn vào 4 tổ có 4 ! cách
Vậy xác suất của biến cố “Bốn bạn thuộc 4 tổ khác nhau” là $P=\frac{4 !}{C_{12}^4}=\frac{8}{165}$
b) Gọi $A$ là biến cố “Bốn bạn thuộc 2 tổ khác nhau”
$A$ xảy ra với 2 trường hợp sau:
TH1 : 3 bạn cùng thuộc 1 tổ và 1 bạn thuộc tổ khác có $C_4^3 \cdot C_3^1 \cdot C_2^1=24$ cách
TH2: cứ 2 bạn cùng thuộc 1 tổ $C_4^2 \cdot C_3^1 \cdot C_2^2 \cdot C_2^1=36$
cách
Suy ra, số kết quả thuận lợi cho biến cố $A$ là
$n(A)=24+36=60$
Vậy xác suất của biến cố “Bốn bạn thuộc 2 tổ khác nhau” là $P(A)=\frac{n(A)}{n(\Omega)}=\frac{60}{C_{12}^4}=\frac{4}{33}$

6. Một cơ thể có kiễu gen là AaBbDdEe, các cặp alen nằm trên các cặp nhiễm sắc thể tương đồng khác nhau. Chọn ngẫu nhiên một giao tử của cơ thể sau khi giảm phân. Giả sử tất cả các giao tử sinh ra có sức sống như nhau. Tính xác suất để giao tử được chọn mang đầy đủ các alen trội.

Lời giải chi tiết:
Tổng số giao tử được tạo ra sau khi giảm phân là $n(\Omega)=2^8$
Giao tử được chọn mang đầy đủ các alen trội khi giao tử’ có kiểu gen luôn có các alen A, B, D, E
Số kết quả thuận lợi cho việc chọn giao tử mang đầy đủ gen trội là $n=1 . 2 .1 .2 .1 .2 .1.2=2^4$
Suy ra xác suất để giao tử được chọn mang đầy đủ các alen trội là $P=\frac{2^4}{2^8}=\frac{1}{16}$

7. Sắp xếp 5 tấm thẻ cùng loại được đánh số từ 1 đến 5 một cách ngẫu nhiên để tạo thành một số tự nhiên $a$ có 5 chữ số. Tính xác suất của mỗi biến cố sau:
a) “a là số chẵn”;
b) ” $a$ chia hết cho 5 “;
c) ” $a \geq 32000$ ”;
d) “Trong các chữ số của a không có 2 chữ số lẻ nào đứng cạnh nhau”.

Lời giải chi tiết:
Gọi số lập được có dạng $\overline{a_1 a_2 a_3 a_4 a_5}$ với \left(a_1, a_2, a_3, a_4, a_5\right)=1,2,3,4,5
Tổng số khả năng xảy ra của phép thử là $n(\Omega)=5$ !
a) Biến cố “a là số chẵn” xảy ra khi chữ số tận cùng là số chẵn, suy ra $a_5=\{2,4\}$
Số kết quả thuận lợi cho biến cố “a là số chẵn” là n=4 ! .2
Vậy xác suất của biến cố ” a là số chẵn” là $P=\frac{4 ! .2}{5 !}=\frac{2}{5}$
b) Biến cố “a chia hết cho 5” xảy ra khi chữ số tận cùng là số 5
Suy ra, số kết quả thuận lợi cho biến cố “a chia hết cho 5” là $n=4 ! .1$
Vậy xác suất của biến cố “a là số chẵn” là $P=\frac{4 ! .1}{5 !}=\frac{1}{5}$
c) Biến cố ” $a \geq 32000$ ” xảy ra khi $a$ có dạng như dưới đây $\overline{5 a_2 a_3 a_4 a_5} ; \overline{4 a_2 a_3 a_4 a_5} ; \overline{34 a_3 a_4 a_5} ; \overline{35 a_3 a_4 a_5} ; \overline{32 a_3 a_4 a_5}$
Suy ra, số kết quả thuận lợi cho biến cố ” $a \geq 32000$ ” là $n=2.4 !+3.3 !$
Vậy xác suất của biến cố ” $a \geq 32000$ ” là P=\frac{2.4 !+3.3 !}{5 !}=\frac{11}{20}
d) Để sắp xếp các chữ số của a ta cần thực hiện hai công đoạn
Công đoạn 1: Sắp xếp 2 chữ số chẵn trước có 2 ! cách
Công đoạn 2: Sắp xếp 3 chũ số lẻ xen vào 3 chỗ trồng tạo bởi 2 chữ số chẵn có 3 ! cách
Suy ra, số kết quả thuận lợi cho biến cố “Trong các chữ số của a không có hai chữ số lẻ nào đứng cạnh nhau” là $2 ! .3$ !
Vậy xác suất của biến cố là $P=\frac{2 ! .3 !}{5 !}=\frac{1}{10}$

8. Lớp 10A có 20 bạn nữ, 25 bạn nam. Lớp 10B có 24 bạn nữ, 21 bạn nam. Chọn ngẫu nhiên từ mỗi lớp ra 2 bạn đi tập văn nghệ. Tính xác suất của mỗi biến cố sau:
a) ‘Trong 4 bạn được chọn có it nhất 1 bạn nam”;
b) “Trong 4 bạn được chọn có đủ cả nam và nữ”.

Lời giải chi tiết:
Tổng số khả năng có thể xảy ra của phép thử là $n(\Omega)=C_{45}^2 \cdot C_{45}^2$
a) Gọi $A$ là biến cố “Trong 4 bạn được chọn có ít nhất 1 bạn nam”, ta có biến cố đối $\bar{A}$ : “Trong 4 bạn được chọn không có bạn nam nào”
$\bar{A}$ xảy ra khi các bạn được chọn đều là nữ. Số kết quả thuận lợi cho biến cố $\bar{A}$ là $n(\bar{A})=C_{20}^2$. $C_{24}^2$
Xác suất của biến cố $\bar{A}$ là
P(\bar{A})=\frac{n(\bar{A})}{n(\Omega)}=\frac{C_{20}^2 \cdot C_{24}^2}{C_{45}^2 \cdot C_{45}^2}=\frac{874}{16335}
Suy ra, xác suất của biến cố $A$ là
P(A)=1-P(\bar{A})=1-\frac{874}{16335}=\frac{15461}{16335}

9. Trong hộp có 5 bóng xanh, 6 bóng đỏ và 2 bóng vàng. Các quả bóng có kích thước và khối lượng như nhau. Lấy 2 bóng từ hộp, xem màu, trả lại hộp rồi lại lấy tiếp 1 bóng nữa từ hộp. Tính xác suất của mỗi biến cố sau:
a) “Ba bóng lấy ra cùng màu”;
b) “Bóng lấy ra lần 2 là bóng xanh”;
c) “Ba bóng lấy ra có 3 màu khác nhau”.

Lời giải chi tiết:
Tổng số khả năng có thể xảy ra của phép thử là $n(\Omega)=C_{13}^2 \cdot 13$
a) Biến cố “Ba quả bóng lấy ra cùng màu” xảy ra khi hai lần đều lấy ra bóng có cùng màu xanh, đỏ hoặc vàng. Số kết quả thuận lợi cho biến cố là $C_5^2 .5+C_6^2 .6+C_2^2 .2=142$
Vậy xác suất của biến cố “Ba quả bóng lấy ra cùng màu” là $P=\frac{142}{13 C_{13}^2}=\frac{71}{507}$
b) Số kết quả thuận lợi cho biến cố “Bóng lấy ra lần 2 là bóng xanh” là $C_{13}^2 .5$
Vậy xác suất của biến cố “Bóng lấy ra lần 2 là bóng xanh” là $P=\frac{5 C_{13}^2}{13 C_{13}^2}=\frac{5}{13}$
c) Biến cố “Ba bóng lấy ra có ba màu khác nhau” xảy ra khi hai quả bóng lấy ra lần đầu là 2 màu khác nhau và quả bóng lấy lần 2 có màu còn lại. Số kết quả thuận lợi cho biến cố này là $5.6 .2 .3 !=360$
Vậy xác suất của biến cố “Ba bóng lấy ra có ba màu khác nhau” là $P=\frac{360}{13 C_{13}^2}=\frac{60}{169}$