Tổng hợp các công thức tính đạo hàm đầy đủ nhất

Khánh Linh Tháng Một 2, 2022

Trong bài viết này, HocThatGioi sẽ tổng hợp các công thức tính đạo hàm của các hàm số: lượng giác, logarit, mũ, … để các bạn có thể học và ghi nhớ để vận dụng khi giải quyết các bài tập liên quan. Cùng HocThatGioi tìm hiểu ngay nhé!

1. Đạo hàm của hàm số logarit

Đầu tiên, chúng ta hãy cùng tìm hiểu các công thức tính đạo hàm đối với các hàm số logarit.

Đối với hàm số logarit, ta có các công thức tính đạo hàm như sau:

$\left ( log_{a}x \right )'=\frac{1}{x.lna}$	$\left ( log_{a}u \right )'=\frac{u'}{u.lna}$
$\left ( lnx \right )'=\frac{1}{x}$	$\left ( lnu \right )'=\frac{u'}{u}$

Công thức tính đạo hàm của các hàm số logarit

Ví dụ: Tìm đạo hàm của hàm số
a.

y= log_{5}x

.
b.

y=ln(2x+1)

y= log_{2}(x^2+7)

Giải:
a. Ta có:

y’=\left ( log_{5}x \right )’=\frac{1}{x.ln5}

b. Ta có:

y’=\left ( ln(2x+1) \right )’=\frac{2}{2x+1}

c. Ta có:

y’=\left ( log_{2}(x^2+7) \right )’=\frac{2x}{(x^2+7).ln2}

2. Đạo hàm của hàm số mũ

Tiếp đến, hãy cùng HocThatGioi tìm hiểu công thức tính đạo hàm của các hàm số mũ.

Đối với hàm số mũ, ta có các công thức tính đạo hàm như sau:

$\left ( x^{\alpha } \right )'=\alpha .x^{\alpha -1}$	$\left ( u^{\alpha } \right )'=u'.\alpha .u^{\alpha -1}$
$\left ( a^{x} \right )'=a^{x}.lna$	$\left ( a^{u} \right )'=u'.a^{u}.lna$
$\left ( e^{x} \right )'=e^{x}$	$\left ( e^{u} \right )'=u'.e^{u}$

Công thức tính đạo hàm của các hàm số mũ

Ví dụ: Tìm đạo hàm của hàm số
a.

y=(x+5)^{3}

y=7^{4x-5}

y=e^{x^2-6x+2}

Giải:
a. Ta có:

y’=((x+5)^{3})’=3.(x+5)’.(x+5)^2=3.(x+5)^2

b. Ta có:

y’=(7^{4x-5})’=(4x-5)’.7^{4x-5}.ln7=4.7^{4x-5}.ln7

c. Ta có:

y’=(e^{x^2-6x+2})’=(x^2-6x+2)’.e^{x^2-6x+2}=(2x-6).e^{x^2-6x+2}

3. Đạo hàm của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối

Tiếp theo, chúng ta sẽ cùng tìm hiểu về đạo hàm của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối.

Đối với các hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối, ta có các công thức tính đạo hàm như sau:

\left ( \left|x \right| \right )'=\left\{\begin{matrix} 1 & \ khi \ x>0 \\ -1 & khi \ x<0 \\ \end{matrix}\right.

\left ( \left|u(x) \right| \right )'=\left\{\begin{matrix} \left ( u(x) \right )' & khi \ u(x)>0 \\ \left ( -u(x) \right )' & khi \ u(x)<0 \\ \end{matrix}\right.

Công thức tính đạo hàm của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối

Ví dụ: Tìm đạo hàm của hàm số

y=\left|x^2-3x+2 \right|

Giải:
Ta có:

y’=(\left|x^2-3x+2 \right|)’=\left\{\begin{matrix} \left ( x^2-3x+2 \right )’ & khi \ x^2-3x+2>0 \\ \left ( -x^2+3x-2 \right )’ & khi \ x^2-3x+2<0 \\ \end{matrix}\right.\

= \left\{\begin{matrix} 2x-3 & khi \ x<1, x> 2 \\ -2x+3 & khi \ 1<x<2 \\ \end{matrix}\right.

4. Đạo hàm của hàm số căn

Bây giờ, chúng ta sẽ cùng nhau tìm hiểu về đạo hàm của hàm số căn.

Đối với hàm số căn, ta có các công thức tính đạo hàm như sau:

$(\sqrt{x})'=\frac{1}{2\sqrt{x}}$	$(\sqrt{u})'=\frac{u'}{2\sqrt{u}}$
$\left ( \sqrt[n]{x} \right )'=\frac{1}{n.\sqrt[n]{x^{n-1}}}$	$\left ( \sqrt[n]{u} \right )'=\frac{u'}{n.\sqrt[n]{u^{n-1}}}$

Công thức tính đạo hàm của các hàm số căn

Ví dụ: Tìm đạo hàm của hàm số
a.

y=\sqrt[3]{x}

y=\sqrt[4]{x^2+1}

Giải:
a.

y’=(\sqrt[3]{x})’=\frac{1}{3.\sqrt[3]{x^{3-1}}}=\frac{1}{3.\sqrt[3]{x^{2}}}

y’=(\sqrt[4]{x^2+1})’=\frac{(x^2+1)’}{4.\sqrt[4]{(x^2+1)^{4-1}}}=\frac{2x}{4.\sqrt[4]{(x^2+1)^3}}=\frac{x}{2.\sqrt[4]{(x^2+1)^3}}

5. Đạo hàm của các hàm số lượng giác

Hãy cùng HocThatGioi tìm hiểu về đạo hàm của các hàm số lượng giác nhé!

Đối với hàm số lượng giác, ta có các công thức tính đạo hàm như sau:

$(sinx)'=cosx$	$(sinu)'=u'.cosu$
$(cosx)'=-sinx$	$(cosu)'=-u'.sinu$
$(tanx)'=\frac{1}{cos^{2}x}$	$(tanu)'=\frac{u'}{cos^{2}u}$
$(cotx)'=\frac{-1}{sin^{2}x}$	$(cotu)'=\frac{-u'}{sin^{2}u}$

Công thức tính đạo hàm của các hàm số lượng giác

Ví dụ: Tìm đạo hàm của hàm số

y=sinx+cos2x

Giải:
Ta có:

y’=(sinx+cos2x)’=(sinx)’+(cos2x)’=cosx-2sin2x

6. Đạo hàm của các hàm số lượng giác ngược

Tiếp đến, chúng ta sẽ cùng tìm hiểu về đạo hàm của các hàm số lượng giác ngược.

Đối với hàm số lượng giác ngược, ta có các công thức tính đạo hàm như sau:

(arcsin x)'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}

(arccos x)'=\frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}

(arctan x)'=\frac{1}{1+x^2}

(arccot x)'=\frac{-1}{1+x^2}

Công thức tính đạo hàm của các hàm số lượng giác ngược

7. Đạo hàm của các hàm số phân số

Cuối cùng, chúng ta sẽ cùng tìm hiểu về đạo hàm của các hàm số phân số.

Đối với hàm số phân số, ta có các công thức tính đạo hàm như sau:

\left ( \frac{1}{x} \right )'=-\frac{1}{x^2}

\left ( \frac{1}{u} \right )'=-\frac{u'}{u^2}

Công thức tính đạo hàm của hàm số phân số

Ví dụ: Tìm đạo hàm các hàm số

\frac{1}{x^2+3}

Giải:
Ta có:

\left ( \frac{1}{x^2+3} \right )’=\frac{-(x^2+3)’}{(x^2+3)^2}=\frac{-2x}{(x^2+3)^2}

Bài viết đến đây là kết thúc, hi vọng HocThatGioi đã giúp các bạn nắm vững kiến thức về các công thức tính đạo hàm. Cảm ơn các bạn đã theo dõi bài viết của HocThatGioi, chúc các bạn mạnh khỏe và học tập tốt!