Toán 10
Mệnh Đề – Phương pháp giải các dạng toán mệnh đề cực chi tiết
Xin chào các bạn, bài viết hôm nay sẽ đưa chúng ta tới một chuyên đề mới đó là Mệnh đề. Vậy Mệnh đề là gì ? Mệnh đề gồm những loại nào ? Cách giải các dạng mệnh đề như thế nào ?. Bài viết hôm nay sẽ giúp các bạn giải đáp những thắc mắc trên. Còn chần chừ gì nữa mà không cùng HocThatGioi theo dõi hết bài viết hôm nay nhé.
1. Tóm tắt lý thuyết mệnh đề
Dưới đây HocThatGioi đã tổng hợp ngắn gọn toàn bộ lý thuyết mệnh đề.
1.1 Mệnh đề
Định nghĩa 1: Mệnh đề logic (gọi tắt là mệnh đề) là một câu khẳng định hoặc đúng hoặc sai.
- Một mệnh đề không thể vừa đúng vừa sai
- Một câu khẳng định đúng gọi là mệnh đề đúng. Một câu khẳng định sai gọi là mệnh đề sai.
Lưu ý:
+ Các câu hỏi, câu cảm thán, câu mệnh lệnh không phải là mệnh đề.
+ Mệnh đề thườn được kí hiệu bằng các chữ cái in hoa.
Ví dụ: Q: “6 chia hết cho 3”
+ Một câu mà chưa thể nói đúng hay sai nhưng chắc chắn nó chỉ đúng hoặc sai, không
thể vừa đúng vừa sai cũng là một mệnh đề.
Ví dụ: “Có sự sống ngoài Trái Đất” là mệnh đề.
+ Trong thức tế, có những mệnh đề mà tính đúng sai của nó luôn gắn với một thời gian và
địa điểm cụ thể: đúng ở thời gian hoặc địa điểm này nhưng sai ở thời điểm khác.
Nhưng ở bất kì thời điểm nào, địa điểm nào cũng luôn có giá trị chân lí đúng hoặc sai.
Ví dụ: Sáng nay bạn An đi học.
+ Các câu hỏi, câu cảm thán, câu mệnh lệnh không phải là mệnh đề.
+ Mệnh đề thườn được kí hiệu bằng các chữ cái in hoa.
Ví dụ: Q: “6 chia hết cho 3”
+ Một câu mà chưa thể nói đúng hay sai nhưng chắc chắn nó chỉ đúng hoặc sai, không
thể vừa đúng vừa sai cũng là một mệnh đề.
Ví dụ: “Có sự sống ngoài Trái Đất” là mệnh đề.
+ Trong thức tế, có những mệnh đề mà tính đúng sai của nó luôn gắn với một thời gian và
địa điểm cụ thể: đúng ở thời gian hoặc địa điểm này nhưng sai ở thời điểm khác.
Nhưng ở bất kì thời điểm nào, địa điểm nào cũng luôn có giá trị chân lí đúng hoặc sai.
Ví dụ: Sáng nay bạn An đi học.
1.2 Mệnh đề chứa biến
Định nghĩa 2: Những câu khẳng định mà tính đúng – sai của chúng tuỳ thuộc vào biến gọi là những mệnh đề chứa biến.
Ví dụ: Cho P(x): x > x^{2} với x là số thực. Khi đó P(2) là mệnh đề sai, P(\frac{1}{2}) là mệnh đề đúng.
1.3 Mệnh đề phủ định
Định nghĩa 3: Chon mệnh đề P. Mệnh đề “Không phải P” được gọi là mệh đề phủ định P và kí hiệu là \overline{P}
- Mệnh đề P và mệnh đề phủ định\overline{P} là hai câu khẳng định trái ngược nhau. Nếu P đúng thì \overline{P} sai, nếu P sai thì \overline{P} đúng
- Mệnh đề phủ định củaP có thể diễn đạt theo nhiều các khác nhau. Chẳng hạn, xét mệnh đề P: “2 là số chẵn”. Khi đó mệnh đề phủ định của P có thể phát biếu là \overline{P}: “2 không phải là số chẵn” hoăc “2 là số lẻ”
1.4 Mệnh đề kéo theo và mệnh đề đảo
Định nghĩa 4: Cho hai mệnh đề P và Q. Mệnh đề “Nếu P thì Q” được gọi là mệnh đề kéo theo.
- Kí hiệu là P \Leftrightarrow Q
- Mệnh đề kéo theo chỉ sai khi P đúng Q sai.
- P \Leftrightarrow Q còn được phát biểu là “P kéo theo Q”, “P suy ra Q” hay “Vì P nên Q”
Lưu ý:
+ Trong toán học, định lý là một mệnh đề đúng, thường có dạng P \Rrightarrow Q. Khi đó ta nói P là giả thiết, Q là kết luận của định lí, hoặc P là điều kiện đủ để có Q, hoặc Q là điều kiện cần để có P
+ Trong logic toán học, khi xét giá trị chân lí của mệnh đề P \Rightarrow Q người ta không quan tâm đến mối quan hệ về nội dung của hai mệnh đề P, Q. Không phân biệt trường P có phải là nguyên nhân để có Q hay không mà chỉ quan tâm đến tính đúng, sai của chúng.
Ví dụ: “Nếu mặt trời quay quanh trái đất thì Việt Nam nằm ở châu Âu” là mệnh đề đúng. Vì ở đây hai mệnh đề P:”Mặt trời quay xung quanh trái đất” và Q: “Việt Nam nằm ở châu Âu” đều là mệnh đề sai.
+ Trong toán học, định lý là một mệnh đề đúng, thường có dạng P \Rrightarrow Q. Khi đó ta nói P là giả thiết, Q là kết luận của định lí, hoặc P là điều kiện đủ để có Q, hoặc Q là điều kiện cần để có P
+ Trong logic toán học, khi xét giá trị chân lí của mệnh đề P \Rightarrow Q người ta không quan tâm đến mối quan hệ về nội dung của hai mệnh đề P, Q. Không phân biệt trường P có phải là nguyên nhân để có Q hay không mà chỉ quan tâm đến tính đúng, sai của chúng.
Ví dụ: “Nếu mặt trời quay quanh trái đất thì Việt Nam nằm ở châu Âu” là mệnh đề đúng. Vì ở đây hai mệnh đề P:”Mặt trời quay xung quanh trái đất” và Q: “Việt Nam nằm ở châu Âu” đều là mệnh đề sai.
Định nghĩa 5: Cho mệnh đề kéo theo P \Rightarrow. Mệnh đề Q \Rightarrow được gọi là mệnh đề đảo của mệnh đề P \Rightarrow Q.
Lưu ý: Mệnh đề đảo của một mệnh đề đúng không nhất là mệnh đề đúng.
1.5 Mệnh đề tương đương
Định nghĩa 6: Cho hai mệnh đề P và Q. Mệnh đề có dạng “P nếu và chỉ nếu Q” được gọi là mệnh đề tương đương.
- Kí hiệu P \Rightarrow Q
- Mệnh đề P \Leftrightarrow Q đúng khi cả hai mệnh đề P \Rightarrow Q và Q \Rightarrow P cùng đúng hoặc cùng sai. (Hay P \Leftrightarrow Q đúng khi cả hai mệnh đề P và Q cùng đúng hoặc cùng sai)
- P \Leftrightarrow Q còn được phát biểu là “P khi và chỉ khi Q“, "P tương đương với Q" hay "P là điều kiện cần và đủ để có Q"
Lưu ý: Hai mệnh đề P, Q tương đương với nhau hoàn toàn không có nghĩa là nội dung của chúng như nhau, mà nó chỉ nói lên rằng chúng có cùng giá trị chân lí (cùng đúng hoặc cùng sai)
Ví dụ: “Hình vuông có một góc tù khi và chỉ khi 100 là số nguyên tố” là một mệnh đề đúng
Ví dụ: “Hình vuông có một góc tù khi và chỉ khi 100 là số nguyên tố” là một mệnh đề đúng
1.6 Các kí hiệu của mệnh đề
Kí hiệu \forall (với mọi): “\forall x \in X, P(x)” hoặc "\forall x \in X : P(x)"
Kí hiệu \exists (tồn tại): “\exists x \in X, P(x)” hoặc "\exists x \in X : P(x)"
Lưu ý:
Phủ định của mệnh đề : \forall x \in X, P(x) “là mệnh đề” \exists x \in X, \overline{P(x)}
Phủ định của mệnh đề : \exists x \in X, P(x) “là mệnh đề” \forall x \in X, \overline{P(x)}
Phủ định của mệnh đề : \forall x \in X, P(x) “là mệnh đề” \exists x \in X, \overline{P(x)}
Phủ định của mệnh đề : \exists x \in X, P(x) “là mệnh đề” \forall x \in X, \overline{P(x)}
2. Phương pháp giải các dạng toán mệnh đề
Dưới đây là 5 dạng toán mệnh đề hay xuất hiện.
Dạng 1: Nhận biết mệnh đề, mệnh đề chứa biến
Phương pháp: Mệnh đề là một câu khẳng định đúng hoặc một câu khẳng định sai.
- Một câu khẳng định đúng được gọi là một mệnh đề đúng, một câu khẳng định sai được gọi là mệnh đề sai.
- Câu hỏi, câu cảm tháng hoặc câu chưa xác định được tính đúng sai thì không phải là mệnh đề
Ví dụ: Các câu sau đây, câu nào là mệnh đề, câu nào không phải là mệnh đề? Nếu là mệnh đề hãy cho biết mệnh đềđó đúng hay
(1) Ở đây đẹp quá!
(2) Phương trình x^{2} – 3x + 1 = 0 vô nghiệm
(3) 16 không là số nguyên tố
(4) Hai phương trình x^{2} – 4x + 3 = 0 và x^{2} – \sqrt{x + 3} + 1 = 0 có nghiệm chung.
(5) Sốp có lớn hơn 3 hay không?
(6) Italia vô địch Worldcup 2006
(7) Hai tam giác bằng nhau khi và chỉ khi chúng có diện tích bằng nhau.sai ?
(1) Ở đây đẹp quá!
(2) Phương trình x^{2} – 3x + 1 = 0 vô nghiệm
(3) 16 không là số nguyên tố
(4) Hai phương trình x^{2} – 4x + 3 = 0 và x^{2} – \sqrt{x + 3} + 1 = 0 có nghiệm chung.
(5) Sốp có lớn hơn 3 hay không?
(6) Italia vô địch Worldcup 2006
(7) Hai tam giác bằng nhau khi và chỉ khi chúng có diện tích bằng nhau.sai ?
Câu (1) và (5) không là mệnh đề(vì là câu cảm thán, câu hỏi)
Các câu (3), (4), (6), là những mệnh đề đúng
Câu (2) và (7) là những mệnh đề sai
Các câu (3), (4), (6), là những mệnh đề đúng
Câu (2) và (7) là những mệnh đề sai
Dạng 2: Xét tính đúng sai của mệnh đề
Ví dụ: Cho mệnh đề chứa biến P(x): "3x + 5 \leq x^{2}" với x là số thức. Mệnh đề nào sau đây là đúng:
P(3): 3.3 + 5 \leq 3^{2} \Leftrightarrow 14 \leq 9 là mệnh đề sai
P(4): 3.4 + 5 \leq 4^{2} \Leftrightarrow 17 \leq 16 là mệnh đề sai
P(3): 3.1 + 5 \leq1^{2} \Leftrightarrow 8 \leq 1 là mệnh đề sai
P(3): 3.5 + 5 \leq 5^{2} \Leftrightarrow 20 \leq 25 là mệnh đề đúng
P(4): 3.4 + 5 \leq 4^{2} \Leftrightarrow 17 \leq 16 là mệnh đề sai
P(3): 3.1 + 5 \leq1^{2} \Leftrightarrow 8 \leq 1 là mệnh đề sai
P(3): 3.5 + 5 \leq 5^{2} \Leftrightarrow 20 \leq 25 là mệnh đề đúng
Ví dụ: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng ?
Phương trình x^{2} + 7x – 2 = 0 có a.c = 1.(-2) < 0 nên có 2 nghiệm trái dấu.
Vậy mệnh đề ở phương án B là mệnh đề đúng. Các mệnh đề còn lại đều sai.
Vậy mệnh đề ở phương án B là mệnh đề đúng. Các mệnh đề còn lại đều sai.
Dạng 3: Phủ định của mệnh đề
Phương pháp: Chon mệnh đề P. Mệnh đề “Không phải P” gọi là mệnh đề phủ định của P. Ký hiệu là \overline{P}. Nếu P thì \overline{P} sai, nếu P sai thì \overline{P} đúng.
Cho mệnh đề chứa biến P(x) với x \in X
- Mệnh đề phủ định của mệnh đề: \forall x \in X, P(x) là \exists x \in X, P(x)
- Mệnh đề phủ định của mệnh đề: \exists x \in X, P(x) là \forall x \in X, P(x)
Ví dụ: Nêu mệnh đề phủđịnh của các mệnh đề sau, cho biết mệnh đề này đúng hay sai? :
P: “Hình thoi có hai đường chéo vuông góc với nhau” :
Q: “6 là số nguyên tố”
R: “Tổng hai cạnh của một tam giác lớn hơn cạnh còn lại”
S : “5 > -3”
K: “Phương trình x^{4} – 2x^{2} + 2 = 0 có nghiệm”
H: “(\sqrt{3} – \sqrt{12})^{2} = 3“
P: “Hình thoi có hai đường chéo vuông góc với nhau” :
Q: “6 là số nguyên tố”
R: “Tổng hai cạnh của một tam giác lớn hơn cạnh còn lại”
S : “5 > -3”
K: “Phương trình x^{4} – 2x^{2} + 2 = 0 có nghiệm”
H: “(\sqrt{3} – \sqrt{12})^{2} = 3“
Ta có các mệnh đề phủđịnh là :
P: “Hai đường chéo của hình thoi không vuông góc với nhau”, mệnh đề này sai
Q: “6 không phải là số nguyên tố”, mệnh đề này đúng
R: “Tổng hai cạnh của một tam giác nhỏ hơn hoặc bằng cạnh còn lại”, mệnh đề này sai
S: “5 \leq -3“, mệnh đề này sai
P: “Hai đường chéo của hình thoi không vuông góc với nhau”, mệnh đề này sai
Q: “6 không phải là số nguyên tố”, mệnh đề này đúng
R: “Tổng hai cạnh của một tam giác nhỏ hơn hoặc bằng cạnh còn lại”, mệnh đề này sai
S: “5 \leq -3“, mệnh đề này sai
Dạng 4: Mệnh đề kéo theo, mệnh đề và hai mệnh đề tương đương
Phương pháp: Cho 2 mệnh đề P và Q
- Mệnh đề “Nếu P thì Q” gọi là mệnh đề kéo theo. Ký hiệu P \Rightarrow Q. Mệnh đề P \Rightarrow Q chỉ sai khi P đúng Q sai, và đúng trong trường hợp còn lại.
- Cho mênh đề P \Rightarrow Q. Khi đó mệnh đề Q \Rightarrow Q goi là mệnh đề đảo của P \Rightarrow Q
- Mệnh đề “P nếu và chỉ nêú Q” gọi là mệnh đề tương đương, ký hiệu P \Leftrightarrow Q. Mệnh đề P \Leftrightarrow Q đúng khi cả 2 mệnh đề kéo theo P \Rightarrow Q, Q \Rightarrow P đều đúng và sai trong các trường hợp còn lại
Ví dụ: Phát biểu mệnh đề P \Rightarrow Q và phát biểu mệnh đề đảo, xét tính đúng sai của nó.
a) P: “Tứ giác ABCD là hình thoi” và Q: “Tứ giác ABCD AC và BD cắt nhau tại trung điểm mỗi đường”
b) P: “2 > 9” và Q:“4 < 3"
c) P:"Tam giác ABC vuông cân tại A" và Q: "Tam giác ABC có \widehat{A} = 2\widehat{B}"
d) P: "Ngày 2 tháng 9 là ngày Quốc Khánh của nước Việt Nam" và Q: "Ngày 27 tháng 7 là ngày thương binh liệt sĩ"
a) P: “Tứ giác ABCD là hình thoi” và Q: “Tứ giác ABCD AC và BD cắt nhau tại trung điểm mỗi đường”
b) P: “2 > 9” và Q:“4 < 3"
c) P:"Tam giác ABC vuông cân tại A" và Q: "Tam giác ABC có \widehat{A} = 2\widehat{B}"
d) P: "Ngày 2 tháng 9 là ngày Quốc Khánh của nước Việt Nam" và Q: "Ngày 27 tháng 7 là ngày thương binh liệt sĩ"
a) Mệnh đề P \Rightarrow Q là “Nếu tứ giác ABCD là hình thoi thì AC và BD cắt nhau tại trung điểm mỗi đường”, mệnh đề này đúng.
Mệnh đề đảo là Q \Rightarrow P : “Nếu tứ giác ABCD có AC và BD cắt nhau tại trung điểm mỗi đường thìABCD là hình thoi”, mệnh đề này sai.
b) Mệnh đề P \Rightarrow Q là “Nếu 2> 9 thì 4 < 3", mệnh đề này đúng vì mệnh đề P sai.
Mệnh đề đảo là Q \Rightarrow P : "Nếu 4 9″, mệnh đề này đúng vì mệnh đề Q sai.
c) Mệnh đề P \Rightarrow Q là “Nếu tam giác ABC vuông cân tại A thì \widehat{A} = 2\widehat{B}“, mệnh đề này đúng
Mệnh đề đảo là Q \Rightarrow P: “Nếu tam giác ABC có \widehat{A} = 2\widehat{B} thì nó vuông cân tại A”, mệnh đề này sai
d) Mệnh đề P \Rightarrow Q là “Nếu ngày 2 tháng 9 là ngày Quốc Khánh của nước Việt Nam thì ngày 27 tháng 7 là ngày thương binh liệt sĩ”
Mệnh đề đảo là Q \Rightarrow P: “Nếu ngày 27 tháng 7 là ngày thương binh liệt sĩ thì ngày 2 tháng 9 là ngày Quốc Khánh của nước Việt Nam”
Hai mệnh đề trên đều đúng vì mệnh đề P, Q đều đúng
Mệnh đề đảo là Q \Rightarrow P : “Nếu tứ giác ABCD có AC và BD cắt nhau tại trung điểm mỗi đường thìABCD là hình thoi”, mệnh đề này sai.
b) Mệnh đề P \Rightarrow Q là “Nếu 2> 9 thì 4 < 3", mệnh đề này đúng vì mệnh đề P sai.
Mệnh đề đảo là Q \Rightarrow P : "Nếu 4 9″, mệnh đề này đúng vì mệnh đề Q sai.
c) Mệnh đề P \Rightarrow Q là “Nếu tam giác ABC vuông cân tại A thì \widehat{A} = 2\widehat{B}“, mệnh đề này đúng
Mệnh đề đảo là Q \Rightarrow P: “Nếu tam giác ABC có \widehat{A} = 2\widehat{B} thì nó vuông cân tại A”, mệnh đề này sai
d) Mệnh đề P \Rightarrow Q là “Nếu ngày 2 tháng 9 là ngày Quốc Khánh của nước Việt Nam thì ngày 27 tháng 7 là ngày thương binh liệt sĩ”
Mệnh đề đảo là Q \Rightarrow P: “Nếu ngày 27 tháng 7 là ngày thương binh liệt sĩ thì ngày 2 tháng 9 là ngày Quốc Khánh của nước Việt Nam”
Hai mệnh đề trên đều đúng vì mệnh đề P, Q đều đúng
Dạng 5: Mệnh đề với kí hiệu với mọi, tồn tại
Ví dụ 1: Tìm mệnh đề sai
Chọn x = \frac{1}{2} \Rightarrow x^{2} < x. Vậy mệnh đề B sai
Ví dụ 2: Mệnh đề nào sau đây đúng ?
Chọn A. x^{2} – x + 1 = (x – \frac{1}{2})^{2} + \frac{3}{4} > 0, \forall x \in \mathbb{R}
Trên đây là toàn bộ bài viết của HocThatGioi về Mệnh Đề – Phương pháp giải các dạng toán mệnh đề. Nếu thấy bài viết bổ ích, hãy chia sẽ bài viết này cho bạn bè để cùng nhau học thật giỏi nhé! Chúc các bạn học tốt!
