Cực trị của các hàm số cơ bản hay gặp nhất trong đề thi

Ngọc Quốc Tháng Tư 27, 2021

Tổng hợp lý thuyết về cực trị của các hàm cơ bản như hàm bậc 2, hàm bậc 3, hàm bậc 4 trùng phương, hàm phân thức,.. kiến thức trọng tâm cần phải lưu ý .

Bài viết này, HocThatGioi sẽ giới thiệu cho các bạn một vài hàm số cơ bản rất hay gặp trong các bài toán về cực trị của hàm số, cách giải nhanh các bài toán dạng này và những lưu ý cần phải ghi nhớ thật kĩ để có thể dễ dạng vượt qua các bài toán dạng này nhé!

Trước khi đi vào bài này, nếu các bạn vẫn chưa vững các kiến thức cơ bản về cực trị của hàm số thì hãy xem bài viết “Lý thuyết về cực trị hàm số” của HocThatGioi nhé!

1. Cực trị của hàm số bậc 2

Cho hàm số $y=a{x^2}+b{x}+c(a \ne0)$

$TXĐ$ : $D = R$
$y’ = 2ax + b$
Vậy hàm số đạt cực trị tại $x_0=-b/2{a}$

Lưu ý : Hàm số bậc 2 luôn luôn có 1 cực trị.

Nếu $a>0$ , $x=x_0$ là cực tiểu của hàm số
Nếu $a<0$ , $x=x_0$ là cực đại của hàm số

2. Cực trị của hàm số bậc 3

Cho hàm số $y = a{x^3}+ b{x^2}+ cx + d$ ( $a\ne 0$ ).

$TXĐ:$ $D = R$
$y’ = 3a{x^2} + 2bx + c$
Δ’ = $b^2- 3ac$
* Δ’ ≤ 0 : $y’$ không đổi dấu => hàm số không có cực trị
* Δ’ > 0 : $y’$ đổi dấu 2 lần => hàm số có hai cực trị (1 CĐ và 1CT)

Lưu ý: Đường thẳng đi qua hai cực trị của hàm số bậc ba, để tìm đường thẳng đi qua 2 cực trị của hàm số bậc 3, ta có thể thực hiện 1 trong 2 cách sau:

Cách 1: Giả sử hàm số đi qua 2 điểm cực trị $A(x_1,y_1), B(x_2,y_2)$ thì đường thẳng cực trị sẽ dễ dạng tìm được bằng cách viết phương trình đường thẳng AB.
Cách 2: Chia đa thức $f(x)$ cho $f'(x)$

3. Cực trị của hàm số bậc 4 trùng phương

Cho hàm số $y=a{x^4}+b{x^2}+c (a\ne0)$

$TXĐ: D = R$
$y’ = 4a{x^3} + 2bx = 2x(2a{x^2} + b)$
$y'=0$ => $x=0$ hoặc $x^2=\frac{-b}{2a}$
Nếu $\frac{-b}{2a}>0$ ( $a$ và $b$ trái dấu ) thì $x=\sqrt{\frac{-b}{2a}}$ hoặc $-\sqrt{\frac{-b}{2a}}$
=> $y'$ đổi dấu 3 lần
=> hàm số có 3 cực trị
Nếu $\frac{-b}{2a}<0$ ( $a$ và $b$ cùng dấu)
=> $y'$ chỉ đổi dấu 1 lần khi $x$ đi qua $x_0= 0$
=> hàm số đạt cực trị tại $x_0 = 0$

Lưu ý : Hàm số bậc 4 trùng phương chỉ có thể có 1 cực trị (khi a và b cùng dấu ) hoặc 3 cực trị ( khi a và b trái dấu ), không thể có trường hợp không có cực trị hoặc 2 cực trị .

Khi $a >0$ , hàm số có 2 cực đại 1 cực tiểu hoặc là 1 cực tiểu
Khi $a<0$ , hàm số có 2 cực tiểu 1 cực đại hoặc 1 cực đại

4. Cực trị của hàm phân thức (bậc nhất trên bậc nhất)

Cho hàm số $y=\frac{ax+b}{cx+d}$ $TXĐ$ : $D=R/\begin{Bmatrix} \frac{-d}{e} \end{Bmatrix}$
$y'=\frac{ad-bc}{(cx+d)^2}$
$y'$ không đổi dấu
=> Hàm số không có cực trị .

Cảm ơn các bạn đã theo dõi bài viết của HocThatGioi về . Nếu các bạn thấy hay và bổ ích, hãy chia sẻ cho bạn bè của mình để cùng nhau học thật giỏi. Đừng quên để lại 1 like, 1 cmt dể tạo động lực cho HocThatGioi và giúp HocThatGioi ngày càng phát triển hơn nhé! Chúc các bạn học thật tốt!