Trong bài viết này, HocThatGioi sẽ đưa ra cho bạn 10 bài tập hay mà HocThatGioi đã chọn lọc để bạn vận dụng kiến thức đã học về Định nghĩa và Ý nghĩa của Đạo hàm. Cùng tìm hiểu các bài tập này nhé!
Câu 1: Cho hàm số f(x)=\left\{\begin{matrix}
x^{2}-1 & khi \: x \geq 0 \\
-x^{2} & khi \: x< 0 \\
\end{matrix}\right.. Khẳng định nào sau đây sai?
Giải :
Ta có : \displaystyle \lim_{x \to 0^{+}}f(x)=\displaystyle \lim_{x \to 0^{+}}(x^{2}-1)=-1 \displaystyle \lim_{x \to 0^{-}}f(x)=\displaystyle \lim_{x \to 0^{-}}(-x^{2})=0
Do \displaystyle \lim_{x \to 0^{+}}f(x)\neq \displaystyle \lim_{x \to 0^{-}}f(x) nên hàm số không liên tục tại x=0. Do đó, hàm số không có đạo hàm tại x=0.
Câu 2: Số gia của hàm số f(x)=x^{3} biết rằng x_{0}=1;\Delta x =1 là :
Giải : \Delta y=f(x_{0}+\Delta x) -f(x_{0})=f(2)-f(1)=2^{3}-1^{3}=7
Vậy số gia của hàm số đã cho là 7.
Câu 3: Tỷ số \frac{\Delta y}{\Delta x} của hàm số f(x)=x^{2}+x theo x là :
Giải :
Giả sử \Delta x là số gia của đối số tại x_{0}. Ta có : \Delta y=f(x_{0}+\Delta x) – f(x_{0})=(x_{0}+\Delta x)^{2}+x_{0}+\Delta x-x_{0}^{2}-x_{0} =x_{0}^{2}+2x_{0}\Delta x+(\Delta x)^{2}+x_{0}+\Delta x-x_{0}^{2}-x_{0} =2x_{0}\Delta x+(\Delta x)^{2}+\Delta x \Rightarrow \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{2x_{0}\Delta x+(\Delta x)^{2}+\Delta x}{\Delta x}=2x_{0}+\Delta x+1
Câu 4: Cho hàm số y=f(x)=x^{2}-x, đạo hàm của hàm số ứng với số gia của đối số x tại x_{0} là
Giải :
Ta có : \Delta y=(x_{0}+\Delta x) ^{2}-(x_{0}+\Delta x)-(x_{0}^{2}-x_{0}) =x_{0}^{2}+2x_{0}\Delta x+(\Delta x)^{2}-x_{0}-\Delta x-x_{0}^{2}+x_{0} =(\Delta x)^{2}+2x_{0}\Delta x-\Delta x
Nên f'(x_{0})=\displaystyle \lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\displaystyle \lim_{\Delta x \to 0}\frac{(\Delta x)^{2}+2x_{0}\Delta x-\Delta x}{\Delta x}=\displaystyle \lim_{\Delta x \to 0}(\Delta x+2x_{0}-1) \Rightarrow f'(x_{0})=2x_{0}-1
Câu 5: Viết phương trình tiếp tuyến của đường Hypebol y=\frac{1}{x} tại điểm (\frac{1}{2};2)
Giải :
Bằng định nghĩa ta tính được y’=-\frac{1}{x^{2}}
Ta có : y'(\frac{1}{2})=-4. Do đó hệ số góc của tiếp tuyến bằng -4.
Vậy phương trình tiếp tuyến của hypebol tại điểm (\frac{1}{2};2) là y-2=-4(x-\frac{1}{2}) hay y=-4x+4.
Câu 6: Cho hàm số f(x)=\left\{\begin{matrix}
\frac{\sqrt{3x+1}-2x}{x-1}
\\\frac{-5}{4}
\end{matrix}\right.
\begin{matrix}
\: khi \: x\neq 1 \\ \: khi \: x=1
\end{matrix} . Tính f'(1).
Câu 7: Cho hàm số f(x) xác định trên \mathbb{R}\{2} bởi f(x)=\left\{\begin{matrix}
\frac{x^{3}-4x^{2}+3x}{x^{2}-3x+2}& khi \: x\neq 1 \\
0 & khi \: x=1 \\
\end{matrix}\right. . Tính f'(1).
Giải :
Ta có : \displaystyle \lim_{x \to 1}f(x)=\displaystyle \lim_{x \to 1}\frac{x^{3}-4x^{2}+3x}{x^{2}-3x+2}=\displaystyle \lim_{x \to 1}\frac{x(x-1)(x-3)}{(x-1)(x-2)}=\displaystyle \lim_{x \to 1}\frac{x(x-3)}{x-2}=2
Suy ra \displaystyle \lim_{x \to 1}f(x)\neq f(1)
Do đó, hàm số không liên tục tại điểm x=1
Vậy hàm số không tồn tại đạo hàm tại điểm x=1.
Câu 8: Một ô tô đang chạy với vận tốc không đổi là 20 m/s thì người lái xe đạp phanh. Sau khi đạp phanh, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc v(t)=-4t+20 (m/s), trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây. Quãng đường ô tô di chuyển được trong 10 giây cuối cùng là :
Giải :
Khoảng thời gian ô tô chuyển động từ lúc đạp phanh đến lúc dừng hẳn là: -4t+20=0 \Leftrightarrow t=5 (s).
Như vậy, trong 10 giây cuối cùng, ô tô chạy với vận tốc không đổi là 20 (m/s) trong 5 giây đầu tiên và chuyển động chậm dần đều với vận tốc v(t)=-4t+20 (m/s) trong 5 giây còn lại.
Vậy quãng đường ô tô di chuyển trong 10 giây cuối cùng là: S=20.5+\int_{0}^{5}(-4t+20)dt=150 (m)
Câu 9: Cho hàm số f(x)=\left\{\begin{matrix}
3x+a-1 & khi \: x\leq 0 \\
\frac{\sqrt{1+2x}-1}{x} & khi \: x> 0 \\
\end{matrix}\right. . Tìm tất cả giá trị thực của a để hàm số liên tục trên \mathbb{R}
Giải :
Tập xác định : D=\mathbb{R}
Ta có : \displaystyle \lim_{x \to 0^{+}}f(x)=\displaystyle \lim_{x \to 0^{+}}\frac{\sqrt{1+2x}-1}{x}=\displaystyle \lim_{x \to 0^{+}}\frac{2x}{x(\sqrt{1+2x}+1)}=\displaystyle \lim_{x \to 0^{+}}\frac{2}{(\sqrt{1+2x}+1)}=1 \displaystyle \lim_{x \to 0^{-}}f(x)=\displaystyle \lim_{x \to 0^{-}}(3x+a-1)=a-1 f(0)=a-1
Dễ thấy hàm số đã cho liên tục trên các khoảng (-\infty ;0) và (0;+\infty).
Do đó hàm số đã cho liên tục trên \mathbb{R} \Leftrightarrow Hàm số đã cho liên tục tại x=0 \Leftrightarrow \displaystyle \lim_{x \to 0^{-}}f(x)=\displaystyle \lim_{x \to 0^{+}}f(x)=f(0) .
Từ đó, ta có a-1=1 \Leftrightarrow a=2
Vậy a=2
Câu 10: Tìm a,b để hàm số sau có đạo hàm trên \mathbb{R} : f(x)=\left\{\begin{matrix}
x^{2}-x+1 & khi \: x\leq 1 \\
-x^{2}+ax+b & khi \: x> 1 \\
\end{matrix}\right.
Giải :
Ta thấy hàm số f(x) có đạo hàm tại mọi điểm x\neq 1. Vậy để hàm số f(x) có đạo hàm trên \mathbb{R} ta cần nó có đạo hàm tại điểm x=1
Đầu tiên, để hàm số f(x) liên tục tại điểm x=1 \Leftrightarrow \displaystyle \lim_{x \to 1^{+}}f(x)=\lim_{x \to 1^{-}}f(x)=f(1)\Leftrightarrow -1+a+b=1 \Leftrightarrow b=2-a
Khi đó ta được f(x)=\left\{\begin{matrix}
x^{2}-x+1 & khi\: x\leq 1 \\
-x^{2}+ax+2-a & khi \: x> 1 \\
\end{matrix}\right.
Tiếp theo ta phải có: f(1^{+})=f(1^{-})\Leftrightarrow \displaystyle \lim_{x \to 1^{+}}\frac{(-x^{2}+ax+2-a)-1}{x-1}=\displaystyle \lim_{x \to 1^{-}}\frac{(x^{2}-x+1)-1}{x-1} \Leftrightarrow\displaystyle \lim_{x \to 1^{+}}(a-x-1)=\displaystyle \lim_{x \to 1^{-}}(x) \Leftrightarrow a-2=1 \Leftrightarrow a=3
Với a=3, ta có b=-1.
Câu 11 : Một vật rơi tự do có phương trình chuyển động là S=\frac{1}{2}gt^{2}, trong đó g=9,8m/s^{2} và t được tính bằng giây (s). Tìm vận tốc trung bình trong khoảng thời gian từ t đến t+\Delta t với độ chính xác 0,001 biết t=5 và \Delta t = 0,1.
Giải :
Vận tốc trung bình của chuyển động là : \frac{\Delta s}{\Delta t}= \frac{s(t+\Delta t)-s(t)}{\Delta t}=\frac{1}{2}g\frac{(t+\Delta t)^{2}-t^{2}}{\Delta t}=\frac{1}{2}g(2t+\Delta t)=\frac{1}{2}.9,8.(2.5+0,1)=49,49m/s
Câu 12 : Tìm đạo hàm của hàm số y=ax^{2} trên \mathbb{R}
Giải :
Đặt f(x)=y=ax^{2}
Với x_{0}\in \mathbb{R} ta có : f'(x_{0})=\displaystyle \lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x}=\displaystyle \lim_{\Delta x \to 0}\frac{a(x_{0}+\Delta x)^{2}-ax_{0}^{2}}{\Delta x}=\displaystyle \lim_{\Delta x \to 0}a(2x_{0}+\Delta x)=2ax_{0}
Câu 13 : Tìm đạo hàm của hàm số y=x^{3}+2 trên \mathbb{R}
Giải :
Đặt f(x)=y=x^{3}+2
Với x_{0}\in \mathbb{R} ta có : f'(x_{0})=\displaystyle \lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x}= \displaystyle \lim_{\Delta x \to 0}\frac{(x_{0}+\Delta x)^{3}+2-x_{0}^{3}-2}{\Delta x} =\displaystyle \lim_{\Delta x \to 0}[(x_{0}+\Delta x)^{2}+(x_{0}+\Delta x)x_{0}+x_{0}^{2}]=3x_{0}^{2}
Câu 14 : Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y=x^{3} biết tiếp điểm có hoành độ bằng -1.
Giải :
Ta có : x_{0}=-1; y_{0}=(-1)^{3}=-1 f(x_{0})=\displaystyle \lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x}=\displaystyle \lim_{\Delta x \to 0}\frac{(x_{0}+\Delta x)^{3}-x_{0}^{3}}{\Delta x} =\displaystyle \lim_{\Delta x \to 0}\frac{3x_{0}^{2}\Delta x+3x_{0}(\Delta x)^{2}+(\Delta x)^{3}}{\Delta x}=\displaystyle \lim_{\Delta x \to 0}(3x_{0}^{2}+3x_{0}\Delta x+(\Delta x)^{2})=3x_{0}^{2}
Với x_{0}=-1 ta có f'(-1)=3(-1)^{2} =3
Phương trình tiếp tuyến của đường cong tại tiếp điểm có hoành độ bằng -1 là : y-(-1)=3(x+1) \Leftrightarrow y=3x+2
Câu 15 : Cho hàm số f(x)=x^{5}. Tìm f'(-2).
Giải :
Với x_{0}\in \mathbb{R}
Ta có : f'(x_{0})=\displaystyle \lim_{x \to x_{0}}\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}=\displaystyle \lim_{x \to x_{0}}\frac{x^{5}-x_{0}^{5}}{x-x_{0}}=\displaystyle \lim_{x \to x_{0}}(x^{4}+x^{3}x_{0}+x^{2}x_{0}^{2}+xx_{0}^{3}+x_{0}^{4})=5x_{0}^{4} \Rightarrow f'(-2)=5.(-2)^{4} =80
Trên đây là các bài tập mà HocThatGioi đã chọn lọc và giải chi tiết giúp các bạn nắm vững hơn kiến thức về Định nghĩa và Ý nghĩa của đạo hàm. Chúc các bạn có thật nhiều sức khỏe và học tập thật tốt!
Bài viết khác liên quan đến Lớp 11 – Toán – Đạo hàm
