Giải SGK bài tập cuối chương 4 trang 87 Toán 7 Kết nối tri thức tập 1

Lời giải chi tiết:
Áp dụng định lí tổng ba góc trong tam giác,
+) Ta có:
$ x+x+20^{\circ}+x+10^{\circ}=180^{\circ} $
$ \Rightarrow 3 x=150^{\circ} $
$ \Rightarrow x=50^{\circ} $
+) Ta có:
$ y+60^{\circ}+2 y=180^{\circ} $
$ \Rightarrow 3 y=120^{\circ} $
$ y=40^o$

Lời giải chi tiết:
Xét $\triangle M N A$ và $\triangle M N B$ có:
$\mathrm{AM}=\mathrm{BM}$ (gt)
$\mathrm{AN}=\mathrm{BN}$ (gt)
$MN$ chung
$ \Rightarrow \triangle M N A=\triangle M N B \text { (c.c.c) } $
$ =\widehat{M A N}=\widehat{M B N} $(2 góc tương ứng)

Lời giải chi tiết:
Xét 2 tam giác $O A M$ và $O B N$ có:
$ \widehat{O A M}=\widehat{O B N} \text { (gt) } $
$ \mathrm{AO}=\mathrm{BO}(\mathrm{gt}) $
$ \widehat{O} \text { chung } $
$ =>\triangle O A M=\triangle O B N(\mathrm{~g} . \mathrm{c} . \mathrm{g}) $
$ =>\mathrm{AM}=\mathrm{BN} \text { (2 cạnh tương ứng) }$

Lời giải chi tiết:
Xét $\triangle A N B$ và $\triangle B M A$ có:
$ \mathrm{AN}=\mathrm{BM} \text { (gt) } $
$ \widehat{B A N}=\widehat{A B M} \text { (gt) }$
$A B$ chung
$ =\triangle A N B=\triangle B M A(\mathrm{c} . \mathrm{g} .\mathrm{c}) $
$ =\widehat{A B N}=\widehat{B A M} \text { (2 góc tương ứng) }$

Cho $\mathrm{M}, \mathrm{N}$ là hai điểm phân biệt nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng $\mathrm{AB}$ sao cho $\mathrm{AM}=\mathrm{AN}$. Chứng minh rằng $\mathrm{MB}=\mathrm{NB}$ và góc $\mathrm{AMB}$ bằng góc $\mathrm{ANB}$.

Lời giải chi tiết:

Do $\mathrm{M}$ nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng $\mathrm{AB}$ nên $\mathrm{MA}=\mathrm{MB}$.
Do $\mathrm{N}$ nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng $\mathrm{AB}$ nên $\mathrm{NA}=\mathrm{NB}$.
Mà $M A=N A$ (theo giải thiết có $A M=A N$ ) nên $M A=M B=N A=N B$.
Suy ra $M B=N B$.
Xét tam giác AMB và tam giác ANB có:
$M A=N A$ (giả thiết)
$\mathrm{MB}=\mathrm{NB}$ (chứng minh trên)
$AB$: cạnh chung
Do đó, $\triangle \mathrm{AMB}=\triangle \mathrm{ANB}(\mathrm{c}-\mathrm{c}-\mathrm{c})$.
Suy ra $\widehat{A M B}=\widehat{A N B}$ (hai góc tương ứng).
Vậy $\mathrm{MB}=\mathrm{NB}$ và $\widehat{A M B}=\widehat{A N B}$.

Cho tam giác $A B C$ cân tại $A$ có $\widehat{A}=120^{\circ}$. Trên cạnh $B C$ lấy hai điểm $\mathrm{M}, \mathrm{N}$ sao cho $\mathrm{MA}$, NA lần lượt vuông góc với $A B, A C$. Chứng minh rằng:
a) $\triangle \mathrm{BAM}=\triangle \mathrm{CAN}$;
b) Các tam giác $ANB, AMC$ lần lượt cân tại $N, M$.

Lời giải chi tiết:

a) Do $M A \perp A B, N A \perp A C$ nên tam giác $BAM$ vuông tại $A$, tam giác $CAN$ vuông tại A.
Do tam giác $\mathrm{ABC}$ cân tại $\mathrm{A}$ nên $\mathrm{AB}=\mathrm{AC}, \widehat{A B C}=\widehat{A C B}$ hay $\widehat{A B M}=\widehat{A C N}$.
Xét hai tam giác $BAM$ vuông tại $\mathrm{A}$ và $\mathrm{CAN}$ vuông tại $\mathrm{A}$ có:
$\widehat{A B M}=\widehat{A C N}$ (chứng minh trên).
$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$ (chứng minh trên).
Vậy $\triangle B A M=\triangle C A N$ (góc nhọn – cạnh góc vuông).
b) Xét tam giác $A B C$ có: $\widehat{A B C}+\widehat{A C B}+\widehat{B A C}=180^{\circ}$.
Mà $\widehat{A B C}=\widehat{A C B}($ do tam giác $A B C$ cân tại $\mathrm{A})$.
Do đó $2 \widehat{A B C}=180^{\circ}-\widehat{B A C}=180^{\circ}-120^{\circ}=60^{\circ}$.
Do đó $\widehat{A B C}=\widehat{A C B}=30^{\circ}$.
Do $\Delta B A M=\triangle C A N$ (chứng minh ởý a) nên $\mathrm{AM}=\mathrm{AN}$ (2 cạnh tương ứng).
Do đó tam giác $AMN$ cân tại A (1).
Xét tam giác CAN vuông tại A có $\widehat{A N C}+\widehat{A C N}=90^{\circ}$ (trong tam giác vuông, hai góc nhọn phụ nhau).
Do đó $\widehat{A N C}=90^{\circ}-\widehat{A C N}=90^{\circ}-30^{\circ}=60^{\circ}$.
Từ (1) và (2) suy ra tam giác $AMN$ đều.
Do đó $\widehat{M A N}=60^{\circ}$.
Ta có: $\widehat{M A N}+\widehat{N A B}=\widehat{M A B}$
Suy ra $\widehat{N A B}=\widehat{M A B}-\widehat{M A N}=90^{\circ}-60^{\circ}=30^{\circ}$.
Do đó $\widehat{N A B}=\widehat{A B N}=30^{\circ}$.
Suy ra tam giác $ANB$ cân tại $N$.
Ta có: $\widehat{M A N}+\widehat{M A C}=\widehat{N A C}$
Suy ra $\widehat{M A C}=\widehat{N A C}-\widehat{M A N}=90^{\circ}-60^{\circ}=30^{\circ}$.
Do đó $\widehat{M A C}=\widehat{M C A}=30^{\circ}$.
Suy ra tam giác $AMC$ cân tại $M$.

Cho tam giác $A B C$ vuông tại $A$ có $B=60^{\circ}$. Trên cạnh $B C$ lấy điểm $\mathrm{M}$ sao cho $\widehat{C A M}=30^{\circ}$. Chứng minh rằng:
a) Tam giác $CAM$ cân tại $M$;
b) Tam giác $BAM$ là tam giác đều;
c) $\mathrm{M}$ là trung điểm của đoạn thẳng $\mathrm{BC}$.

Lời giải chi tiết:

a) Xét tam giác $A B C$ vuông tại $\mathrm{A}$ có $\widehat{A B C}+\widehat{A C B}=90^{\circ}$ (trong tam giác vuông, hai góc nhọn phụ nhau).
Do đó $\widehat{A C B}=90^{\circ}-\widehat{A B C}=90^{\circ}-60^{\circ}=30^{\circ}$.
$\widehat{A C M}=\widehat{A C B}$ nên $\widehat{A C M}=30^{\circ}$.
Tam giác CAM có $\widehat{A C M}=\widehat{C A M}=30^{\circ}$ nên tam giác CAM cân tại $\mathrm{M}$.
Vậy tam giác CAM cân tại $M$.
b) Có $\widehat{B A C}=\widehat{B A M}+\widehat{M A C}$.
Do đó $\widehat{B A M}=\widehat{B A C}-\widehat{M A C}=90^{\circ}-30^{\circ}=60^{\circ}$.
$\widehat{A B M}=\widehat{A B C}$ nên $\widehat{A B M}=60^{\circ}$.
Xét tam giác BAM có $\widehat{A B M}+\widehat{B A M}+\widehat{B M A}=180^{\circ}$.
Do đó
$ \widehat{B M A}=180^{\circ}-\widehat{A B M}-\widehat{B A M} $
$4 =180^{\circ}-60^{\circ}-60^{\circ}=60^{\circ}$
Tam giác $BAM$ có $\widehat{A B M}=\widehat{B A M}=\widehat{B M A}=60^{\circ}$ nên tam giác $BAM$ là tam giác đều.
Vậy tam giác $BAM$ là tam giác đều.
c) Do tam giác $CAM$ cân tại $M$ nên $MA = MC$ (1).
Do tam giác $BAM$ là tam giác đều nên $M A=M B$ (2).
Từ (1) và (2) ta có $M B = MC$.
Mà $\mathrm{M}$ nằm giữa $\mathrm{B}$ và $\mathrm{C}$ nên $\mathrm{M}$ là trung điểm của $\mathrm{BC}$.
Vậy $M$ là trung điểm của $BC$.