Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm cực chi tiết

Khánh Linh Tháng Mười Một 20, 2021

Trong bài viết này, HocThatGioi sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về lý thuyết định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm. Bên cạnh đó, HocThatGioi cũng sẽ đưa ra một số bài tập để các bạn có thể nắm vững kiến thức.

1. Định nghĩa của đạo hàm

Cho hàm số $y=f(x)$ xác định trên khoảng $(a;b) , x_{0} \in \left ( a;b \right )$ . Giới hạn hữu hạn (nếu có) của tỉ số $\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}$ khi $x_{0} \in \left ( a;b \right )$ được gọi là đạo hàm của hàm số đã cho tại $x_{0}$ , kí hiệu là $f'( x_{0} )$ hay $y'( x_{0} )$ . Vậy ta có :

$f'(x_{0})=\displaystyle \lim_{x \to x_{0}}\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}$

Nếu đặt $x- x_{0}=\Delta x$ và $\Delta y = f( x_{0} + \Delta x )-f( x_{0} )$ thì ta có :

$f'(x_{0})=\displaystyle \lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}$

Trong đó :

$\Delta x$ : Số gia của đối số tại $x_{0}$
$\Delta y$ : Số gia tương ứng của hàm số

2. Quy tắc tính đạo hàm bằng định nghĩa :

Gồm có 3 bước:

Bước 1: Với $\Delta x$ là số gia của đối số tại $x_{0}$ , tính $\Delta y=f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})$

Bước 2: Lập tỷ số $\frac{\Delta y}{\Delta x}$

Bước 3: Tính $\displaystyle \lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}$

Lưu ý: Nếu thay đổi

x_{0}

bởi

x

ta sẽ có định nghĩa và quy tắc tính đạo hàm của hàm số

y=f(x)

tại điểm

x\in (a;b)

Hãy cùng HocThatGioi làm một số bài tập để nắm vững hơn Quy tắc tính đạo hàm bằng định nghĩa nhé!

Tính (bằng định nghĩa) đạo hàm của mỗi hàm số sau tại các điểm đã chỉ ra:
a.

y=x^{2}+x

tại

x_{0}=1

y=\frac{1}{x}

tại

x_{0}=2

\frac{x+1}{x-1}

tại

x_{0}=0

Giải:
a. Giả sử

\Delta x

là số gia của đối số tại

x_{0}=1

. Ta có:

\Delta y=f(1+\Delta x) -f(1)=(1+\Delta x)^{2}+(1+\Delta x)-(1^{2}+1)=3\Delta x+(\Delta x)^{2}

\frac{\Delta y}{\Delta x}=3+\Delta x

\displaystyle \lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\displaystyle \lim_{\Delta x \to 0}(3+\Delta x)=3

Vậy

f'(1)=3

b. Giả sử

\Delta x

là số gia của đối số tại

x_{0}=2

. Ta có:

\Delta y=f(2+\Delta x)-f(2)=\frac{1}{2+\Delta x}-\frac{1}{2}=\frac{-\Delta x}{2(2+\Delta x)}

\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{-1}{2(2+\Delta x)}

\displaystyle \lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\displaystyle \lim_{\Delta x \to 0}(\frac{-1}{2(2+\Delta x)})=\frac{-1}{4}

Vậy

f'(2)=\frac{-1}{4}

c. Giả sử

\Delta x

là số gia của đối số tại

x_{0}=0

. Ta có:

\Delta y=f(\Delta x)-f(0)=\frac{\Delta x+1}{\Delta x-1}-(\frac{0+1}{0-1})=\frac{2\Delta x}{\Delta x-1}

\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{2}{\Delta x-1}

\displaystyle \lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\displaystyle \lim_{\Delta x \to 0}\frac{2}{\Delta x-1}=-2

Vậy

f'(0)=-2

3. Quan hệ giữa tính liên tục và sự tồn tại của đạo hàm

Định lý : Nếu hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm tại $x_{0}$ thì nó liên tục tại $x_{0}$ .
Định lý trên tương đương với khẳng định : Nếu $y=f(x)$ gián đoạn tại $x_{0}$ thì nó không có đạo hàm tại điểm đó.

Chú ý: Mệnh đề đảo của định lý không đúng.

4. Ý nghĩa hình học của đạo hàm

Nếu tồn tại $f'(x_{0})$ là hệ số góc tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=f(x)$ tại điểm $M_{0}(x_{0};f(x_{0}))$ là $y-f(x_{0})=f'(x_{0})(x-x_{0})$ .

Cùng HocThatGioi làm bài tập sau đây để nắm chắc về Ý nghĩa hình học của đạo hàm nhé!

Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong

y=x^{3}

a.Tại điểm có tọa độ

(-1;-1)

b.Tại điểm có hoành độ bằng 2
c.Biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng 3

Giải :
Bằng định nghĩ ta tính được

y’=3x^{2}

.
a. Ta có :

y'(-1)=3

=> Hệ số góc của tiếp tuyến bằng 3.
Vậy phương trình tiếp tuyến tại điểm

(-1;-1)

là

y-(-1)=3(x-(-1))

hay

y=3x+2

.
b. Ta có :

y'(2)=12

=> Hệ số góc của tiếp tuyến bằng 12.
Ngoài ra ta có :

y(2)=8

.
Vậy phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoàng độ bằng 2 là

y-8=12(x-2)

hay

y=12x-16

.
c. Gọi

x_{0}

là hoành độ tiếp điểm. Ta có :

y'(x_{0})=3\Leftrightarrow 3x_{0}^{2}=3\Leftrightarrow x_{0}^{2}=1\Leftrightarrow x_{0}=\pm 1

+) Với

x_{0}=1

ta có

y(1)=1

=> Phương trình tiếp tuyến là

y-1=3(x-1)

hay

y=3x-2

+) Với

x_{0}=-1

ta có

y(-1)=-1

=> Phương trình tiếp tuyến là

y-(-1)=3(x-(-1))

hay

y=3x+2

5. Ý nghĩa vật lý của đạo hàm

Xét chuyển động thẳng $s=f(t)$ . Khi đó vận tốc tức thời tại điểm $t_{0}$ là : $v(t_{0})=s'(t_{0})=f'(t_{0})$

Để hiểu rõ hơn về Ý nghĩa vật lý của đạo hàm, các bạn hãy cùng HocThatGioi giải bài tập sau :

Một vật rơi tự do theo phương trình

s=\frac{1}{2}gt^{2}

, trong đó

g\approx 9,8 m/s^{2}

là gia tốc trọng trường.
a. Tìm vận tốc trung bình của chuyển động trong khoảng thời gian từ

t (t=5s)

đến

t+\Delta t

trong các trường hợp

\Delta t=0,1s ; \Delta t=0,05s ; \Delta t= 0,001s

.
b. Tìm vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm

t=5s

Giải :
a. Vận tốc trung bình của chuyển động trong khoảng thời gian từ

t

đến

t+\Delta t

là :

v_{tb}=\frac{s(t+\Delta t)-s(t)}{\Delta t}=\frac{\frac{1}{2}g(t+\Delta t)^{2}-\frac{1}{2}gt^{2}}{\Delta t}=\frac{1}{2}g(2t+\Delta t)\approx 4,9(2t+\Delta t)

+) TH

\Delta t=0,1 : v_{tb}\approx 4,9(10+0,1)\approx 49,49 m/s

+) TH

\Delta t=0,05 : v_{tb}\approx 4,9(10+0,05)\approx 49,245 m/s

+) TH

\Delta t=0,001 : v_{tb}\approx 4,9(10+0,001)\approx 49,005 m/s

b. Vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm

t=5s

tương ứng với

\Delta t=0

nên

v\approx 4,9.10=49 m/s

Trên đây HocThatGioi đã phân tích chi tiết về Định nghĩa và Ý nghĩa của đạo hàm, hi vọng bài viết này sẽ giúp ích cho việc học tập của các bạn. Chúc các bạn học thật giỏi!