Đạo hàm của hàm số lượng giác chi tiết, dễ hiểu

Khánh Linh Tháng Mười Hai 22, 2021

Trong bài viết này, HocThatGioi sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về đạo hàm của hàm số lượng giác. Bên cạnh đó, HocThatGioi cũng đưa ra cho các bạn một số bài tập vận dụng để các bạn nắm vững kiến thức. Hãy cùng theo dõi nhé!

1. Đạo hàm của hàm số $y=sin x$

Đầu tiên, hãy cùng HocThatGioi tìm hiểu về đạo hàm của hàm số $y=sinx$ nha.

Định lý về đạo hàm của hàm số

y=sin x

Hàm số

y=sin x

có đạo hàm tại mọi

x \in \mathbb{R}

và

(sin x)’=cos x

HocThatGioi sẽ chứng minh định lý trên để bạn dễ hiểu hơn nhé!

Chứng minh:

Gọi $\Delta x$ là số gia của $x$ . Ta có:
$\Delta y=sin(x+\Delta x)-sin x=2sin\frac{\Delta x}{2}.cos(x+\frac{\Delta x}{2})$
$\frac{\Delta y}{\Delta x}=2cos(x+\frac{\Delta x}{2})\frac{sin\frac{\Delta x}{2}}{\Delta x}=cos(x+\frac{\Delta x}{2})\frac{sin\frac{\Delta x}{2}}{\frac{\Delta x}{2}}$
$\displaystyle \lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\displaystyle \lim_{\Delta x \to 0}cos(x+\frac{\Delta x}{2}).\displaystyle \lim_{\Delta x \to 0}\frac{sin\frac{\Delta x}{2}}{\frac{\Delta x}{2}}$
Vì $\displaystyle \lim_{\Delta x \to 0}cos\begin{pmatrix} x+\frac{\Delta x}{2}\end{pmatrix}=cos x$ (do tính liên tục của hàm số $y=cosx$ )
và $\displaystyle \lim_{\Delta x \to 0}\frac{sin\frac{\Delta x}{2}}{\frac{\Delta x}{2}}=1$
nên $\displaystyle \lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=1.cosx=cosx$ .

Vậy $y'=(sinx)'=cosx$

Lưu ý: Nếu

y=sinu

và

u=u(x)

thì

(sinu)’=u’.cosu

Ví dụ: Tính đạo hàm của hàm số

y=sin(2x+3)

Giải:
Đặt

u=2x+3

thì

u’=2

và

y=sinu

.
Ta có:

y’=u’.cosu=2.cos(2x+3)

2. Đạo hàm của hàm số $y=cosx$

Tiếp theo, chúng ta sẽ cùng tìm hiểu về đạo hàm của hàm số $y=cosx$ .

Định lý về đạo hàm của hàm số

y=cosx

Hàm số

y=cos x

có đạo hàm tại mọi

x\in \mathbb{R}

và

(cosx)’=-sinx

Hãy cùng HocThatGioi chứng minh định lý trên nhé!

Chứng minh:

Ta có $y=cosx=sin(\frac{\pi}{2}-x)$
$\Rightarrow (cosx)'=\left [ sin\left ( \frac{\pi }{2}-x \right ) \right ]'=-cos(\frac{\pi }{2}-x)=-sinx$

Lưu ý: Nếu

y=cos u

và

u=u(x)

thì

(cos u)’=-u’.sinu

Ví dụ: Tính đạo hàm của hàm số

y=cosx^{2}

Giải:
Đặt

u=x^{2}

thì

u’=2x

và

y=cosu

Ta có:

y’=-u’.sinu=-2x.sinx^{2}

3. Đạo hàm của hàm số $y=tanx$

Bây giờ, chúng ta hãy cùng tìm hiểu đạo hàm của hàm số $y=tanx$ nha.

Định lý về đạo hàm của hàm số

y=tanx

Hàm số

y=tanx

có đạo hàm tại mọi

x\neq \frac{\pi }{2}+k\pi ,\ k\in \mathbb{Z}

và

(tanx)’=\frac{1}{cos^{2}x}

Cùng chứng minh định lý trên để hiểu rõ hơn nhé!

Chứng minh:

Ta có: $tanx=\frac{sinx}{cosx}$
$\Rightarrow y'=\left ( tanx \right )'=\left ( \frac{sinx}{cosx} \right )'=\frac{(sinx)'.cosx-sinx.(cosx)'}{(cosx)^{2}}=\frac{cos^{2}x+sin^{2}x}{cos^{2}x}=\frac{1}{cos^{2}x}$

Vậy $(tanx)'= \frac{1}{cos^{2}x}$

Lưu ý: Nếu

y=tanx

và

u=u(x)

thì ta có

(tanu)’=\frac{u’}{cos^{2}u}

Ví dụ: Tính đạo hàm của hàm số

y=tan(2x^2+3)

Giải:
Đặt

u=2x^2+3

thì

u’=4x

và

y=tanu

Ta có:

y’=\frac{u’}{cos^{2}u}=\frac{2x}{cos^{2}(2x^{2}+3)}

4. Đạo hàm của hàm số $y=cotx$

Cùng HocThatGioi tìm hiểu đạo hàm của hàm số $y=cotx$ bạn nhé!

Định lý về đạo hàm của hàm số

y=cotx

Hàm số

y=cotx

có đạo hàm tại mọi

x\neq k\pi ,\ k\in \mathbb{Z}

và

(cotx)’=-\frac{1}{sin^{2}x}

Để hiểu rõ hơn về định lý trên, chúng ta hãy cùng nhau theo dõi phần chứng minh dưới đây nha.

Chứng minh:

Ta có: $cotx=\frac{cosx}{sinx}$
$\Rightarrow y'=\left ( cotx \right )'=\left ( \frac{cosx}{sinx} \right )'=\frac{(cosx)'.sinx-cosx.(sinx)'}{(sinx)^{2}}=\frac{-cos^{2}x-sin^{2}x}{sin^{2}x}=-\frac{1}{sin^{2}x}$

Vậy $(cotx)'=- \frac{1}{sin^{2}x}$

Lưu ý: Nếu

y=cotx

và

u=u(x)

thì ta có

(cotu)’=- \frac{u’}{sin^{2}u}

Ví dụ: Tính đạo hàm của hàm số

y=cot(5x+6)

Giải:
Đặt

u=5x+6

thì

u’=5

và

y=cotu

Ta có:

y’=-\frac{u’}{sin^{2}u}=-\frac{5}{sin^{2}(5x+6)}

5. Bảng đạo hàm của hàm số lượng giác

Từ các định lý về đạo của các hàm số lượng giác ở trên, HocThatGioi đã tổng hợp lại thành 1 bảng để các bạn có thể dễ học hơn như sau:

$(sinx)'=cosx$	$(sinu)'=u'.cosu$
$(cosx)'=-sinx$	$(cosu)'=-u'.sinu$
$(tanx)'=\frac{1}{cos^{2}x}$	$(tanu)'=\frac{u'}{cos^{2}u}$
$(cotx)'=-\frac{1}{sin^{2}x}$	$(cotu)'=-\frac{u'}{sin^{2}u}$

Bảng đạo hàm của hàm số lượng giác

6. Bài tập vận dụng

Cuối cùng, HocThatGioi đã tổng hợp một số bài tập vận dụng để các bạn có thể nắm vững hơn kiến thức về đạo hàm của hàm số lượng giác.

Câu 1: Tính đạo hàm của hàm số

y=7sinx+3cosx

a. $y’=7cosx+3sinx$
b. $y’=7cosx-3sinx$
c. $y’=4cosx$
d. $y’=10sinx$

Câu 2: Tính đạo hàm của hàm số

y=xtanx

a. $y’=\frac{x}{sin^{2}x}$
b. $tanx+\frac{1}{sin^{2}x}$
c. $tanx+\frac{-1}{sin^{2}x}$
d. $tanx+\frac{x}{sin^{2}x}$

Câu 3: Tìm đạo hàm của hàm số

y=sinx^{2}+cos3x

a. $y’=2cosx-3sinx$
b. $y’=2cosx^{2}-3sinx$
c. $y’=2cosx^{2}-3sin3x$
d. $y’=2cosx^{2}+3sin3x$

Câu 4: Tìm đạo hàm của hàm số

y=tan(3x^2+2x+6)

a. $y’=\frac{1}{cos^{2}(3x^2+2x+6)}$
b. $y’=\frac{6x+2}{cos^{2}(3x^2+2x+6)}$
c. $y’=\frac{6x+2}{cos(3x^2+2x+6)}$
d. $y’=-\frac{6x+2}{cos^{2}(3x^2+2x+6)}$

Câu 5: Tìm đạo hàm của hàm số

y=cot(x^7+2)

a. $y’=-\frac{7x^6}{sin^{2}(x^7+2)}$
b. $y’=\frac{7x^6}{sin^{2}(x^7+2)}$
c. $y’=-\frac{7x^6}{sin^{2}(7x^6)}$
d. $y’=-\frac{7x^6}{(x^7+2)^2}$

Trên đây, HocThatGioi đã phân tích cực kỳ chi tiết về đạo hàm của hàm số lượng giác, hi vọng bài viết này sẽ giúp ích cho việc học tập của các bạn. Chúc các bạn mạnh khỏe và học tập tốt!