SGK Toán 10 - Cánh Diều
Giải SGK Bài 4 Chương 7 trang 81, 82, 83, 84, 85, 86 Toán 10 Cánh diều tập 2
Trong bài viết này, HocThatGioi sẽ giải đáp những câu hỏi và bài tập trong bài Vị trí tương đối và góc giữa hai đường thẳng – Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng. Đây là bài học thuộc Bài 4 Chương VII trang 81, 82, 83, 84, 85, 86 sách Toán 10 Cánh diều tập 2. Hy vọng các bạn có thể hiểu được trọn vẹn bài học sau khi xem hết các phương pháp giải và lời giải cực chi tiết mà HocThatGioi trình bày ở dưới.
Trả lời câu hỏi SGK Bài 4 Chương 7 Toán 10 Cánh diều tập 2
Cùng khởi động bài học với những câu hỏi hoạt động và luyện tập vận dụng trong SGK Toán 10. Những giải đáp chi tiết dưới đây sẽ giúp bạn hiểu rõ về kiến thức của bài học.
Câu hỏi khởi động trang 81
Trong thực tiễn, có những tình huống đòi hỏi chúng ta phải xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng, giao điểm của hai đường thẳng,… Chẳng hạn: Ở môn thể thao nội dung $10\mathrm{m}$ súng trường hơi di động, mục tiêu di động trên một đường thẳng $b$ song song với mặt đất và cách mặt đất $1,4 \mathrm{~m}$; viên đạn di động trên một đường thẳng $a$ (Hình 39). Để trúng mục tiêu, vận động viên phải ước lượng được giao điểm $M$ của $a$ và $b$ sao cho thời gian chuyển động đến điểm $M$ của viên đạn và của mục tiêu là bằng nhau.
Lời giải chi tiết:
Để xác định điểm $M$ ta cần giải hệ phương trình gồm hai phương trình đường thẳng của hai đường thẳng $a$ và $b$
Để xác định điểm $M$ ta cần giải hệ phương trình gồm hai phương trình đường thẳng của hai đường thẳng $a$ và $b$
Luyện tập vận dụng 1 trang 82
Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng
$\Delta_1:\left\{\begin{array}{l}x=1+t_1 \\ y=-2+t_1\end{array}\right.$
$\Delta_2:\left\{\begin{array}{l}x=2 t_2 \\ y=-3+2 t_2\end{array}\right.$
$\Delta_1:\left\{\begin{array}{l}x=1+t_1 \\ y=-2+t_1\end{array}\right.$
$\Delta_2:\left\{\begin{array}{l}x=2 t_2 \\ y=-3+2 t_2\end{array}\right.$
Lời giải chi tiết:
Ta có: $\overrightarrow{u_1}=(1 ; 1), \overrightarrow{u_2}=(2 ; 2)$. Ta thấy, $\overrightarrow{u_2}=2 \overrightarrow{u_1}$
Chọn điểm $A(1 ;-2) \in \Delta_1$
Thay tọa độ điểm $\mathrm{A}$ vào phương trình đường thẳng $\Delta_2$ ta được $t_2=\frac{1}{2} \Rightarrow A(1 ;-2) \in \Delta_2$
Vậy 2 đường thẳng $\Delta_1$ và $\Delta_2$ song song với nhau.
Ta có: $\overrightarrow{u_1}=(1 ; 1), \overrightarrow{u_2}=(2 ; 2)$. Ta thấy, $\overrightarrow{u_2}=2 \overrightarrow{u_1}$
Chọn điểm $A(1 ;-2) \in \Delta_1$
Thay tọa độ điểm $\mathrm{A}$ vào phương trình đường thẳng $\Delta_2$ ta được $t_2=\frac{1}{2} \Rightarrow A(1 ;-2) \in \Delta_2$
Vậy 2 đường thẳng $\Delta_1$ và $\Delta_2$ song song với nhau.
Luyện tập vận dụng 2 trang 82
Xét vị trí tương đối của đường thẳng $\mathrm{d}: \mathrm{x}+2 \mathrm{y}-2=0$ với mỗi đường thẳng sau:
$\Delta_1: 3 x–2 y+6=0 ; \Delta_2: x+2 y+2=0 ; \Delta_3: 2 x+4 y–4=0$
$\Delta_1: 3 x–2 y+6=0 ; \Delta_2: x+2 y+2=0 ; \Delta_3: 2 x+4 y–4=0$
Lời giải chi tiết:
Xét hệ phương trình gồm phương trình của $\mathrm{d}$ và $\Delta_1$ ta có:
\begin{cases} x+2y-2=0 \\ 3x-2y+6=0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x=-1 \\ y= \frac{\mathrm{3} }{\mathrm{2} } \end{cases}
Vậy $\mathrm{d}$ và $\Delta_1$ cắt nhau tại 1 điểm duy nhất.
Xét hệ phương trình gồm phương trình của $\mathrm{d}$ và $\Delta_2$ ta có: $\left\{\begin{array}{l}x+2 y-2=0 \\ x+2 y+2=0\end{array}\right.$
Hệ phương trình vô nghiệm.
Vậy $\mathrm{d}$ và $\Delta_2$ song song với nhau
Xét hệ phương trình gồm phương trình của $\mathrm{d}$ và $\Delta_3$ ta có: $\left\{\begin{array}{l}x+2 y-2=0 \\ 2 x+4 y–4=0\end{array}\right.$
Hệ phương trình vô số nghiệm.
Vậy $\mathrm{d}$ và $\Delta_3$ trùng nhau.
Xét hệ phương trình gồm phương trình của $\mathrm{d}$ và $\Delta_1$ ta có:
\begin{cases} x+2y-2=0 \\ 3x-2y+6=0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x=-1 \\ y= \frac{\mathrm{3} }{\mathrm{2} } \end{cases}
Vậy $\mathrm{d}$ và $\Delta_1$ cắt nhau tại 1 điểm duy nhất.
Xét hệ phương trình gồm phương trình của $\mathrm{d}$ và $\Delta_2$ ta có: $\left\{\begin{array}{l}x+2 y-2=0 \\ x+2 y+2=0\end{array}\right.$
Hệ phương trình vô nghiệm.
Vậy $\mathrm{d}$ và $\Delta_2$ song song với nhau
Xét hệ phương trình gồm phương trình của $\mathrm{d}$ và $\Delta_3$ ta có: $\left\{\begin{array}{l}x+2 y-2=0 \\ 2 x+4 y–4=0\end{array}\right.$
Hệ phương trình vô số nghiệm.
Vậy $\mathrm{d}$ và $\Delta_3$ trùng nhau.
Luyện tập vận dụng 3 trang 84
Tính số đo góc giữa hai đường thẳng $\Delta_1$ và $\Delta_2$ trong môi trường hợp sau:
a) $\Delta_1:\left\{\begin{array}{l}x=-3+3 \sqrt{3} t \\ y=2+3 t\end{array}\right.$ và $\Delta_2: y-4=0$
b) $\Delta_1: 2 x-y=0$ và $\Delta_2:-x+3 y-5=0$
a) $\Delta_1:\left\{\begin{array}{l}x=-3+3 \sqrt{3} t \\ y=2+3 t\end{array}\right.$ và $\Delta_2: y-4=0$
b) $\Delta_1: 2 x-y=0$ và $\Delta_2:-x+3 y-5=0$
Lời giải chi tiết:
a) Đường thẳng $\Delta_1$ có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u_1}=(3 \sqrt{3} ; 3)$
Đường thẳng $\Delta_2$ có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_2}=(0 ; 1)$
Do đó nó có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u_2}=(1 ; 0)$
Do đó ta có, $\cos \left(\Delta_1, \Delta_2\right)=\frac{|3 \sqrt{3} . 1+3.0|}{\sqrt{(3 \sqrt{3})^2+3^2} . \sqrt{1^2+0^2}}=\frac{3 \sqrt{3}}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$
Vậy $\left(\Delta_1, \Delta_2\right)=30^{\circ}$
b) Đường thẳng $\Delta_1$ có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_1}=(2 ;-1)$
Đường thẳng $\Delta_2$ có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_2}=(-1 ; 3)$
Do đó ta có, $\cos \left(\Delta_1, \Delta_2\right)=\left|\cos \left(\overrightarrow{\mathrm{n}_1}, \overrightarrow{\mathrm{n}_2}\right)\right|=\frac{\left|\overrightarrow{\mathrm{n}_1} . \overrightarrow{\mathrm{n}_2}\right|}{\left|\overrightarrow{\mathrm{n}_1}\right|.\left|\overrightarrow{\mathrm{n}_2}\right|}=\frac{|2 .(-1)+(-1) .3|}{\sqrt{2^2+(-1)^2}.\sqrt{(-1)^2+3^2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$
Vậy $\left(\Delta_1, \Delta_2\right)=45^{\circ}$
a) Đường thẳng $\Delta_1$ có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u_1}=(3 \sqrt{3} ; 3)$
Đường thẳng $\Delta_2$ có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_2}=(0 ; 1)$
Do đó nó có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u_2}=(1 ; 0)$
Do đó ta có, $\cos \left(\Delta_1, \Delta_2\right)=\frac{|3 \sqrt{3} . 1+3.0|}{\sqrt{(3 \sqrt{3})^2+3^2} . \sqrt{1^2+0^2}}=\frac{3 \sqrt{3}}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$
Vậy $\left(\Delta_1, \Delta_2\right)=30^{\circ}$
b) Đường thẳng $\Delta_1$ có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_1}=(2 ;-1)$
Đường thẳng $\Delta_2$ có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_2}=(-1 ; 3)$
Do đó ta có, $\cos \left(\Delta_1, \Delta_2\right)=\left|\cos \left(\overrightarrow{\mathrm{n}_1}, \overrightarrow{\mathrm{n}_2}\right)\right|=\frac{\left|\overrightarrow{\mathrm{n}_1} . \overrightarrow{\mathrm{n}_2}\right|}{\left|\overrightarrow{\mathrm{n}_1}\right|.\left|\overrightarrow{\mathrm{n}_2}\right|}=\frac{|2 .(-1)+(-1) .3|}{\sqrt{2^2+(-1)^2}.\sqrt{(-1)^2+3^2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$
Vậy $\left(\Delta_1, \Delta_2\right)=45^{\circ}$
Luyện tập vận dụng 4 trang 85
a) Tính khoảng cách từ điểm $O(0 ; 0)$ đến đường thẳng $\Delta: \frac{x}{-4}+\frac{y}{2}=1$
b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng song song $\Delta_1: x-y+1=0$ và
$\Delta_2: x-y-1=0$
b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng song song $\Delta_1: x-y+1=0$ và
$\Delta_2: x-y-1=0$
Lời giải chi tiết:
a) Ta có: $\Delta: \frac{x}{-4}+\frac{y}{2}=1 \Leftrightarrow x-2 y+4=0$
Vậy khoảng cách từ O đến $\Delta$ là: $d(O ; \Delta)=\frac{|1.0-2 . 0+4|}{\sqrt{1^2+2^2}}=\frac{4 \sqrt{5}}{5}$
b) Lấy $M(0 ; 1) \in \Delta_1$
Suy ra: $d\left(\Delta_1, \Delta_2\right)=d\left(M, \Delta_2\right)=\frac{|0-1-1|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}=\sqrt{2}$
a) Ta có: $\Delta: \frac{x}{-4}+\frac{y}{2}=1 \Leftrightarrow x-2 y+4=0$
Vậy khoảng cách từ O đến $\Delta$ là: $d(O ; \Delta)=\frac{|1.0-2 . 0+4|}{\sqrt{1^2+2^2}}=\frac{4 \sqrt{5}}{5}$
b) Lấy $M(0 ; 1) \in \Delta_1$
Suy ra: $d\left(\Delta_1, \Delta_2\right)=d\left(M, \Delta_2\right)=\frac{|0-1-1|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}=\sqrt{2}$
Hoạt động 6 trang 85
Trong mặt phẳng toạ độ, cho đường thẳng $\Delta: 2 x+y-4=0$ và điểm $M(-1 ; 1)$. Gọi $\mathrm{H}$ là hình chiếu của $M$ lên đường thẳng $\Delta$.
a) Tìm một vectơ chỉ phương của đường thẳng $\mathrm{MH}$.
b) Viết phương trình tham số của đường thẳng $\mathrm{MH}$.
c) Tìm toạ độ của $\mathrm{H}$. Từ đó, tính độ dài đoạn thẳng $\mathrm{MH}$.
a) Tìm một vectơ chỉ phương của đường thẳng $\mathrm{MH}$.
b) Viết phương trình tham số của đường thẳng $\mathrm{MH}$.
c) Tìm toạ độ của $\mathrm{H}$. Từ đó, tính độ dài đoạn thẳng $\mathrm{MH}$.
Lời giải chi tiết:
a) Do $\mathrm{MH}$ vuông góc với đường thẳng $\Delta$ nên ta có vecto chỉ phương của $\mathrm{MH}$ là: $\vec{u}=(2 ; 1)$
b) Phương trình tham số của đường thẳng $\mathrm{MH}$ đi qua $M(-1 ; 1)$
có vecto chỉ phương $\vec{u}=(2 ; 1)$ là: \begin{cases} x=-1+2t \\ y=1+t \end{cases} \Leftrightarrow x-2y+3=0
c) $\mathrm{H}$ là giao điểm của $\mathrm{MH}$ và đường thẳng $\Delta$
Xét hệ phương trình: \begin{cases} x-2y+3=0 \\ 2x+y-4=0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x=1 \\ y=2 \end{cases} . Vậy tọa độ điểm $\mathrm{H}$ là: $H(1 ; 2)$
Độ dài đoạn thẳng MH là: $M H=\sqrt{(1+1)^2+(2-1)^2}=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$
a) Do $\mathrm{MH}$ vuông góc với đường thẳng $\Delta$ nên ta có vecto chỉ phương của $\mathrm{MH}$ là: $\vec{u}=(2 ; 1)$
b) Phương trình tham số của đường thẳng $\mathrm{MH}$ đi qua $M(-1 ; 1)$
có vecto chỉ phương $\vec{u}=(2 ; 1)$ là: \begin{cases} x=-1+2t \\ y=1+t \end{cases} \Leftrightarrow x-2y+3=0
c) $\mathrm{H}$ là giao điểm của $\mathrm{MH}$ và đường thẳng $\Delta$
Xét hệ phương trình: \begin{cases} x-2y+3=0 \\ 2x+y-4=0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x=1 \\ y=2 \end{cases} . Vậy tọa độ điểm $\mathrm{H}$ là: $H(1 ; 2)$
Độ dài đoạn thẳng MH là: $M H=\sqrt{(1+1)^2+(2-1)^2}=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$
Giải bài tập SGK Bài 4 Chương 7 Toán 10 Cánh diều tập 2
Mời bạn đọc tiếp tục củng cố lại những kiến thức đã học qua phần giải đáp chi tiết các bài tập SGK Toán 10 Cánh diều tập 2 trang 86 dưới đây nhé.
Bài tập 1 trang 86
Xét vị trí tương đối của mỗi cặp đường thẳng sau:
a) $d_{1}: 3 x+2 y-5=0$ và $d_{2}: x-4 y+1=0$
b) $d_{3}: x-2 y+3=0$ và $d_{4}:-2 x+4 y+10=0$;
c) $d_{5}: 4 x+2 y-3=0$ và $d_{6}:\left\{\begin{array}{l}x=-\frac{1}{2}+t \\ y=\frac{5}{2}-2 t .\end{array}\right.$
a) $d_{1}: 3 x+2 y-5=0$ và $d_{2}: x-4 y+1=0$
b) $d_{3}: x-2 y+3=0$ và $d_{4}:-2 x+4 y+10=0$;
c) $d_{5}: 4 x+2 y-3=0$ và $d_{6}:\left\{\begin{array}{l}x=-\frac{1}{2}+t \\ y=\frac{5}{2}-2 t .\end{array}\right.$
Phương pháp giải:
Giải hệ phương trình giao điểm:
Hệ phương trình có nghiệm $\Rightarrow$ cắt nhau
Hệ phương trình vô nghiệm $\Rightarrow$ song song
Hệ phương trình vô số nghiệm $\Rightarrow$ trùng nhau
Giải hệ phương trình giao điểm:
Hệ phương trình có nghiệm $\Rightarrow$ cắt nhau
Hệ phương trình vô nghiệm $\Rightarrow$ song song
Hệ phương trình vô số nghiệm $\Rightarrow$ trùng nhau
Lời giải chi tiết:
a) Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng $d_1, d_2$ là nghiệm của hệ phương trình:
\begin{cases} 3x+2y-5=0 \\ x-4y+1=0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x= \frac{\mathrm{9} }{\mathrm{7} } \\ y= \frac{\mathrm{4} }{\mathrm{7} } \end{cases}
Hệ phương trình có nghiệm duy nhất nên 2 đường thẳng cắt nhau.
b) Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng $d_3, d_4$ là nghiệm của hệ phương trình:
\begin{cases} x-2y+3=0 \\ -2x+4y+10=0 \end{cases}
Hệ phương trình vô nghiệm, nên 2 đường thẳng song song với nhau
c) Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng $d_5, d_6$ tương ứng với $t$ thỏa mãn phương trình:
$4\left(-\frac{1}{2}+t\right)+2\left(\frac{5}{2}-2 t\right)-3=0 \Leftrightarrow 0 t=0 $
Phương trình này có nghiệm với mọi $t$. Do đó $d_5 \equiv d_6$
a) Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng $d_1, d_2$ là nghiệm của hệ phương trình:
\begin{cases} 3x+2y-5=0 \\ x-4y+1=0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x= \frac{\mathrm{9} }{\mathrm{7} } \\ y= \frac{\mathrm{4} }{\mathrm{7} } \end{cases}
Hệ phương trình có nghiệm duy nhất nên 2 đường thẳng cắt nhau.
b) Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng $d_3, d_4$ là nghiệm của hệ phương trình:
\begin{cases} x-2y+3=0 \\ -2x+4y+10=0 \end{cases}
Hệ phương trình vô nghiệm, nên 2 đường thẳng song song với nhau
c) Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng $d_5, d_6$ tương ứng với $t$ thỏa mãn phương trình:
$4\left(-\frac{1}{2}+t\right)+2\left(\frac{5}{2}-2 t\right)-3=0 \Leftrightarrow 0 t=0 $
Phương trình này có nghiệm với mọi $t$. Do đó $d_5 \equiv d_6$
Bài tập 2 trang 86
Tính số đo góc giữa hai đường thẳng $d_{1}: 2 x-y+5=0$ và $d_{2}: x-3 y+3=0$.
Phương pháp giải:
Trong mặt phẳng toạ độ, cho hai đường thẳng $\Delta_1$ và $\Delta_2$ có vectơ chỉ phương lần lượt là $\overrightarrow{n_1}=\left(a_1 ; b_1\right), \overrightarrow{n_2}=\left(a_2 ; b_2\right)$ ta có:
$$\cos \left(\Delta_1, \Delta_2\right)=\left|\cos \left(\overrightarrow{n_1} ; \overrightarrow{n_2}\right)\right|=\frac{\left|a_1 a_2+b_1 b_2\right|}{\sqrt{a_1^2+b_1^2} . \sqrt{a_2^2+b_2^2}}$$
Trong mặt phẳng toạ độ, cho hai đường thẳng $\Delta_1$ và $\Delta_2$ có vectơ chỉ phương lần lượt là $\overrightarrow{n_1}=\left(a_1 ; b_1\right), \overrightarrow{n_2}=\left(a_2 ; b_2\right)$ ta có:
$$\cos \left(\Delta_1, \Delta_2\right)=\left|\cos \left(\overrightarrow{n_1} ; \overrightarrow{n_2}\right)\right|=\frac{\left|a_1 a_2+b_1 b_2\right|}{\sqrt{a_1^2+b_1^2} . \sqrt{a_2^2+b_2^2}}$$
Lời giải chi tiết:
Vecto pháp tuyến của đường thẳng $d_1$ là: $\overrightarrow{n_1}=(2 ;-1)$
Vecto pháp tuyến của đường thẳng $d_2$ là: $\overrightarrow{n_2}=(1 ;-3)$
Ta có: $\cos \left(d_1, d_2\right)=\left|\cos \left(\overrightarrow{n_1} ; \overrightarrow{n_2}\right)\right|=\frac{|2 .1+(-1) .(-3)|}{\sqrt{(2)^2+(-1)^2} . \sqrt{1^2+(-3)^2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$
Vậy $\left(d_1, d_2\right)=45^{\circ}$
Vecto pháp tuyến của đường thẳng $d_1$ là: $\overrightarrow{n_1}=(2 ;-1)$
Vecto pháp tuyến của đường thẳng $d_2$ là: $\overrightarrow{n_2}=(1 ;-3)$
Ta có: $\cos \left(d_1, d_2\right)=\left|\cos \left(\overrightarrow{n_1} ; \overrightarrow{n_2}\right)\right|=\frac{|2 .1+(-1) .(-3)|}{\sqrt{(2)^2+(-1)^2} . \sqrt{1^2+(-3)^2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$
Vậy $\left(d_1, d_2\right)=45^{\circ}$
Bài tập 3 trang 86
Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng trong mỗi trường hợp sau:
a) $A(1 ;-2)$ và $\Delta_{1}: 3 x-y+4=0$;
b) $B(-3 ; 2)$ và $\Delta_{2}:\left\{\begin{array}{l}x=-2+t \\ y=1-2 t\end{array}\right.$
a) $A(1 ;-2)$ và $\Delta_{1}: 3 x-y+4=0$;
b) $B(-3 ; 2)$ và $\Delta_{2}:\left\{\begin{array}{l}x=-2+t \\ y=1-2 t\end{array}\right.$
Phương pháp giải:
Trong mặt phẳng tọa độ $\mathrm{Oxy}$, cho đường thẳng $\Delta$ có phương trình $\mathrm{a} x+b y+c=0$ $\left(a^2+b^2>0\right)$ và điểm $M\left(x_o ; y_0\right)$.
Khoảng cách từ điểm $\mathrm{M}$ đến đường thẳng $\Delta$, kí hiệu là $d(M, \Delta)$ được tính bởi công thức: $d(M, \Delta)=\frac{\left|\mathrm{a} x_o+b y_o+c\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}$
Trong mặt phẳng tọa độ $\mathrm{Oxy}$, cho đường thẳng $\Delta$ có phương trình $\mathrm{a} x+b y+c=0$ $\left(a^2+b^2>0\right)$ và điểm $M\left(x_o ; y_0\right)$.
Khoảng cách từ điểm $\mathrm{M}$ đến đường thẳng $\Delta$, kí hiệu là $d(M, \Delta)$ được tính bởi công thức: $d(M, \Delta)=\frac{\left|\mathrm{a} x_o+b y_o+c\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}$
Lời giải chi tiết:
a) Khoảng cách từ điểm $\mathrm{A}$ đến $\Delta_1$ là: $d\left(A, \Delta_1\right)=\frac{|3 . 1-1 .(-2)+4|}{\sqrt{3^2+(-1)^2}}=\frac{9}{\sqrt{10}}$
b) Phương trình tổng quát của đường thẳng $\Delta_2$ là: $2 x+y+3=0$
Khoảng cách từ điểm $\mathrm{B}$ đến $\Delta_2$ là: $d\left(A, \Delta_2\right)=\frac{|2.t(-3)+1.2+3|}{\sqrt{2^2+1^2}}=\frac{1}{\sqrt{5}}$
a) Khoảng cách từ điểm $\mathrm{A}$ đến $\Delta_1$ là: $d\left(A, \Delta_1\right)=\frac{|3 . 1-1 .(-2)+4|}{\sqrt{3^2+(-1)^2}}=\frac{9}{\sqrt{10}}$
b) Phương trình tổng quát của đường thẳng $\Delta_2$ là: $2 x+y+3=0$
Khoảng cách từ điểm $\mathrm{B}$ đến $\Delta_2$ là: $d\left(A, \Delta_2\right)=\frac{|2.t(-3)+1.2+3|}{\sqrt{2^2+1^2}}=\frac{1}{\sqrt{5}}$
Bài tập 4 trang 86
Với giá trị nào của tham số $m$ thì hai đường thẳng sau đây vuông góc?
$\Delta_{1}: m x-y+1=0 \text { và } \Delta_{2}: 2 x-y+3=0 \text {. }$
$\Delta_{1}: m x-y+1=0 \text { và } \Delta_{2}: 2 x-y+3=0 \text {. }$
Phương pháp giải:
Hai đường thẳng $\Delta_1, \Delta_2$ vuông góc với nhau khi và chỉ khi $\overrightarrow{n_1}; \overrightarrow{n_2}$ vuông góc với nhau
Hai đường thẳng $\Delta_1, \Delta_2$ vuông góc với nhau khi và chỉ khi $\overrightarrow{n_1}; \overrightarrow{n_2}$ vuông góc với nhau
Lời giải chi tiết:
Vecto pháp tuyến của là: $\overrightarrow{n_1}=(m ;-1)$
Vecto pháp tuyến của là: $\overrightarrow{n_2}=(2 ;-1)$
Vậy hai đường thẳng $\Delta_1, \Delta_2$ vuông góc với nhau khi và chỉ khi $\overrightarrow{n_1}; \overrightarrow{n_2}$ vuông góc với nhau tức là $\overrightarrow{n_1} . \overrightarrow{n_2}=0 \Leftrightarrow 2 m+1=0 \Leftrightarrow m=\frac{-1}{2}$
Vecto pháp tuyến của là: $\overrightarrow{n_1}=(m ;-1)$
Vecto pháp tuyến của là: $\overrightarrow{n_2}=(2 ;-1)$
Vậy hai đường thẳng $\Delta_1, \Delta_2$ vuông góc với nhau khi và chỉ khi $\overrightarrow{n_1}; \overrightarrow{n_2}$ vuông góc với nhau tức là $\overrightarrow{n_1} . \overrightarrow{n_2}=0 \Leftrightarrow 2 m+1=0 \Leftrightarrow m=\frac{-1}{2}$
Bài tập 5 trang 86
Cho ba điểm $A(2 ;-1), B(1 ; 2)$ và $C(4 ;-2)$. Tính số đo góc $B A C$ và góc giữa hai đường thẳng $A B, A C$.
Phương pháp giải:
\cos \widehat{BAC} = \cos \overrightarrow{(AB,AC)} \\\\ \cos (AB,AC)= \begin{vmatrix} \cos ( \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC} ) _{}\end{vmatrix}
\cos \widehat{BAC} = \cos \overrightarrow{(AB,AC)} \\\\ \cos (AB,AC)= \begin{vmatrix} \cos ( \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC} ) _{}\end{vmatrix}
Lời giải chi tiết:
Ta có: $\overrightarrow{A B}=(-1 ; 3) ; \overrightarrow{A C}=(2 ;-1)$
Vậy $\cos \widehat{B A C}=\cos (\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A C})=\frac{-1 . 2+3 .(-1)}{\sqrt{(-1)^2+3^2} . \sqrt{2^2+(-1)^2}}=\frac{-1}{\sqrt{2}} \Rightarrow \widehat{B A C}=135^o$
Vậy $\cos (A B, A C)=|\cos (\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A C})|=\frac{|-1.2+3 .(-1)|}{\sqrt{(-1)^2+3^2} . \sqrt{2^2+(-1)^2}}=\frac{1}{\sqrt{2}} \Rightarrow \widehat{B A C}=45^o$
Ta có: $\overrightarrow{A B}=(-1 ; 3) ; \overrightarrow{A C}=(2 ;-1)$
Vậy $\cos \widehat{B A C}=\cos (\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A C})=\frac{-1 . 2+3 .(-1)}{\sqrt{(-1)^2+3^2} . \sqrt{2^2+(-1)^2}}=\frac{-1}{\sqrt{2}} \Rightarrow \widehat{B A C}=135^o$
Vậy $\cos (A B, A C)=|\cos (\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A C})|=\frac{|-1.2+3 .(-1)|}{\sqrt{(-1)^2+3^2} . \sqrt{2^2+(-1)^2}}=\frac{1}{\sqrt{2}} \Rightarrow \widehat{B A C}=45^o$
Bài tập 6 trang 86
Cho ba điểm $A(2 ; 4), B(-1 ; 2)$ và $C(3 ;-1)$. Viết phương trình đường thẳng đi qua $B$ đồng thời cách đều $A$ và $C$.
Phương pháp giải:
Trong mặt phẳng tọa độ $\mathrm{Oxy}$, cho đường thẳng $\Delta$ có phương trình $\mathrm{a} x+b y+c=0$
$\left(a^2+b^2>0\right)$ và điểm $M\left(x_o ; y_0\right)$. Khoảng cách từ điểm $\mathrm{M}$ đến đường thẳng $\Delta$, kí hiệu là $d(M, \Delta)$ được tính bởi công thức: $d(M, \Delta)=\frac{\left|x_o+b y_o+c\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}$
Trong mặt phẳng tọa độ $\mathrm{Oxy}$, cho đường thẳng $\Delta$ có phương trình $\mathrm{a} x+b y+c=0$
$\left(a^2+b^2>0\right)$ và điểm $M\left(x_o ; y_0\right)$. Khoảng cách từ điểm $\mathrm{M}$ đến đường thẳng $\Delta$, kí hiệu là $d(M, \Delta)$ được tính bởi công thức: $d(M, \Delta)=\frac{\left|x_o+b y_o+c\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}$
Lời giải chi tiết:
Gọi $\Delta$ là đường thẳng đi qua $\mathrm{B}$ và có vecto pháp tuyến là $\vec{n}=(a ; b)$
Vậy phương trình $\Delta$ là: $a(x+1)+b(y-2)=0 \Leftrightarrow \mathrm{a} x+b y+(a-2 b)=0$
Ta có: $d(A, \Delta)=d(C, \Delta) \Leftrightarrow \frac{|3 a+2 b|}{\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{|4 a-3 b|}{\sqrt{a^2+b^2}}$
\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}3 a+2 b=4 a-3 b \\ 3 a+2 b=-4 a+3 b\end{array} \\ \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}a=5 b (1) \\ 7 a=b (2)\end{array}\right.\right.
Từ (1) ta có thể chọn được 1 vecto pháp tuyến là: $\vec{n}=(5 ; 1)$
Vậy phương trình đường thẳng $\Delta$ là: $5 x+y+3=0$
Từ (2) ta có thể chọn được 1 vecto pháp tuyến là: $\vec{n}=(1 ; 7)$
Vậy phương trình đường thẳng $\Delta$ là: $x+7 y-13=0$
Gọi $\Delta$ là đường thẳng đi qua $\mathrm{B}$ và có vecto pháp tuyến là $\vec{n}=(a ; b)$
Vậy phương trình $\Delta$ là: $a(x+1)+b(y-2)=0 \Leftrightarrow \mathrm{a} x+b y+(a-2 b)=0$
Ta có: $d(A, \Delta)=d(C, \Delta) \Leftrightarrow \frac{|3 a+2 b|}{\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{|4 a-3 b|}{\sqrt{a^2+b^2}}$
\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}3 a+2 b=4 a-3 b \\ 3 a+2 b=-4 a+3 b\end{array} \\ \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}a=5 b (1) \\ 7 a=b (2)\end{array}\right.\right.
Từ (1) ta có thể chọn được 1 vecto pháp tuyến là: $\vec{n}=(5 ; 1)$
Vậy phương trình đường thẳng $\Delta$ là: $5 x+y+3=0$
Từ (2) ta có thể chọn được 1 vecto pháp tuyến là: $\vec{n}=(1 ; 7)$
Vậy phương trình đường thẳng $\Delta$ là: $x+7 y-13=0$
Bài tập 7 trang 86
Có hai con tàu $A$ và $B$ cùng xuất phát từ hai bến, chuyển động đều theo đường thẳng ngoài biển. Trên màn hình ra đa của trạm điều khiển (được coi như mặt phẳng toạ độ $O x y$ với đơn vị trên các trục tính theo ki-lô-mét), sau khi xuất phát $t$ (giờ) $(t \geq 0)$, vị trí của tàu $A$ có toạ độ được xác định bởi công thức $\left\{\begin{array}{l}x=3-33 t \\ y=-4+25 t\end{array}\right.$, vị trí của tàu $B$ có toạ độ là $(4-30 t ; 3-40 t)$.
a) Tính côsin góc giữa hai đường đi của hai tàu $A$ và $B$.
b) Sau bao lâu kể từ thời điểm xuất phát hai tàu gần nhau nhất?
c) Nếu tàu $A$ đứng yên ở vị trí ban đầu, tàu $B$ chạy thì khoảng cách ngắn nhất giữa hai tàu bằng bao nhiêu?
a) Tính côsin góc giữa hai đường đi của hai tàu $A$ và $B$.
b) Sau bao lâu kể từ thời điểm xuất phát hai tàu gần nhau nhất?
c) Nếu tàu $A$ đứng yên ở vị trí ban đầu, tàu $B$ chạy thì khoảng cách ngắn nhất giữa hai tàu bằng bao nhiêu?
Phương pháp giải:
a) Trong mặt phẳng toạ độ, cho hai đường thẳng $\Delta_1$ và $\Delta_2$ có vectơ chỉ phương lần lượt là $\overrightarrow{u_1}=\left(a_1 ; b_1\right), \overrightarrow{u_2}=\left(a_2 ; b_2\right)$ ta có:
$\cos \left(\Delta_1, \Delta_2\right)=\left|\cos \left(\overrightarrow{u_1} ; \overrightarrow{u_2}\right)\right|=\frac{\left|a_1 a_2+b_1 b_2\right|}{\sqrt{a_1^2+b_1^2} \cdot \sqrt{a_2^2+b_2^2}}$
b) Bước 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng $\Delta$ có phương trình $\mathrm{a} x+b y+c=0\left(a^2+b^2>0\right)$ và điểm $M\left(x_o ; y_0\right)$
Khoảng cách từ điểm $\mathrm{M}$ đến đường thẳng $\Delta$, kí hiệu là $d(M, \Delta)$ được tính bởi công thức: $d(M, \Delta)=\frac{\left|a x_o+b y_o+c\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}$
Bước 2: Đánh giá theo tham số $t$
c) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng $\Delta$ có phương trình $\mathrm{a} x+b y+c=0$
$\left(a^2+b^2>0\right)$ và điểm $M\left(x_o ; y_0\right)$
Khoảng cách từ điểm $\mathrm{M}$ đến đường thẳng $\Delta$, kí hiệu là $d(M, \Delta)$ được tính bởi công thức: $d(M, \Delta)=\frac{\left|a x_o+b y_o+c\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}$
a) Trong mặt phẳng toạ độ, cho hai đường thẳng $\Delta_1$ và $\Delta_2$ có vectơ chỉ phương lần lượt là $\overrightarrow{u_1}=\left(a_1 ; b_1\right), \overrightarrow{u_2}=\left(a_2 ; b_2\right)$ ta có:
$\cos \left(\Delta_1, \Delta_2\right)=\left|\cos \left(\overrightarrow{u_1} ; \overrightarrow{u_2}\right)\right|=\frac{\left|a_1 a_2+b_1 b_2\right|}{\sqrt{a_1^2+b_1^2} \cdot \sqrt{a_2^2+b_2^2}}$
b) Bước 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng $\Delta$ có phương trình $\mathrm{a} x+b y+c=0\left(a^2+b^2>0\right)$ và điểm $M\left(x_o ; y_0\right)$
Khoảng cách từ điểm $\mathrm{M}$ đến đường thẳng $\Delta$, kí hiệu là $d(M, \Delta)$ được tính bởi công thức: $d(M, \Delta)=\frac{\left|a x_o+b y_o+c\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}$
Bước 2: Đánh giá theo tham số $t$
c) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng $\Delta$ có phương trình $\mathrm{a} x+b y+c=0$
$\left(a^2+b^2>0\right)$ và điểm $M\left(x_o ; y_0\right)$
Khoảng cách từ điểm $\mathrm{M}$ đến đường thẳng $\Delta$, kí hiệu là $d(M, \Delta)$ được tính bởi công thức: $d(M, \Delta)=\frac{\left|a x_o+b y_o+c\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}$
Lời giải chi tiết:
a) Tàu $\mathrm{A}$ di chuyển theo hướng vecto $\overrightarrow{u_1}=(-35 ; 25)$
Tàu $B$ di chuyển theo hướng vecto $\overrightarrow{u_2}=(-30 ;-40)$
Gọi $\alpha$ là góc giữa hai đường đi của hai tàu, ta có:
$\cos \alpha=\left|\cos \left(\overrightarrow{u_1} ; \overrightarrow{u_2}\right)\right|=\frac{|(-35) .(-30)+25 .(-40)|}{\sqrt{(-35)^2+25^2} . \sqrt{(-30)^2+(-40)^2}}=\frac{1}{5 \sqrt{74}}$
b) Sau $t$ giờ, vị trí của tàu $\mathrm{A}$ là điểm $\mathrm{M}$ có tọa độ là: $M(3-35 t ;-4+25 t)$
Sau $t$ giờ, vị trí của tàu $\mathrm{B}$ là điểm $\mathrm{N}$ có tọa độ là: $N(4-30 t ; 3-40 t)$
Do đó:
\overrightarrow{MN}= \sqrt{ (1+5t)^2+ (7-65t)^2 } = \sqrt{ 4250t^2-900t+50 }
= \sqrt{4250( t- \frac{\mathrm{9} }{\mathrm{85} }) ^2 + \frac{\mathrm{40} }{\mathrm{17} } } \geq \sqrt{ \frac{\mathrm{40} }{\mathrm{17} } } \approx 1,53 (km)
Suy ra MN nhỏ nhất xấp xỉ 1,53km khi $t=\frac{9}{85}$
Vậy sau $\frac{9}{85}$ giờ kể từ thời điểm xuất phát thì hai tàu gần nhau nhất và cách nhau $1,53 \mathrm{~km}$
c) Vị trí ban đầu của tàu $\mathrm{A}$ tại $M_o$ ứng với $t=0$, khi đó $M_o(3 ;-4)$
Tàu $\mathrm{B}$ di chuyển theo đường thẳng có vecto pháp tuyến $\vec{n}=(40 ;-30)$ và đi qua điểm $K(4 ; 3)$ Phương trình tổng quát của là: $40(x-4)-30(y-3)=0 \Leftrightarrow 4 x-3 y-7=0 $
a) Tàu $\mathrm{A}$ di chuyển theo hướng vecto $\overrightarrow{u_1}=(-35 ; 25)$
Tàu $B$ di chuyển theo hướng vecto $\overrightarrow{u_2}=(-30 ;-40)$
Gọi $\alpha$ là góc giữa hai đường đi của hai tàu, ta có:
$\cos \alpha=\left|\cos \left(\overrightarrow{u_1} ; \overrightarrow{u_2}\right)\right|=\frac{|(-35) .(-30)+25 .(-40)|}{\sqrt{(-35)^2+25^2} . \sqrt{(-30)^2+(-40)^2}}=\frac{1}{5 \sqrt{74}}$
b) Sau $t$ giờ, vị trí của tàu $\mathrm{A}$ là điểm $\mathrm{M}$ có tọa độ là: $M(3-35 t ;-4+25 t)$
Sau $t$ giờ, vị trí của tàu $\mathrm{B}$ là điểm $\mathrm{N}$ có tọa độ là: $N(4-30 t ; 3-40 t)$
Do đó:
\overrightarrow{MN}= \sqrt{ (1+5t)^2+ (7-65t)^2 } = \sqrt{ 4250t^2-900t+50 }
= \sqrt{4250( t- \frac{\mathrm{9} }{\mathrm{85} }) ^2 + \frac{\mathrm{40} }{\mathrm{17} } } \geq \sqrt{ \frac{\mathrm{40} }{\mathrm{17} } } \approx 1,53 (km)
Suy ra MN nhỏ nhất xấp xỉ 1,53km khi $t=\frac{9}{85}$
Vậy sau $\frac{9}{85}$ giờ kể từ thời điểm xuất phát thì hai tàu gần nhau nhất và cách nhau $1,53 \mathrm{~km}$
c) Vị trí ban đầu của tàu $\mathrm{A}$ tại $M_o$ ứng với $t=0$, khi đó $M_o(3 ;-4)$
Tàu $\mathrm{B}$ di chuyển theo đường thẳng có vecto pháp tuyến $\vec{n}=(40 ;-30)$ và đi qua điểm $K(4 ; 3)$ Phương trình tổng quát của là: $40(x-4)-30(y-3)=0 \Leftrightarrow 4 x-3 y-7=0 $
Cảm ơn bạn đọc đã theo dõi bài viết của HocThatGioi về Bài 4 Chương VII Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng trang 81, 82, 83, 84, 85, 86 sách Toán 10 Cánh diều tập 2. Hy vọng các bạn đã nắm được toàn bộ kiến thức của bài học này. Chúc các bạn học tốt!
