SGK Toán 10 - Cánh Diều
Giải SGK bài Phương trình đường thẳng Toán 10 Cánh diều tập 2
Ở bài viết này, HocThatGioi sẽ giải đáp những câu hỏi và bài tập trong bài Phương trình đường thẳng. Đây là bài học thuộc Bài 3 Chương VII trang 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80 sách Toán 10 Cánh diều tập 2. Hy vọng các bạn có thể hiểu được trọn vẹn bài học sau khi xem hết các phương pháp giải và lời giải cực chi tiết mà HocThatGioi trình bày ở dưới.
Trả lời câu hỏi SGK bài Phương trình đường thẳng Toán 10 Cánh diều tập 2
Khởi động bài học với những câu hỏi hoạt động và luyện tập vận dụng sẽ giúp bạn dễ dàng tiếp thu kiến thức về bài học Phương trình đường thẳng.
Câu hỏi khởi động trang 73
Một máy bay cất cánh từ sân bay theo một đường thẳng nghiêng với phương nằm ngang một góc $20^{\circ}$, vận tốc cất cánh là $200 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$. Hình 24 minh hoạ hình ảnh đường bay của máy bay trên màn hình ra đa của bộ phận không lưu. Để xác định vị trí của máy bay tại những thời điểm quan trọng (chẳng hạn: $30 \mathrm{~s}, 60 \mathrm{~s}, 90 \mathrm{~s}, 120 \mathrm{~s}$), người ta phải lập phương trình đường thẳng mô tả đường bay.
Làm thế nào để lập phương trình đường thẳng trong mặt phẳng toạ độ?
Lời giải chi tiết:
Để xác định tọa độ của máy bay ta phải lập phương trình quỹ đạo bay của máy bay hay chính là lập phương trình đường thẳng.
Để xác định tọa độ của máy bay ta phải lập phương trình quỹ đạo bay của máy bay hay chính là lập phương trình đường thẳng.
Hoạt động 2 trang 74
Trong mặt phẳng toạ độ $O x y$, cho đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $M_{0}\left(x_{0} ; y_{0}\right)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u}=(a ; b)$. Xét điểm $M(x ; y)$ nằm trên $\Delta$ (Hình 26).
a) Nhận xét về phương của hai vectơ $\vec{u}$ và $\overrightarrow{M_{0} M}$.
b) Chứng minh có số thực $t$ sao cho $\overrightarrow{M_{0} M}=t \vec{u}$.
c) Biểu diễn toạ độ của điểm $M$ qua toạ độ của điểm $M_{0}$ và toạ độ của vectơ chỉ phương $\vec{u}$.
a) Nhận xét về phương của hai vectơ $\vec{u}$ và $\overrightarrow{M_{0} M}$.
b) Chứng minh có số thực $t$ sao cho $\overrightarrow{M_{0} M}=t \vec{u}$.
c) Biểu diễn toạ độ của điểm $M$ qua toạ độ của điểm $M_{0}$ và toạ độ của vectơ chỉ phương $\vec{u}$.
Lời giải chi tiết:
a) Hai vectơ $\vec{u}$ và $\overrightarrow{M_o M}$ cùng phương với nhau.
b) Xét $M(x ; y)$. Vì cùng phương với nên có số thực $t$ sao cho $\overrightarrow{M_o M}=t \vec{u}$
c) Do $\overrightarrow{M_o M}=\left(x-x_o ; y-y_o\right), \vec{u}=(a ; b)$ nên:
$\overrightarrow{M_o M}=t \vec{u} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x-x_o=a t \\ y-y_o=b t\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x=x_o+a t \\ y=y_o+b t\end{array}\right.\right.$
Vậy tọa độ điểm $M$ là: $M\left(x_o+a t ; y_o+b t\right)$
a) Hai vectơ $\vec{u}$ và $\overrightarrow{M_o M}$ cùng phương với nhau.
b) Xét $M(x ; y)$. Vì cùng phương với nên có số thực $t$ sao cho $\overrightarrow{M_o M}=t \vec{u}$
c) Do $\overrightarrow{M_o M}=\left(x-x_o ; y-y_o\right), \vec{u}=(a ; b)$ nên:
$\overrightarrow{M_o M}=t \vec{u} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x-x_o=a t \\ y-y_o=b t\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x=x_o+a t \\ y=y_o+b t\end{array}\right.\right.$
Vậy tọa độ điểm $M$ là: $M\left(x_o+a t ; y_o+b t\right)$
Luyện tập vận dụng 1 trang 75
Cho đường thẳng $\Delta$ có phương trình tham số $\left\{\begin{array}{l}x=1-2 t \\ y=-2+t\end{array}\right.$
a) Chỉ ra tọa độ của hai điểm thuộc đường thẳng $\Delta$.
b) Điểm nào trong các điểm $C(-1:-1), D(1: 3)$ thuộc đường thẳng $\Delta$ ?
a) Chỉ ra tọa độ của hai điểm thuộc đường thẳng $\Delta$.
b) Điểm nào trong các điểm $C(-1:-1), D(1: 3)$ thuộc đường thẳng $\Delta$ ?
Lời giải chi tiết:
a) Chọn $t=0 ; t=1$ ta lần lượt được 2 điểm $\mathrm{A}$ và $\mathrm{B}$ thuộc đường thẳng $\Delta$ là: $A(1 ;-2), B(-1 ;-1)$
b) +) Thay tọa độ điểm $C$ vào phương trình đường thẳng $\Delta$ ta có: $\left\{\begin{array}{l}1=1-2 t \\ -1=-2+t\end{array}\right.$
Do hệ phương trình vô nghiệm nên $C$ không thuộc đường thẳng $\Delta$
+) Thay tọa độ điểm $D$ vào phương trình đường thẳng $\Delta$ ta có: $\left\{\begin{array}{l}1=1-2 t \\ 3=-2+t\end{array}\right.$
Do hệ phương trình vô nghiệm nên $D$ không thuộc đường thẳng $\Delta$
a) Chọn $t=0 ; t=1$ ta lần lượt được 2 điểm $\mathrm{A}$ và $\mathrm{B}$ thuộc đường thẳng $\Delta$ là: $A(1 ;-2), B(-1 ;-1)$
b) +) Thay tọa độ điểm $C$ vào phương trình đường thẳng $\Delta$ ta có: $\left\{\begin{array}{l}1=1-2 t \\ -1=-2+t\end{array}\right.$
Do hệ phương trình vô nghiệm nên $C$ không thuộc đường thẳng $\Delta$
+) Thay tọa độ điểm $D$ vào phương trình đường thẳng $\Delta$ ta có: $\left\{\begin{array}{l}1=1-2 t \\ 3=-2+t\end{array}\right.$
Do hệ phương trình vô nghiệm nên $D$ không thuộc đường thẳng $\Delta$
Hoạt động 4 trang 75
Trong mặt phẳng toạ độ $O x y$, cho đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $M_{0}\left(x_{0} ; y_{0}\right)$ và có vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(a ; b)$. Xét điểm $M(x ; y)$ nằm trên $\Delta($ Hình 28$)$.
a) Nhận xét về phương của hai vectơ $\vec{n}$ và $\overrightarrow{M_{0} M}$.
b) Tìm mối liên hệ giữa toạ độ của điểm $M$ với tọa độ của điểm $M_{0}$ và toạ độ của vectơ pháp tuyến $\vec{n}$.
a) Nhận xét về phương của hai vectơ $\vec{n}$ và $\overrightarrow{M_{0} M}$.
b) Tìm mối liên hệ giữa toạ độ của điểm $M$ với tọa độ của điểm $M_{0}$ và toạ độ của vectơ pháp tuyến $\vec{n}$.
Lời giải chi tiết:
a) Phương của hai vecto $\vec{n}$ và $\overrightarrow{M_o M}$ vuông góc với nhau.
b) Ta có: $\overrightarrow{M_o M}=\left(x-x_o ; y-y_o\right), \vec{u}=(a ; b)$
Xét điểm $M(x ; y) \in \Delta$. Vì $\overrightarrow{M_o M} \perp \vec{n}$ nên:
$$\overrightarrow{M_o M} . \vec{n}=0 \Leftrightarrow a\left(x-x_o\right)+b\left(y-y_o\right)=0 \Leftrightarrow a x+b y-a x_o+b y_o=0$$
a) Phương của hai vecto $\vec{n}$ và $\overrightarrow{M_o M}$ vuông góc với nhau.
b) Ta có: $\overrightarrow{M_o M}=\left(x-x_o ; y-y_o\right), \vec{u}=(a ; b)$
Xét điểm $M(x ; y) \in \Delta$. Vì $\overrightarrow{M_o M} \perp \vec{n}$ nên:
$$\overrightarrow{M_o M} . \vec{n}=0 \Leftrightarrow a\left(x-x_o\right)+b\left(y-y_o\right)=0 \Leftrightarrow a x+b y-a x_o+b y_o=0$$
Luyện tập vận dụng 2 trang 76
Cho đường thẳng $\Delta$ có phương trình tổng quát là $x-y+1=0$.
a) Chỉ ra toạ độ của một vectơ pháp tuyến và một vectơ chỉ phương của $\Delta$
b) Chỉ ra tọa độ của hai điểm thuộc $\Delta$.
a) Chỉ ra toạ độ của một vectơ pháp tuyến và một vectơ chỉ phương của $\Delta$
b) Chỉ ra tọa độ của hai điểm thuộc $\Delta$.
Lời giải chi tiết:
a) Đường thẳng $\Delta$ có phương trình tổng quát là $x – y + 1 = 0$.
Suy ra đường thẳng $\Delta$ có một vectơ pháp tuyến là \overrightarrow{n} =(1;-1)
Do đó đường thẳng $\Delta$ có một vectơ chỉ phương là \overrightarrow{n} =(1;1)
b) Cho $x = 1$ thay vào phương trình đường thẳng ∆ ta được: $1 – y + 1 = 0 \Longleftrightarrow y = 2$.
Do đó, điểm $A(1; 2)$ thuộc đường thẳng $\Delta$.
Tương tự, cho $x = 0$, ta được: $0 – y + 1 = 0 \Longleftrightarrow y = 1$.
Vậy điểm $B(0; 1)$ thuộc đường thẳng $\Delta$.
a) Đường thẳng $\Delta$ có phương trình tổng quát là $x – y + 1 = 0$.
Suy ra đường thẳng $\Delta$ có một vectơ pháp tuyến là \overrightarrow{n} =(1;-1)
Do đó đường thẳng $\Delta$ có một vectơ chỉ phương là \overrightarrow{n} =(1;1)
b) Cho $x = 1$ thay vào phương trình đường thẳng ∆ ta được: $1 – y + 1 = 0 \Longleftrightarrow y = 2$.
Do đó, điểm $A(1; 2)$ thuộc đường thẳng $\Delta$.
Tương tự, cho $x = 0$, ta được: $0 – y + 1 = 0 \Longleftrightarrow y = 1$.
Vậy điểm $B(0; 1)$ thuộc đường thẳng $\Delta$.
Giải bài tập SGK bài Phương trình đường thẳng Toán 10 Cánh diều tập 2
Sau khi đã tìm hiểu phần nội dung của bài học, cùng ôn lại những kiến thức đã học qua phần giải đáp chi tiết các bài tập trong SGK Toán 10 Cánh diều tập 2 trang 79, 80 dưới đây nhé.
Bài tập 1 trang 79
Lập phương trình tổng quát của đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $A(-1 ; 2)$ và
a) Có vectơ pháp tuyến là $\vec{n}=(3 ; 2)$.
b) Có vectơ chỉ phương là $\vec{u}=(-2 ; 3)$.
a) Có vectơ pháp tuyến là $\vec{n}=(3 ; 2)$.
b) Có vectơ chỉ phương là $\vec{u}=(-2 ; 3)$.
Phương pháp giải:
Phương trình tổng quát của đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $M_o\left(x_o ; y_o\right)$ và nhận $\vec{n}=(\mathrm{a} ; \mathrm{b})$ $(\vec{n} \neq 0)$ làm vecto pháp tuyến là: $a\left(x-x_o\right)+b\left(y-y_o\right)=0$
Phương trình tổng quát của đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $M_o\left(x_o ; y_o\right)$ và nhận $\vec{n}=(\mathrm{a} ; \mathrm{b})$ $(\vec{n} \neq 0)$ làm vecto pháp tuyến là: $a\left(x-x_o\right)+b\left(y-y_o\right)=0$
Lời giải chi tiết:
a) Phương trình tổng quát của đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $A(-1 ; 2)$ và có vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(3 ; 2)$ là: $3(x+1)+2(y-2)=0 \Leftrightarrow 3 x+2 y-1=0$
b) Do $\Delta$ có vecto chỉ phương là $\vec{u}=(-2 ; 3)$ nên vecto pháp tuyến của $\Delta$ là $\vec{n}=(3 ; 2)$
Phương trình tổng quát của đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $A(-1 ; 2)$ và có vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(3 ; 2)$ là: $3(x+1)+2(y-2)=0 \Leftrightarrow 3 x+2 y-1=0$
a) Phương trình tổng quát của đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $A(-1 ; 2)$ và có vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(3 ; 2)$ là: $3(x+1)+2(y-2)=0 \Leftrightarrow 3 x+2 y-1=0$
b) Do $\Delta$ có vecto chỉ phương là $\vec{u}=(-2 ; 3)$ nên vecto pháp tuyến của $\Delta$ là $\vec{n}=(3 ; 2)$
Phương trình tổng quát của đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $A(-1 ; 2)$ và có vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(3 ; 2)$ là: $3(x+1)+2(y-2)=0 \Leftrightarrow 3 x+2 y-1=0$
Bài tập 2 trang 79
Lập phương trình đường thẳng trong các Hình 34, 35, 36, 37:
Phương pháp giải:
+) Phương trình đoạn chắn của đường thẳng $\mathrm{d}$ đi qua hai điểm $A(a ; 0), B(0 ; b)(a b \neq 0)$ có phương trình $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$
+) Phương trình đường thằng $\mathrm{d}$ đi qua hai điểm $A\left(x_o ; y_o\right) ; B\left(x_1 ; y_1\right)$ là: $\frac{x-x_o}{x_1-x_o}=\frac{y-y_o}{y_1-y_o}$
+) Phương trình tổng quát của đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $M_o\left(x_o ; y_o\right)$
và nhận $\vec{n}=(\mathrm{a} ; \mathrm{b})(\vec{n} \neq 0)$ làm vecto pháp tuyến là: $a\left(x-x_o\right)+b\left(y-y_o\right)=0$
+) Phương trình đoạn chắn của đường thẳng $\mathrm{d}$ đi qua hai điểm $A(a ; 0), B(0 ; b)(a b \neq 0)$ có phương trình $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$
+) Phương trình đường thằng $\mathrm{d}$ đi qua hai điểm $A\left(x_o ; y_o\right) ; B\left(x_1 ; y_1\right)$ là: $\frac{x-x_o}{x_1-x_o}=\frac{y-y_o}{y_1-y_o}$
+) Phương trình tổng quát của đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $M_o\left(x_o ; y_o\right)$
và nhận $\vec{n}=(\mathrm{a} ; \mathrm{b})(\vec{n} \neq 0)$ làm vecto pháp tuyến là: $a\left(x-x_o\right)+b\left(y-y_o\right)=0$
Lời giải chi tiết:
a) Phương trình đoạn chắn của đường thẳng $\Delta_1$ đi qua 2 điểm $(0 ; 4)$ và $(3 ; 0)$ là: $\frac{x}{3}+\frac{y}{4}=1$
b) Phương trình đường thẳng $\Delta_2$ đi qua 2 điểm $(2 ; 4)$ và $(-2 ;-2)$ là:
$\frac{x-2}{-2-2}=\frac{y-4}{-2-4} \Leftrightarrow \frac{x-2}{-4}=\frac{y-4}{-6} \Leftrightarrow 3 x-2 y+2=0$
c) Do đường thẳng $\Delta_3$ vuông góc với $\mathrm{O} x$ nên vecto pháp tuyến của $\Delta_3$ là: $\overrightarrow{n_3}=(1 ; 0)$
Vậy phương trình đường thẳng $\Delta_3$ đi qua điểm $\left(-\frac{5}{2} ; 0\right)$ có vecto pháp tuyến $\overrightarrow{n_3}=(1 ; 0)$ là: $1\left(x+\frac{5}{2}\right)+0(y-0)=0 \Leftrightarrow x=-\frac{5}{2}$
d) Do đường thẳng $\Delta_4$ vuông góc với $\mathrm{O} x$ nên vecto pháp tuyến của $\Delta_4$ là: $\overrightarrow{n_4}=(0 ; 1)$
Vậy phương trình đường thẳng $\Delta_4$ đi qua điểm $(0 ; 3)$ có vecto pháp tuyến $\overrightarrow{n_4}=(0 ; 1)$ là: $0(x-0)+1(y-3)=0 \Leftrightarrow y=3$
a) Phương trình đoạn chắn của đường thẳng $\Delta_1$ đi qua 2 điểm $(0 ; 4)$ và $(3 ; 0)$ là: $\frac{x}{3}+\frac{y}{4}=1$
b) Phương trình đường thẳng $\Delta_2$ đi qua 2 điểm $(2 ; 4)$ và $(-2 ;-2)$ là:
$\frac{x-2}{-2-2}=\frac{y-4}{-2-4} \Leftrightarrow \frac{x-2}{-4}=\frac{y-4}{-6} \Leftrightarrow 3 x-2 y+2=0$
c) Do đường thẳng $\Delta_3$ vuông góc với $\mathrm{O} x$ nên vecto pháp tuyến của $\Delta_3$ là: $\overrightarrow{n_3}=(1 ; 0)$
Vậy phương trình đường thẳng $\Delta_3$ đi qua điểm $\left(-\frac{5}{2} ; 0\right)$ có vecto pháp tuyến $\overrightarrow{n_3}=(1 ; 0)$ là: $1\left(x+\frac{5}{2}\right)+0(y-0)=0 \Leftrightarrow x=-\frac{5}{2}$
d) Do đường thẳng $\Delta_4$ vuông góc với $\mathrm{O} x$ nên vecto pháp tuyến của $\Delta_4$ là: $\overrightarrow{n_4}=(0 ; 1)$
Vậy phương trình đường thẳng $\Delta_4$ đi qua điểm $(0 ; 3)$ có vecto pháp tuyến $\overrightarrow{n_4}=(0 ; 1)$ là: $0(x-0)+1(y-3)=0 \Leftrightarrow y=3$
Bài tập 3 trang 80
Cho đường thẳng $d$ có phương trình tham số là: $\left\{\begin{array}{l}x=-1-3 t \\ y=2+2 t\end{array}\right.$
a) Lập phương trình tổng quát của đường thẳng $d$.
b) Tìm toạ độ giao điểm của đường thẳng $d$ lần lượt với các trục $O x, O y$.
c) Đường thẳng $d$ có đi qua điểm $M(-7 ; 5)$ hay không?
a) Lập phương trình tổng quát của đường thẳng $d$.
b) Tìm toạ độ giao điểm của đường thẳng $d$ lần lượt với các trục $O x, O y$.
c) Đường thẳng $d$ có đi qua điểm $M(-7 ; 5)$ hay không?
Phương pháp giải:
a) Khử $t$ để được mối liên hệ giữa $x$ và $y$ ( cũng chính là PTTQ của đường thẳng $\mathrm{d}$ )
b) Giải hệ phương trình gồm 2 phương trình đường thẳng tương giao
c) Thử tọa độ điểm $\mathrm{M}$ vào PTTQ của $\mathrm{d}$ để đưa ra kết luận.
a) Khử $t$ để được mối liên hệ giữa $x$ và $y$ ( cũng chính là PTTQ của đường thẳng $\mathrm{d}$ )
b) Giải hệ phương trình gồm 2 phương trình đường thẳng tương giao
c) Thử tọa độ điểm $\mathrm{M}$ vào PTTQ của $\mathrm{d}$ để đưa ra kết luận.
Lời giải chi tiết:
a) Xét phương trình tham số của $\mathrm{d}$: $\left\{\begin{array}{l}x=-1-3 t(1) \\ y=2+2 t(2)\end{array}\right.$
Lấy $(1)+\frac{3}{2} .(2) \Rightarrow x+\frac{3}{2} y=2 \Rightarrow 2 x+3 y-4=0$
Vậy phương trình tổng quát của đường thẳng $\mathrm{d}$ là: $2 x+3 y-4=0$
b) Xét hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}2 x+3 y-4=0 \\ x=0\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}y=\frac{4}{3} \\ x=0\end{array}\right.\right.$
Vậy giao điểm của $\mathrm{d}$ với trục Oy là: $A\left(0 ; \frac{4}{3}\right)$
Xét hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}2 x+3 y-4=0 \\ y=0\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}y=0 \\ x=2\end{array}\right.\right.$
Vậy giao điểm của $\mathrm{d}$ với trục $O x$ là: $B(2 ; 0)$
c) Thay tọa độ điểm $M(-7 ; 5)$ vào phương trình đường thẳng $\mathrm{d}$ ta có: $2 .(-7)+3.5-4 \neq 0$
Vậy $M(-7 ; 5)$ không thuộc đường thẳng d.
a) Xét phương trình tham số của $\mathrm{d}$: $\left\{\begin{array}{l}x=-1-3 t(1) \\ y=2+2 t(2)\end{array}\right.$
Lấy $(1)+\frac{3}{2} .(2) \Rightarrow x+\frac{3}{2} y=2 \Rightarrow 2 x+3 y-4=0$
Vậy phương trình tổng quát của đường thẳng $\mathrm{d}$ là: $2 x+3 y-4=0$
b) Xét hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}2 x+3 y-4=0 \\ x=0\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}y=\frac{4}{3} \\ x=0\end{array}\right.\right.$
Vậy giao điểm của $\mathrm{d}$ với trục Oy là: $A\left(0 ; \frac{4}{3}\right)$
Xét hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}2 x+3 y-4=0 \\ y=0\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}y=0 \\ x=2\end{array}\right.\right.$
Vậy giao điểm của $\mathrm{d}$ với trục $O x$ là: $B(2 ; 0)$
c) Thay tọa độ điểm $M(-7 ; 5)$ vào phương trình đường thẳng $\mathrm{d}$ ta có: $2 .(-7)+3.5-4 \neq 0$
Vậy $M(-7 ; 5)$ không thuộc đường thẳng d.
Bài tập 4 trang 80
Cho đường thẳng $d$ có phương trình tổng quát là: $x-2 y-5=0$.
a) Lập phương trình tham số của đường thẳng $d$.
b) Tìm toạ độ điểm $M$ thuộc $d$ sao cho $O M=5$ với $O$ là gốc toạ độ.
c) Tìm toạ độ điểm $N$ thuộc $d$ sao cho khoảng cách từ $N$ đến trục hoành $O x$ là 3
a) Lập phương trình tham số của đường thẳng $d$.
b) Tìm toạ độ điểm $M$ thuộc $d$ sao cho $O M=5$ với $O$ là gốc toạ độ.
c) Tìm toạ độ điểm $N$ thuộc $d$ sao cho khoảng cách từ $N$ đến trục hoành $O x$ là 3
Phương pháp giải:
a) Phương trình tham số của đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $M_o\left(x_o ; y_o\right)$ và nhận $\vec{u}=(\mathrm{a} ; \mathrm{b})(\vec{u} \neq 0)$ làm vecto chỉ phương là: $\left\{\begin{array}{l}x=x_o+a t \\ y=y_o+b t\end{array} \quad(t\right.$ là tham số $)$
b) Tham số hóa điểm $\mathrm{M}$
Nếu $A\left(x_1 ; y_1\right), B\left(x_2 ; y_2\right)$ thì $A B=|\overrightarrow{A B}|=\sqrt{\left(x_2-x_1\right)^2+\left(y_2-y_1\right)^2}$
c) Tham số hóa điểm $\mathrm{N}$ rồi sử dụng giả thiết khoảng cách
a) Phương trình tham số của đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $M_o\left(x_o ; y_o\right)$ và nhận $\vec{u}=(\mathrm{a} ; \mathrm{b})(\vec{u} \neq 0)$ làm vecto chỉ phương là: $\left\{\begin{array}{l}x=x_o+a t \\ y=y_o+b t\end{array} \quad(t\right.$ là tham số $)$
b) Tham số hóa điểm $\mathrm{M}$
Nếu $A\left(x_1 ; y_1\right), B\left(x_2 ; y_2\right)$ thì $A B=|\overrightarrow{A B}|=\sqrt{\left(x_2-x_1\right)^2+\left(y_2-y_1\right)^2}$
c) Tham số hóa điểm $\mathrm{N}$ rồi sử dụng giả thiết khoảng cách
Lời giải chi tiết:
a) Từ phương trình tổng quát của đường thẳng, ta lấy được một vecto pháp tuyến là:
$\vec{n}=(1 ;-2)$ nên ta chọn vecto chỉ phương của đường thẳng $\mathrm{d}$ là: $\vec{u}=(2 ; 1)$.
Chọn điểm $A(1 ;-2) \in d$.
Vậy phương trình tham số của đường thẳng $\mathrm{d}$ là: $\left\{\begin{array}{l}x=1+2 t \\ y=-2+t\end{array}\right.$ ($t$ là tham số)
b) Do điểm $M$ thuộc $\mathrm{d}$ nên ta có: $M(1+2 m ;-2+m) ; m \in \mathbb{R}$.
Ta có: $O M=5 \Leftrightarrow \sqrt{(1+2 m)^2+(-2+m)^2}=5 \Leftrightarrow m^2=4 \Leftrightarrow m=\pm 2$
Với $m=2 \Rightarrow M(5 ; 0)$
Với $m=-2 \Rightarrow M(-3 ;-4)$
Vậy ta có 2 điểm $M$ thỏa mãn điều kiện đề bài.
c) Do điểm $\mathrm{N}$ thuộc $\mathrm{d}$ nên ta có: $N(1+2 n ;-2+n)$
Khoảng cách từ $\mathrm{N}$ đến trục hoành bằng giá trị tuyệt đối của tung độ điểm $\mathrm{N}$. Do đó, khoảng cách từ $\mathrm{N}$ đến trục hoành bằng 3 khi và chỉ khi: $|-2+n|=3 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}n=5 \\ n=-1\end{array}\right.$
Với $n=5 \Rightarrow N(11 ; 3)$
Với $n=-1 \Rightarrow N(-1 ;-3)$
Vậy có 2 điểm $\mathrm{N}$ thỏa mãn bài toán
a) Từ phương trình tổng quát của đường thẳng, ta lấy được một vecto pháp tuyến là:
$\vec{n}=(1 ;-2)$ nên ta chọn vecto chỉ phương của đường thẳng $\mathrm{d}$ là: $\vec{u}=(2 ; 1)$.
Chọn điểm $A(1 ;-2) \in d$.
Vậy phương trình tham số của đường thẳng $\mathrm{d}$ là: $\left\{\begin{array}{l}x=1+2 t \\ y=-2+t\end{array}\right.$ ($t$ là tham số)
b) Do điểm $M$ thuộc $\mathrm{d}$ nên ta có: $M(1+2 m ;-2+m) ; m \in \mathbb{R}$.
Ta có: $O M=5 \Leftrightarrow \sqrt{(1+2 m)^2+(-2+m)^2}=5 \Leftrightarrow m^2=4 \Leftrightarrow m=\pm 2$
Với $m=2 \Rightarrow M(5 ; 0)$
Với $m=-2 \Rightarrow M(-3 ;-4)$
Vậy ta có 2 điểm $M$ thỏa mãn điều kiện đề bài.
c) Do điểm $\mathrm{N}$ thuộc $\mathrm{d}$ nên ta có: $N(1+2 n ;-2+n)$
Khoảng cách từ $\mathrm{N}$ đến trục hoành bằng giá trị tuyệt đối của tung độ điểm $\mathrm{N}$. Do đó, khoảng cách từ $\mathrm{N}$ đến trục hoành bằng 3 khi và chỉ khi: $|-2+n|=3 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}n=5 \\ n=-1\end{array}\right.$
Với $n=5 \Rightarrow N(11 ; 3)$
Với $n=-1 \Rightarrow N(-1 ;-3)$
Vậy có 2 điểm $\mathrm{N}$ thỏa mãn bài toán
Bài tập 5 trang 80
Cho tam giác $A B C$, biết $A(1 ; 3), B(-1 ;-1), C(5 ;-3)$. Lập phương trình tổng quát của:
a) Ba đường thẳng $A B, B C, A C$;
b) Đường trung trực cạnh $A B$;
c) Đường cao $A H$ và đường trung tuyến $A M$.
a) Ba đường thẳng $A B, B C, A C$;
b) Đường trung trực cạnh $A B$;
c) Đường cao $A H$ và đường trung tuyến $A M$.
Phương pháp giải:
a) Phương trình đường thẳng $\mathrm{d}$ đi qua hai điểm $A\left(x_o ; y_o\right) ; B\left(x_1 ; y_1\right)$ là: $\frac{x-x_o}{x_1-x_o}=\frac{y-y_o}{y_1-y_o}$
b) và c) Phương trình tổng quát của đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $M_o\left(x_o ; y_o\right)$ và nhận $\vec{n}=(\mathrm{a} ; \mathrm{b})(\vec{n} \neq 0)$ làm vecto pháp tuyến là: $a\left(x-x_o\right)+b\left(y-y_o\right)=0$
a) Phương trình đường thẳng $\mathrm{d}$ đi qua hai điểm $A\left(x_o ; y_o\right) ; B\left(x_1 ; y_1\right)$ là: $\frac{x-x_o}{x_1-x_o}=\frac{y-y_o}{y_1-y_o}$
b) và c) Phương trình tổng quát của đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $M_o\left(x_o ; y_o\right)$ và nhận $\vec{n}=(\mathrm{a} ; \mathrm{b})(\vec{n} \neq 0)$ làm vecto pháp tuyến là: $a\left(x-x_o\right)+b\left(y-y_o\right)=0$
Lời giải chi tiết:
a) Phương trình đường thẳng $\mathrm{AB}$ đi qua 2 điểm $\mathrm{A}$ và $\mathrm{B}$ là:
$\frac{x-1}{-1-1}=\frac{y-3}{-1-3} \Leftrightarrow \frac{x-1}{-2}=\frac{y-3}{-4} \Leftrightarrow 2 x-y+1=0$
Phương trình đường thẳng $\mathrm{AC}$ đi qua 2 điểm $\mathrm{A}$ và C là:
$\frac{x-1}{5-1}=\frac{y-3}{-3-3} \Leftrightarrow \frac{x-1}{4}=\frac{y-3}{-6} \Leftrightarrow 3 x+2 y-9=0$
Phương trình đường thẳng $\mathrm{BC}$ đi qua 2 điểm $\mathrm{B}$ và $\mathrm{C}$ là:
$\frac{x+1}{5+1}=\frac{y+1}{-3+1} \Leftrightarrow \frac{x+1}{6}=\frac{y+1}{-2} \Leftrightarrow x+3 y+4=0$
b) Gọi $\mathrm{d}$ là đường trung trực của cạnh $\mathrm{AB}$.
Lấy $\mathrm{N}$ là trung điểm của $\mathrm{AB}$, suy ra $N(0 ; 1)$.
Do $d \perp A B$ nên ta có vecto pháp tuyến của $\mathrm{d}$ là: $\overrightarrow{n_d}=(1 ; 2)$
Vậy phương trình đường thẳng $\mathrm{d}$ đi qua $\mathrm{N}$ có vecto pháp tuyến $\overrightarrow{n_d}=(1 ; 2)$ là:
$1(x-0)+2(y-1)=0 \Leftrightarrow x+2 y-2=0$
c) Do $\mathrm{AH}$ vuông góc với $\mathrm{BC}$ nên vecto pháp tuyến của $\mathrm{AH}$ là $\overrightarrow{n_{A H}}=(3 ;-1)$
Vậy phương trình đường cao $\mathrm{AH}$ đi qua điểm $\mathrm{A}$ có vecto pháp tuyến $\overrightarrow{n_{A H}}=(3 ;-1)$ là: $3(x-1)-1(y-3)=0 \Leftrightarrow 3 x-y=0$
Do $\mathrm{M}$ là trung điểm $\mathrm{BC}$ nên $M(2 ;-2)$. Vậy ta có: $\overrightarrow{A M}=(1 ;-5) \Rightarrow \overrightarrow{n_{A M}}=(5 ; 1)$
Phương trình đường trung tuyến $\mathrm{AM}$ đi qua điểm $\mathrm{A}$ có vecto pháp tuyến $\overrightarrow{n_{A M}}=(5 ; 1)$ là:
$5(x-1)+1(y-3)=0 \Leftrightarrow 5 x+y-8=0$
a) Phương trình đường thẳng $\mathrm{AB}$ đi qua 2 điểm $\mathrm{A}$ và $\mathrm{B}$ là:
$\frac{x-1}{-1-1}=\frac{y-3}{-1-3} \Leftrightarrow \frac{x-1}{-2}=\frac{y-3}{-4} \Leftrightarrow 2 x-y+1=0$
Phương trình đường thẳng $\mathrm{AC}$ đi qua 2 điểm $\mathrm{A}$ và C là:
$\frac{x-1}{5-1}=\frac{y-3}{-3-3} \Leftrightarrow \frac{x-1}{4}=\frac{y-3}{-6} \Leftrightarrow 3 x+2 y-9=0$
Phương trình đường thẳng $\mathrm{BC}$ đi qua 2 điểm $\mathrm{B}$ và $\mathrm{C}$ là:
$\frac{x+1}{5+1}=\frac{y+1}{-3+1} \Leftrightarrow \frac{x+1}{6}=\frac{y+1}{-2} \Leftrightarrow x+3 y+4=0$
b) Gọi $\mathrm{d}$ là đường trung trực của cạnh $\mathrm{AB}$.
Lấy $\mathrm{N}$ là trung điểm của $\mathrm{AB}$, suy ra $N(0 ; 1)$.
Do $d \perp A B$ nên ta có vecto pháp tuyến của $\mathrm{d}$ là: $\overrightarrow{n_d}=(1 ; 2)$
Vậy phương trình đường thẳng $\mathrm{d}$ đi qua $\mathrm{N}$ có vecto pháp tuyến $\overrightarrow{n_d}=(1 ; 2)$ là:
$1(x-0)+2(y-1)=0 \Leftrightarrow x+2 y-2=0$
c) Do $\mathrm{AH}$ vuông góc với $\mathrm{BC}$ nên vecto pháp tuyến của $\mathrm{AH}$ là $\overrightarrow{n_{A H}}=(3 ;-1)$
Vậy phương trình đường cao $\mathrm{AH}$ đi qua điểm $\mathrm{A}$ có vecto pháp tuyến $\overrightarrow{n_{A H}}=(3 ;-1)$ là: $3(x-1)-1(y-3)=0 \Leftrightarrow 3 x-y=0$
Do $\mathrm{M}$ là trung điểm $\mathrm{BC}$ nên $M(2 ;-2)$. Vậy ta có: $\overrightarrow{A M}=(1 ;-5) \Rightarrow \overrightarrow{n_{A M}}=(5 ; 1)$
Phương trình đường trung tuyến $\mathrm{AM}$ đi qua điểm $\mathrm{A}$ có vecto pháp tuyến $\overrightarrow{n_{A M}}=(5 ; 1)$ là:
$5(x-1)+1(y-3)=0 \Leftrightarrow 5 x+y-8=0$
Bài tập 6 trang 80
Để tham gia một phòng tập thể dục, người tập phải trả một khoản phí tham gia ban đầu và phí sử dụng phòng tập. Đường thẳng $\Delta$ ở Hình 38 biểu thị tổng chi phí (đơn vị: triệu đồng) tham gia một phòng tập thể dục theo thời gian tập của một người (đơn vị: tháng).
a) Viết phương trình của đường thẳng $\Delta$.
b) Giao điểm của đường thẳng $\Delta$ với trục tung trong tình huống này có ý nghĩa gì?
c) Tính tổng chi phí mà người đó phải trả khi tham gia phòng tập thể dục với thời gian 12 tháng.
a) Viết phương trình của đường thẳng $\Delta$.
b) Giao điểm của đường thẳng $\Delta$ với trục tung trong tình huống này có ý nghĩa gì?
c) Tính tổng chi phí mà người đó phải trả khi tham gia phòng tập thể dục với thời gian 12 tháng.
Phương pháp giải:
a) Phương trình đường thằng $\mathrm{d}$ đi qua hai điểm $A\left(x_o ; y_o\right) ; B\left(x_1 ; y_1\right)$ là: $\frac{x-x_o}{x_1-x_o}=\frac{y-y_o}{y_1-y_o}$
c) Thay giá trị tương ứng vào vào phương trình đường thẳng
a) Phương trình đường thằng $\mathrm{d}$ đi qua hai điểm $A\left(x_o ; y_o\right) ; B\left(x_1 ; y_1\right)$ là: $\frac{x-x_o}{x_1-x_o}=\frac{y-y_o}{y_1-y_o}$
c) Thay giá trị tương ứng vào vào phương trình đường thẳng
Lời giải chi tiết:
a) Đường thẳng $\Delta$ đi qua hai điểm lần lượt có tọa độ $(0 ; 1,5),(7 ; 5)$ nên $\Delta$ có phương trình là:
$\frac{x-0}{7-0}=\frac{y-1,5}{5-1,5} \Leftrightarrow \frac{x}{7}=\frac{y-1,5}{3,5} \Leftrightarrow x-2 y+3=0$
b) Giao điểm của đường thẳng $\Delta$ với trục $O y$ ứng với $x=0$. Thời điểm $x=0$ cho biết khoản phí tham gia ban đầu mà người tập phải trả. Khi $x=0$ thì $y=1,5$, vì vậy khoản phí tham gia ban đầu mà người tập phải trả là 1500000 đồng.
c) 12 tháng đầu tiên ứng với $x=12$
Từ phương trình đường thẳng $\Delta$ ta có: $x-2 y+3=0 \Leftrightarrow y=\frac{1}{2} x+\frac{3}{2}$
Thay $x=12$ vào phương trình đường thẳng ta có: $y=\frac{1}{2} .12+\frac{3}{2}=7,5$
Vậy tổng chi phí mà người đó phải trả khi tham gia phòng tập thể dục trong 12 tháng là 7 triệu 500 nghìn đồng.
a) Đường thẳng $\Delta$ đi qua hai điểm lần lượt có tọa độ $(0 ; 1,5),(7 ; 5)$ nên $\Delta$ có phương trình là:
$\frac{x-0}{7-0}=\frac{y-1,5}{5-1,5} \Leftrightarrow \frac{x}{7}=\frac{y-1,5}{3,5} \Leftrightarrow x-2 y+3=0$
b) Giao điểm của đường thẳng $\Delta$ với trục $O y$ ứng với $x=0$. Thời điểm $x=0$ cho biết khoản phí tham gia ban đầu mà người tập phải trả. Khi $x=0$ thì $y=1,5$, vì vậy khoản phí tham gia ban đầu mà người tập phải trả là 1500000 đồng.
c) 12 tháng đầu tiên ứng với $x=12$
Từ phương trình đường thẳng $\Delta$ ta có: $x-2 y+3=0 \Leftrightarrow y=\frac{1}{2} x+\frac{3}{2}$
Thay $x=12$ vào phương trình đường thẳng ta có: $y=\frac{1}{2} .12+\frac{3}{2}=7,5$
Vậy tổng chi phí mà người đó phải trả khi tham gia phòng tập thể dục trong 12 tháng là 7 triệu 500 nghìn đồng.
Cảm ơn bạn đọc đã theo dõi bài viết của HocThatGioi về Bài 3 Chương VII Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng trang 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80 sách Toán 10 Cánh diều tập 2. Hy vọng các bạn đã nắm được toàn bộ kiến thức của bài học này. Chúc các bạn học tốt!
