Giải SGK Bài tập cuối chương 7 trang 119, 120 Toán 7 Cánh diều tập 2

Cho tam giác $A B C$ có: $\widehat{A}=42^{\circ}, \widehat{B}=37^{\circ}$.
a) Tính $\widehat{C}$.
b) So sánh độ dài các cạnh $A B, B C, C A$.

Lời giải chi tiết:

a) Trong tam giác $A B C: \widehat{C}=180^{\circ}-\widehat{A}-\widehat{B}=180^{\circ}-42^{\circ}-37^{\circ}=101^{\circ}$.
b) Trong tam giác $A B C: \widehat{B}<\widehat{A}<\widehat{C}$ nên $A C \lt B C \lt A B$. (Vì $A C$ đối diện với góc $B ; B C$ đối diện với góc $A$; $A B$ đối diện với góc $C$ ).

Tìm các số đo x, y trong Hình 140.

Lời giải chi tiết:
Tam giác $A B O$ là tam giác đều nên $\widehat{A B O}=\widehat{A O B}=\widehat{B A O}=60^{\circ}$. Vậy $x=60^{\circ}$
Ba điểm $B, O, C$ thẳng hàng nên $\widehat{B O C}=180^{\circ}$. Mà $\widehat{A O B}=60^{\circ}$ nên $\widehat{A O C}=180^{\circ}-60^{\circ}=120^{\circ}$
Xét tam giác $A O C$ có $O A=O C$. Vậy tam giác $A O C$ cân tại $O$ nên $\widehat{O A C}=\widehat{O C A}=\frac{1}{2} .\left(180^{\circ}-\widehat{A O C}\right)=\frac{1}{2} .\left(180^{\circ}-120^{\circ}\right)=30^{\circ}$
Hay $y=30^{\circ}$
Vậy $x=60^{\circ} ; y=30^{\circ}$

Lời giải chi tiết:
Xét tam giác $A B C$ có: $A C+C B>A B$.
Vậy nên bạn Hoa đi đường thứ nhất đi từ $A$ đến $C$ và đi tiếp từ $C$ đến $B$ sẽ dài hơn đi đường thứ hai đi từ $B$ đến $A$.

Cho hai tam giác $A B C$ và $M N P$ có: $A B=M N$, $B C=N P, C A=P M$. Gọi $I$ và $K$ lần lượt là trung điểm của $B C$ và $N P$. Chứng minh $A I=M K$.

Lời giải chi tiết:

Hai tam giác $A B C$ và $M N P$ có: $A B=M N, B C=N P, C A=P M$ nên $\Delta A B C=\Delta M N P$ (c.c.c)
Suy ra: $\widehat{A B I}=\widehat{M N K}$ ( 2 góc tương ứng).
Ta có: $I, K$ lần lượt là trung điểm của $B C$ và $N P$ mà $B C=N P$, suy ra: $B I=N K$.
Xét tam giác $A B I$ và tam giác $M N K$ có:
$A B=M N ; \widehat{A B I}=\widehat{M N K} ; B I=N K$
Vậy $\Delta A B I=\Delta M N K$ (c.g.c). Suy ra: $A I=M K$ (2 cạnh tương ứng).
Vậy $A I=M K$.

Cho Hình 142 có $O$ là trung điểm của đoạn thẳng $A B$ và $O$ nằm giữa hai điểm $M, N$. Chứng minh:
a) Nếu $O M=O N$ thì $A M / / B N$;
b) Nếu $A M / / B N$ thì $O M=O N$.

Lời giải chi tiết:
a) Xét tam giác $A O M$ và tam giác $B O N$ có:
$O A=O B$
$\widehat{A O M}=\widehat{B O N}$ (đối đỉnh);
$O M=O N$
Vậy $\triangle A O M=\triangle B O N($ c.g.c).
Suy ra: $\widehat{A M O}=\widehat{B N O}$ (2 góc tương ứng).
Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên $A M / / B N$.
b) Ta có: $A M / / B N$ nên $\widehat{M A O}=\widehat{N B O}$ (hai góc so le trong).
Xét tam giác $A O M$ và tam giác $B O N$ có:
$\widehat{M A O}=\widehat{N B O}$
$O A=O B$
$\widehat{A O M}=\widehat{B O N}$ (đối đỉnh);
Vậy $\triangle A O M=\triangle B O N$ (g.c.g).
Suy ra: $O M=O N$ ( 2 cạnh tương ứng).

Cho tam giác $A B C$ cân tại $A$ có $\widehat{A B C}=70^{\circ}$. Hai đường cao $B D$ và $C E$ cắt nhau tại $H$
a) Tính số đo các góc còn lại của tam giác $A B C$.
b) Chứng minh $B D=C E$.
c) Chứng minh tia $A H$ là tia phân giác của góc $B A C$.

Lời giải chi tiết:

a) Tam giác $A B C$ cân tại $A$ nên: $\widehat{A B C}=\widehat{A C B}=70^{\circ}$.
Tổng ba góc trong một tam giác bằng $180^{\circ}$ nên: $\widehat{B A C}=180^{\circ}-70^{\circ}-70^{\circ}=40^{\circ}$.
b) Xét tam giác vuông $A D B$ và tam giác vuông $A E C$ có:
$A B=A C$ (tam giác $A B C$ cân);
$\widehat{A}$ chung.
Vậy $\triangle A D B=\triangle A E C$ (cạnh huyền – góc nhọn). Suy ra: $B D=C E$ ( 2 cạnh tương ứng).
c) Trong tam giác $A B C$ có $H$ là giao điểm của hai đường cao $B D$ và $C E$ nên $H$ là trực tâm trong tam giác $A B C$ hay $A F$ vuông góc với $B C$.
Xét hai tam giác vuông $A F B$ và $A F C$ có:
$A B=A C$ (tam giác $A B C$ cân);
$A F$ chung.
Vậy $\triangle A F B=\triangle A F C$ (cạnh huyền – cạnh góc vuông). Suy ra: $\widehat{F A B}=\widehat{F A C}$ ( 2 góc tương ứng) hay $\widehat{B A H}=\widehat{C A H}$.
Vậy tia $A H$ là tia phân giác của góc $B A C$.

Cho hai tam giác nhọn $A B C$ và $E C D$, trong đó ba điểm $B, C, D$ thẳng hàng. Hai đường cao $B M$ và $C N$ của tam giác $A B C$ cắt nhau tại $I$, hai đường cao $C P$ và $D Q$ của tam giác $E C D$ cắt nhau tại $K$ (Hình 143). Chứng minh $A I / / E K$.

Lời giải chi tiết:
Ta có:
$I$ là giao điểm của hai đường cao $B M, C N$ trong tam giác $A B C$. Suy ra $I$ là trực tâm của tam giác $A B C$. Vậy $A I \perp B C$. (1)
$K$ là giao điểm của hai đường cao $D Q, C P$ trong tam giác $C E D$. Suy ra $K$ là trực tâm của tam giác $C E D$.
Vậy $E K \perp C D$. (2)
Mà ba điểm $B, C, D$ thẳng hàng. (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra: $AI / / E K$.

Cho tam giác $A B C$ có $O$ là giao điểm của ba đường trung trực. Qua các điểm $A, B, C$ lần lượt kẻ các đường thẳng vuông góc với $O A, O B, O C$, hai trong ba đường đó lần lượt cắt nhau tại $M, N, P$ (Hình 144). Chứng minh:
a) $\triangle O M A=\triangle O M B$ và tia $M O$ là tia phân giác của góc $N M P$;
b) $O$ là giao điểm của ba đường phân giác của tam giác $M N P$.

Lời giải chi tiết:
a) $O$ là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác $A B C$ nên $O$ cách đều ba đỉnh của tam giác đó hay $O A=O B=O C$. Xét hai tam giác vuông $O A M$ và $O B M$ có:
$O A=O B$
$O M$ chung.
Vậy $\triangle O A M=\triangle O B M$ (cạnh huyền – cạnh góc vuông).
Suy ra: $\widehat{O M A}=\widehat{B M O}$ (2 góc tương ứng).
Vậy $M O$ là tia phân giác của góc $B M A$ hay $M O$ là tia phân giác của góc $N M P$ (ba điểm $M, A, P$ thẳng hàng và ba điểm $M, B, N$ thẳng hàng).
b) $M O$ là tia phân giác của góc $N M P$.
Tương tự ta có:
$N O$ là tia phân giác của góc $M N P$.
$P O$ là tia phân giác của góc $M P N$.
Vậy $O$ là giao điểm của ba đường phân giác $M O, N O, P O$ của tam giác $M N P$.

Cho tam giác $A B C$ có $G$ là trọng tâm, $H$ là trực tâm, $I$ là giao điểm của ba đường phân giác, $O$ là giao điểm của ba đường trung trực. Các điểm $A, G, H, I, O$ phân biệt. Chứng minh rằng:
a) Nếu tam giác $A B C$ cân tại $A$ thì các điểm $A, G, H, I, O$ cùng nằm trên một đường thẳng;
b) Nếu các điểm $A, H, I$ cùng nằm trên một đường thẳng thì tam giác $A B C$ cân tại $A$.

Lời giải chi tiết:
a)
Trong tam giác $A B C$ cân tại $A$ có $A D$ là đường trung tuyến.
Xét tam giác $A B D$ và tam giác $A C D$ có:
$A B=A C$ (tam giác $A B C$ cân);
$A D$ chung;
$B D=D C(D$ là trung điểm của $B C)$.
Vậy $\triangle A B D=\triangle A C D$ (c.c.c.).
Suy ra: $\widehat{A D B}=\widehat{A D C}=90^{\circ}$ (vì ba điểm $B, D, C$ thẳng hàng);
$\widehat{B A D}=\widehat{C A D}$.
Vậy $A D$ là đường cao của tam giác và đường phân giác của góc $A$.
Suy ra: $A D$ là đường trung trực của tam giác $A B C$.
Vậy $A D$ là đường trung tuyến, đường cao, đường phân giác, đường trung trực của tam giác $A B C$.
Mà $G$ là trọng tâm, $H$ là trực tâm, $I$ là giao điểm của ba đường phân giác, $O$ là giao điểm của ba đường trung trực nên $A, G, H, I, O$ cùng nằm trên một đường thẳng.
Vậy nếu tam giác $A B C$ cân tại $A$ thì các điểm $A, G, H, I, O$ cùng nằm trên một đường thẳng.
b)
Ta có: $A D \perp B C$.
$H$ là trực tâm của tam giác $A B C$ nên $A, H, D$ thẳng hàng.
Mà $A, H, I$ thẳng hàng nên $A, H, I, K$ thẳng hàng.
Suy ra: $A D$ là tia phân giác của góc $B A C$ (Vì $AI$ là tia phân giác của góc $B A C$)
Nên $\widehat{B A D}=\widehat{C A D}$.
Xét tam giác $B A D$ và tam giác $C A D$ có:
$$\widehat{B A D}=\widehat{C A D}$$
$A D$ chung;
$\widehat{A D B}=\widehat{A D C}(A D \perp B C)$
$\triangle A B D=\triangle A C D$ (g.c.g)
Suy ra: $A B=A C$ (2 cạnh tương ứng)
Do đó, tam giác $A B C$ cân tại $A$
Vậy nếu các điểm $A, H, I$ cùng nằm trên một đường thẳng thì tam giác $A B C$ cân tại $A$.

Bạn Hoa vẽ tam giác $A B C$ lên tờ giấy sau đó cắt một phần tam giác ở phía góc $A$ (Hình 145). Bạn Hoa đố bạn Hùng: Không vẽ điểm $A$, làm thế nào tìm được điểm $D$ trên đường thẳng $B C$ sao cho khoảng cách từ $D$ đến điểm $A$ là nhỏ nhất? Em hãy giúp bạn Hùng tìm cách vẽ điểm $D$ và giải thích cách làm của mình.

Lời giải chi tiết:
Trong tam giác, đường có độ dài ngắn nhất luôn là đường cao (đường vuông góc).
Vậy: khoảng cách từ $D$ đến điểm $A$ là nhỏ nhất khi $A D \perp B C$.
Bước 1: Vẽ hai đường cao hạ từ đỉnh $B$ và $C$.
Bước 2: Gọi $H$ là giao điểm của hai đường cao.
Bước 3: Vẽ đường cao hạ từ $H$ xuống $B C$. Và giao điểm của đường cao hạ từ $H$ với đoạn thẳng $B C$ là điểm $D$ ta cần tìm.

Cho tam giác $A B C$ có hai đường trung tuyến $A M$ và $B N$ cắt nhau tại $G$. Khi đó
A. $A M=2 G M$.
B. $A M=2 A G$.
C. $G A=3 G M$.
D. $G A=2 G M$.

Lời giải chi tiết:
Đáp án D: $G A=2 G M$

Cho tam giác $A B C$ cân tại $A$ có $\widehat{B A C}=40^{\circ}$. Hai đường trung trực của hai cạnh $A B$, $A C$ cắt nhau tại $O$. Khi đó
A. $O A=O B=A B$.
B. $O A=O B=O C$.
C. $O B=O C=B C$.
D. $O C=O A=A C$.

Lời giải chi tiết:
Đáp án: B. $O A=O B=O C$.

Cho tam giác $A B C$ có $B C \gt A C, I$ là giao điểm của hai đường phân giác góc $A$ và góc $B$. Khi đó
A. $\widehat{I C A}=\widehat{I C B}$
B. $\widehat{I A C}=\widehat{I B C}$.
C. $\widehat{I C A}>\widehat{I C B}$.
D. $\widehat{I A C}<\widehat{I B C}$.

Lời giải chi tiết:
Ta có: $I$ là giao điểm của hai đường phân giác góc $A$ và góc $B$ nên suy ra: $C$ là đường phân giác của góc $C$.

Cho tam giác nhọn $A B C$ có $A B \lt A C$. Hai đường cao $A D$ và $C E$ cắt nhau tại $H$. Khi đó
A. $\widehat{H A B}=\widehat{H A C}$.
B. $\widehat{H A B}>\widehat{H A C}$.
C. $\widehat{H A B}=\widehat{H C B}$.
D. $\widehat{H A C}=\widehat{B A C}$.

Lời giải chi tiết:
Ta có: $A B \lt A C$ nên $\widehat{A C B} \lt \widehat{A B C}$ (góc $A C B$ đối diện với cạnh $A B$; góc $A B C$ đối diện với cạnh $A C$ )
Mà tam giác $A D B$ và tam giác $A D C$ đều vuông tại $D$.
Vì tổng hai góc nhọn trong một tam giác vuông bằng $90^{\circ}$.
Mà $\widehat{A C B} \lt \widehat{A B C}$.
Suy ra: $90^{\circ}-\widehat{A C B} \gt 90-\widehat{A B C}$ hay $\widehat{D A C} \gt \widehat{D A B}$.
Vậy $\widehat{H A C} \gt \widehat{H A B}$ hay $\widehat{H A B} \lt \widehat{H A C}$.
Suy ra: loại đáp án A, B, D.
Đáp án: C: $\widehat{H A B}=\widehat{H C B}$.