Xin chào các bạn, hôm nay HocThatGioi sẽ đem đến cho các bạn phương pháp giải cũng như một số bài tập dạng toán khác của mặt cầu đó là xác định mặt cầu. Hãy cùng HocThatGioi theo dõi hết bài viết hôm nay nhé.
1. Phương pháp giải dạng toán xác định mặt cầu
Muốn xác định tâm và bán kính của mặt cầu chúng ra cần dựa vào các mệnh đề sau đây:
1.1 Mệnh đề 1
Tập hợp tất cả những điểm M trong không gian cách điểm O cố định một khoảng bằng R cho trước là mặt cầu tâm O bán kính R.
Ví dụ minh hoạ:
Cho tứ diện ABCD. Tìm tập hợp tất cả các điểm trong không gian sao cho |\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD}| = 4.
Ta có |\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD}| = 4 => |4\overrightarrow{MG}| = 4 => MG = 1 (G là trọng tâm tứ diện ABCD).
Vậy tập hợp tất cả các điểm M trong không gian cách trọng tâm G một khoảng bằng 1 là mặt cầu tâm G bán kính R = 1.
1.2 Mệnh đề 2
Tập hợp tất cả những điểm M nhìn đoạn thẳng AB cố định dưới một góc vuông là mặt cầu đường kính AB.
Ví dụ mình hoạ:
Tìm tập hợp tất cả các điểm M trong không gian luôn nhìn một đoạn thẳng AB cố định dưới một góc vuông.
Gọi O là trung điểm của đoạn thẳng AB, ta có: OM = \frac{AB}{2} (vì \widehat{AMB} = 90^{\circ}).
Khi đó M thuộc mặt cầu có tâm O bán kính R = \frac{AB}{2}
Ngược lại lấy điểm M thuộc mặt cầu tâm O bán kính \frac{AB}{2}, ta có :OM = \frac{AB}{2} suy ra \Delta AMB vuông tại M hay \widehat{AMB} = 90^{\circ}.
Vậy tập hợp tất cả những điểm M nhìn đoạn thẳng AB cố định dưới một góc vuông là mặt cầu đường kính AB.
1.3 Mệnh đề 3
Tập hợp tất cả những điểm M sao cho tổng bình phương các khoảng cách tới hai điểm A, B cố định bằng một hằng số k^{2} là mặt cầu có tâm là trung điểm O của đoạn AB và bán kính r = \frac{1}{2}\sqrt{2k^{2} - AB^{2}}.
Ví dụ minh hoạ:
Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Tìm tập hợp các điểm M trong không gian sao cho MA ^{2} + MB^{2} + MC^{2} + MD^{2} \leq 2a^{2}.
Gọi I là trung điểm cạnh AB, J là trung điểm CD, K là trung điểm IJ. Áp dụng định lý trung tuyến tam giác, ta có: MA^{2} + MB^{2} = 2MI^{2} + \frac{AB^{2}}{2} = 2MI^{2} + \frac{a^{2}}{2}.
Suy ra MC^{2} + MD^{2} = 2MJ^{2} + \frac{CD^{2}}{2} = 2MJ^{2} +\frac{a^{2}}{2} MA^{2} + MB^{2} + MC^{2} + MD^{2} = 2(MI^{2} + MJ^{2}) +a^{2} = 2(2MK^{2}+ \frac{IJ^{2}}{2}) +a^{2}.
Ta có : IJ^{2} = \frac{IC^{2} + ID^{2}}{2} – \frac{CD^{2}}{2} = \frac{a^{2}}{2}.
Suy ra MA^{2} + MB^{2} + MC^{2} + MD^{2} = 4MK^{2} + \frac{3a^{2}}{2}.
Theo đề bài ta có : MA ^{2} + MB^{2} + MC^{2} + MD^{2} \leq 2a^{2} => 4MK^{2} + \frac{3a^{2}}{2} \leq 2a^{2} => MK \leq \frac{a}{2\sqrt{2}}
Vậy tập hợp các điểm M trong không gian là khối cầu tâm K bán kính R = \frac{a}{2\sqrt{2}}.
2. Bài tập xác định mặt cầu
1. Cho mặt cầu S(O;r). Chọn khẳng định đúng ?
Ta có: S(O;r) = {M | OM = r}
2. Nếu hai điểm C, D nằm trên mặt cầu S(O;r) thì đoạn thẳng CD được gọi là gì ?
Hai điêm C, D nằm trên mặt cầu thì đường thẳng CD gọi là dây cung mặt cầu
3. Chọn phát biểu sai ?
Sai vì một măt cầu được xác định nếu biết tâm và bán kính hoặc biết được đường kính của nó.
4. Cho mặt cầu S(O;r) và một điểm bất kỳ A bất kỳ trong không gian. Chọn khẳng định sai.
Sai vì nếu OA \geq r thì điểm A không thuộc mặt cầu S(O;r).
5. Chọn phát biểu sai.
Sai vì hình biểu diễn của mặt cầu là hình tròn
6. Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu có tâm O theo đường tròn có bán kính bằng 4 cm và khoảng cách từ O đến mặt phẳng (P) bằng 3 cm. Bán kính của mặt cầu là:
Áp dụng định lý pytago, ta có: r = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = 5(cm)
7. Cho đường tròn (C) và điểm A nằm ngoài mặt phẳng chứa (C) . Có bao nhiêu mặt cầu chứa đường tròn (C) và đi qua điểm A ?
Trên đường tròn (C) lấy điểm M_{0} cố định.
Gọi (a) là mặt phẳng trung trực của AM_{0} và đường thẳng \Delta là trục của (C).
Gọi I là giao điểm của \Delta và (a) thì mặt cầu tâm I bán kính R = IA thỏa yêu cầu đề bài.
Ta sẽ chứng minh tâm I là duy nhất.
Giả sử m là điểm bất kì khác trên đường tròn (C).
Gọi (a’) là mặt phẳng trung trực của AM và I’ = (a’) \frown \Delta thì mặt cầu tâm I’ bán kính R’ = I’A thỏa mãn yêu cầu đề bài. Ta có: I’A = I’M = I’M_{0} => I’ thuộc mặt phẳng trung trực (a) của AM_{0} nên I’ = (a’) \frown \Delta.
Từ đó suy ra I’ = I. Vậy chỉ có duy nhất một mặt cầu thỏa yêu cầu bài toán.
8. Cho mặt cầu S(O;r) và điểm A cố định với OA = d. Qua A, kẻ đường thẳng \Delta tiếp xúc với mặt cầu S(O;r) tại M. Công thức nào sau đây được dùng để tính độ dài đoạn thẳng AM?
Vì \Delta tiếp xúc với S(O,R) tại M nên OM \bot \Delta tại M.
Xét tam giác OMA vuông tại M, ta có: AM^{2} = OA^{2} – OM^{2} = d^{2} – R^{2} => AM = \sqrt{d^{2} – R^{2}}
9. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. O là tâm của hình lập phương. Xét mặt cầu (S) tâm A bán kính \frac{a}{2}. Khẳng định nào sau đây đúng?
Ta có R = \frac{a}{2}; BA = a > R nên loại A và D OA = \frac{a\sqrt{3}}{2} > \frac{a}{2} = R. Loại C
10. Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. G là trọng tâm tứ diện. Xét mặt cầu (S) tâm A bán kính \frac{3a}{4}. Khẳng định nào sau đây sai ?
Ta có R = \frac{3a}{4}; BA = CA = a > R nên loại A, C.
Tính được GA = \frac{a\sqrt{6}}{4} < \frac{3a}{4} = R. Loại D
11. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B. Biết SA \bot (ABC), AB = a, \widehat{ACB} = 30^{\circ}, góc giữa (SBC) VÀ ABC bằng 60^{\circ}. Xét vị trí tương đối giữa mặt cầu S_{A, a} và mặt phẳng (SBC).
Ta có : \widehat{SBA} = 60^{\circ} => SA = a\sqrt{3}
Gọi H là hình chiếu của A trên SB, ta chứng minh được AH = d(A,(SBC)).
Ta có : \frac{1}{AH^{2}} = \frac{1}{SA^{2}} + \frac{1}{AB^{2}} = \frac{4}{3a^{2}} => d(A,(SBC)) = AH = \frac{a\sqrt{3}}{2} < a = R
Mặt phẳng (SBC) cắt mặt cầu S_{A, a} theo giao tuyến là một đường tròn
12. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. SA \bot (ABC) và SA = a\sqrt{3}. Vị trí tương đối giữa mặt cầu tâm A, bán kính \frac{a\sqrt{5}}{3} với mặt phẳng (SBC) là:
Gọi M là trung điểm BC, H là hình chiếu của A trên BC, ta chứng minh được AH = d(A,(SBC)).
Ta có \frac{1}{AH^{2}} = \frac{1}{SA^{2}} + \frac{1}{AM^{2}} = \frac{5}{3a^{2}} => d(A,(SBC)) = AH = \frac{a\sqrt{15}}{3} > \frac{a\sqrt{5}}{3} = R
Vậy không có điểm chung
13. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B. Biết SA \bot (ABC), AB = a, \widehat{ACB} = 30^{\circ}, góc giữa (SBC) VÀ ABC bằng 60^{\circ}. Vị trí tương đối giữa mặt cầu tâm A, bán kính \frac{a\sqrt{3}}{2} với mặt phẳng (SBC) là:
Ta có: AC = 2a; \widehat{SBA} = 60^{\circ} => SA = a\sqrt{3}
Gọi H là hình chiếu của A trên SB, ta chứng minh được AH = d(A,(SBC)).
Ta có : \frac{1}{AH^{2}} = \frac{1}{SA^{2}} + \frac{1}{AB^{2}} = \frac{4}{3a^{2}} d(A, (SBC)) = AH = \frac{a\sqrt{3}}{2} = R
Vậy mặt phẳng (SBC) cắt mặt cầu S theo giao tuyến là đường tròn lớn
Trên đây là bài viếtvề Dạng toán xác định mặt cầu – hướng dẫn giải và bài tập mà HocThatGioi đã đem đến cho các bạn. Qua bài viết này, Các bạn cùng theo dõi các bài viết tiếp theo về chương Mặt tròn xoay để có một nền tảng thật vững chắc nhé. Cảm ơn các bạn đã theo dõi bài viết của HocThatGioi. Hãy đồng hành cùng HocThatGioi để tiếp thu thêm các kiến thức hay, bổ ích nhé. Chúc các bạn học tốt.
Bài viết khác liên quan đến Lớp 12 – Toán – Mặt cầu
