SGK Toán 7 - Cánh Diều
Giải SGK Bài 10 Chương 7 trang 104, 105, 106, 107 Toán 7 Cánh diều tập 2
Trong bài này, HocThatGioi sẽ giúp các bạn giải đáp những câu hỏi cũng như bài tập trong bài Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác. Đây là bài học thuộc bài 10 chương VII SGK Toán 7 Cánh Diều tập 2 trang 104, 105, 106, 107. Hi vọng các bạn có thể hiểu được trọn vẹn bài học sau khi xem hết các phương pháp giải và lời giải cực chi tiết mà HocThatGioi trình bày bên dưới.
Trả lời câu hỏi SGK bài 10 chương 7 Toán 7 Cánh diều tập 2
Các hoạt động khám phá và luyện tập vận dụng ở các trang 104, 105, 106 này sẽ giúp các bạn đi vào bài học tìm hiểu các kiến thức về Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác một cách trơn tru và dễ hiểu hơn rất nhiều đấy! Cùng xem lời giải của HocThatGioi nhé!
Câu hỏi khởi động trang 104
Hình 96 minh họa một miếng bìa phẳng có dạng hình tam giác đặt thăng bằng trên đầu ngón tay tại điểm $G$.
Điểm $G$ được xác định như thế nào?
Điểm $G$ được xác định như thế nào?
Phương pháp giải:
Dựa vào Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác để đưa ra cách xác định điểm $G$.
Dựa vào Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác để đưa ra cách xác định điểm $G$.
Lời giải chi tiết:
Điểm $G$ được xác định bằng cách: lấy giao điểm của ba đường trung tuyến của tam giác.
Điểm $G$ được xác định bằng cách: lấy giao điểm của ba đường trung tuyến của tam giác.
Hoạt động 1 trang 104
Quan sát Hình 97 và cho biết các đầu mút của đoạn thẳng $AM$ có đặc điểm gì.
Phương pháp giải:
Quan sát Hình 97 và đưa ra đặc điểm của các đầu mút của đoạn thẳng $AM$.
Quan sát Hình 97 và đưa ra đặc điểm của các đầu mút của đoạn thẳng $AM$.
Lời giải chi tiết:
Các đầu mút của đoạn thẳng $AM$: đầu mút $A$ là một đỉnh của tam giác, đầu mút $M$ là trung điểm của cạnh $BC$ trong tam giác $ABC$.
Các đầu mút của đoạn thẳng $AM$: đầu mút $A$ là một đỉnh của tam giác, đầu mút $M$ là trung điểm của cạnh $BC$ trong tam giác $ABC$.
Hoạt động 2 trang 105
Quan sát các đường trung tuyến $AM, BN, CP$ của tam giác $ABC$ trong Hình 102, cho biết ba đường trung tuyến đó có cùng đi qua một điểm hay không.
Phương pháp giải:
Quan sát Hình 102 để xem ba đường trung tuyến có cùng đi qua một điểm hay không.
Quan sát Hình 102 để xem ba đường trung tuyến có cùng đi qua một điểm hay không.
Lời giải chi tiết:
Ba đường trung tuyến $AM, BN, CP$ của tam giác $ABC$ có cùng đi qua một điểm là điểm $G$.
Ba đường trung tuyến $AM, BN, CP$ của tam giác $ABC$ có cùng đi qua một điểm là điểm $G$.
Hoạt động 3 trang 106
Quan sát các đường trung tuyến $A M, B N, C P$ của tam giác $A B C$ trong Hình 104. Bằng cách đếm số ô vuông, tìm các tỉ số $$\frac{A G}{A M}, \frac{B G}{B N}, \frac{C G}{C P}$$
Phương pháp giải:
Quan sát Hình 104 rồi đếm số ô vuông của mỗi cạnh tương ứng để đưa ra các tỉ số.
Quan sát Hình 104 rồi đếm số ô vuông của mỗi cạnh tương ứng để đưa ra các tỉ số.
Lời giải chi tiết:
Ta có:
$\frac{A G}{A M}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$
$\frac{B G}{B N}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$
$\frac{C G}{C P}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$
Ta có:
$\frac{A G}{A M}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$
$\frac{B G}{B N}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$
$\frac{C G}{C P}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$
Luyện tập vận dụng 1 trang 105
Trong Hình 101, đoạn thẳng $HK$ là đường trung tuyến của những tam giác nào?
Phương pháp giải:
Đường trung tuyến là đường nối một đỉnh của tam giác với trung điểm của cạnh đối diện đỉnh đó.
Đường trung tuyến là đường nối một đỉnh của tam giác với trung điểm của cạnh đối diện đỉnh đó.
Lời giải chi tiết:
Đoạn thẳng $HK$ là đường trung tuyến của tam giác: $KAC$ (đỉnh $K$ và trung điểm $H$ của cạnh $AC$) và $HBC$ (đỉnh $H$ và trung điểm $K$ của cạnh $BC$).
Đoạn thẳng $HK$ là đường trung tuyến của tam giác: $KAC$ (đỉnh $K$ và trung điểm $H$ của cạnh $AC$) và $HBC$ (đỉnh $H$ và trung điểm $K$ của cạnh $BC$).
Luyện tập vận dụng 2 trang 105
Cho tam giác $P Q R$ có hai đường trung tuyến $Q M$ và $R K$ cắt nhau tại $G$. Gọi $I$ là trung điểm của cạnh $Q R$. Chứng minh rằng ba điểm $P, G, I$ thẳng hàng.
Lời giải chi tiết:
Ta có $G$ là giao điểm của hai đường trung tuyến $QM$ và $RK$.
Mà $I$ là trung điểm của $QR$ nên $PI$ cũng là đường trung tuyến trong tam giác $PQR$.
Vậy $PI$ giao với $QM$ và $RK$ tại $G$
Do đó, $G$ thuộc $PI$ hay ba điểm $P, G, I$ thẳng hàng.
Ta có $G$ là giao điểm của hai đường trung tuyến $QM$ và $RK$.
Mà $I$ là trung điểm của $QR$ nên $PI$ cũng là đường trung tuyến trong tam giác $PQR$.
Vậy $PI$ giao với $QM$ và $RK$ tại $G$
Do đó, $G$ thuộc $PI$ hay ba điểm $P, G, I$ thẳng hàng.
Giải bài tập SGK bài 10 chương 7 Toán 7 Cánh diều tập 2
Những bài tập SGK ở cuối bài Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác trang 107 sách Toán 7 Cánh Diều sẽ giúp các bạn vận dụng những kiến thức vừa học để giải các bài tập từ cơ bản đến nâng cao. Cùng HocThatGioi giải quyết những bài toán này nhé!
Bài tập 1 trang 107
Cho tam giác $A B C$. Ba đường trung tuyến $A M, B N, C P$ đồng quy tại $G$. Chứng minh:
$$G A+G B+G C=\frac{2}{3}(A M+B N+C P)$$
$$G A+G B+G C=\frac{2}{3}(A M+B N+C P)$$
Phương pháp giải:
Trọng tâm của một tam giác cách mỗi đỉnh một khoảng bằng $\frac{2}{3}$ độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy.
Trọng tâm của một tam giác cách mỗi đỉnh một khoảng bằng $\frac{2}{3}$ độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy.
Lời giải chi tiết:
Trọng tâm của một tam giác cách mỗi đỉnh một khoảng bằng $\frac{2}{3}$ độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy nên:
$\frac{G A}{A M}=\frac{G B}{B N}=\frac{G C}{C P}=\frac{2}{3}$
$\rightarrow G A=\frac{2}{3} A M; G B=\frac{2}{3} B N ; G C=\frac{2}{3} C P$
Vậy:
$$G A+G B+G C=\frac{2}{3} A M+\frac{2}{3} B N+\frac{2}{3} C P=\frac{2}{3}(A M+B N+C P)$$
Trọng tâm của một tam giác cách mỗi đỉnh một khoảng bằng $\frac{2}{3}$ độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy nên:
$\frac{G A}{A M}=\frac{G B}{B N}=\frac{G C}{C P}=\frac{2}{3}$
$\rightarrow G A=\frac{2}{3} A M; G B=\frac{2}{3} B N ; G C=\frac{2}{3} C P$
Vậy:
$$G A+G B+G C=\frac{2}{3} A M+\frac{2}{3} B N+\frac{2}{3} C P=\frac{2}{3}(A M+B N+C P)$$
Bài tập 2 trang 107
Cho tam giác $A B C$ cân tại $A$, hai đường trung tuyến $B M$ và $C N$ cắt nhau tại $G$. Chứng minh:
a) $B M=C N$;
b) $\triangle G B C$ cân tại $G$.
a) $B M=C N$;
b) $\triangle G B C$ cân tại $G$.
Phương pháp giải:
a) Chứng minh $BM = CN$ bằng cách chứng minh tam giác $ABM$ bằng tam giác $ACN$.
b) Chứng minh $\triangle G B C$ cân tại $G$ bằng cách chứng minh $GB = GC$.
a) Chứng minh $BM = CN$ bằng cách chứng minh tam giác $ABM$ bằng tam giác $ACN$.
b) Chứng minh $\triangle G B C$ cân tại $G$ bằng cách chứng minh $GB = GC$.
Lời giải chi tiết:
a) Tam giác $A B C$ cân tại $A$ nên $A B=A C$
$M, N$ lần lượt là trung điểm của cạnh $A C, A B$ nên $A M=A N$.
Xét tam giác $A B M$ và tam giác $A C N$ có: $A M=A N ; \widehat{A}$ chung; $A B=A C$.
Vậy $\triangle A B M=\Delta A C N$ (c.g.c) hay $B M=C N$.
b) $G$ là giao điểm của hai đường trung tuyến $B M$ và $C N$ nên $G$ là trọng tâm tam giác $A B C$. Hay:
$G B=\frac{2}{3} B M ; G C=\frac{2}{3} C N$
Mà $B M=C N \text { nên } G B=G C$
Vậy tam giác $G B C$ cân tại $G$.
a) Tam giác $A B C$ cân tại $A$ nên $A B=A C$
$M, N$ lần lượt là trung điểm của cạnh $A C, A B$ nên $A M=A N$.
Xét tam giác $A B M$ và tam giác $A C N$ có: $A M=A N ; \widehat{A}$ chung; $A B=A C$.
Vậy $\triangle A B M=\Delta A C N$ (c.g.c) hay $B M=C N$.
b) $G$ là giao điểm của hai đường trung tuyến $B M$ và $C N$ nên $G$ là trọng tâm tam giác $A B C$. Hay:
$G B=\frac{2}{3} B M ; G C=\frac{2}{3} C N$
Mà $B M=C N \text { nên } G B=G C$
Vậy tam giác $G B C$ cân tại $G$.
Bài tập 3 trang 107
Cho tam giác $A B C$ có hai đường trung tuyến $A M$ và $B N$ cắt nhau tại $G$. Trên tia đối của tia $MA$ lấy điểm $D$ sao cho $MD=MG$. Chứng minh:
a) $G A=G D$;
b) $\triangle M B G=\triangle M C D$;
c) $C D=2 G N$.
a) $G A=G D$;
b) $\triangle M B G=\triangle M C D$;
c) $C D=2 G N$.
Phương pháp giải:
a) Dựa vào tính chất ba đường trung tuyến trong tam giác.
b) Chứng minh hai tam giác này bằng nhau theo trường hợp c.g.c.
c) Dựa vào kết quả phần b) để chứng minh $CD=2GN$
a) Dựa vào tính chất ba đường trung tuyến trong tam giác.
b) Chứng minh hai tam giác này bằng nhau theo trường hợp c.g.c.
c) Dựa vào kết quả phần b) để chứng minh $CD=2GN$
Lời giải chi tiết:
a) $G$ là giao điểm của hai đường trung tuyến $AM$ và $BN$ nên $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$.
Suy ra: $A G=2 G M$. Mà trên tia đối của tia $M A$ lấy điểm $D$ sao cho $M D=M G$ nên $G D=2 G M$.
Vậy $G A=G D(=2 G M)$.
b) Xét hai tam giác $M B G$ và $M C D$ có:
$M B=M C$ ($M$ là trung điểm cạnh $B C$)
$\widehat{G M B}=\widehat{D M C}$ (đối đỉnh)
$$G M=G D$$
Vậy $\Delta M B G=\Delta M C D$ (c.g.c).
c) $\triangle M B G=\triangle M C D$ nên $B G=C D$ (2 cạnh tương ứng).
Mà $G$ là trọng tâm tam giác $A B C$ nên $B G=2 G N$. Mà $B G=C D$ nên $C D=2 G N$.
a) $G$ là giao điểm của hai đường trung tuyến $AM$ và $BN$ nên $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$.
Suy ra: $A G=2 G M$. Mà trên tia đối của tia $M A$ lấy điểm $D$ sao cho $M D=M G$ nên $G D=2 G M$.
Vậy $G A=G D(=2 G M)$.
b) Xét hai tam giác $M B G$ và $M C D$ có:
$M B=M C$ ($M$ là trung điểm cạnh $B C$)
$\widehat{G M B}=\widehat{D M C}$ (đối đỉnh)
$$G M=G D$$
Vậy $\Delta M B G=\Delta M C D$ (c.g.c).
c) $\triangle M B G=\triangle M C D$ nên $B G=C D$ (2 cạnh tương ứng).
Mà $G$ là trọng tâm tam giác $A B C$ nên $B G=2 G N$. Mà $B G=C D$ nên $C D=2 G N$.
Bài tập 4 trang 107
Cho tam giác $A B C$ có hai đường trung tuyến $A M$ và $B N$ cắt nhau tại $G$. Gọi $H$ là hình chiếu của $A$ lên đường thẳng $B C$. Giả sử $H$ là trung điểm của đoạn thẳng $B M$. Chứng minh:
a) $\triangle A H B=\triangle A H M$
b) $A G=\frac{2}{3} A B$
a) $\triangle A H B=\triangle A H M$
b) $A G=\frac{2}{3} A B$
Phương pháp giải:
a) Chứng minh $\triangle A H B=\triangle A H M$ theo trường hợp c.g.c.
b) Dựa vào kết quả chứng minh phần a) và tính chất ba đường trung tuyến trong tam giác để chứng minh.
a) Chứng minh $\triangle A H B=\triangle A H M$ theo trường hợp c.g.c.
b) Dựa vào kết quả chứng minh phần a) và tính chất ba đường trung tuyến trong tam giác để chứng minh.
Lời giải chi tiết:
a) Xét tam giác $A H B$ và tam giác $A H M$ có:
$A H$ chung;
$\widehat{A H B}=\widehat{A H M}(H$ là hình chiếu của $A$ lên $B C$ nên $A H \perp B C$;
$H B=H M(H$ là trung điểm của $B M$ ).
Vậy $\triangle A H B=\triangle A H M$ (c.g.c).
b) $\triangle A H B=\triangle A H M$ nên $A B=A M$ ( 2 cạnh tương ứng).
$G$ là giao điểm của hai đường trung tuyến $A M$ và $B N$ nên $G$ là trọng tâm tam giác $A B C$. Nên: $A G=\frac{2}{3} A M$.
Mà $A B=A M$ suy ra: $A G=\frac{2}{3} A B$.
a) Xét tam giác $A H B$ và tam giác $A H M$ có:
$A H$ chung;
$\widehat{A H B}=\widehat{A H M}(H$ là hình chiếu của $A$ lên $B C$ nên $A H \perp B C$;
$H B=H M(H$ là trung điểm của $B M$ ).
Vậy $\triangle A H B=\triangle A H M$ (c.g.c).
b) $\triangle A H B=\triangle A H M$ nên $A B=A M$ ( 2 cạnh tương ứng).
$G$ là giao điểm của hai đường trung tuyến $A M$ và $B N$ nên $G$ là trọng tâm tam giác $A B C$. Nên: $A G=\frac{2}{3} A M$.
Mà $A B=A M$ suy ra: $A G=\frac{2}{3} A B$.
Bài tập 5 trang 107
Hình 107 là mặt cắt đứng của một ngôi nhà ba tầng có mái dốc. Mỗi tầng cao $3,3 \mathrm{~m}$. Mặt cắt mái nhà có dạng tam giác $A B C$ cân tại $A$ với đường trung tuyến $A H$ dài $1,2 \mathrm{~m}$. Tại vị trí $O$ là trọng tâm tam giác $A B C$, người ta làm tâm cho một cửa sổ có dạng hình tròn.
a) $A H$ có vuông góc với $B C$ không? Vì sao?
b) Vị trí $O$ ở độ cao bao nhiêu mét so với mặt đất.
a) $A H$ có vuông góc với $B C$ không? Vì sao?
b) Vị trí $O$ ở độ cao bao nhiêu mét so với mặt đất.
Phương pháp giải:
a) Xét 2 tam giác $ABH$ và $ACH$ bằng nhau, suy ra 2 góc $H$ bằng nhau ($=90^{\circ}$)
b) Tính khoảng cách vị trí $O$ so với mặt đất bằng cách tính độ cao của ba tầng và khoảng cách $OH$.
a) Xét 2 tam giác $ABH$ và $ACH$ bằng nhau, suy ra 2 góc $H$ bằng nhau ($=90^{\circ}$)
b) Tính khoảng cách vị trí $O$ so với mặt đất bằng cách tính độ cao của ba tầng và khoảng cách $OH$.
Lời giải chi tiết:
a) Vì $\triangle A B C$ cân tại $\mathrm{A}$ nên $\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$
Vì $\mathrm{AH}$ là đường trung tuyến của tam giác $\mathrm{ABC}$ nên $\mathrm{BH}=\mathrm{HC}=\frac{1}{2} . \mathrm{BC}$
Xét $\triangle A B H$ và $\triangle A C H$ có:
$\mathrm{AH}$ chung
$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$
$\mathrm{BH}=\mathrm{HC}$
$\Rightarrow \Delta A B H=\Delta A C H \text { (c.c.c) }$
$\Rightarrow \widehat{A H B}=\widehat{A H C}$ (góc tương ứng)
$\mathrm{Mà} \widehat{A H B}+\widehat{A H C}=180^{\circ}$
$\Rightarrow \widehat{A H B}=\widehat{A H C}=180^{\circ}: 2=90^{\circ}$
Vậy $A H$ có vuông góc với $B C$.
b) Vị trí $O$ ở độ cao so với mặt đất bằng độ cao ba tầng cộng với khoảng cách $\mathrm{OH}$.
Độ cao ba tầng của tòa nhà bằng $3,3.3=9,9(\mathrm{~m})$.
Mà $O$ là trọng tâm tam giác $A B C$ nên $O H=\frac{1}{3} A H$. Vậy $O H=\frac{1}{3} .1,2=0,4(\mathrm{~m})$.
Vậy vị trí $O$ ở độ cao: $9,9+0,4=10,3 \mathrm{~m}$ so với mặt đất.
a) Vì $\triangle A B C$ cân tại $\mathrm{A}$ nên $\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$
Vì $\mathrm{AH}$ là đường trung tuyến của tam giác $\mathrm{ABC}$ nên $\mathrm{BH}=\mathrm{HC}=\frac{1}{2} . \mathrm{BC}$
Xét $\triangle A B H$ và $\triangle A C H$ có:
$\mathrm{AH}$ chung
$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$
$\mathrm{BH}=\mathrm{HC}$
$\Rightarrow \Delta A B H=\Delta A C H \text { (c.c.c) }$
$\Rightarrow \widehat{A H B}=\widehat{A H C}$ (góc tương ứng)
$\mathrm{Mà} \widehat{A H B}+\widehat{A H C}=180^{\circ}$
$\Rightarrow \widehat{A H B}=\widehat{A H C}=180^{\circ}: 2=90^{\circ}$
Vậy $A H$ có vuông góc với $B C$.
b) Vị trí $O$ ở độ cao so với mặt đất bằng độ cao ba tầng cộng với khoảng cách $\mathrm{OH}$.
Độ cao ba tầng của tòa nhà bằng $3,3.3=9,9(\mathrm{~m})$.
Mà $O$ là trọng tâm tam giác $A B C$ nên $O H=\frac{1}{3} A H$. Vậy $O H=\frac{1}{3} .1,2=0,4(\mathrm{~m})$.
Vậy vị trí $O$ ở độ cao: $9,9+0,4=10,3 \mathrm{~m}$ so với mặt đất.
Cảm ơn các bạn đã theo dõi bài viết của HocThatGioi về Giải SGK bài 10 chương VII Tam giác trang 104, 105, 106, 107 Toán 7 Cánh Diều tập 2. Hi vọng các bạn có một buổi học thật thú vị và tiếp thu được nhiều kiến thức bổ ích. Chúc các bạn học tốt!
