Cách tính nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số hay nhất

Quang Thái Tháng Một 1, 2022

Xin chào các bạn, bài học hôm nay sẽ giới thiệu tới các bạn phương pháp tính nguyên hàm rất phổ biến mà chắc chắn rằng các bạn phải thành thạo phương pháp này mới có thể giải quyết được các bài toán nguyên hàm đó là phương pháp tính nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số. Hãy theo dõi hết bài viết cùng HocThatGioi nhé.

1. Phương pháp đổi biến số

Định lý: Cho hàm số $u = u(x)$ có đạo hàm liên tục trên $K$ và hàm số $y = f(x)$ liên tục sao cho hàm hợp $f(u(x))$ xác định trên $K$ . Khi đó nếu $F$ là một nguyên hàm của $f$ thì $\int f[u(x)]u'(x)dx = F[u(x)] + C$

Ví dụ minh hoạ 1:

Tìm nguyên hàm

\int (x – 1)^{10}dx

Theo định lý trên ta cần viết về dạng

\int f(u)du

.
Mà

u’ = (x - 1)’ = 1

. do vậy

\int (x – 1)^{10}dx = \int (x – 1)^{10}.(x – 1)dx = \int (x – 1)^{10}d(x – 1) = \frac{(x – 1)^{11}}{11} + C

Từ ví dụ trên ta có các bước gọi ý để xử lý bài toán tìm nguyên hàm theo phương pháp đổi biến như sau:

Đặt $u = g(x)$ .
Biến đổi $x$ và $dx$ về $u$ và $du$
Giaỉ bài toán dưới dạng nguyên hàm hàm hợp $\int f(u)du$ , sau đó thay biến $x$ vào nguyên hàm tìm được và kiểm tra lại kết quả

Ví dụ minh hoạ 2:

Tìm nguyên hàm

\int x^{2}(1 – x)^{7}dx

Ở bài toán này ta thấy só mũ 7 khá cao mà lại có biểu thức trong ngoặc phức tạp hơn

x^{2}

. Do vậy ta đăt

(1 - x)

để đổi biến.
Đặt

u = 1 – x \Rightarrow du = (1 – x)’dx = -dx

Ta có

\int x^{2}(1 – x)^{7}dx = \int (1 – u)^{2}u^{7}(-1)du = -\int (u^{7} – 2u^{8} + u^{9})du = -\frac{u^{8}}{8} + \frac{2u^{9}}{9} – \frac{u^{10}}{10} + C = -\frac{(1 – x)^{8}}{8} + \frac{2(1 – x)^{9}}{9} – \frac{(1 – x)^{10}}{10} + C

2. Đổi biến với một số hàm thường gặp

Dưới đây là một số hàm thường gặp trong phương pháp đổi biến số và phượng pháp đặt biến cho từng hàm.

$\int f(ax + b)^{n}xdx \Rightarrow u = ax + b$	$\int \sqrt[n]{f(x)}f'(x)dx \Rightarrow t = \sqrt[n]{f(x)}$
$\int f(\ln x)\frac{1}{x}dx \Rightarrow u = \ln x$	$\int f(e^{x})e^{x}dx \Rightarrow t = e^{x}$
$\int f(sinx)cosxdx \Rightarrow u = sinx$	$\int f(cosx)sinxdx \Rightarrow t = cosx$
$\int f(tanx)\frac{1}{cos^{2}x}dx \Rightarrow u = tanx$	$\int f(sinx \pm cosx)(sinx \pm cosx)dx \Rightarrow t = sinx \pm cosx$
$\int f(\sqrt{a^{2} - x^{2}})x^{2n}dx \Rightarrow x = asint$	$\int f((\sqrt{x^{2} + a^{2}})^{m})x^{2n}dx \Rightarrow x = atant$
$\int f(\sqrt{\frac{a \pm x}{a \mp x }})dx \Rightarrow x = acos2t$	$\int \frac{dx}{\sqrt{(ax + b)(cx + d)}} \Rightarrow t = \sqrt{ax + b} + \sqrt{cx + d}$
$\int R[\sqrt[S_{1}]{ax + b},..,\sqrt[S_{2}]{ax + b}]dx \Rightarrow u^{n} = ax + b$	$\int \frac{dx}{(a + bx^{n})\sqrt[n]{a + bx^{n}}} \Rightarrow t = \frac{1}{t}$

Bảng I: Đổi biến với một số hàm thường gặp

là bài viết Phương pháp tính nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số hay nhất mà HocThatGioi đã đem đến cho các bạn. Qua bài viết này, Các bạn cùng theo dõi các bài viết tiếp theo về chương tích phân để có một nền tảng thật vững chắc nhé. Cảm ơn các bạn đã theo dõi bài viết của HocThatGioi. Hãy đồng hành cùng HocThatGioi để tiếp thu thêm các kiến thức hay, bổ ích nhé. Chúc các bạn học tốt