SGK Toán 7 - Cánh Diều
Giải SGK Bài 12 Chương 7 trang 112, 113, 114, 115 Toán 7 Cánh diều tập 2
Trong bài này, HocThatGioi sẽ giúp các bạn giải đáp những câu hỏi cũng như bài tập trong bài Tính chất ba đường trung trực của tam giác. Đây là bài học thuộc bài 12 chương VII SGK Toán 7 Cánh Diều trang 112, 113, 114, 115. Hi vọng các bạn có thể hiểu được trọn vẹn bài học sau khi xem hết các phương pháp giải và lời giải cực chi tiết mà HocThatGioi trình bày bên dưới.
Trả lời câu hỏi SGK bài 12 chương 7 Toán 7 Cánh diều tập 2
Các hoạt động khám phá và luyện tập vận dụng ở các trang 112, 113 này sẽ giúp các bạn đi vào bài học tìm hiểu các kiến thức về Tính chất ba đường trung trực của tam giác một cách trơn tru và dễ hiểu hơn rất nhiều đấy! Cùng xem lời giải của HocThatGioi nhé!
Câu hỏi khởi động trang 112
Hình 121 minh hoạ biển giới thiệu quần thể di tích, danh thắng cấp Quốc gia núi Dũng Quyết và khu vực Phượng Hoàng Trung Đô ở tỉnh Nghệ An (Hình 120).
Làm thế nào để xác định được vị trí cách đều ba địa điểm được minh họa trong Hình 121?
Làm thế nào để xác định được vị trí cách đều ba địa điểm được minh họa trong Hình 121?
Phương pháp giải:
Dựa vào : Tính chất của ba đường trung trực trong tam giác
Dựa vào : Tính chất của ba đường trung trực trong tam giác
Lời giải chi tiết:
Để xác định được vị trí cách đều ba địa điểm được minh họa trong Hình 121, ta xác định ba đường trung trực của tam giác được tạo thành từ ba đỉnh đó rồi xác định giao điểm của đường trung trực đó.
Để xác định được vị trí cách đều ba địa điểm được minh họa trong Hình 121, ta xác định ba đường trung trực của tam giác được tạo thành từ ba đỉnh đó rồi xác định giao điểm của đường trung trực đó.
Hoạt động 1 trang 112
Cho tam giác $A B C$ như Hình 122. Vẽ đường trung trực $d$ của đoạn thẳng $B C$.
Phương pháp giải:
Đường trung trực là đường thẳng đi qua trung điểm của cạnh và vuông góc cạnh tại trung điểm đó.
Đường trung trực là đường thẳng đi qua trung điểm của cạnh và vuông góc cạnh tại trung điểm đó.
Lời giải chi tiết:
Lấy M là trung điểm của đoạn thẳng BC. Đường thẳng d là đường thẳng đi qua M và vuông góc với BC.
Lấy M là trung điểm của đoạn thẳng BC. Đường thẳng d là đường thẳng đi qua M và vuông góc với BC.
Hoạt động 2 trang 113
Quan sát các đường trung trực của tam giác ABC (Hình 126), cho biết ba đường trung trực đó có cùng đi qua một điểm hay không?
Phương pháp giải:
Quan sát Hình 126 để xem ba đường trung trực có cùng đi qua một điểm hay không.
Quan sát Hình 126 để xem ba đường trung trực có cùng đi qua một điểm hay không.
Lời giải chi tiết:
Ba đường trung trực của tam giác ABC có cùng đi qua một điểm là điểm O.
Ba đường trung trực của tam giác ABC có cùng đi qua một điểm là điểm O.
Luyện tập vận dụng 1 trang 112
Cho tam giác ABC cân tại A. Vẽ đường phân giác AD. Chứng minh AD cũng là đường trung trực của tam giác ABC.
Phương pháp giải:
Chứng minh AD là đường trung trực của tam giác ABC ta chứng minh D là trung điểm của BC và $AD \perp BC$
Chứng minh AD là đường trung trực của tam giác ABC ta chứng minh D là trung điểm của BC và $AD \perp BC$
Lời giải chi tiết:
$A D$ là phân giác của góc $A$ nên $\widehat{B A D}=\widehat{C A D}$.
Xét tam giác $A B D$ và tam giác $A C D$ có:
$A B=A C($ tam giác $A B C$ cân tại $A$ );
$\widehat{B A D}=\widehat{C A D}$
$A D$ chung
Vậy $\triangle A B D=\triangle A C D$ (c.g.c) nên $B D=C D$ (2 cạnh tương ứng)
$\Rightarrow D$ là trung điểm của cạnh $B C$.
Vì $\triangle A B D=\triangle A C D$ nên $\widehat{A D B}=\widehat{A D C}$ ( 2 góc tương ứng).
Mà $\widehat{A D B}+\widehat{A D C}=180^{\circ}$ (2 góc kề bù) nên $\widehat{A D B}=\widehat{A D C}=90^{\circ} \Rightarrow A D \perp B C$.
Vậy $A D$ là đường trung trực của tam giác $A B C$.
$A D$ là phân giác của góc $A$ nên $\widehat{B A D}=\widehat{C A D}$.
Xét tam giác $A B D$ và tam giác $A C D$ có:
$A B=A C($ tam giác $A B C$ cân tại $A$ );
$\widehat{B A D}=\widehat{C A D}$
$A D$ chung
Vậy $\triangle A B D=\triangle A C D$ (c.g.c) nên $B D=C D$ (2 cạnh tương ứng)
$\Rightarrow D$ là trung điểm của cạnh $B C$.
Vì $\triangle A B D=\triangle A C D$ nên $\widehat{A D B}=\widehat{A D C}$ ( 2 góc tương ứng).
Mà $\widehat{A D B}+\widehat{A D C}=180^{\circ}$ (2 góc kề bù) nên $\widehat{A D B}=\widehat{A D C}=90^{\circ} \Rightarrow A D \perp B C$.
Vậy $A D$ là đường trung trực của tam giác $A B C$.
Luyện tập vận dụng 2 trang 113
Trong Hình 127, điểm O có phải là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác ABC không?
Phương pháp giải:
Quan sát Hình 127 để xem O có là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác ABC không.
Quan sát Hình 127 để xem O có là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác ABC không.
Lời giải chi tiết:
Điểm O có là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác ABC.
Điểm O có là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác ABC.
Giải bài tập SGK bài 12 chương 7 Toán 7 Cánh diều tập 2
Những bài tập SGK ở cuối bài Tính chất ba đường trung trực của tam giác trang 115 sách Toán 7 Cánh Diều sẽ giúp các bạn vận dụng những kiến thức vừa học để giải các bài tập từ cơ bản đến nâng cao. Cùng HocThatGioi giải quyết những bài toán này nhé!
Bài tập 1 trang 115
Cho tam giác ABC và điểm O thỏa mãn OA = OB = OC. Chứng minh rằng O là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác ABC.
Phương pháp giải:
Tính chất đường trung trực của đoạn thẳng
Tính chất đường trung trực của đoạn thẳng
Lời giải chi tiết:
Ta có:
OA = OB nên O nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB (tính chất đường trung trực của đoạn thẳng) (1)
OB = OC nên O nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng BC (tính chất đường trung trực của đoạn thẳng) (2)
OC = OA nên O nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AC (tính chất đường trung trực của đoạn thẳng) (3)
Từ (1), (2), và (3) suy ra O là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác ABC.
Ta có:
OA = OB nên O nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB (tính chất đường trung trực của đoạn thẳng) (1)
OB = OC nên O nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng BC (tính chất đường trung trực của đoạn thẳng) (2)
OC = OA nên O nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AC (tính chất đường trung trực của đoạn thẳng) (3)
Từ (1), (2), và (3) suy ra O là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác ABC.
Bài tập 2 trang 115
Cho tam giác ABC. Vẽ điểm O cách đều ba đỉnh A, B, C trong mỗi trường hợp sau:
a) Tam giác ABC nhọn;
b) Tam giác ABC vuông tại A;
c) Tam giác ABC có góc A tù.
a) Tam giác ABC nhọn;
b) Tam giác ABC vuông tại A;
c) Tam giác ABC có góc A tù.
Phương pháp giải:
Điểm O cách đều ba đỉnh A, B, C hay điểm O chính là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác ABC.
Điểm O cách đều ba đỉnh A, B, C hay điểm O chính là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác ABC.
Lời giải chi tiết:
a) Tam giác ABC nhọn
b) Tam giác ABC vuông tại A
c) Tam giác ABC có góc A tù
a) Tam giác ABC nhọn
b) Tam giác ABC vuông tại A
c) Tam giác ABC có góc A tù
Bài tập 3 trang 115
Tam giác ABC có ba đường trung tuyến cắt nhau tại G. Biết rằng điểm G cũng là giao điểm của ba đường trung trực trong tam giác ABC. Chứng minh tam giác ABC đều.
Phương pháp giải:
Chứng minh tam giác ABC đều bằng cách chứng minh AB = BC = CA.
Chứng minh tam giác ABC đều bằng cách chứng minh AB = BC = CA.
Lời giải chi tiết:
Gọi $M, N, P$ lần lượt là các trung điểm của các đoạn thẳng $BC, AC, AB$.
Ta có: $G$ là giao điểm của ba đường trung tuyến trong tam giác $A B C$.
Mà $G$ cũng là giao điểm của ba đường trung trực trong tam giác $A B C$ nên $A M, B N, C P$ là các đường trung trực của tam giác $A B C$ hay $A M \perp B C ; B N \perp A C ; C P \perp A B$
Xét tam giác $A B M$ và tam giác $A C M$ có:
$A M$ chung;
$B M=M C(M$ là trung điểm của $B C)$.
Vậy $\triangle A B M=\triangle A C M$ (c.g.c). Suy ra: $A B=A C$ ( 2 cạnh tương ứng). (1)
Tương tự ta có:
$\Delta B N A=\triangle B N C$ (c.g.c). Suy ra: $A B=B C(2$ cạnh tương ứng). (2)
Từ (1) và (2) suy ra: $A B=B C=A C$.
Vậy tam giác $A B C$ đều.
Gọi $M, N, P$ lần lượt là các trung điểm của các đoạn thẳng $BC, AC, AB$.
Ta có: $G$ là giao điểm của ba đường trung tuyến trong tam giác $A B C$.
Mà $G$ cũng là giao điểm của ba đường trung trực trong tam giác $A B C$ nên $A M, B N, C P$ là các đường trung trực của tam giác $A B C$ hay $A M \perp B C ; B N \perp A C ; C P \perp A B$
Xét tam giác $A B M$ và tam giác $A C M$ có:
$A M$ chung;
$B M=M C(M$ là trung điểm của $B C)$.
Vậy $\triangle A B M=\triangle A C M$ (c.g.c). Suy ra: $A B=A C$ ( 2 cạnh tương ứng). (1)
Tương tự ta có:
$\Delta B N A=\triangle B N C$ (c.g.c). Suy ra: $A B=B C(2$ cạnh tương ứng). (2)
Từ (1) và (2) suy ra: $A B=B C=A C$.
Vậy tam giác $A B C$ đều.
Bài tập 4 trang 115
Tam giác ABC có ba đường phân giác cắt nhau tại I. Biết rằng I cũng là giao điểm ba đường trung trực của tam giác ABC. Chứng minh tam giác ABC đều.
Phương pháp giải:
Chứng minh tam giác ABC đều bằng cách chứng minh AB = BC = CA.
Chứng minh tam giác ABC đều bằng cách chứng minh AB = BC = CA.
Lời giải chi tiết:
Ta có: $I$ là giao điểm của ba đường phân giác của tam giác $ABC$. Đồng thời là giao điểm của ba đường trung trực tam giác $ABC$ nên:
$ID \perp BC; IE \perp AC; IF \perp AB$
Xét tam giác $A D B$ và tam giác $A D C$ có:
$\widehat{B A D}=\widehat{C A D}(A D$ là phân giác của góc $A)$;
$AD$ chung;
$$\widehat{A D B}=\widehat{A D C}\left(=90^0\right)(\text { vì } I D \perp B C) \text {. }$$
Vậy $\Delta A D B=\Delta A D C$ (g.c.g). Suy ra: $A B=A C$ ( 2 cạnh tương ứng). (1)
Tương tự ta có: $\triangle B E A=\Delta B E C$ (g.c.g). Suy ra: $B A=B C$ ( 2 cạnh tương ứng). (2)
Từ (1) và (2) suy ra: $A B=B C=A C$.
Vậy tam giác $A B C$ đều.
Ta có: $I$ là giao điểm của ba đường phân giác của tam giác $ABC$. Đồng thời là giao điểm của ba đường trung trực tam giác $ABC$ nên:
$ID \perp BC; IE \perp AC; IF \perp AB$
Xét tam giác $A D B$ và tam giác $A D C$ có:
$\widehat{B A D}=\widehat{C A D}(A D$ là phân giác của góc $A)$;
$AD$ chung;
$$\widehat{A D B}=\widehat{A D C}\left(=90^0\right)(\text { vì } I D \perp B C) \text {. }$$
Vậy $\Delta A D B=\Delta A D C$ (g.c.g). Suy ra: $A B=A C$ ( 2 cạnh tương ứng). (1)
Tương tự ta có: $\triangle B E A=\Delta B E C$ (g.c.g). Suy ra: $B A=B C$ ( 2 cạnh tương ứng). (2)
Từ (1) và (2) suy ra: $A B=B C=A C$.
Vậy tam giác $A B C$ đều.
Bài tập 5 trang 115
Cho tam giác $A B C$. Đường trung trực của hai cạnh $A B$ và $A C$ cắt nhau tại điểm $O$ nằm trong tam giác. $M$ là trung điểm của $B C$. Chứng minh:
a) $O M \perp B C$
b) $\widehat{M O B}=\widehat{M O C}$.
a) $O M \perp B C$
b) $\widehat{M O B}=\widehat{M O C}$.
Phương pháp giải:
a) Dựa vào tính chất của đường trung trực: đi qua trung điểm của cạnh và vuông góc với cạnh tại trung điểm đó.
b) Dựa vào tính chất ba đường trung trực trong tam giác: Giao của ba đường trung trực trong tam giác thì cách đều ba đỉnh của tam giác đó.
Chứng minh $\widehat{M O B}=\widehat{M O C}$ bằng cách chứng minh tam giác $OMB$ bằng tam giác $OMC$
a) Dựa vào tính chất của đường trung trực: đi qua trung điểm của cạnh và vuông góc với cạnh tại trung điểm đó.
b) Dựa vào tính chất ba đường trung trực trong tam giác: Giao của ba đường trung trực trong tam giác thì cách đều ba đỉnh của tam giác đó.
Chứng minh $\widehat{M O B}=\widehat{M O C}$ bằng cách chứng minh tam giác $OMB$ bằng tam giác $OMC$
Lời giải chi tiết:
a) Ta có: đường trung trực của hai cạnh $A B$ và $A C$ cắt nhau tại $O$ và $O$ nằm trong tam giác. Nên $O$ là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác $A B C$.
Mà $M$ là trung điểm của cạnh $B C$ nên $O M$ là đường trung trực của đoạn thẳng $B C$ hay $O M \perp B C$.
b) Ta có: Giao của ba đường trung trực trong tam giác thì cách đều ba đỉnh của tam giác đó.
Hay $O B=O C$ nên tam giác $O B C$ cân tại $\mathrm{O}$.
Suy ra: $\widehat{O B C}=\widehat{O C B}$ hay $\widehat{O B M}=\widehat{O C M}$. ( tính chất tam giác cân)
Xét tam giác $O M B$ và tam giác $O M C$ có:
$O B=O C$
$\widehat{O B M}=\widehat{O C M} ;$
$M B=M C(M$ là trung điểm của đoạn thẳng $B C$ ).
Vậy $\triangle O M B=\triangle O M C$ (c.g.c)
Do đó, $\widehat{M O B}=\widehat{M O C}$ ( 2 góc tương ứng).
a) Ta có: đường trung trực của hai cạnh $A B$ và $A C$ cắt nhau tại $O$ và $O$ nằm trong tam giác. Nên $O$ là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác $A B C$.
Mà $M$ là trung điểm của cạnh $B C$ nên $O M$ là đường trung trực của đoạn thẳng $B C$ hay $O M \perp B C$.
b) Ta có: Giao của ba đường trung trực trong tam giác thì cách đều ba đỉnh của tam giác đó.
Hay $O B=O C$ nên tam giác $O B C$ cân tại $\mathrm{O}$.
Suy ra: $\widehat{O B C}=\widehat{O C B}$ hay $\widehat{O B M}=\widehat{O C M}$. ( tính chất tam giác cân)
Xét tam giác $O M B$ và tam giác $O M C$ có:
$O B=O C$
$\widehat{O B M}=\widehat{O C M} ;$
$M B=M C(M$ là trung điểm của đoạn thẳng $B C$ ).
Vậy $\triangle O M B=\triangle O M C$ (c.g.c)
Do đó, $\widehat{M O B}=\widehat{M O C}$ ( 2 góc tương ứng).
Cảm ơn các bạn đã theo dõi bài viết của HocThatGioi về Giải SGK bài 12 chương VII Tam giác trang 112, 113, 114, 115 Toán 7 Cánh Diều tập 2. Hi vọng các bạn có một buổi học thật thú vị và tiếp thu được nhiều kiến thức bổ ích. Chúc các bạn học tốt!
