Phương pháp giải thể tích hình chóp đầy đủ nhất

Quang Thái Tháng Mười Hai 31, 2021

Xin chào các bạn, hôm nay HocThatGioi sẽ đem đến cho các bạn phương pháp tính thể tích hình chóp cho từng loại hình chóp mà các bạn hay bắt gặp nhất cũng như một số ví dụ để giúp các bạn nắm vững hơn nhưng phương pháp này. Hãy theo dõi hết bài viết để có thể giải quyết thể tích hình chóp một các dễ dàng nhé.

1. Thể tích hình chóp

Nếu khối chóp đã cho có chiều cao h và diện tích đáy B thì thể tích tính theo công thức

Thể tích hình chóp

V = \frac{1}{3}B.h

Trong đó:

V

là thể tích hình chóp

Nếu khối chóp cần tính thể tích chưa biết chiều cao thì ta phải xác định được vị trí chân đường cao trên đáy. Dưới đây là các trường hợp mà chúng ta hay bắt gặp.

1.1 Chóp có cạnh bên vuông góc đáy

Chóp có cạnh bên vuông góc chiều cao chính là cạnh bên

Ví dụ minh hoạ:

Cho hình chóp

S.ABC

có

AB = a, BC = a\sqrt{3}, AC = a\sqrt{5}

và

SA

vuông góc với mặt đáy,

SB

tạo với đáy góc

45^{\circ}

. Thể tích khối chóp

S.ABC

là:

SB

tạo với góc đáy

45^{\circ}

nên

SA = AB = a

Áp dụng công thức Hê rông, ta có:

S_{ABC} = \sqrt{p(p – AB)(p – AC)(p – BC)} (p = \frac{AB + BC + CA}{2}) = \frac{a^{2}\sqrt{11}}{4}

.
Vậy

V_{S.ABC} = \frac{1}{3} SA.S_{AVC} = \frac{\sqrt{11}}{12} a^{3}

1.2 Chóp có hai mặt bên vuông góc đáy

Chóp có hai mặt bên vuông góc đáy đường cao là giao tuyến của hai mặt bên vuông góc đáy

Ví dụ minh hoạ:

Cho hình chóp

S.ABCD

có đáy

ABCD

là hình chữ nhật có

AB = a, BC = 2a

. Hai mặt bên

(SAB)

và

(SAD)

vuông góc với đáy, cạnh

SC

hợp với đáy một góc

60^{\circ}

. Tính thể tích khối chóp

S.ABCD

Ta có:

(SAB)

và

(SAD)

vuông góc với đáy.
Mặt khác

(SAB) \frown (SAD) = SA

\Rightarrow SA \perp (ABCD) \Rightarrow SCA = 60^{\circ} \Rightarrow SA = AC.tan60^{\circ} = \sqrt{a^{2} + (2a)^{2}}.\sqrt{3} = a\sqrt{15}

Vậy

V = \frac{1}{3}a.2a.a\sqrt{15} = \frac{2a^{3}\sqrt{15}}{3}

1.3 Chóp có mặt bên vuông góc đáy

Chóp có mặt bên vuông góc đáy chiều cao là chiều cao của mặt bên vuông góc đáy.

Ví dụ minh hoạ:

Cho tứ diện

ABCD

có

ABC

là tam giác đều cạnh

a

, tam giác

BCD

vuông cân tại

D

và nằm trong mặt phẳng vuông góc với

(ABC)

. Tính thể tích

V

của khối tứ diện

ABCD

Dựng

AH \perp BC

(ABC) \perp (BCD) \Rightarrow AH \perp (BCD)

.
Ta có, do

\Delta ABC

đều

\Rightarrow AH = \frac{a\sqrt{3}}{2}

và

S_{BCD} = \frac{1}{2}.DH.BC = \frac{a^{2}}{4}

.
Vậy

V_{ABCD} = \frac{1}{3}.AH.S_{BCD} = \frac{a^{3}\sqrt{3}}{24}

1.4 Chóp đều

Chóp đều chiều cao hạ từ đỉnh đến tâm đa giác đáy.

Ví dụ minh hoạ:

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, tất cả các cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy một góc

60^{\circ}

. Thể tích của khối chóp S.ABCD là:

Gọi H là giao điểm của AC và BD. Do S.ABCD là chóp đều nên

SO \perp (ABCD)

Theo giả thiết ta có

\widehat{SAO} = \widehat{SBO} = \widehat{SCO} = \widehat{SDO} = 60^{\circ}

Trong tam giác OBS ta có

SO = OB.tan60^{\circ} = \frac{a\sqrt{6}}{2}

Thể tích khối chóp

V = \frac{1}{3}.S_{ABCD}.SO = \frac{a\sqrt{3}}{2}

2. Bài tập tính thể tích hình chóp

1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình cữ nhật, SA vuông góc với mặt đáy (ABCD), AB = a, AD = 2a. Góc giữa cạnh bên SB và mặt phẳng (ABCD) bằng

45^{\circ}

. Thể tích hình chóp S.ABCD bằng

a. $\frac{\sqrt{6} a^{3}}{18}$
b. $\frac{2\sqrt{2} a^{3}}{18}$
c. $\frac{a^{3}}{18}$
d. $\frac{2a^{3}}{3}$

2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có AB = a, BC = 2a. Hai mặt bên (SAB) và (SAD) vuông góc với đáy, cạnh SC hợp với đáy một góc

60^{\circ}

. Tính thể tích khối chóp S.ABCD

a. $\frac{2\sqrt{15} a^{3}}{3}$
b. $\frac{2\sqrt{5} a^{3}}{3}$
c. $\frac{\sqrt{15} a^{3}}{3}$
d. $\frac{\sqrt{5} a^{3}}{3}$

3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, AB = BC =

\frac{1}{2}

AD = a. Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính thể tích khối chóp S.ACD.

a. $\frac{a^{3}}{3}$
b. $\frac{a^{3}}{2}$
c. $\frac{a^{3}\sqrt{2}}{6}$
d. $\frac{a^{3}\sqrt{3}}{6}$

Cảm ơn các bạn đã theo dõi bài viết của HocThatGioi về Phương pháp giải thể tích hình chóp đầy đủ nhất. Nếu các bạn thấy hay và bổ ích, hãy chia sẻ cho bạn bè của mình để cùng nhau học thật giỏi. Đừng quên để lại 1 like, 1 cmt dể tạo động lực cho HocThatGioi và giúp HocThatGioi ngày càng phát triển hơn nhé! Chúc các bạn học thật tốt!