Đạo hàm của hàm số hợp chi tiết dễ hiểu nhất

Khánh Linh Tháng Mười Một 25, 2021

Trong bài viết này, HocThatGioi sẽ giúp bạn nắm vững kiến thức về Đạo hàm của hàm số hợp và vận dụng những kiến thức đó để giải quyết một số bài tập điển hình. Hãy cùng HocThatGioi tìm hiểu ngay nhé!

1. Khái niệm hàm số hợp

Trước khi tìm hiểu về đạo hàm của hàm số hợp, chúng ta hãy cùng tìm hiểu xem hàm hợp là gì nhé!

Khái niệm:

Cho hai hàm số $y=f(u)$ và $u=u(x)$ . Thay thế biến $u$ trong $f(u)$ bởi biểu thức $u(x)$ , ta được biểu thức $f[u(x)]$ với biến $x$ . Khi đó, hàm số $y=g(x)$ với $g(x)=f[u(x)]$ được gọi là hàm số hợp của hai hàm số $f$ và $u$ ; hàm số $u$ gọi là hàm số trung gian.

Lưu ý: Tập xác định của hàm số hợp

y=g(x)

là tập các giá trị của x sao cho biểu thức

f[u(x)]

có nghĩa.

Ví dụ : Cho

f(u)=\frac{1}{u}

và

u(x)=x+1

. Hãy tìm hàm số hợp

f[u(x)]

và tập xác định của nó.

Giải :

f[u(x)]=\frac{1}{x+1}

Tập xác định

D= \mathbb{R} \setminus

{-1}

2. Cách tính đạo hàm của hàm số hợp

Tiếp theo, cùng HocThatGioi tìm hiểu thật kỹ về cách tính đạo hàm của hàm số hợp nhé!

Đầu tiên, chúng ta có định lý đạo hàm của hàm số hợp tại một điểm :

Đạo hàm của hàm số hợp tại một điểm

g'( x_0)=f'(u_0).u'(x_0)

Trong đó:

g'( x_0)

là đạo hàm của

g(x)=f[u(x)]

với hàm số

u=u(x)

có đạo hàm tại điểm

x_0

và hàm số

y=f(u)

có đạo hàm tại điểm

u_0=u(x_0)

Từ định lý trên chúng ta có định lý tổng quát cho đạo hàm của hàm số hợp trên $J$ như sau :

Đạo hàm của hàm số hợp trên

J

g'(x)=f'[u(x)].u'(x)

Trong đó:

g'(x)

là đạo hàm của hàm số hợp

g(x)=f[u(x)]

trên

J

khi giả thiết trong định lý đạo hàm của hàm số hợp tại một điểm được thỏa mãn đối với mọi điểm

x

thuộc

J

Ghi chú: Định lý trên còn được viết gọn là

g’_x=f’_u.u’_x

Ví dụ : Tính đạo hàm của hàm số hợp

g(x)=f[u(x)]=(x^2+1)^3

Giải :
Ta có :

f'(u)=(u^3)’=3u^2

u(x)=x^2+1

nên

f'(u)=3(x^2+1)^2

và

u'(x)=(x^2+1)’=2x

Vậy

g'(x)=f'[u(x)]=f'(u).u'(x)=3(x^2+1)^2.2x=6x(x^2+1)^2

Từ những định lý ở trên, chúng ta sẽ có hệ quả cho hàm số mũ như sau :

Hệ quả đạo hàm cho hàm số mũ

\begin{bmatrix}u^n(x)\end{bmatrix}’=n.u^{n-1}(x).u'(x)

Trong đó:

\begin{bmatrix}u^n(x)\end{bmatrix}'

là đạo hàm của hàm số

y=u^n(x)

trên

J

khi hàm số

u=u(x)

có đạo hàm trên

J

(với

n \in \mathbb{N}

và

n \geq 2)

Ghi chú: Công thức trong hệ quả trên có thể được viết gọn là

\begin{pmatrix}u^n\end{pmatrix}’=n.u^{n-1}.u’

Ví dụ : Cho hàm số

y=(\frac{1}{3}x^3+x^2)^3

. Tìm

y’

y’= \begin{pmatrix}(\frac{1}{3}x^3+x^2)^3\end{pmatrix}’=3.(\frac{1}{3}x^3+x^2)’.(\frac{1}{3}x^3+x^2)^2=3(x^2+2x)(\frac{1}{3}x^3+x^2)^2

Tương tự, ta có hệ quả cho hàm số căn :

Hệ quả đạo hàm cho hàm số căn

\begin{pmatrix} \sqrt{u(x)} \end{pmatrix}’=\frac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}}

Trong đó:

\begin{pmatrix} \sqrt{u(x)} \end{pmatrix}'

là đạo hàm của hàm số

y= \sqrt{u(x)}

trên

J

khi hàm số

u=u(x)

có đạo hàm trên

J

và

u(x)>0\: \forall x \in J

Ghi chú: Công thức trong hệ quả trên có thể được viết gọn là

\begin{pmatrix} \sqrt{u} \end{pmatrix}’=\frac{u’}{2 \sqrt{u}}

Ví dụ : Cho hàm số

y=\sqrt{x^2+5x+4}

. Tìm

y’

Giải :

y’=\begin{pmatrix}\sqrt{x^2+5x+4}\end{pmatrix} ‘=\frac{(x^2+5x+4)’}{2\sqrt{x^2+5x+4}}=\frac{2x+5}{2\sqrt{x^2+5x+4}}

3. Bài tập đạo hàm của hàm số hợp

Chúc mừng bạn đã tìm hiểu xong lý thuyết về đạo hàm của hàm số hợp. Bây giờ hãy cũng HocThatGioi làm một số bài tập để nắm vững hơn những gì mình vừa học nhé!

Câu 1 : Tìm đạo hàm của hàm số

y=(x-x^2)^{32}

a. $32(1-2x)^{31}$
b. $32(x-x^2)^{31}$
c. $32(x-x^2)(1-2x)$
d. $32(x-x^2)^{31}(1-2x)$

Câu 2 : Đạo hàm của hàm số

f(x)=(x^2+1)^4

tại điểm

x=-1

là :

a. -32
b. 30
c. -64
d. 12

Câu 3 : Cho hàm số

f(x)= \sqrt{x^2}

. Tìm

f'(0)

a. 0
b. 2
c. 1
d. Không tồn tại

Câu 4 : Đạo hàm của hàm số

f(x)= \sqrt{3x^2-2x+1}

là :

a. $\frac{3x-1}{\sqrt{3x^2-2x+1}}$
b. $\frac{6x-2}{\sqrt{3x^2-2x+1}}$
c. $\frac{3x^2-1}{\sqrt{3x^2-2x+1}}$
d. $\frac{1}{2 \sqrt{3x^2-2x+1}}$

Câu 5 : Đạo hàm của hàm số

x \sqrt{x^2-2x}

là :

a. $\frac{2x-2}{ \sqrt{ x^2-2x } }$
b. $\frac{3x^2-4x}{ \sqrt{ x^2-2x } }$
c. $\frac{2x^2-3x}{ \sqrt{ x^2-2x } }$
d. $\frac{2x^2-2x-1}{ \sqrt{ x^2-2x } }$

Câu 6 : Tìm đạo hàm của hàm số sau

y=\left ( \frac{2x+1}{x-1} \right )^{3}

a. $-\frac{9(2x+1)^{2}}{(x-1)^{4}}$
b. $\frac{3(2x+1)^{2}}{(x-1)^{5}}$
c. $\frac{3(3x+1)^{2}}{(x-1)^{4}}$
d. $\frac{2(x+1)^{2}}{(x-1)^{6}}$

Câu 7 : Tính đạo hàm của hàm số

y=\sqrt{\frac{x^{2}+1}{x}}

a. $\frac{1}{2\sqrt{\frac{x^{2}+1}{x}}}(1-\frac{1}{x^{2}})$
b. $\frac{1}{\sqrt{\frac{x^{2}+1}{x}}}(1+\frac{1}{x^{2}})$
c. $\frac{2}{\sqrt{\frac{x^{2}+1}{x}}}(x+\frac{1}{x^{2}})$
d. Đáp án khác

Câu 8 : Cho hàm số

y=f(x)=\frac{x}{\sqrt{4-x^{2}}}

. Tính

y'(0)

a. 2
b. $\frac{1}{3}$
c. 1
d. $\frac{1}{2}$

Câu 9 : Hàm số

f(x)=\left ( \sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}\right )^{2}

xác định trên

D=\left ( 0;+\infty \right )

có đạo hàm là :

a. $x+\frac{1}{x}-2$
b. $x-\frac{1}{x^{2}}$
c. $1-\frac{1}{x^{2}}$
d. $\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}$

Câu 10 : Tìm đạo hàm của hàm sô

y=(-2x-5)^2

a. $-4(2x+5)$
b. $4(2x+5)$
c. $4(2x-5)$
d. $4(-2x-5)$

Bài viết này đến đây là kết thúc, hi vọng HocThatGioi đã giúp các bạn hiểu rõ hơn về đạo hàm của hàm số hợp. Cảm ơn các bạn đã theo dõi bài viết của HocThatGioi, chúc các bạn mạnh khỏe và học tập tốt!