Phương pháp giải Phương trình mũ chi tiết và đầy đủ nhất

Quang Thái Tháng Mười Hai 15, 2021

Xin chào các bạn, hôm nay HocThatGioi sẽ đem đến cho các bạn đầy đủ các phương pháp giải Phương trình mũ cho từng dạng toán. Với vài học hôm nay các bạn có thể tự tin hơn khi gặp dạng toán này. Hãy cùng HocThatGioi theo dõi hết bài viết hôm nay nhé.

1. Phương trình mũ cơ bản

Phương trình mũ cơ bản

a^{x} = b

(a > 0, a\neq 1)

Phương trình có một nghiệm duy nhất khi

b > 0

Phương trình vô nghiệm khi

b \leq 0

Ví dụ:

Cho phương trình

3^{x^{2} – 4x + 5} = 9

tổng lập phương các nghiệm thực của phương trình là :

Ta có:

3^{x^{2} – 4x + 5} = 9 \Leftrightarrow 3^{x^{2} – 4x + 5} = 3^{2} \Leftrightarrow x^{2} – 4x + 5 = 2 \Leftrightarrow x_{1} = 1; x_{2} = 3

Vậy

x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 1^{3} + 3^{3} = 28

2. Biến đổi, quy về cùng cơ số

Biến đổi, quy về cùng cơ số

a^{f(x)} = a^{g(x)} \Leftrightarrow a = 1

hoặc

\left\{\begin{matrix}0 < a \neq 1\\f(x) = g(x)\end{matrix}\right.

Ví dụ:

Cho phương trình

3^{x^{2} – 3x + 8} = 9^{2x – 1}

. Khi đó tập nghiệm của phương trình là:

Ta có:

3^{x^{2} – 3x + 8} = 9^{2x – 1}

\Leftrightarrow 3^{x^{2} – 3x + 8} = 3^{4x – 2} \Leftrightarrow x^{2} – 3x + 8 = 4x -2 \Leftrightarrow x^{2} – 7x + 10 = 0 \Leftrightarrow

x =

{

5;2

}

3. Đặt ẩn phụ

Ta có: $f[a^{g(x)}] = 0 (0 < a \neq 1) \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}t = a^{g(x)} > 0\\f(t) = 0\end{matrix}\right.$

Ta thường gặp các dạng:

$m.a^{2f(x)} + n.a^{f(x)} + p = 0$
$m.a^{f(x)} + n.b^{f(x)} + p = 0$ trong đó $a.b = 1.$ Đặt $t = a^{f(x)}, t > 0$ , suy ra $b^{f(x)} = \frac{1}{t}$ .
$m.a^{2f(x)} + n.(a.b)^{f(x)} + p.b^{2f(x)} = 0$ . Chia hai vế cho $b^{2f(x)}$ và đặt $(\frac{a}{b})^{f(x)} = t > 0.$

Phương trình

3^{1 – x} = 2 + (\frac{1}{9})^{x}

có bao nhiêu nghiệm âm ?

Phương trình tương đương với

\frac{3}{3^{x}} = 2 + (\frac{1}{9})^{x} \Leftrightarrow 3.(\frac{1}{3})^{x} = 2 + (\frac{1}{3})^{2x}.

Đặt

t = (\frac{1}{3})^{x}, t > 0

. Phương trình trở thành

3t = 2 + t^{2} \Leftrightarrow t =

{

1;2

}.
Với

t = 1 \Leftrightarrow (\frac{1}{3})^{x} = 1 \Leftrightarrow x = 0

.
Với

t = 2 \Leftrightarrow (\frac{1}{3})^{x} = 2 \Leftrightarrow x = \log_{\frac{1}{3}}2 = -\log_{3}2 < 0

.
Vậy phương trình có 1 nghiệm âm

4. Lôgarit hoá

Phương trình $a^{f(x)} = b \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}0 < a \neq 1, b > 0\\f(x) = \log_{a}b\end{matrix}\right.$ .

Phương trình $a^{f(x)} = b^{g(x)} \Leftrightarrow \log_{a}a^{f(x)} = \log_{a}b^{g(x)} \Leftrightarrow f(x) = g(x).\log_{a}b$ hoặc $\log_{b}a^{f(x)} = \log_{b}b^{g(x)} \Leftrightarrow f(x)\log_{b}a = g(x)$ .

Ví dụ:

Giải phương trình

49.2^{x^{2}} = 16.7^{x}

Phương tình cho tương đương

2^{x^{2} – 4} = 7^{x – 2}

.
Lấy lôgarit cơ số 2 hai vế phương trình ta đươc:

\log_{2}2^{x^{2} -4} = \log_{2}7^{x – 2}

\Leftrightarrow x^{2} – 4 = (x – 2)\log_{2}7 \Leftrightarrow (x – 2)(x + 2 – \log_{2}7) = 0 \Leftrightarrow x = 2

hoặc

x = \log_{2}7 – 2

5. Sử dụng tính đơn điệu của hàm số

Tính chất 1: Nếu hàm số $y = f(x)$ luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến trên) $(a;b)$ thì số nghiệm của phương trình $f(x) = k$ trên $(a;b)$ không nhiều hơn một và $f(u) = f(v) \Leftrightarrow u = v; \forall u, v \in (a;b)$

Tính chất 2: Nếu hàm số $y = f(x)$ liên tục và luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến); hàm số $y = g(x)$ liên tục và luôn nghịch biến (hoặc luôn đồng biến) trên $D$ thì số nghiệm trên $D$ của phương tình $f(x) = g(x)$ không nhiều hơn một.

Tính chất 3: Nếu hàm số $y = f(x)$ luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) trên $D$ thì bất phương trình $f(u) > f(v) \Leftrightarrow u > v$ hoặc $(u < v); \forall u,v \in D$ .

Ví dụ

Với giá trị nào của tham số

m

thì phương trình

(2 + \sqrt{3})^{x} + (2 – \sqrt{3})^{x} = m

vô nghiệm ?

Nhận xét

(2 + \sqrt{3})(2 – \sqrt{3}) = 1 \Leftrightarrow (2 + \sqrt{3})^{x}(2 – \sqrt{3})^{x} = 1.

Đặt

t = (2 + \sqrt{3})^{x} \Rightarrow (2 – \sqrt{3})^{x} = \frac{1}{t}, \forall t \in (0;+\infty)

.
Phương trình đã cho tương đương :

t + \frac{1}{t} = m \Leftrightarrow f(t) = t + \frac{1}{t} = m

.
Xét hàm số

f(t) = t + \frac{1}{t}

xác định và liên tục trên

(0;+\infty)

.
Ta có:

f'(t) = 1 – \frac{1}{t^{2}} = \frac{t^{2} – 1}{t^{2}}.

Cho

f'(t) = 0 \Leftrightarrow t = \pm 1

.
Dựa vào bảng biến thiên:
Nếu

m < 2

thì phương trình vô nghiêm
Phương pháp giải Phương trình mũ chi tiết và đầy đủ nhất 2

6. Giải bằng phương pháp đồ thị

Giải phương trình: $a^{x} = f(x) (0 < a \neq 1) (*)$ .

Xem phương trình (*) là phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị $y = a^{x}, (0 < a \neq 1)$ và $y = f(x)$ . Khi đó ta thực hiện hai bước:

Bước 1: Vẽ đồ thị các hàm số $y = a^{x} (0 < a \neq 1), y = f(x)$ .
Bước 2: Kết luận nghiệm của phương trình đã cho là giao điểm của hai đồ thị.

7. Sử dụng đánh giá

Giải phương trình $f(x) = g(x)$ .

Nếu ta đánh giá được $\left\{\begin{matrix}f(x) \geq m\\g(x) \leq m\end{matrix}\right.$ thì $f(x) = g(x) \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}f(x) = m\\g(x) = m\end{matrix}\right.$

Trên đây là bài viết Phương pháp giải Phương trình mũ chi tiết đầy đủ nhất. mà HocThatGioi đã đem đến cho các bạn. Qua bài viết này, Các bạn cùng theo dõi các bài viết tiếp theo về chương Hàm số mũ – Hàm số logarit để có một nền tảng thật vững chắc nhé. Cảm ơn các bạn đã theo dõi bài viết của HocThatGioi. Hãy đồng hành cùng HocThatGioi để tiếp thu thêm các kiến thức hay, bổ ích nhé. Chúc các bạn học tốt.