SGK Toán 10 - Chân Trời Sáng Tạo
Giải SGK bài 3 chương VI trang 112, 113, 114, 115, 116, 117, 118, 119 Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1
Trong bài này, HocThatGioi sẽ giúp các bạn giải đáp những câu hỏi cũng như bài tập trong bài Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu. Đây là bài học thuộc bài 3 chương VI trang 112, 113, 114, 115, 116, 117, 118, 119 sách Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1. Hi vọng các bạn có thể hiểu được trọn vẹn bài học sau khi xem hết các phương pháp giải và lời giải cực chi tiết mà HocThatGioi trình bày bên dưới.
Trả lời câu hỏi trong SGK bài Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu
Dưới đây là phương pháp và bài giải chi tiết cho câu hỏi hoạt động khám phá, vận dụng cùng phần thực hành ở các trang 112, 113, 114, 115, 116, 117 trong bài Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu. Cùng HocThatGioi đi tìm đáp án ngay nhé!
Hoạt động khám phá 1 trang 112
Điểm số bài kiểm tra môn Toán của các bạn trong Tổ 1 là $6 ; 10 ; 6 ; 8 ; 7 ; 10$, còn của các bạn Tổ 2 là $10 ; 6 ; 9 ; 9 ; 8 ; 9$. Theo em, tổ nào có kết quả kiếm tra tốt hơn? Tại sao?
Lời giải chi tiết:
Trung bình mỗi bạn ở Tổ 1 được: $\frac{6+10+6+8+7+10}{6} \approx 7,83$
Trung bình mỗi bạn ở Tổ 2 được: $\frac{10+6+9+9+8+9}{6}=8,5>7,83$
Vậy tổ 2 có kết quả kiểm tra tốt hơn
Trung bình mỗi bạn ở Tổ 1 được: $\frac{6+10+6+8+7+10}{6} \approx 7,83$
Trung bình mỗi bạn ở Tổ 2 được: $\frac{10+6+9+9+8+9}{6}=8,5>7,83$
Vậy tổ 2 có kết quả kiểm tra tốt hơn
Vận dụng 1 trang 114
Thời gian chạy 100 mét (đơn vị: giây) của các bạn học sinh ở hai nhóm $A$ và $B$ được ghi lại ở bảng sau:
Nhóm nào có thành tích chạy tốt hơn?
Nhóm nào có thành tích chạy tốt hơn?
Phương pháp giải:
So sánh thời gian chạy trung bình của 2 nhóm.
So sánh thời gian chạy trung bình của 2 nhóm.
Lời giải chi tiết:
Số giây trung bình để chạy 100 mét của các bạn học sinh ở nhóm A là:
\frac{\mathrm{12,2+13,5+12,7+13,1+12,5+12,9+13,2+12,8} }{\mathrm{8}} \approx 12,65
Số giây trung bình để chạy 100 mét của các bạn học sinh ở nhóm B là:
$\frac{12,1+13,4+13,2+12,9+13,7}{5}=13,06$
Vậy nhóm A có thành tích chạy tốt hơn.
Số giây trung bình để chạy 100 mét của các bạn học sinh ở nhóm A là:
\frac{\mathrm{12,2+13,5+12,7+13,1+12,5+12,9+13,2+12,8} }{\mathrm{8}} \approx 12,65
Số giây trung bình để chạy 100 mét của các bạn học sinh ở nhóm B là:
$\frac{12,1+13,4+13,2+12,9+13,7}{5}=13,06$
Vậy nhóm A có thành tích chạy tốt hơn.
Vận dụng 2 trang 114
Số bàn tháng mà một đội bóng ghi được ở mỗi trận đấu trong một mùa giải được thống kê lại ở bảng sau:
Hãy xác định số bàn thắng trung bình đội đó ghi được trong một trận đấu của mùa giải.
Hãy xác định số bàn thắng trung bình đội đó ghi được trong một trận đấu của mùa giải.
Phương pháp giải:
Số bàn thắng trung bình trong mỗi trận = tổng của số bàn thắng của mùa giải: tổng số trận
Số bàn thắng trung bình trong mỗi trận = tổng của số bàn thắng của mùa giải: tổng số trận
Lời giải chi tiết:
Số bàn thắng ghi được trong mùa giải đó là:
$0.5+1.10+2.5+3.3+4.2+6.1=43$ (bàn thắng)
Số bàn thắng trung bình đội đó ghi được trong một trận đấu là:
$$\frac{43}{5+10+5+3+2+1} \approx 1,65$$
Vậy trung bình một trận đội đó ghi được $1,65$ bàn thắng.
Số bàn thắng ghi được trong mùa giải đó là:
$0.5+1.10+2.5+3.3+4.2+6.1=43$ (bàn thắng)
Số bàn thắng trung bình đội đó ghi được trong một trận đấu là:
$$\frac{43}{5+10+5+3+2+1} \approx 1,65$$
Vậy trung bình một trận đội đó ghi được $1,65$ bàn thắng.
Hoạt động khám phá 2 trang 114
Bảng sau thống kê số sách mỗi bạn học sinh Tổ 1 và Tổ 2 đã đọc ở thư viện trường trong một tháng:
a) Trung bình mỗi bạn Tổ 1 và mỗi bạn Tổ 2 đọc bao nhiêu quyển sách ở thư viện trường trong tháng đó?
b) Em hãy thảo luận với các bạn trong nhóm xem tổ nào chăm đọc sách ở thư viện hơn.
a) Trung bình mỗi bạn Tổ 1 và mỗi bạn Tổ 2 đọc bao nhiêu quyển sách ở thư viện trường trong tháng đó?
b) Em hãy thảo luận với các bạn trong nhóm xem tổ nào chăm đọc sách ở thư viện hơn.
Lời giải chi tiết:
a) Trung bình mỗi bạn Tổ 1 đọc:
$\frac{3+1+2+1+2+2+3+25+1}{9} \approx 4,44$ (quyển sách)
Trung bình mỗi bạn Tổ 2 đọc:
$\frac{4+5+4+3+3+4+5+4}{8}=4$ (quyển sách)
b) Sắp xếp số sách mỗi bạn Tổ 1 đã đọc theo thứ tự không giảm, ta được dãy:
$1 ; 1 ; 1 ; 2 ; 2 ; 2 ; 3 ; 3 ; 25$
Vì cỡ mẫu bằng 9 nên trung vị của Tổ 1 là số liệu thứ 5 của dãy trên, tức là $M_e=2$.
Sắp xếp số sách mỗi bạn Tổ 2 đã đọc theo thứ tự không giảm, ta được dãy:
$3 ; 3 ; 4 ; 4 ; 4 ; 4 ; 5 ; 5$.
Vì cỡ mẫu bằng 8 nên trung vị của Tổ 2 là trung bình cộng của số liệu thứ 4 và thứ 5 của dãy trên, tức là $M_e=\frac{1}{2}(4+4)=4$.
Vậy nếu so sánh theo trung vị thì các bạn Tổ 2 đọc nhiều sách ở thư viện hơn các bạn Tổ 1.
a) Trung bình mỗi bạn Tổ 1 đọc:
$\frac{3+1+2+1+2+2+3+25+1}{9} \approx 4,44$ (quyển sách)
Trung bình mỗi bạn Tổ 2 đọc:
$\frac{4+5+4+3+3+4+5+4}{8}=4$ (quyển sách)
b) Sắp xếp số sách mỗi bạn Tổ 1 đã đọc theo thứ tự không giảm, ta được dãy:
$1 ; 1 ; 1 ; 2 ; 2 ; 2 ; 3 ; 3 ; 25$
Vì cỡ mẫu bằng 9 nên trung vị của Tổ 1 là số liệu thứ 5 của dãy trên, tức là $M_e=2$.
Sắp xếp số sách mỗi bạn Tổ 2 đã đọc theo thứ tự không giảm, ta được dãy:
$3 ; 3 ; 4 ; 4 ; 4 ; 4 ; 5 ; 5$.
Vì cỡ mẫu bằng 8 nên trung vị của Tổ 2 là trung bình cộng của số liệu thứ 4 và thứ 5 của dãy trên, tức là $M_e=\frac{1}{2}(4+4)=4$.
Vậy nếu so sánh theo trung vị thì các bạn Tổ 2 đọc nhiều sách ở thư viện hơn các bạn Tổ 1.
Thực hành 1 trang 115
Hãy tìm trung vị của các số liệu ở Vận dụng 1 và Vận dụng 2.
Phương pháp giải:
Bước 1: Sắp xếp các số liệu theo thứ tự không giảm.
Bước 2: Tìm cỡ mẫu $\mathrm{n}$.
+ Nếu $n=2 k-1$ thì trung vị là số liệu thứ $\mathrm{k}$
+ Nếu $n=2 k$ thì trung vị $=\frac{1}{2}$ (số liệu thứ $\mathrm{k}+$ số liệu thứ $\left.(\mathrm{k}+1)\right)$
Bước 1: Sắp xếp các số liệu theo thứ tự không giảm.
Bước 2: Tìm cỡ mẫu $\mathrm{n}$.
+ Nếu $n=2 k-1$ thì trung vị là số liệu thứ $\mathrm{k}$
+ Nếu $n=2 k$ thì trung vị $=\frac{1}{2}$ (số liệu thứ $\mathrm{k}+$ số liệu thứ $\left.(\mathrm{k}+1)\right)$
Lời giải chi tiết:
Vận dụng 1:
Sắp xếp thời gian chạy của nhóm $A$ theo thứ tự không giảm ta được dãy:
12,2 ; 12,5 ; 12,7 ; 12,8 ; 12,9 ; 13,1 ; 13,2 ; 13,5
Vì cỡ mẫu bằng 8 nên trung vị của nhóm $\mathrm{A}$ là trung bình cộng của số liệu thứ 4 và thứ 5 của dãy trên, tức là
$$M_e=\frac{1}{2}(12,8+12,9)=12,85 .$$
Sắp xếp thời gian chạy của nhóm $B$ theo thứ tự không giảm ta được dãy:
$$12,1 ; 12,9 ; 13,2 ; 13,4 ; 13,7$$
Vì cỡ mẫu bằng 5 nên trung vị của nhóm $B$ là số liệu thứ 3 của dãy trên, tức là $M_e=13,2$.
Vận dụng 2:
Sắp xếp số bàn thắng của đội theo thứ tự không giảm ta được dãy:
0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 1 ;….; 1 ; 2 ; 2 ; 2 ; 2 ; 2 ; 3 ; 3 ; 3 ; 4 ; 4 ; 6.
;….; gồm 10 số 1
Vì cỡ mẫu bằng $5+10+5+3+2+1=26$ nên trung vị của đội là trung bình cộng của số liệu thứ 13 và thứ 14 của dãy trên, tức là $M_e=\frac{1}{2}(1+1)=1$.
Vận dụng 1:
Sắp xếp thời gian chạy của nhóm $A$ theo thứ tự không giảm ta được dãy:
12,2 ; 12,5 ; 12,7 ; 12,8 ; 12,9 ; 13,1 ; 13,2 ; 13,5
Vì cỡ mẫu bằng 8 nên trung vị của nhóm $\mathrm{A}$ là trung bình cộng của số liệu thứ 4 và thứ 5 của dãy trên, tức là
$$M_e=\frac{1}{2}(12,8+12,9)=12,85 .$$
Sắp xếp thời gian chạy của nhóm $B$ theo thứ tự không giảm ta được dãy:
$$12,1 ; 12,9 ; 13,2 ; 13,4 ; 13,7$$
Vì cỡ mẫu bằng 5 nên trung vị của nhóm $B$ là số liệu thứ 3 của dãy trên, tức là $M_e=13,2$.
Vận dụng 2:
Sắp xếp số bàn thắng của đội theo thứ tự không giảm ta được dãy:
0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 1 ;….; 1 ; 2 ; 2 ; 2 ; 2 ; 2 ; 3 ; 3 ; 3 ; 4 ; 4 ; 6.
;….; gồm 10 số 1
Vì cỡ mẫu bằng $5+10+5+3+2+1=26$ nên trung vị của đội là trung bình cộng của số liệu thứ 13 và thứ 14 của dãy trên, tức là $M_e=\frac{1}{2}(1+1)=1$.
Hoạt động khám phá 3 trang 116
Cân nặng của 20 vận động viên môn vật của một câu lạc bộ được ghi lại ở bảng sau:
Để thuận tiện cho việc luyện tập, ban huấn luyện muốn xếp 20 vận động viên trên thành 4 nhóm, mỗi nhóm gồm $25 \%$ số vận động viên có cân nặng gần nhau. Bạn hãy giúp ban huấn luyện xác định các ngưỡng cân nặng để phân nhóm mỗi vận động viên.
Để thuận tiện cho việc luyện tập, ban huấn luyện muốn xếp 20 vận động viên trên thành 4 nhóm, mỗi nhóm gồm $25 \%$ số vận động viên có cân nặng gần nhau. Bạn hãy giúp ban huấn luyện xác định các ngưỡng cân nặng để phân nhóm mỗi vận động viên.
Phương pháp giải:
Bước 1: Sắp xếp các số liệu theo thứ tự không giảm.
Bước 2: Tính cỡ mẫu n, tìm tứ phân vị thứ hai $Q_2$ (chính là trung vị của mẫu).
Bước 3: Tìm tứ phân vị thứ nhất: là trung vị của nửa số liệu đã sắp xếp bên trái $Q_2$ (không bao gồm $Q_2$ nếu n lẻ)
Bước 4: Tìm tứ phân vị thứ ba: là trung vị của nửa số liệu đã sắp xếp bên phải $Q_2$ (không bao gồm $Q_2$ nếu n lẻ)
Bước 1: Sắp xếp các số liệu theo thứ tự không giảm.
Bước 2: Tính cỡ mẫu n, tìm tứ phân vị thứ hai $Q_2$ (chính là trung vị của mẫu).
Bước 3: Tìm tứ phân vị thứ nhất: là trung vị của nửa số liệu đã sắp xếp bên trái $Q_2$ (không bao gồm $Q_2$ nếu n lẻ)
Bước 4: Tìm tứ phân vị thứ ba: là trung vị của nửa số liệu đã sắp xếp bên phải $Q_2$ (không bao gồm $Q_2$ nếu n lẻ)
Lời giải chi tiết:
Sắp xếp các cân nặng theo thứ tự không giảm, ta được dãy:
50 ; 52 ; 52 ; 54 ; 54 ; 56 ; 56 ; 57 ; 58 ; 58 ; 59 ; 61 ; 61 ; 62 ; 64 ; 65 ; 66 ; 67 ; 68 ; 69.
+) Vì cỡ mẫu $n=20$ là số chẵn, nên giá trị tứ phân vị thứ hai là $Q_2=\frac{1}{2}(58+59)=58,5$
+) Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: 50; 52; 52; 54; 54; 56; 56; 57; 58; 58.
Do đó $Q_1=\frac{1}{2}(54+56)=55$
+) Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: 59 ; 61 ; 61 ; 62 ; 64 ; 65 ; 66 ; 67 ; 68 ; 69.
Do đó $Q_3=\frac{1}{2}(64+65)=64,5$
Vậy 3 ngưỡng cân nặng để phân nhóm là: $55 \mathrm{~kg} ; 58,5 \mathrm{~kg} ; 64,5 \mathrm{~kg}$.
Sắp xếp các cân nặng theo thứ tự không giảm, ta được dãy:
50 ; 52 ; 52 ; 54 ; 54 ; 56 ; 56 ; 57 ; 58 ; 58 ; 59 ; 61 ; 61 ; 62 ; 64 ; 65 ; 66 ; 67 ; 68 ; 69.
+) Vì cỡ mẫu $n=20$ là số chẵn, nên giá trị tứ phân vị thứ hai là $Q_2=\frac{1}{2}(58+59)=58,5$
+) Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: 50; 52; 52; 54; 54; 56; 56; 57; 58; 58.
Do đó $Q_1=\frac{1}{2}(54+56)=55$
+) Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: 59 ; 61 ; 61 ; 62 ; 64 ; 65 ; 66 ; 67 ; 68 ; 69.
Do đó $Q_3=\frac{1}{2}(64+65)=64,5$
Vậy 3 ngưỡng cân nặng để phân nhóm là: $55 \mathrm{~kg} ; 58,5 \mathrm{~kg} ; 64,5 \mathrm{~kg}$.
Thực hành 2 trang 117
Hãy tìm tứ phân vị của các mãu số liệu sau:
a) $10 ; 13 ; 15 ; 2 ; 10 ; 19 ; 2 ; 5 ; 7$
b) $15 ; 19 ; 10 ; 5 ; 9 ; 10 ; 1 ; 2 ; 5 ; 15$
a) $10 ; 13 ; 15 ; 2 ; 10 ; 19 ; 2 ; 5 ; 7$
b) $15 ; 19 ; 10 ; 5 ; 9 ; 10 ; 1 ; 2 ; 5 ; 15$
Phương pháp giải:
Bước 1: Sắp xếp các số liệu theo thứ tự không giảm.
Bước 2: Tính cỡ mẫu $n$, tìm tứ phân vị thứ hai $Q_2$ (chính là trung vị của mẫu).
Bước 3: Tìm tứ phân vị thứ nhất: là trung vị của nửa số liệu đã săp xếp bên trái $Q_2$ (không bao gồm $Q_2$ nếu $n$ lẻ)
Bước 4: Tìm tứ phân vị thứ ba: là trung vị của nửa số liệu đã sẳp xếp bên phải $Q_2$ (không bao gồm $Q_2$ nếu $n$ lẻ)
Bước 1: Sắp xếp các số liệu theo thứ tự không giảm.
Bước 2: Tính cỡ mẫu $n$, tìm tứ phân vị thứ hai $Q_2$ (chính là trung vị của mẫu).
Bước 3: Tìm tứ phân vị thứ nhất: là trung vị của nửa số liệu đã săp xếp bên trái $Q_2$ (không bao gồm $Q_2$ nếu $n$ lẻ)
Bước 4: Tìm tứ phân vị thứ ba: là trung vị của nửa số liệu đã sẳp xếp bên phải $Q_2$ (không bao gồm $Q_2$ nếu $n$ lẻ)
Lời giải chi tiết:
a) Sắp xếp lại mẫu số liệu theo thứ tự không giảm, ta được:
$2 ; 2 ; 5 ; 7 ; 10 ; 10 ; 13 ; 15 ; 19$
+) Vì cỡ mẫu là $n=9$, là số lẻ, nên giá trị tứ phân vị thứ hai là $Q_2=10$
+) Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: $2 ; 2 ; 5 ; 7$.
Do đó $Q_1=\frac{1}{2}(2+5)=3,5$
+) Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: $10 ; 13 ; 15 ; 19$.
Do đó $Q_3=\frac{1}{2}(13+15)=14$
b) Sằp xếp lại mẫu số liệu theo thứ tự không giảm, ta được:
$1 ; 2 ; 5 ; 5 ; 9 ; 10 ; 10 ; 15 ; 15 ; 19$
+) Vì cỡ mẫu là $n=10$, là số chẳn, nên giá trị tứ phân vị thứ hai là $Q_2=\frac{1}{2}(9+10)=9,5$
+) Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: $1 ; 2 ; 5 ; 5 ; 9$.
Do đó $Q_1=5$
+) Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: $10; 10; 15; 15; 19$.
Do đó $Q_3=15$
a) Sắp xếp lại mẫu số liệu theo thứ tự không giảm, ta được:
$2 ; 2 ; 5 ; 7 ; 10 ; 10 ; 13 ; 15 ; 19$
+) Vì cỡ mẫu là $n=9$, là số lẻ, nên giá trị tứ phân vị thứ hai là $Q_2=10$
+) Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: $2 ; 2 ; 5 ; 7$.
Do đó $Q_1=\frac{1}{2}(2+5)=3,5$
+) Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: $10 ; 13 ; 15 ; 19$.
Do đó $Q_3=\frac{1}{2}(13+15)=14$
b) Sằp xếp lại mẫu số liệu theo thứ tự không giảm, ta được:
$1 ; 2 ; 5 ; 5 ; 9 ; 10 ; 10 ; 15 ; 15 ; 19$
+) Vì cỡ mẫu là $n=10$, là số chẳn, nên giá trị tứ phân vị thứ hai là $Q_2=\frac{1}{2}(9+10)=9,5$
+) Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: $1 ; 2 ; 5 ; 5 ; 9$.
Do đó $Q_1=5$
+) Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: $10; 10; 15; 15; 19$.
Do đó $Q_3=15$
Hoạt động khám phá 4 trang 117
Một cửa hàng kinh doanh hoa thống kê số hoa hồng bán được trong ngày 14 tháng 2 theo loại hoa và thu được bảng tần số sau:
Cửa hàng nên nhập loại hoa hồng nào nhiều nhất để bán trong ngày 14 tháng 2 năm tiếp theo? Tại sao?
Cửa hàng nên nhập loại hoa hồng nào nhiều nhất để bán trong ngày 14 tháng 2 năm tiếp theo? Tại sao?
Lời giải chi tiết:
Dễ thấy: Hoa hồng nhung là loại hoa bán được nhiều nhất trong dịp năm nay, do đó cửa hàng nên nhập loại hoa này nhiều nhất để bán vào dịp 14 tháng 2 năm sau.
Dễ thấy: Hoa hồng nhung là loại hoa bán được nhiều nhất trong dịp năm nay, do đó cửa hàng nên nhập loại hoa này nhiều nhất để bán vào dịp 14 tháng 2 năm sau.
Thực hành 3 trang 117
Hãy tìm mốt của số liệu điểm kiểm tra các bạn Tổ 1 trong Hoạt động khám phá 1.
Lời giải chi tiết:
Điểm số bài kiểm tra môn Toán của các bạn trong Tổ 1 là $6 ; 10 ; 6 ; 8 ; 7 ; 10$
Số điểm 6 là 2 , bằng số điểm 10 và nhiều hơn số điểm 7, điểm 8.
Do đó mẫu số liệu trên có $M_o=6, M_o=10$.
Điểm số bài kiểm tra môn Toán của các bạn trong Tổ 1 là $6 ; 10 ; 6 ; 8 ; 7 ; 10$
Số điểm 6 là 2 , bằng số điểm 10 và nhiều hơn số điểm 7, điểm 8.
Do đó mẫu số liệu trên có $M_o=6, M_o=10$.
Giải bài tập SGK bài Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu
Phần tiếp theo sẽ cung cấp cho các bạn phương pháp cùng lời giải trong phần bài tập trang 118, 119 cực kỳ dễ hiểu và chi tiết. Cùng HocThatGioi rèn luyện và nâng cao kỹ năng giải quyết các vấn đề thực tế thông qua các phương pháp, công thức toán học từ bài Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu ở trên.
Bài tập 1 trang 118
Hãy tìm số trung bình, tứ phân vị và mốt của các mẫu số liệu sau:
a) $ 23 ; 41 ; 71 ; 29 ; 48 ; 45 ; 72 ; 41$
b) $12 ; 32 ; 93 ; 78 ; 24 ; 12 ; 54 ; 66 ; 78$
a) $ 23 ; 41 ; 71 ; 29 ; 48 ; 45 ; 72 ; 41$
b) $12 ; 32 ; 93 ; 78 ; 24 ; 12 ; 54 ; 66 ; 78$
Phương pháp giải:
Cho mẫu số liệu: $x_1, x_2, \ldots, x_n$
+) Số trung bình: $\bar{x}=\frac{x_1+x_2+\ldots+x_n}{n}$
+) Tứ phân vị: $Q_1, Q_2, Q_3$
Bước 1: Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm: $X_1, X_2, \ldots, X_n$
Bước 2: $Q_2=M_e= \begin{cases}X_{k+1} & (n=2 k+1) \\ \frac{1}{2}\left(X_k+X_{k+1}\right) & (n=2 k)\end{cases}$
$Q_1$ là trung vị của nửa số liệu đã sắp xếp bên trái $Q_2$ (không bao gồm $Q_2$ nếu n lẻ)
$Q_3$ là trung vị của nửa số liệu đã sắp xếp bên phải $Q_2$ (không bao gồm $Q_2$ nếu n lẻ)
+) Mốt $M_o$ là giá trị có tần số lớn nhất. (Một mẫu có thể có nhiều mốt)
Cho mẫu số liệu: $x_1, x_2, \ldots, x_n$
+) Số trung bình: $\bar{x}=\frac{x_1+x_2+\ldots+x_n}{n}$
+) Tứ phân vị: $Q_1, Q_2, Q_3$
Bước 1: Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm: $X_1, X_2, \ldots, X_n$
Bước 2: $Q_2=M_e= \begin{cases}X_{k+1} & (n=2 k+1) \\ \frac{1}{2}\left(X_k+X_{k+1}\right) & (n=2 k)\end{cases}$
$Q_1$ là trung vị của nửa số liệu đã sắp xếp bên trái $Q_2$ (không bao gồm $Q_2$ nếu n lẻ)
$Q_3$ là trung vị của nửa số liệu đã sắp xếp bên phải $Q_2$ (không bao gồm $Q_2$ nếu n lẻ)
+) Mốt $M_o$ là giá trị có tần số lớn nhất. (Một mẫu có thể có nhiều mốt)
Lời giải chi tiết:
a) $23 ; 41 ; 71 ; 29 ; 48 ; 45 ; 72 ; 41$
+) Số trung bình: $\bar{x}=\frac{23+41+71+29+48+45+72+41}{8}=46,25$
+) Tứ phân vị: $Q_1, Q_2, Q_3$
Bước 1: Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm: $23 ; 29 ; 41 ; 41 ; 45 ; 48 ; 71 ; 72$
Bước 2: $n=8$, là số chẳn nên $Q_2=M_e=\frac{1}{2}(41+45)=43$
$Q_1$ là trung vị của nửa số liệu $23 ; 29 ; 41 ; 41$.
Do đó $Q_2=\frac{1}{2}(29+41)=35$
$Q_3$ là trung vị của nửa số liệu $45 ; 48 ; 71 ; 72$.
Do đó $Q_3=\frac{1}{2}(48+71)=59,5$
+) Chỉ có giá trị 41 xuất hiện 2 lần, nhiều hơn các giá trị còn lại.
Do đó mốt $M_o=41$
$b) 12 ; 32 ; 93 ; 78 ; 24 ; 12 ; 54 ; 66 ; 78$.
+) Số trung bình: $\bar{x}=\frac{12+32+93+78+24+12+54+66+78}{9} \approx 49,89$
+) Tứ phân vị: $Q_1, Q_2, Q_3$
Bước 1: Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm: $12 ; 12 ; 24 ; 32 ; 54 ; 66 ; 78 ; 78 ; 93$
Bước 2: $n=9$, là số lẻ nên $Q_2=M_e=54$
$Q_1$ là trung vị của nửa số liệu $12 ; 12 ; 24 ; 32$.
Do đó $Q_2=\frac{1}{2}(12+24)=18$
$Q_3$ là trung vị của nửa số liệu $66 ; 78 ; 78 ; 93$.
Do đó $Q_3=\frac{1}{2}(78+78)=78$
+) Giá trị 12 và giá trị 78 xuất hiện 2 lần, nhiều hơn các giá trị còn lại.
Do đó mốt $M_o=12, M_o=78$.
a) $23 ; 41 ; 71 ; 29 ; 48 ; 45 ; 72 ; 41$
+) Số trung bình: $\bar{x}=\frac{23+41+71+29+48+45+72+41}{8}=46,25$
+) Tứ phân vị: $Q_1, Q_2, Q_3$
Bước 1: Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm: $23 ; 29 ; 41 ; 41 ; 45 ; 48 ; 71 ; 72$
Bước 2: $n=8$, là số chẳn nên $Q_2=M_e=\frac{1}{2}(41+45)=43$
$Q_1$ là trung vị của nửa số liệu $23 ; 29 ; 41 ; 41$.
Do đó $Q_2=\frac{1}{2}(29+41)=35$
$Q_3$ là trung vị của nửa số liệu $45 ; 48 ; 71 ; 72$.
Do đó $Q_3=\frac{1}{2}(48+71)=59,5$
+) Chỉ có giá trị 41 xuất hiện 2 lần, nhiều hơn các giá trị còn lại.
Do đó mốt $M_o=41$
$b) 12 ; 32 ; 93 ; 78 ; 24 ; 12 ; 54 ; 66 ; 78$.
+) Số trung bình: $\bar{x}=\frac{12+32+93+78+24+12+54+66+78}{9} \approx 49,89$
+) Tứ phân vị: $Q_1, Q_2, Q_3$
Bước 1: Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm: $12 ; 12 ; 24 ; 32 ; 54 ; 66 ; 78 ; 78 ; 93$
Bước 2: $n=9$, là số lẻ nên $Q_2=M_e=54$
$Q_1$ là trung vị của nửa số liệu $12 ; 12 ; 24 ; 32$.
Do đó $Q_2=\frac{1}{2}(12+24)=18$
$Q_3$ là trung vị của nửa số liệu $66 ; 78 ; 78 ; 93$.
Do đó $Q_3=\frac{1}{2}(78+78)=78$
+) Giá trị 12 và giá trị 78 xuất hiện 2 lần, nhiều hơn các giá trị còn lại.
Do đó mốt $M_o=12, M_o=78$.
Bài tập 2 trang 118
Hãy tìm số trung bình, tứ phân vị và mốt của các mẫu số liệu sau:
Phương pháp giải:
Cho bảng số liệu:
+) Số trung bình: $\bar{x}=\frac{x_1 \cdot f_1+x_2 \cdot f_2+\ldots+x_m \cdot f_m}{f_1+f_2+\ldots+f_m}$
+) Tứ phân vị: $Q_1, Q_2, Q_3$
Bước 1: Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm, $n=f_1+f_2+\ldots+f_m$
Bước 2: $Q_2$ là trung vị của mẫu số liệu trên.
$Q_1$ là trung vị của nửa số liệu đã sắp xếp bên trái $Q_2$ (không bao gồm $Q_2$ nếu n lẻ)
$Q_3$ là trung vị của nửa số liệu đã sắp xếp bên phải $Q_2$ (không bao gồm $Q_2$ nếu n lẻ)
+) Mốt $M_o$ là giá trị có tần số lớn nhất. (Một mẫu có thể có nhiều mốt)
Cho bảng số liệu:
+) Số trung bình: $\bar{x}=\frac{x_1 \cdot f_1+x_2 \cdot f_2+\ldots+x_m \cdot f_m}{f_1+f_2+\ldots+f_m}$
+) Tứ phân vị: $Q_1, Q_2, Q_3$
Bước 1: Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm, $n=f_1+f_2+\ldots+f_m$
Bước 2: $Q_2$ là trung vị của mẫu số liệu trên.
$Q_1$ là trung vị của nửa số liệu đã sắp xếp bên trái $Q_2$ (không bao gồm $Q_2$ nếu n lẻ)
$Q_3$ là trung vị của nửa số liệu đã sắp xếp bên phải $Q_2$ (không bao gồm $Q_2$ nếu n lẻ)
+) Mốt $M_o$ là giá trị có tần số lớn nhất. (Một mẫu có thể có nhiều mốt)
Lời giải chi tiết:
a)
+) Số trung bình: $\bar{x}=\frac{23.6+25.8+28.10+31.6+33.4+37.3}{6+8+10+6+4+3} \approx 28,3$
+) Tứ phân vị: $Q_1, Q_2, Q_3$
Bước 1: Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm:
Bước 2: $n=6+8+10+6+4+3=37$, là số lẻ $\Rightarrow Q_2=X_{19}=28$
$Q_1$ là trung vị của nửa số liệu đã sắp xếp bên trái $Q_2: \underbrace{23, \ldots, 23}_6, \underbrace{25, \ldots 25}_8, \underbrace{28, \ldots, 28}_4$
Do đó $Q_1=\frac{1}{2}\left(X_9+X_{10}\right)=\frac{1}{2}(25+25)=25$
$Q_3$ là trung vị của nửa số liệu đã sắp xếp bên phải
$Q_2$
Do đó $Q_3=\frac{1}{2}\left(X_9+X_{10}\right)=\frac{1}{2}(31+31)=31$
+) Mốt $M_o=28$
b) Giả sử cỡ mẫu $n=10$
Khi đó ta có bảng số liệu như sau:
+) Số trung bình: $\bar{x}=\frac{0.0,6+2.0,2+4.0,1+5.0,1}{0,6+0,2+0,1+0,1}=1,3$
+) Tứ phân vị: $Q_1, Q_2, Q_3$
Bước 1: Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm $0,0,0,0,0,0,2,2,4,5$
Bước 2: $n=10$, là số chẵn $\Rightarrow Q_2=\frac{1}{2}(0+0)=0$
$Q_1$ là trung vị của nửa số liệu: $0,0,0,0,0$. Do đó $Q_1=0$
$Q_3$ là trung vị của nửa số liệu: $0,2,2,4,5$. Do đó $Q_3=2$
+) Mốt $M_o=0$
a)
+) Số trung bình: $\bar{x}=\frac{23.6+25.8+28.10+31.6+33.4+37.3}{6+8+10+6+4+3} \approx 28,3$
+) Tứ phân vị: $Q_1, Q_2, Q_3$
Bước 1: Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm:
Bước 2: $n=6+8+10+6+4+3=37$, là số lẻ $\Rightarrow Q_2=X_{19}=28$
$Q_1$ là trung vị của nửa số liệu đã sắp xếp bên trái $Q_2: \underbrace{23, \ldots, 23}_6, \underbrace{25, \ldots 25}_8, \underbrace{28, \ldots, 28}_4$
Do đó $Q_1=\frac{1}{2}\left(X_9+X_{10}\right)=\frac{1}{2}(25+25)=25$
$Q_3$ là trung vị của nửa số liệu đã sắp xếp bên phải
$Q_2$
Do đó $Q_3=\frac{1}{2}\left(X_9+X_{10}\right)=\frac{1}{2}(31+31)=31$
+) Mốt $M_o=28$
b) Giả sử cỡ mẫu $n=10$
Khi đó ta có bảng số liệu như sau:
+) Số trung bình: $\bar{x}=\frac{0.0,6+2.0,2+4.0,1+5.0,1}{0,6+0,2+0,1+0,1}=1,3$
+) Tứ phân vị: $Q_1, Q_2, Q_3$
Bước 1: Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm $0,0,0,0,0,0,2,2,4,5$
Bước 2: $n=10$, là số chẵn $\Rightarrow Q_2=\frac{1}{2}(0+0)=0$
$Q_1$ là trung vị của nửa số liệu: $0,0,0,0,0$. Do đó $Q_1=0$
$Q_3$ là trung vị của nửa số liệu: $0,2,2,4,5$. Do đó $Q_3=2$
+) Mốt $M_o=0$
Bài tập 3 trang 118
An lấy ra ngẫu nhiên 3 quả bóng từ một hộp có chứa nhiều bóng xanh và bóng đỏ. An đếm xem có bao nhiêu bóng đỏ trong 3 bóng lấy ra rồi trả bóng lại hộp. An lặp lại phép thử trên 100 lần và ghi lại kết quả ở bảng sau:
Hãy tìm số trung bình, tứ phân vị và mốt của bảng kết quả trên.
Hãy tìm số trung bình, tứ phân vị và mốt của bảng kết quả trên.
Phương pháp giải:
Cho bảng số liệu:
+) Số trung bình: $\bar{x}=\frac{x_1 \cdot f_1+x_2 \cdot f_2+\ldots+x_m \cdot f_m}{f_1+f_2+\ldots+f_m}$
+) Tứ phân vị: $Q_1, Q_2, Q_3$
Bước 1: Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm, $n=f_1+f_2+\ldots+f_m$
Bước 2: $Q_2$ là trung vị của mẫu số liệu trên.
$Q_1$ là trung vị của nửa số liệu đã sắp xếp bên trái $Q_2$ (không bao gồm $Q_2$ nếu n lẻ)
$Q_3$ là trung vị của nửa số liệu đã sắp xếp bên phải $Q_2$ (không bao gồm $Q_2$ nếu n lẻ)
+) Mốt $M_o$ là giá trị có tần số lớn nhất. (Một mẫu có thể có nhiều mốt)
Cho bảng số liệu:
+) Số trung bình: $\bar{x}=\frac{x_1 \cdot f_1+x_2 \cdot f_2+\ldots+x_m \cdot f_m}{f_1+f_2+\ldots+f_m}$
+) Tứ phân vị: $Q_1, Q_2, Q_3$
Bước 1: Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm, $n=f_1+f_2+\ldots+f_m$
Bước 2: $Q_2$ là trung vị của mẫu số liệu trên.
$Q_1$ là trung vị của nửa số liệu đã sắp xếp bên trái $Q_2$ (không bao gồm $Q_2$ nếu n lẻ)
$Q_3$ là trung vị của nửa số liệu đã sắp xếp bên phải $Q_2$ (không bao gồm $Q_2$ nếu n lẻ)
+) Mốt $M_o$ là giá trị có tần số lớn nhất. (Một mẫu có thể có nhiều mốt)
Lời giải chi tiết:
+) Số trung bình: $\bar{x}=\frac{0.10+1.30+2.40+3.20}{100}=1,7$
+) Tứ phân vị: $Q_1, Q_2, Q_3$
Bước 1: Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm, $\underbrace{0, \ldots, 0}_{10}, \underbrace{1, \ldots, 1}_{30}, \underbrace{2, \ldots, 2}_{40}, \underbrace{3, \ldots, 3}_{20}$.
Bước 2: Vì $n=100$, là số chẳn nên $Q_2=\frac{1}{2}(2+2)=2$
$Q_1$ là trung vị của nửa số liệu: $\underbrace{0, \ldots, 0}_{10}, \underbrace{1, \ldots, 1}_{30}, \underbrace{2, \ldots, 2}_{10}$.
Do đó $Q_1=\frac{1}{2}(1+1)=1$
$Q_3$ là trung vị của nửa số liệu $\underbrace{2, \ldots, 2}_{30}, \underbrace{3, \ldots, 3}_{20}$.
Do đó $Q_3=\frac{1}{2}(2+2)=2$
+) Mốt $M_o=2$
+) Số trung bình: $\bar{x}=\frac{0.10+1.30+2.40+3.20}{100}=1,7$
+) Tứ phân vị: $Q_1, Q_2, Q_3$
Bước 1: Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm, $\underbrace{0, \ldots, 0}_{10}, \underbrace{1, \ldots, 1}_{30}, \underbrace{2, \ldots, 2}_{40}, \underbrace{3, \ldots, 3}_{20}$.
Bước 2: Vì $n=100$, là số chẳn nên $Q_2=\frac{1}{2}(2+2)=2$
$Q_1$ là trung vị của nửa số liệu: $\underbrace{0, \ldots, 0}_{10}, \underbrace{1, \ldots, 1}_{30}, \underbrace{2, \ldots, 2}_{10}$.
Do đó $Q_1=\frac{1}{2}(1+1)=1$
$Q_3$ là trung vị của nửa số liệu $\underbrace{2, \ldots, 2}_{30}, \underbrace{3, \ldots, 3}_{20}$.
Do đó $Q_3=\frac{1}{2}(2+2)=2$
+) Mốt $M_o=2$
Bài tập 4 trang 118
Trong một cuộc thi nghề, người ta ghi lại thời gian hoàn thành một sản phẩm của một số thí nghiệm ở bảng sau:
a) Hãy tìm số trung bình, tứ phân vị và mốt của thời gian thi nghề của các thí sinh trên.
b) Năm ngoái, thời gian thi của các thí sinh có số trung bình và trung vị đều bằng 7. Bạn hãy so sánh thời gian thi nói chung của các thí sinh trong hai năm.
a) Hãy tìm số trung bình, tứ phân vị và mốt của thời gian thi nghề của các thí sinh trên.
b) Năm ngoái, thời gian thi của các thí sinh có số trung bình và trung vị đều bằng 7. Bạn hãy so sánh thời gian thi nói chung của các thí sinh trong hai năm.
Phương pháp giải:
a)
Cho bảng số liệu:
+) Số trung bình: $\bar{x}=\frac{x_1 \cdot f_1+x_2 \cdot f_2+\ldots+x_m \cdot f_m}{f_1+f_2+\ldots+f_m}$
+) Tứ phân vị: $Q_1, Q_2, Q_3$
Bước 1: Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm, $n=f_1+f_2+\ldots+f_m$
Bước 2: $Q_2$ là trung vị của mẫu số liệu trên.
$Q_1$ là trung vị của nửa số liệu đã sắp xếp bên trái $Q_2$ (không bao gồm $Q_2$ nếu n lẻ)
$Q_3$ là trung vị của nửa số liệu đã sắp xếp bên phải $Q_2$ (không bao gồm $Q_2$ nếu n lẻ)
+) Mốt $M_o$ là giá trị có tần số lớn nhất. (Một mẫu có thể có nhiều mốt)
b) So sánh:
+) So sánh số trung bình.
+) So sánh trung vị.
a)
Cho bảng số liệu:
+) Số trung bình: $\bar{x}=\frac{x_1 \cdot f_1+x_2 \cdot f_2+\ldots+x_m \cdot f_m}{f_1+f_2+\ldots+f_m}$
+) Tứ phân vị: $Q_1, Q_2, Q_3$
Bước 1: Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm, $n=f_1+f_2+\ldots+f_m$
Bước 2: $Q_2$ là trung vị của mẫu số liệu trên.
$Q_1$ là trung vị của nửa số liệu đã sắp xếp bên trái $Q_2$ (không bao gồm $Q_2$ nếu n lẻ)
$Q_3$ là trung vị của nửa số liệu đã sắp xếp bên phải $Q_2$ (không bao gồm $Q_2$ nếu n lẻ)
+) Mốt $M_o$ là giá trị có tần số lớn nhất. (Một mẫu có thể có nhiều mốt)
b) So sánh:
+) So sánh số trung bình.
+) So sánh trung vị.
Lời giải chi tiết:
a)
+) Số trung bình: $\bar{x}=\frac{1.5+3.6+5.7+2.8+1.35}{1+3+5+2+1}=9,08$
+) Tứ phân vị: $Q_1, Q_2, Q_3$
Bước 1: Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm: $5,6,6,6,7,7,7,7,7,8,8,35$
Bước 2: Vì $n=12$, là số chẵn nên $Q_2=\frac{1}{2}(7+7)=7$
$Q_1$ là trung vị của nửa số liệu: $5,6,6,6,7,7$.
Do đó $Q_1=\frac{1}{2}(6+6)=6$
$Q_3$ là trung vị của nửa số liệu $7,7,7,8,8,35$.
Do đó $Q_3=\frac{1}{2}(7+8)=7,5$
+) Mốt $M_o=7$
b)
+) Nếu so sánh số trung bình: $9,08 \gt 7$ do đó thời gian thi nói chung của các thí sinh trong năm nay là lớn hơn so với năm trước.
+) Nếu so sánh trung vị: Trung vị của hai năm đều bằng 7 do đó thời gian thi nói chung của các thí sinh trong hai năm là như nhau.
Do có 1 thí sinh có thời gian thi lớn hơn hẳn so với các thí sinh khác $=>$ nên so sánh theo trung vị.
a)
+) Số trung bình: $\bar{x}=\frac{1.5+3.6+5.7+2.8+1.35}{1+3+5+2+1}=9,08$
+) Tứ phân vị: $Q_1, Q_2, Q_3$
Bước 1: Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm: $5,6,6,6,7,7,7,7,7,8,8,35$
Bước 2: Vì $n=12$, là số chẵn nên $Q_2=\frac{1}{2}(7+7)=7$
$Q_1$ là trung vị của nửa số liệu: $5,6,6,6,7,7$.
Do đó $Q_1=\frac{1}{2}(6+6)=6$
$Q_3$ là trung vị của nửa số liệu $7,7,7,8,8,35$.
Do đó $Q_3=\frac{1}{2}(7+8)=7,5$
+) Mốt $M_o=7$
b)
+) Nếu so sánh số trung bình: $9,08 \gt 7$ do đó thời gian thi nói chung của các thí sinh trong năm nay là lớn hơn so với năm trước.
+) Nếu so sánh trung vị: Trung vị của hai năm đều bằng 7 do đó thời gian thi nói chung của các thí sinh trong hai năm là như nhau.
Do có 1 thí sinh có thời gian thi lớn hơn hẳn so với các thí sinh khác $=>$ nên so sánh theo trung vị.
Bài tập 5 trang 118
Bác Dũng và bác Thu ghi lại số điện thoại mà mỗi người gọi mỗi ngày trong 10 ngày được lựa chọn ngẫu nhiên từ tháng 01/2021 ở bảng sau:
a) Hãy tìm số trung bình, tứ phân vị và mốt của số điện thoại mà mỗi bác gọi theo số liệu trên
b) Nếu so sánh theo số trung bình thì ai có nhiều cuộc điện thoại hơn?
c) Nếu so sánh theo số trung vị thì ai có nhiều cuộc điện thoại hơn?
d) Theo bạn, nên dùng số trung bình hay số trung vị để so sánh xem ai có nhiều cuộc gọi điện thoại hơn mỗi ngày?
a) Hãy tìm số trung bình, tứ phân vị và mốt của số điện thoại mà mỗi bác gọi theo số liệu trên
b) Nếu so sánh theo số trung bình thì ai có nhiều cuộc điện thoại hơn?
c) Nếu so sánh theo số trung vị thì ai có nhiều cuộc điện thoại hơn?
d) Theo bạn, nên dùng số trung bình hay số trung vị để so sánh xem ai có nhiều cuộc gọi điện thoại hơn mỗi ngày?
Lời giải chi tiết:
a)
Bác Dũng:
+) Số trung bình: $\bar{x}=\frac{2+7+3+6+1+4+1+4+5+1}{10}=3,4$
+) Tứ phân vị: $Q_1, Q_2, Q_3$
Bước 1: Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm, $1,1,1,2,3,4,4,5,6,7$
Bước 2: vì $n=10$, là số chẵn nên $Q_2=\frac{1}{2}(3+4)=3,5$
$Q_1$ là trung vị của nửa số liệu: $1,1,1,2,3$. Do đó $Q_1=1$
$Q_3$ là trung vị của nửa số liệu $4,4,5,6,7$. Do đó $Q_3=5$
+) Mốt $M_o=1$
Bác Thu
+) Số trung bình: $\bar{x}=\frac{1+3+1+2+3+4+1+2+20+2}{10}=3,9$
+) Tứ phân vị: $Q_1, Q_2, Q_3$
Bước 1: Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm, $1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 20$
Bước 2: Vì $n=10$, là số chẵn nên $Q_2=\frac{1}{2}(2+2)=2$
$Q_1$ là trung vị của nửa số liệu: $1,1,1,2,2$. Do đó $Q_1=1$
$Q_3$ là trung vị của nửa số liệu $2,3,3,4,20$. Do đó $Q_3=3$
+) Mốt $M_o=1, M_o=2$
b) Do $3,9 \gt 3,4$ nên theo số trung bình thì bác Thu có nhiều cuộc điện thoại hơn.
c) Do $3,5 \gt 2$ nên theo số trung vị thì bác Dũng có nhiều cuộc điện thoại hơn.
d) Vì trong mẫu số liệu có một ngày bác Thu có tới 20 cuộc điện thoại, lớn hơn nhiều so với các ngày khác, do đó ta nên so sánh theo số trung vị.
a)
Bác Dũng:
+) Số trung bình: $\bar{x}=\frac{2+7+3+6+1+4+1+4+5+1}{10}=3,4$
+) Tứ phân vị: $Q_1, Q_2, Q_3$
Bước 1: Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm, $1,1,1,2,3,4,4,5,6,7$
Bước 2: vì $n=10$, là số chẵn nên $Q_2=\frac{1}{2}(3+4)=3,5$
$Q_1$ là trung vị của nửa số liệu: $1,1,1,2,3$. Do đó $Q_1=1$
$Q_3$ là trung vị của nửa số liệu $4,4,5,6,7$. Do đó $Q_3=5$
+) Mốt $M_o=1$
Bác Thu
+) Số trung bình: $\bar{x}=\frac{1+3+1+2+3+4+1+2+20+2}{10}=3,9$
+) Tứ phân vị: $Q_1, Q_2, Q_3$
Bước 1: Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm, $1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 20$
Bước 2: Vì $n=10$, là số chẵn nên $Q_2=\frac{1}{2}(2+2)=2$
$Q_1$ là trung vị của nửa số liệu: $1,1,1,2,2$. Do đó $Q_1=1$
$Q_3$ là trung vị của nửa số liệu $2,3,3,4,20$. Do đó $Q_3=3$
+) Mốt $M_o=1, M_o=2$
b) Do $3,9 \gt 3,4$ nên theo số trung bình thì bác Thu có nhiều cuộc điện thoại hơn.
c) Do $3,5 \gt 2$ nên theo số trung vị thì bác Dũng có nhiều cuộc điện thoại hơn.
d) Vì trong mẫu số liệu có một ngày bác Thu có tới 20 cuộc điện thoại, lớn hơn nhiều so với các ngày khác, do đó ta nên so sánh theo số trung vị.
Bài tập 6 trang 119
Tổng số điểm mà các thành viên đội tuyển Olympic Toán quốc tế (IMO) của Việt Nam đặt được trong 20 kì thi được cho ở bảng sau:
Có ý kiến cho rằng điểm thi của đội tuyển giai đoạn 2001 – 2010 cao hơn giai đoạn 2011 – 2020. Hãy sử dụng số trung bình và trung vị để kiểm nghiệm xem ý kiến trên có đúng không.
Có ý kiến cho rằng điểm thi của đội tuyển giai đoạn 2001 – 2010 cao hơn giai đoạn 2011 – 2020. Hãy sử dụng số trung bình và trung vị để kiểm nghiệm xem ý kiến trên có đúng không.
Phương pháp giải:
+) Số trung bình: $\bar{x}=\frac{x_1+x_2+\ldots+x_n}{n}$
+) Trung vị: $M_e$
Bước 1: Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm: $X_1, X_2, \ldots, X_n$
Bước 2: Tìm trung vị: $M_e= \begin{cases}X_{k+1} & (n=2 k+1) \\ \frac{1}{2}\left(X_k+X_{k+1}\right) & (n=2 k)\end{cases}$
+) Số trung bình: $\bar{x}=\frac{x_1+x_2+\ldots+x_n}{n}$
+) Trung vị: $M_e$
Bước 1: Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm: $X_1, X_2, \ldots, X_n$
Bước 2: Tìm trung vị: $M_e= \begin{cases}X_{k+1} & (n=2 k+1) \\ \frac{1}{2}\left(X_k+X_{k+1}\right) & (n=2 k)\end{cases}$
Lời giải chi tiết:
+) Giai đoạn $2001-2010$
Số trung bình:
\overline{x} = \frac{\mathrm{139+166+172+196+143+131+168+159+161+133} }{\mathrm{10}} \\\\ =156,8
Sắp sếp số liệu theo thứ tự không giảm, ta được: 131, 133, 139, 143, 159, 161, 166, 168, 172, 196
Do $n=10$, là số chẵn nên trung vị là: $M_e=\frac{1}{2}(159+161)=160$
+) Giai đoạn $2011-2020$
Số trung bình:
\overline{x} = \frac{\mathrm{150+177+148+155+151+151+157+180+148+113} }{\mathrm{10}} \\\\ =153
Sắp sếp số liệu theo thứ tự không giảm, ta được: 113,148,148,150,151,151,155,157,177,180
Do $n=10$, là số chẵn nên trung vị là: $M_e=\frac{1}{2}(151+151)=151$
+) So sánh theo số trung bình hay số trung vị ta đều thấy điểm thi của đội tuyển giai đoạn 2001 – 2010 cao hơn giai đoạn 2011 2020.
Vậy ý kiến trên là đúng.
+) Giai đoạn $2001-2010$
Số trung bình:
\overline{x} = \frac{\mathrm{139+166+172+196+143+131+168+159+161+133} }{\mathrm{10}} \\\\ =156,8
Sắp sếp số liệu theo thứ tự không giảm, ta được: 131, 133, 139, 143, 159, 161, 166, 168, 172, 196
Do $n=10$, là số chẵn nên trung vị là: $M_e=\frac{1}{2}(159+161)=160$
+) Giai đoạn $2011-2020$
Số trung bình:
\overline{x} = \frac{\mathrm{150+177+148+155+151+151+157+180+148+113} }{\mathrm{10}} \\\\ =153
Sắp sếp số liệu theo thứ tự không giảm, ta được: 113,148,148,150,151,151,155,157,177,180
Do $n=10$, là số chẵn nên trung vị là: $M_e=\frac{1}{2}(151+151)=151$
+) So sánh theo số trung bình hay số trung vị ta đều thấy điểm thi của đội tuyển giai đoạn 2001 – 2010 cao hơn giai đoạn 2011 2020.
Vậy ý kiến trên là đúng.
Bài tập 7 trang 119
Kết quả bài kiểm tra giữa kì cả các bạn học sinh lớp $10A, 10B, 10C$ được thống kê ở các biểu đồ dưới đây.
a) Hãy lập thống kê số lượng học sinh theo điểm số ở mỗi lớp.
b) Hãy so sánh điểm số của học sinh các lớp đó theo số trung bình, trung vị và mốt.
a) Hãy lập thống kê số lượng học sinh theo điểm số ở mỗi lớp.
b) Hãy so sánh điểm số của học sinh các lớp đó theo số trung bình, trung vị và mốt.
Phương pháp giải:
b)
+) Số trung bình: $\bar{x}=\frac{x_1 \cdot f_1+x_2 \cdot f_2+\ldots+x_m \cdot f_m}{f_1+f_2+\ldots+f_m}$
+) Trung vị: $M_e$
Bước 1: Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm: $X_1, X_2, \ldots, X_n$
Bước 2: Tìm trung vị: $M_e= \begin{cases}X_{k+1} & (n=2 k+1) \\ \frac{1}{2}\left(X_k+X_{k+1}\right) & (n=2 k)\end{cases}$
+) Mốt $M_o$ là giá trị có tần số lớn nhất. (Một mẫu có thể có nhiều mốt)
b)
+) Số trung bình: $\bar{x}=\frac{x_1 \cdot f_1+x_2 \cdot f_2+\ldots+x_m \cdot f_m}{f_1+f_2+\ldots+f_m}$
+) Trung vị: $M_e$
Bước 1: Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm: $X_1, X_2, \ldots, X_n$
Bước 2: Tìm trung vị: $M_e= \begin{cases}X_{k+1} & (n=2 k+1) \\ \frac{1}{2}\left(X_k+X_{k+1}\right) & (n=2 k)\end{cases}$
+) Mốt $M_o$ là giá trị có tần số lớn nhất. (Một mẫu có thể có nhiều mốt)
Lời giải chi tiết:
a)
b)
+) Lớp $10 \mathrm{~A}$
Số trung bình $\bar{x}=\frac{5.1+6.4+7.5+8.8+9.14+10.8}{1+4+5+8+14+8}=8,35$
Sắp sếp số liệu theo thứ tự không giảm, ta được:
Do $n=40$, là số chẵn nên trung vị là: $M_e=\frac{1}{2}(9+9)=9$
Mốt $M_e=9$
+) Lớp $10 B$
Số trung bình $\bar{x}=\frac{5.4+6.6+7.10+8.10+9.6+10.4}{4+6+10+10+6+4}=7,5$
Sắp sếp số liệu theo thứ tự không giảm, ta được:
Do $n=40$, là số chẵn nên trung vị là: $M_e=\frac{1}{2}(7+8)=7,5$
Mốt $M_e=7 ; M_e=8$.
+) Lớp $10 C$
Số trung bình $\bar{x}=\frac{5.1+6.3+7.17+8.11+9.6+10.2}{1+3+17+11+6+2}=7,6$
Sắp sếp số liệu theo thứ tự không giảm, ta được:
Do $n=40$, là số chẵn nên trung vị là: $M_e=\frac{1}{2}(7+7)=7$
Mốt $M_e=7$
+) So sánh:
Số trung bình: $8,35>7,6>7,5$
$=>$ Điểm số của $\mathrm{HS}$ các lớp theo thứ tự giảm dần là $10 \mathrm{~A}, 10 \mathrm{C}, 10 \mathrm{~B}$.
Số trung vị: $9>7,5>7$
$=>$ Điểm số của $\mathrm{HS}$ các lớp theo thứ tự giảm dần là $10 \mathrm{~A}, 10 \mathrm{~B}, 10 \mathrm{C}$.
Mốt: Lớp $10 \mathrm{~A}$ có 14 điểm 9 , Lớp $10 \mathrm{~B}$ có 10 điểm 7 và 10 điểm 8 , Lớp $10 \mathrm{C}$ có 17 điểm 7.
Do đó so sánh theo mốt thì điểm số các lớp giảm dần theo thứ tự là: $10 \mathrm{~A}$, $10 \mathrm{~B}, 10 \mathrm{C}$
a)
b)
+) Lớp $10 \mathrm{~A}$
Số trung bình $\bar{x}=\frac{5.1+6.4+7.5+8.8+9.14+10.8}{1+4+5+8+14+8}=8,35$
Sắp sếp số liệu theo thứ tự không giảm, ta được:
Do $n=40$, là số chẵn nên trung vị là: $M_e=\frac{1}{2}(9+9)=9$
Mốt $M_e=9$
+) Lớp $10 B$
Số trung bình $\bar{x}=\frac{5.4+6.6+7.10+8.10+9.6+10.4}{4+6+10+10+6+4}=7,5$
Sắp sếp số liệu theo thứ tự không giảm, ta được:
Do $n=40$, là số chẵn nên trung vị là: $M_e=\frac{1}{2}(7+8)=7,5$
Mốt $M_e=7 ; M_e=8$.
+) Lớp $10 C$
Số trung bình $\bar{x}=\frac{5.1+6.3+7.17+8.11+9.6+10.2}{1+3+17+11+6+2}=7,6$
Sắp sếp số liệu theo thứ tự không giảm, ta được:
Do $n=40$, là số chẵn nên trung vị là: $M_e=\frac{1}{2}(7+7)=7$
Mốt $M_e=7$
+) So sánh:
Số trung bình: $8,35>7,6>7,5$
$=>$ Điểm số của $\mathrm{HS}$ các lớp theo thứ tự giảm dần là $10 \mathrm{~A}, 10 \mathrm{C}, 10 \mathrm{~B}$.
Số trung vị: $9>7,5>7$
$=>$ Điểm số của $\mathrm{HS}$ các lớp theo thứ tự giảm dần là $10 \mathrm{~A}, 10 \mathrm{~B}, 10 \mathrm{C}$.
Mốt: Lớp $10 \mathrm{~A}$ có 14 điểm 9 , Lớp $10 \mathrm{~B}$ có 10 điểm 7 và 10 điểm 8 , Lớp $10 \mathrm{C}$ có 17 điểm 7.
Do đó so sánh theo mốt thì điểm số các lớp giảm dần theo thứ tự là: $10 \mathrm{~A}$, $10 \mathrm{~B}, 10 \mathrm{C}$
Cảm ơn các bạn đã theo dõi bài viết của HocThatGioi về Giải SGK bài Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu Chương Thống kê Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 ở các trang 112, 113, 114, 115, 116, 117, 118, 119. Hi vọng các bạn sẽ có một buổi thú vị và học được nhiều điều bổ ích. Chúc các bạn học tốt!
Bài viết khác liên quan đến Lớp 10 – Toán – Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm
- Giải mục 1 trang 27, 28 SGK Toán 10 Cánh Diều tập 2
- Giải mục 2 trang 28, 29 SGK Toán 10 Cánh diều tập 2
- Giải SGK Bài 2 Chương 6 trang 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34 Toán 10 Cánh diều tập 2
- Giải SGK bài 13 chương V trang 78, 79, 80, 81, 82, 83 Toán 10 Kết nối tri thức tập 1
- Giải SGK Bài 3 Chương 6 trang 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41 Toán 10 Cánh diều tập 2
