Giải Luyện tập chung trang 34, 35 SGK Toán 7 Kết nối tri thức Tập 2

Cho các đơn thức: $2x^{6}$; $-5x^{3}$; $-3x^{5}$; $x^{3}$; $\frac{3}{5}x^{2}$; $−\frac{1}{2}x^{2}$; $8$; $-3x$. Gọi $A$ là tổng của các đơn thức đã cho.
a) Hãy thu gọn tổng $A$ và sắp xếp các hạng tử để được một đa thức.
b) Tìm hệ số cao nhất, hệ số tự do và hệ số của $x^{2}$ của đa thức thu được.

Lời giải chi tiết:
a)$ A = 2x^{6} + (-5x^{3}) + ( -3x^{5}) + x3 + \frac{3}{5}x^{2} +(−\frac{1}{2}x^{2}) + 8 + ( -3x)$
$= 2x^{6} + ( -3x^{5}) + [(-5x^{3}) + x^{3} ]+ [\frac{3}{5}x^{2}+(−\frac{1}{2}x^{2})] + ( -3x) + 8$
$= 2x^{6} – 3x^{5} – 4x^{3} +\frac{1}{10}x^{2} – 3x + 8$
b) Hệ số cao nhất: $2$
Hệ số tự do: $8$
Hệ số của $x^{2}$ là: $110$

Một bể chứa nước có dạng hình hộp chữ nhật được thiết kế với kích theo tỉ lệ:
Chiều cao : chiều rộng : chiều dài $= 1 : 2 : 3$
Trong bể hiện còn $0,7$ $m^{3}$ nước. Gọi chiều cao của bể là $x$ $(mét)$.
Hãy viết đa thức biểu thị số mét khối nước cần phải bơm thêm vào bể để bể đầy nước. Xác định bậc của đa thức đó.

Lời giải chi tiết:
Vì Chiều cao : chiều rộng: chiều dài $= 1 : 2 : 3$ nên chiều rộng là: $2x$, chiều dài là: $3x$.
Thể tích bể là: $V = x.2x.3x = (2.3).(x.x.x) = 6x^{3} (m^{3})$
Số mét khối nước cần bơm là: $T = V – 0,7 = 6x^{3} – 0,7$.
Vậy đa thức biểu thị số mét khối nước cần phải bơm thêm vào bể để bể đầy nước là $6x^{3} – 0,7$.
Đa thức này có bậc là $3$.

Ngoài thang nhiệt độ Celsius (độ $C$), nhiều nước còn dùng thang nhiệt độ Fahrenheit, gọi là độ $F$ để đo nhiệt độ trong dự báo thời tiết. Muốn tính xem $x^{\circ}C$ tương ứng với bao nhiêu độ $F$, ta dùng công thức:
$T(x) = 1,8x + 32$
Chẳng hạn, $0^{\circ}C$ tương ứng với $T(0) = 32 (^{\circ}F)$
a) Hỏi $0^{\circ}F$ tương ứng với bao nhiêu độ $C$ ?
b) Nhiệt độ vào một ngày mùa hè ở Hà Nội là $35^{\circ}C$. Nhiệt độ đó tương ứng với bao nhiêu độ $F$?
c) Nhiệt độ vào một ngày mùa đông ở New York (Mĩ) là $41^{\circ}C$. Nhiệt độ đó tương ứng với bao nhiêu độ $C$?

Lời giải chi tiết:
a) Ta có:$ 0=1,8x+32$
$\Rightarrow 1,8x=−32$
$\Rightarrow x=−17,(7)$
Vậy$ 0^{\circ}F$ tương ứng với $−17,(7)^{\circ}C$
b) $T(35)=1,8.35+32=95(^{\circ}F)$
Vậy nhiệt độ $35^{\circ}C$ tương ứng với $95^{\circ}F$
c) Ta có: $41=1,8x+32$
$\Rightarrow 1,8x=41−32$
$\Rightarrow 1,8x=9$
$\Rightarrow x=5$
Vậy $41^{\circ}F$ tương ứng với $5^{\circ}C$

Cho hai đa thức $P = -5x^{4} +3x^{3} + 7x^{2} + x – 3$ và $Q = 5x^{4} – 4x^{3} – x^{2} + 3x + 3$
a) Xác định bậc của mỗi đa thức $P + Q$ và $P – Q$.
b) Tính giá trị của mỗi đa thức $P + Q$ và $P – Q$ tại $x = 1$; $x = – 1$
c) Đa thức nào trong hai đa thức $P + Q$ và $P – Q$ có nghiệm là $x = 0?$

Lời giải chi tiết:
$P + Q = (-5x^{4} +3x^{3} + 7x^{2} + x – 3) + (5x^{4} – 4x^{3} – x2 + 3x + 3)$
$= -5x^{4}+3x^{3} + 7x^{2} + x – 3 + 5x^{4} – 4x^{3} – x^{2} + 3x + 3$
$= (-5x^{4} + 5x^{4} ) + (3x^{3} – 4x^{3} ) + (7x^{2} – x^{2} ) + (x + 3x) + (-3 + 3)$
$= 0 + (-x^{3}) + 6x^{2} +4x$
$= -x^{3} + 6x^{2} +4x$
$P – Q = (-5x^{4} +3x^{3} + 7x^{2} + x – 3) – (5x^{4} – 4x^{3} – x^{2} + 3x + 3)$
$= -5x^{4} +3x^{3} + 7x^{2} + x – 3 – 5x^{4} + 4x^{3} + x^{2} – 3x – 3$
$= (-5x^{4} – 5x^{4}) + (3x^{3} + 4x^{3} ) + (7x^{2} + x^{2} ) + (x – 3x) + (-3 – 3)$
$= -10x^{4} + 7x^{3} + 8x^{2} + (-2x) + (-6)$
$= -10x^{4} + 7x^{3} + 8x^{2} – 2x – 6$
a) Đa thức $P + Q$ có bậc là $3$
Đa thức $P – Q$ có bậc là $4$
b)
+) Tại $x = 1$ thì $P + Q = – 13 + 6. 12 + 4.1 = 9$
$P – Q = -10. 14 + 7.13 + 8.12 – 2. 1 – 6 = -3$
+) Tại $x = – 1$ thì $P + Q = – (-1)3 + 6. (-1)2 + 4.(-1) = -(-1) + 6.1 – 4 = 3$
$P – Q = -10. (-1)4 + 7.(-1)3 + 8.(-1)2 – 2. (-1) – 6 = -10 . 1 + 7.(-1) + 8 + 2 – 6 = -13$
c) Đa thức $P + Q$ có nghiệm là $x = 0$ vì đa thức này có hệ số tự do bằng $0$.

Một xe khách đi từ Hà Nội lên Yên Bái (trên đường cao tốc Hà Nội – Lào Cai) với vận tốc $60 km/h$. Sau đó $25$ phút, một xe du lịch cũng đi từ Hà Nội lên Yên Bái ( đi cùng đường với xe khách) vối vận tốc $85 km/h$. Cả hai xe đều không nghỉ dọc đường.
a) Gọi $D(x)$ là đa thức biểu thị quãng đường xe du lịch đi được và $K(x)$ là đa thức biểu thị quãng đường xe khách đi được kể từ khi xuất phát cho đến khi xe du lịch đi được $x$ giờ. Tìm $D(x)$ và $K(x)$.
b) Chứng tỏ rằng đa thức $f(x) = K(x) – D(x)$ có nghiệm là $x = 1$. Hãy giải thích ý nghĩa nghiệm $x = 1$ của đa thức $f(x)$.

Lời giải chi tiết:
a) Đổi $25$ phút $= \frac{5}{12}$ giờ
Khi xe du lịch đi được x giờ thì xe khách đã đi được: $x + \frac{5}{12}$ giờ
Ta được: $D(x) = 85x$
$K(x) = 60. (x + \frac{5}{12} ) = 60x + 25$
b) $f(x) = K(x) – D(x) = 60x + 25 – 85x = (60x – 75x) + 25 = -25x + 25$
Ta có: $f(1) = -25 . 1 + 25 = 0$ nên $x = 1$ là nghiệm của đa thức $f(x)$.
Điều này có nghĩa là: Sau $1$ giờ, khoảng cách giữa $2$ xe là $0$, hay sau $1$ giờ thì $2$ xe gặp nhau.