Lý thuyết và cách giải cực trị của các hàm số nâng cao cực hay

Ngọc Quốc Tháng Tư 28, 2021

Cách giải các bài toàn cực trị với các hàm số nâng cao như hàm lượng giác, hàm có chứa căn,hàm có chứa dấu giá trị tuyệt đối,,...cần phải chú trọng. .

Trong bài viết này, HocThatGioi sẽ phân chia cho các bạn những dạng hàm số nâng cao hay gặp trong bài toán cực trị của hàm số, chia sẻ cho các bạn những kinh nghiệm cũng như những lưu ý để giải những bài toán của các hàm số này. Qua bài viết sẽ giúp các bạn nhận dạng nhanh hơn và giải quyết bài toán một cách nhanh chóng.

1. Cực trị hàm phân thức ( Bậc 2 trên bậc nhất )

Cho hàm số $y=\frac{a{x^2}+bx+c}{dx+e}$ ( $a\ne0$ , $x=\frac{-e}{d}$ không là nghiệm của tử )

$TXĐ$ $D=R/\begin{Bmatrix}\frac{-e}{d}\end{Bmatrix}$
Ta có $y'=\frac{A{x^2}+Bx+C}{dx+e}$
Đặt $P(x) = A{x^2}+ Bx + C$ => Δ = $B^2 - 4AC$

*Δ ≤ 0: $y'$ không đổi dấu => hàm số không có cực trị

*Δ > 0: $y’$ đổi dấu 2 lần => hàm số có 2 cực trị $x_1$ và $x_2$

Vậy hàm số có cực trị $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \Delta >0\\ a \ne 0\\ a(\frac{-e}{d})^2+b(\frac{-e}{d})+c \ne 0 \end{matrix}\right.$

Lưu ý : Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của hàm số. Giả sử hàm số có 2 điểm cực trị thì phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị của hàm số là $y=\frac{2ax+b}{d}$

2. Cực trị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối

Cực trị của hàm số chứa giá trị tuyệt đối là dạng bài khá hay và đa dạng, nhưng chủ yếu thuộc một trong 2 dạng sau: $y=|f(x)|$ và $y=f(|x|)$ .

2.1 Dạng 1: y=|f(x)|

Cho hàm số $y=|f(x)|$ .

$\Rightarrow y'=\frac{f')(x)f(x)}{\left | f(x) \right |}$ .

Vậy số cực trị của hàm số $y=\left | f(x) \right |$ là số nghiệm bội lẻ của phương trình $y=f(x).f'(x)=0$

Như vậy, nếu gọi $m$ là số điểm cực trị của hàm số $y=f(x)$ và $n$ là số giao điểm của đồ thị hàm số $y=f(x)$ và trục hoành thì $m+n$ là số điểm cực trị của hàm số $y=\left | f(x) \right |$ (chú ý ta cần bỏ đi các nghiệm bội chẵn).

2.2 Dạng 2: y=f(|x|)

Cho hàm số $y=f(|x|)$ .

$\Rightarrow y'=\frac{x}{\left | x \right |}f(\left | x \right |)$ .

Nhận xét:

Hàm số đạt cực trị tại $x=0$
Số điểm cực trị dương của hàm số $y=f(x)$ là $m$ thì số điểm cực trị của hàm số $y=f(\left | x \right |)$ là $2m+1$

3. Cực trị hàm lượng giác

Phương pháp giải các dạng bài này tương đối giống với các dạng cơ bản. Nhưng các bạn cần lưu ý những điểm sau .

$TXĐ$ của các hàm có chứa $tanx(cosx\ne0)$ và $cotx(sinx\ne0)$ thì nên lưu ý để tránh những sai lầm ngớ ngẩn.
Tìm cực trị nên nhớ tìm đầy đủ tất cả các điểm cực trị, tránh bỏ xót dẫn đến sai kết quả bài toán.
Nhớ kĩ các kết quả lượng giác thường gặp để áp dụng vào việc giải các bài toán cực trị hàm lượng giác nhanh hơn, tiết kiệm thời gian làm bài.

4. Cực trị hàm chứa căn

Ở dạng bài này thì phương pháp cũng tương đối giống với các dạng bài cơ bản, tuy nhiên vẫn cần lưu ý những điểm sau:

$TXĐ$ của hàm số chứa căn nên nhớ điều kiện biểu thức trong căn $>=0$
Khi có căn ở mẫu thì nhớ xét điều kiện biểu thức trong căn $\ne0$

Cảm ơn các bạn đã theo dõi bài viết của HocThatGioi về Lý thuyết và những lưu ý cực trị của hàm số nâng cao. Nếu các bạn thấy hay và bổ ích, hãy chia sẻ cho bạn bè của mình để cùng nhau học thật giỏi. Đừng quên để lại 1 like, 1 cmt dể tạo động lực cho HocThatGioi và giúp HocThatGioi ngày càng phát triển hơn nhé! Chúc các bạn học thật tốt!