Công thức tổ hợp chỉnh hợp lặp và không lặp cực chi tiết

Ngọc Quốc Tháng Mười Một 6, 2021

Trong bài này, HocThatGioi sẽ giới thiệu với các bạn công thức tổ hợp chỉnh hợp cả về lặp và không lặp cực kì chi tiết, có ví dụ minh họa rõ ràng giúp các bạn dễ tiếp thu hơn. Hi vọng sau bài viết này sẽ giúp các bạn hiểu rõ hơn về tổ hợp chỉnh hợp và áp dụng các công thức này vào việc giải bài tập hiệu quả hơn. Cùng bắt đầu nhé!

1. Tổ hợp

Mỗi tập hợp con $k$ phần tử của một tập hợp gồm $n$ phần tử chính là một tổ hợp chập $k$ của $n$ phần tử.

Công thức tính tổ hợp chập k của n: Để đếm số tổ hợp chập $k$ của $n$ ta giả sử có $k$ vị trí đánh số từ 1 đến $k$ . Lấy một phần tử xếp vào vị trí thứ nhất có $n$ cách. Lấy tiếp 1 phần tử xếp vào vị trí số 2 có $n-1$ cách…cứ như vậy đến phần tử thứ $k$ có $n-k+1$ cách. Khi đếm như vậy thì $k$ phần tử đó có thể hoán đổi (hoán vị) với nhau mà không sinh ra tổ hợp khác. Vậy số tổ hợp chập $k$ của $n$ được tính theo công thức:

Công thức tổ hợp

C_n^k=\frac{n(n-1)(n-2)…(n-k+1)}{k!}=\frac{n!}{k!(n-k)!}

Trong đó:

C_n^k

là số tổ hợp chập

k

của

n

phần tử

Ví dụ:

Mỗi cách chọn 2 học sinh bất kì từ 3 học sinh chính là một tổ hợp chập 2 của 3 phần tử. Số tổ hợp này được tính bằng công thức $C_3^2=\frac{3!}{2!.(3-2)!}=3$ . Có nghĩa là có 3 cách để chọn ra 2 học sinh bất kì từ 3 học sinh. Chẳng hạn 3 học sinh đó là $A,B,C$ , khi đó ta sẽ có 3 cách để chọn:

A và B
B và C
A và C

Lưu ý: Khi hoán vị một tổ hợp thì sẽ không tạo ra một tổ hợp mới ( A,B và B,A là như nhau).

2. Chỉnh hợp

Mỗi cách sắp xếp các phần tử của một tập con gồm $k$ phần tử của tập hợp gồm $n$ phần tử là một chỉnh hợp chập $k$ của $n$ .

Công thức tính số chỉnh hợp chập $k$ của $n$ : Để đếm số tổ hợp chập $k$ của $n$ ta giả sử có $k$ vị trí đánh số từ 1 đến $k$ . Lấy lần lượt các phần tử xếp vào các vị trí. Mỗi vị trí 1 phần tử ta được một chỉnh hợp chập $k$ của $n$ phần tử. Lấy một phần tử xếp vào vị trí thứ nhất có $n$ cách. Lấy tiếp 1 phần tử xếp vào vị trí số 2 có $n-1$ cách…cứ như vậy đến phần tử thứ k có $n-k+1$ cách. Vậy số chỉnh hợp chập $k$ của $n$ được tính theo công thức dưới đây:

Công thức chỉnh hợp

A_n^k=n(n-1)(n-1)…(n-k+1)=\frac{n!}{(n-k)!}

Trong đó:

A_n^k

là chỉnh hợp chập k của n phần tử

Ví dụ: Mỗi cách chọn và xếp 2 bạn học sinh bất kì từ 3 bạn học sinh $A,B,C$ chính là một chỉnh hợp chập 2 của 3 phần tử. Số chỉnh hợp này đươc tính bằng công thức $C_n^k=\frac{3!}{(3-2)!}=6$ . Nghĩa là có 6 cách để chọn và xếp 3 bạn học sinh bất kì từ 3 bạn học sinh.

3. Tổ hợp lặp

Mỗi cách chọn ra $k$ vật từ $n$ loại vật khác nhau (trong ñó mỗi loại vật có thể ñược chọn lại nhiều lần) được gọi là tổ hợp lặp chập $k$ của $n$ . Số các tổ lặp chập $k$ của $n$ được ký hiệu là $K_n^k$ .

Công thức tính tổ hợp lặp chập k của n phần tử:

Công thức tổ hợp lặp

K_n^k=C_{n+k-1}^k

Trong đó:

K_n^k

là tổ hợp lặp chập

k

của

n

phần tử

Ví dụ:

Có 10 viên bi giống nhau và 3 cái hộp, khi đó, mỗi cách xếp 10 viên bi giống nhau vào 3 cái hộp đó chính là một tổ hợp lặp chập 3 của 10 phần tử, được tính theo công thức $k_10^3=C_{10+3-1}{3}=220$ . Nghĩa là có 220 cách xếp 10 viên bi giống nhau và 3 cái hộp.

Hoặc nói cho sát với định nghĩa thì bài toán trên tương đương với chọn ra 10 cái hộp từ 3 loại hộp khác nhau (mỗi loại hộp có thể chọn nhiều lần), sau đó bỏ 10 viên bi trên vào 10 cái hộp đã chọn (bỏ sao cũng được vì 10 viên bi đó giống nhau)

4. Chỉnh hợp lặp

Cho một tập $X$ gồm $n (n \in N^{\ast})$ phần tử. Một dãy có độ dài $m (m\in N^{\ast})$ các phần tử của X, trong đó mỗi phần tử có thể lặp lại nhiều lần, sắp xếp theo một thứ tự nhất định gọi là một chỉnh hợp lặp chập $m$ của $n$ phần tử.

Công thức tính số chỉnh hợp lặp:

Công thức chỉnh hợp lặp

F_n^m=n^m

Trong đó:

F_n^m

là chỉnh hợp lặp chập m của n phần tử

Ví dụ:

Từ các chữ cái $a,b,c$ , có thể viết bao nhiêu dãy gồm 2 kí tự (các kí tự có thể lặp lại nhiều lần). Mỗi dãy gồm 2 kí tự đó chính là chỉnh hợp lặp chập 2 của 3 phần tử và được tính $F_3^2=3^2=9$ . Nghĩa là có 9 dãy gồm 2 kí tự tạo thành từ 3 chữ cái $a,b,c$ . Cụ thể như sau:

Cảm ơn các bạn đã theo dõi bài viết của HocThatGioi về Công thức tổ hợp chỉnh hợp lặp và không lặp cực chi tiết. Nếu các bạn thấy hay và bổ ích, hãy chia sẻ cho bạn bè của mình để cùng nhau học thật giỏi. Đừng quên để lại 1 like, 1 cmt dể tạo động lực cho HocThatGioi và giúp HocThatGioi ngày càng phát triển hơn nhé! Chúc các bạn học thật tốt!