Toán 11
Phương pháp giải bài toán xác định ảnh trong hệ toạ độ Phép vị tự – bài tập Phép vị tự
Xin chào các bạn, sau khi đã nắm được toàn bộ lý thuyết của phép vị tự ở bài học Lý thuyết phép vị tự đầy đủ nhất. Vì vậy hôm nay HocThatGioi sẽ giới thiệu tới các bạn phương bài toán xác định ảnh trong hệ toạ độ của phép vị tự cũng như một số bài tập giúp các bạn luyện tập thêm. Hãy theo dõi hết bài viết để có thêm những kiến thức mới nhé.
1. Bài toán xác định trong hệ toạ độ Phép Vị Tự
Phương pháp giải: Sử dụng biểu thức toạ độ của phép vị tự.
Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm M(x;y) và điểm M' là ảnh của M qua phép quay vị tự tâm I. Khi đó:
Biểu thức toạ độ
V_{(I;k)}(M) = M’ \Leftrightarrow \overrightarrow{IM’} = k\overrightarrow{IM} \Leftrightarrow (x – a’;y’ – b) = k(x – a;y – b)
\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x’ – a = k(x – a)\\y’ – b = k(y – b)\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x’ = a + k(x – a)\\y’ = b + k(y – b)\end{matrix}\right.
\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x’ – a = k(x – a)\\y’ – b = k(y – b)\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x’ = a + k(x – a)\\y’ = b + k(y – b)\end{matrix}\right.
2. Bài tập Phép Vị Tự
Đầu tiên các bạn hãy làm thành thạo các bài tập tự luận rồi cùng HocThatGioi giải nhanh các bài tập trắc nghiệm nhé.
2.1 Tự luận
BÀI 01. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm M(4;6) và M'(-3;5). Phép vị tự tâm I, tỉ số k = \frac{1}{2} biến điểm M thành điểm M’. Tìm toạ độ vị tự I
Gọi I(x;y). Suy ra \overrightarrow{IM} = (4 – x;6 – y), \overrightarrow{IM’} = (-3 – x;5 – y).
Ta có V_{(I;\frac{1}{2})}M = M’ \Leftrightarrow \overrightarrow{IM’} = \frac{1}{2}\overrightarrow{IM} \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}-3 – x = \frac{1}{2}(4 – x)\\5 – y = \frac{1}{2}(6 – y)\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x = -10\\y – 4\end{matrix}\right. \Leftrightarrow I(-10;4)
Ta có V_{(I;\frac{1}{2})}M = M’ \Leftrightarrow \overrightarrow{IM’} = \frac{1}{2}\overrightarrow{IM} \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}-3 – x = \frac{1}{2}(4 – x)\\5 – y = \frac{1}{2}(6 – y)\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x = -10\\y – 4\end{matrix}\right. \Leftrightarrow I(-10;4)
BÀI 02. Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A(3;-5) và đường thẳng d: 2x + y – 4 = 0. Hãy tìm ảnh của điểm A và ảnh của d qua phép vị tự I(-1;2) và tỷ số k = -2
Gọi A'(x’;y’) là ảnh của A qua phép vị tự V_{(I;k)}
Theo biểu thức toạ độ, ta có \left\{\begin{matrix}x’ = -1 + (-2)(3 -(-1)) = -9\\y’ = 2 + (-2)(-5 – 2) = 16\end{matrix}\right.
Vậy ảnh của điểm A là A'(-9;16)
Gọi d’ là ảnh của d qua phép vị tự V_{(I;k)}
Vì d’//d nên phương trình đường thẳng d’ có dạng 2x + y + c = 0
Gọi M(2;0) \in d; V_{(I;k)}(M) = M'(x’;y’)
Theo biểu thức toạ độ ta có: \left\{\begin{matrix}x’ = -1 + (-2)(2 -(-1)) = -7\\y’ = 2 + (-2)(0 – 2) = 6\end{matrix}\right.
Khi đó M’ \in d’ nên 2.(-7) + 6 + c = 0 \Rightarrow c = 8
Vậy pt đường thẳng d’: 2x + y + 8 = 0
Theo biểu thức toạ độ, ta có \left\{\begin{matrix}x’ = -1 + (-2)(3 -(-1)) = -9\\y’ = 2 + (-2)(-5 – 2) = 16\end{matrix}\right.
Vậy ảnh của điểm A là A'(-9;16)
Gọi d’ là ảnh của d qua phép vị tự V_{(I;k)}
Vì d’//d nên phương trình đường thẳng d’ có dạng 2x + y + c = 0
Gọi M(2;0) \in d; V_{(I;k)}(M) = M'(x’;y’)
Theo biểu thức toạ độ ta có: \left\{\begin{matrix}x’ = -1 + (-2)(2 -(-1)) = -7\\y’ = 2 + (-2)(0 – 2) = 6\end{matrix}\right.
Khi đó M’ \in d’ nên 2.(-7) + 6 + c = 0 \Rightarrow c = 8
Vậy pt đường thẳng d’: 2x + y + 8 = 0
BÀI 03: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho đường thẳng d: x + y – 3 = 0. Phép vị tự tâm O, tỉ số k = 2 biến d thành đường thẳng nào ?
Cách 1: Ta có V_{(O;2)}: d -> d’ \Rightarrow d // d’: 2x + y + c = 0 (c \neq -3 do k \neq 1)
Chọn A(0;3) \in d. Ta có V_{(O;2)}A = A’ \Rightarrow \left\{\begin{matrix}\overrightarrow{OA’} = 2\overrightarrow{OA}\\A’ \in d’\end{matrix}\right.
Từ \overrightarrow{OA} = 2\overrightarrow{OA} \Rightarrow A'(0;6). Thay vào d’ ta được d’: 2x + y – 6 = 0
Cách 2: Gỉa sử phép vị tự V_{(O;2)} biến điểm M(x;y) thành điểm M'(x’;y’).
Ta có \overrightarrow{OM} = 2\overrightarrow{OM} \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x’ = 2x \\y’ = 2y\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x = \frac{x’}{2}\\y = \frac{y’}{2}\end{matrix}\right.
Thay vào ta được 2.\frac{x’}{2} + \frac{y’}{2} – 3 = 0 \Leftrightarrow 2x’ + y’ – 6 = 0
Chọn A(0;3) \in d. Ta có V_{(O;2)}A = A’ \Rightarrow \left\{\begin{matrix}\overrightarrow{OA’} = 2\overrightarrow{OA}\\A’ \in d’\end{matrix}\right.
Từ \overrightarrow{OA} = 2\overrightarrow{OA} \Rightarrow A'(0;6). Thay vào d’ ta được d’: 2x + y – 6 = 0
Cách 2: Gỉa sử phép vị tự V_{(O;2)} biến điểm M(x;y) thành điểm M'(x’;y’).
Ta có \overrightarrow{OM} = 2\overrightarrow{OM} \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x’ = 2x \\y’ = 2y\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x = \frac{x’}{2}\\y = \frac{y’}{2}\end{matrix}\right.
Thay vào ta được 2.\frac{x’}{2} + \frac{y’}{2} – 3 = 0 \Leftrightarrow 2x’ + y’ – 6 = 0
BÀI 04: Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C): (x – 1)^{2} + (y – 5)^{2} = 4 và điểm I(2;-3). Gọi (C’) là ảnh của (C) qua phép vị tự tâm I tỉ số k = -2. Khi đó (C’) có phương trình là
Đường tròn (C) có tâm K(1;5) và bán kính R = 2
Gọi V_{(I;-2)}K = K'(x;y) \Leftrightarrow \overrightarrow{IK} = -2\overrightarrow{IK} \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x – 2 = -2(1 – 2)\\y + 3 = -2(5 + 3)\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x = 4\\ y = -19\end{matrix}\right. \Rightarrow K'(4;19) là tâm của đường tròn (C’)
Bán kính R’ của (C’) là R’ = |k|R = 2.2 = 4
Vậy (C’): (x – 4)^{2} + (y + 19)^{2} = 16
Gọi V_{(I;-2)}K = K'(x;y) \Leftrightarrow \overrightarrow{IK} = -2\overrightarrow{IK} \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x – 2 = -2(1 – 2)\\y + 3 = -2(5 + 3)\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x = 4\\ y = -19\end{matrix}\right. \Rightarrow K'(4;19) là tâm của đường tròn (C’)
Bán kính R’ của (C’) là R’ = |k|R = 2.2 = 4
Vậy (C’): (x – 4)^{2} + (y + 19)^{2} = 16
2.2 Trắc nghiệm
1. Cho hai đường thẳng d và d’. Có bao nhiêu phép vị tự biến đường thẳng d thành đường thẳng d’
2. Cho hai đường thẳng song song d và d’. Có bao nhiêu phép vị tự tỉ số k = 20 biến đường thẳng d thành đường thẳng d’
3. Cho hai đường thẳng song song d và d’ và một điểm O không nằm trên chúng. Có bao nhiêu phép vị tự tâm O biến đường thẳng d thành đường thẳng d’
4. Cho hai đường thẳng cắt nhau d và d’. Co bao nhiêu phép vị tự biến mỗi đường thẳng thành chính nó.
5. Cho hai đường tròn bằng nhau (O;R) và (O’;R’) với tâm O và O’ phân biêt. Có bao nhiêu phép vị tự biến (O;R) thành (O’;R’) ?
6. Cho đường tròn (O;3) và điểm I nằm ngoài (O) sao cho OI = 9. Gọi (O’;R’) là ảnh của (O;3) qua phép vị tự V_{(1;5)}. Tính R’
7. Trong mặt phẳng toạ toạ độ Oxy cho phép vị tự tâm I(2;3) tỉ số k = -2 biến điểm M(-7;2) thành điểm M’ có toạ độ là:
8. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho phép vị tự V, tỉ số k = 2 biến điểm A(1;-2) thành điểm A'(-5;1). Hỏi phép vị tự V biến điểm B(0;1) thành điểm có toạ độ nào sau đây ?
9. Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d: x + 2y – 1 = 0. Lập phương trình đường thẳng d’ là ảnh của d qua phép vị tự V_{(O;-2)} là
10. Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C): x^{2} + (y – 3)^{2} = 4. Gọi (C’) là ảnh của (C) qua phép vị tự tâm (O) tỉ số k = -2. Khi đó (C’) có phương trình là
Như vậy, bài viết về Phương pháp giải bài toán xác định ảnh trong hệ toạ độ Phép vị tự – bài tập Phép vị tự của HocThatGioi đến đây đã hết. Qua bài viết, hi vọng giúp các bạn tổng ôn được các kiến thức trọng tâm. Đừng quên Like và Share để HocThatGioi ngày càng phát triển nhé! Cảm ơn các bạn đã theo dõi hết bài viết và chúc các bạn học tốt!
