Giải SGK Bài tập cuối chương 7 trang 18 Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2

Xét dấu của các tam thức bậc hai sau:
a) $f(x)=6 x^2+41 x+44$
b) $g(x)=-3 x^2+x-1$
c) $h(x)=9 x^2+12 x+4$

Lời giải chi tiết:
a) $f(x)=6 x^2+41 x+44$ có $\Delta=625>0$
Có hai nghiệm phân biệt là $x_1=-\frac{11}{2}, x_2=-\frac{4}{3}$ và có $a=6>0$
Ta có bảng xét dấu $f(x)$ như sau:

Vậy $f(x)$ dương trong khoảng $\left(-\infty ;-\frac{11}{2}\right) \cup\left(-\frac{4}{3} ;+\infty\right)$ và âm trong khoảng $\left(-\frac{11}{2} ;-\frac{4}{3}\right)$
b) $g(x)=-3 x^2+x-1$ có $\Delta=-11<0$ và có $a=-3<0$
Ta có bảng xét dấu $g(x)$ như sau:

Vậy $g(x)$ Iuôn âm với mọi $x \in \mathbb{R}$
c) $h(x)=9 x^2+12 x+4$ có $\Delta=0$
Có nghiệm kép là $x_1=x_2=-\frac{2}{3}$ và có $a=9>0$
Ta có bảng xét dấu của $h(x)$ như sau:

Vậy $h(x)$ luôn dương khi $x \neq-\frac{2}{3}$

Giải các bất phương trình sau:
a) $7 x^2-19 x-6 \geq 0$
b) $-6 x^2+11 x>10$
c) $3 x^2-4 x+7>x^2+2 x+1$
d) $x^2-10 x+25 \leq 0$

Lời giải chi tiết:
a) Xét tam thức $f(x)=7 x^2-19 x-6$ có $\Delta=529>0$, có hai nghiệm phân biệt $x_1=-\frac{2}{7}, x_2=3$ và có $a=7>0$
Ta có bảng xét dấu như sau

Vậy nghiệm của bất phương trình là đoạn $\left[-\frac{2}{7} ; 3\right]$
b) $-6 x^2+11 x>10 \Leftrightarrow-6 x^2+11 x-10>0$
Xét tam thức $f(x)=-6 x^2+11 x-10$ có $\Delta=-119<0$ và có $a=-6<0$
Ta có bảng xét dấu như sau

Vậy bất phương trình vô nghiệm
c) $3 x^2-4 x+7>x^2+2 x+1 \Leftrightarrow 2 x^2-6 x+6>0$
Xét tam thức $f(x)=2 x^2-6 x+6$ có $\Delta=-120$
Ta có bảng xét dấu như sau

Vậy bất phương trình có vô số nghiệm
d) Xét tam thức $f(x)=x^2-10 x+25$ có $\Delta=0$, có nghiệm kép $x_1=x_2=5$ và có $a=1>0$
Ta có bảng xét dấu như sau

Vậy nghiệm của bất phương trình là $x=5$

Dựa vào đồ thị của hàm số bậc hai được cho, hãy giải các bất phương trình sau:

Lời giải chi tiết:
a) Quan sát vào độ thị ta thấy đoạn mà đồ thị nằm dưới trục hoành
là $\left[-2 ; \frac{5}{2}\right]$
Vậy nghiệm của bất phương trình $x^2-0,5 x-5 \leq 0$ là đoạn $\left[-2 ; \frac{5}{2}\right]$
b) Quan sát vào đồ thị ta thấy đồ thị luôn nằm dưới trục hoành
Vậy nghiệm của bất phương trình $-2 x^2+x-1>0$ vô nghiệm

Giải các phương trình sau:
a) $\sqrt{x^2-7 x}=\sqrt{-9 x^2-8 x+3}$
b) $\sqrt{x^2+x+8}-\sqrt{x^2+4 x+1}=0$
c) $\sqrt{4 x^2+x-1}=x+1$
d) $\sqrt{2 x^2-10 x-29}=\sqrt{x-8}$

Lời giải chi tiết:
a) $\sqrt{x^2-7 x}=\sqrt{-9 x^2-8 x+3}$
$\Rightarrow x^2-7 x=-9 x^2-8 x+3$
$\Rightarrow 10 x^2+x-3=0$
$\Rightarrow x=-\frac{3}{5}$ và $x=\frac{1}{2}$
Thay hai nghiệm vừa tìm được vào phương trình $\sqrt{x^2-7 x}=\sqrt{-9 x^2-8 x+3}$ thì ta thấy chỉ có nghiệm $x=-\frac{3}{5}$ thỏa mãn phương trình
Vậy nghiệm của phương trình là $x=-\frac{3}{5}$

b) $\sqrt{x^2+x+8}-\sqrt{x^2+4 x+1}=0$
$\Rightarrow \sqrt{x^2+x+8}=\sqrt{x^2+4 x+1}$
$\Rightarrow x^2+x+8=x^2+4 x+1$
$\Rightarrow 3 x=7$
$\Rightarrow x=\frac{7}{3}$
Thay $x=\frac{7}{3}$ vào phương trình $\sqrt{x^2+x+8}-\sqrt{x^2+4 x+1}=0$ ta thấy thỏa mãn phương trình
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là $x=\frac{7}{3}$

c) $\sqrt{4 x^2+x-1}=x+1$
$\Rightarrow 4 x^2+x-1=(x+1)^2$
$\Rightarrow 4 x^2+x-1=x^2+2 x+1$
$\Rightarrow 3 x^2-x-2=0$
$\Rightarrow x=-\frac{2}{3}$ và $x=1$
Thay hai nghiệm trên vào phương trình $\sqrt{4 x^2+x-1}=x+1$ ta thấy cả hai nghiệm đều thỏa mãn
Vậy nghiệm của phương trình trên là $x=-\frac{2}{3}$ và $x=1$

d) $\sqrt{2 x^2-10 x-29}=\sqrt{x-8}$
$\Rightarrow 2 x^2-10 x-29=x-8$
$\Rightarrow 2 x^2-11 x-21=0$
$\Rightarrow x=-\frac{3}{2}$ và $x=7$
Thay hai nghiệm $x=-\frac{3}{2}$ và $x=7$ vào phương trình $\sqrt{2 x^2-10 x-29}=\sqrt{x-8}$ ta thấy cả hai đều không thảo mãn phương trình
Vậy phương trình $\sqrt{2 x^2-10 x-29}=\sqrt{x-8}$ vô nghiệm

Một tam giác vuông có một cạnh góc vuông ngắn hơn cạnh huyền $8 \mathrm{~cm}$. Tính độ dài của cạnh huyền, biết chu vi của tam giác bằng $30 \mathrm{~cm}$.

Lời giải chi tiết:
Đặt cạnh huyền của tam giác là $x(x>8)$
Theo giải thiết ta tính được cạnh góc vuông là $x-8$
Áp dụng định lý Pitago ta tính được cạnh góc vuông còn lại là $\sqrt{x^2-(x-8)^2}=\sqrt{16 x-64}$
Ta có chu vi của tam giác là $x+(x-8)+\sqrt{16 x-64}=30$
$\Leftrightarrow \sqrt{16 x-64}=38-2 x$
$\Rightarrow 16 x-64=(38-2 x)^2$
$\Rightarrow 16 x-64=1444-152 x+4 x^2$
$\Rightarrow 4 x^2-168 x+1508=0$
$\Rightarrow x=13$ và $x=29$
Thay $x=13$ và $x=29$ vào phương trình $\sqrt{16 x-64}=38-2 x$ ta thấy chỉ có $x=13$ thảo mãn phương trình
Vậy cạnh huyền có độ dài là $13 \mathrm{~cm}$.

Một quả bóng được bắn thẳng lên từ độ cao $2 \mathrm{~m}$ với vận tốc ban đầu là $30 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$. Khoảng cách quả bóng so với mặt đất t giây được cho bởi hàm số:
$h(t)=-4,9 t^2+30 t+2$
với $h(t)$ tính bằng đơn vị mét. Hỏi quả bóng nằm ở độ cao trên $40 \mathrm{~m}$ trong thời gian bao lâu? Làm tròn kết quả đến hàng phần mười.

Lời giải chi tiết:
Theo giả thiết, khoảng thời gian bóng nằm ở độ cao $40 \mathrm{~m}$ là nghiệm của bất phương trình sau:
$h(t)>40 \Leftrightarrow-4,9 t^2+30 t+2>40$
$\Leftrightarrow-4,9 t^2+30 t-38>0$
Xét tam thức $f(t)=-4,9 t^2+30 t-38$ có $\Delta=155,2>0$, có hai nghiệm phân biệt là $x_1 \simeq 1,8 ; x_2 \simeq 4,3$ và có $a=-4,9<0$
Ta có bảng xét dấu như sau:

Từ đó cho thấy khoảng từ $1,8 \mathrm{~s}$ đến $4,3 \mathrm{~s}$ là khoảng thời gian bóng cao so với mặt đất lớn hơn $40 \mathrm{~m}$
Vậy quả bóng nằm ở độ cao trên $40 \mathrm{~m}$ trong thời gian 2,5 giây.

Một chú cá heo nhảy lên khỏi mặt nước sau $t$ giây được cho bởi hàm số $h(t)=-4,9 t^2+9,6 t$
Tính khoảng thời gian cá heo ở trên không.

Lời giải chi tiết:
Khoảng thời gian cá heo ở trên không chính là khoảng cá heo cao hơn mặt nước
Ta có bất phương trình $h(t)>0 \Leftrightarrow-4,9 t^2+9,6 t>0$
Xét tam thức $f(t)=-4,9 t^2+9,6 t$ có $\Delta=92.16>0$, có hai nghiệm phân biệt là $x_1=0, x_2=\frac{96}{49}$ và có $a=-4,9<0$
Ta có bảng xét dấu như sau:

Vậy khoảng thời gian cá heo ở trên không là khoảng $\left(0 ; \frac{96}{49}\right)$ giây

Lợi nhuận một tháng $p(x)$ của một quán ăn phụ thuộc vào giá trung bình $x$ của các món ăn theo công thức $p(x)=-30 x^2+2100 x-15000$, với đơn vị tính bằng nghìn đồng. Nếu muốn lợi nhuận không dưới 15 triệu đồng một tháng thì giá bán trung bình của các món ăn cần nằm trong khoảng nào?

Lời giải chi tiết:
15 triệu đồng = 15000 nghìn đồng
Từ giả thiết bài toán ta có bất phương trình $p(x) \geq 15000 \Leftrightarrow-30 x^2+2100 x-15000 \geq 15000$ $\Rightarrow-30 x^2+2100 x-30000 \geq 0$
Xét tam thức $f(x)=-30 x^2+2100 x-30000$ có $\Delta=810000>0$, có hai nghiệm phân biệt là $x_1=20, x_2=50$ và $a=-30<0$
Ta có bảng xét dấu như sau

Nếu muốn lợi nhuận không dưới 15 triệu đồng một tháng thì giá bán trung bình của các món ăn cần nằm trong khoảng 20 đến 50 nghìn đồng.

Quỹ đạo của một quả bóng được mô tả bằng hàm số $y=f(x)=-0,03 x^2+0,4 x+1,5$ với $y$ (tính bằng mét) là độ cao của quả bóng so với mặt đất khi độ dịch chuyển theo phương ngang của bóng là $x$ (tính bằng mét). Để quả bóng có thể ném được qua lưới cao $2 \mathrm{~m}$, người ta phải đứng cách lưới bao xa? Làm tròn kết quả đến hàng phần mười

Lời giải chi tiết:
Để quả bóng có thể ném được qua lưới cao $2 \mathrm{~m}$ thì $y=f(x)=-0,03 x^2+0,4 x+1,5>2$ $\Rightarrow f(x)=-0,03 x^2+0,4 x-0,5>0$
Xét tam thức $f(x)=-0,03 x^2+0,4 x-0,5$ có $\Delta=0,1>0$, có hai nghiệm phân biệt là $x_1 \simeq 1,4 ; x_2 \simeq 11,9$ và có $a=-0,03<0$
Ta có bảng xét dấu như sau

Vậy để quả bóng có thể ném được qua lưới cao $2 \mathrm{~m}$, người ta phải đứng cách lưới từ 1,4 cho đến 11,9 mét